Le présent document porte sur les facteurs premiers se situant entre le plus petit et le plus grand, appelés les facteurs premiers milieux, ou encore les facteurs premiers β-positionnés. Il s'agit d'une version plus élaborée d'articles publiés ou en phase de publication. Le premier chapitre présente les notions préalables à la bonne compréhension de cet ouvrage. S'y retrouvent entre autres les notations utilisées tout au long du texte, qu'elles soient des notations de fonctions arithmétiques ou encore des notations asymptotiques. Certains résultats classiques de théorie des nombres, tels que la formule de sommation d'Abel, la formule de Mertens et les séries de Dirichlet, de même qu'une introduction à la théorie de l'équirépartition modulo 1, y sont également mentionnés. Le second chapitre porte sur des problèmes d'estimation de sommes ou de séries sur des entiers qui ont un nombre prédéterminé de facteurs premiers, que la multiplicité soit comptée ou non, mais qui possèdent également d'autres propriétés. Celles-ci portent sur la taille des facteurs premiers, et c'est pourquoi il est question d'entiers friables ainsi que d'entiers sans petits facteurs premiers. Dans le cas des entiers friables, l'un des résultats présentés est dû à Erdõs et Tenenbaum et a été démontré par la méthode du col. En ce qui a trait aux entiers sans petits facteurs premiers, les résultats énoncés sont ceux d'Alladi obtenus par la méthode de Selberg-Delange. Le troisième chapitre porte sur le premier résultat principal de ce document. Il s'agit de l'étude du comportement asymptotique du facteur premier β-positionné, plus particulièrement l'obtention d'une estimation pour la somme sur la réciproque de ce facteur premier. L'idée générale est de généraliser et d'améliorer la démarche utilisée précédemment par De Koninck et Luca dans le cas du facteur premier milieu grâce aux résultats d'Alladi, d'Erdõs et Tenenbaum présentés au deuxième chapitre. Un résultat en phase de publication, portant sur la distribution du facteur premier β-positionné, clos le chapitre. Le quatrième chapitre, quant à lui, présente le second résultat principal, à savoir l'étude asymptotique ainsi que l'obtention d'une estimation pour la somme sur la réciproque du facteur premier β-positionné dans le cas où la multiplicité de chacun des facteurs premiers est prise en considération. Bien que l'idée initiale soit similaire à celle du précédent chapitre, la résolution de ce problème est bien différente et permet d'obtenir une estimation beaucoup plus précise. Le chapitre se termine par la présentation d'une amélioration de cette méthode dans le cas de l'étude du comportement asymptotique de la somme sur la réciproque du facteur premier milieu avec multiplicité. / The aim of this thesis is the study of some sums of the prime factors that are between the smallest and the largest ones, called the middle prime factors. In particular, this is an extended version of published and prepublished articles on this subject. The first chapter develops all the preliminary notions necessary for the good understanding of this document. In particular, arithmetic and asymptotic notations are established. Moreover, some classical analytic number theory results, such as the Abel summation formula, Mertens' formula and Dirichlet series, and an introduction to the theory of uniform distribution mod 1 are mentioned. The second chapter is about some problems on the asymptotic behavior of sums and series of integers that have a given number of prime factors, with or without multiplicity, and that have other properties concerning their smallest and biggest prime factors. In the case of smooth numbers, one of the result was obtained by Erdõs and Tenenbaum by the use of the saddle-point method. For the integers without small prime factors, the results were obtained by Alladi by the use of the Selberg-Delange method. The third chapter exposes the first main result of this thesis, namely the study of the asymptotic behavior of the sum of the reciprocals of the β-positioned prime factors of the integers n ≤ x. The proofs improve and generalize previous work of De Koninck and Luca about the middle prime factor. This was possible by the use of Alladi's and Erdõs and Tenenbaum's results which are given in the second chapter. This third chapter ends with the study of the distribution of the β-positioned prime factor. The fourth chapter presents the second main result, which is about the study of the asymptotic behavior of the sum of the reciprocals of the β-positioned prime factors with multiplicity of the integers n ≤ x. The methods used are different from those in the third chapter and allow for much more precise estimates. Moreover, this chapter ends by showing that the proof can be improved in the case of the middle prime factor with multiplicity.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2004-2005 / Le krigeage est une méthode stochastique d'interpolation spatiale qui prévoit la valeur d'un phénomène naturel en des sites non échantillonnés par une combinaison linéaire sans biais et à variance minimale des observations du phénomène en des sites voisins. Ce mémoire se consacre à l'étude de cette méthode. Elle y est d'abord comparée à d'autres méthodes d'interpolation spatiale et ses fondements mathématiques sont examinés. La résolution des équations du krigeage est donc détaillée et commentée. L'analyse variographique, étape préalable au krigeage, est aussi présentée. En plus d'avoir pour objectif l'approfondissement de la théorie du krigeage, ce mémoire vise à expliciter son utilisation. Ainsi, une méthodologie de mise en oeuvre du krigeage est proposée et illustrée. Les performances du krigeage sont ensuite comparées à celle d'autres méthodes, et ce, pour résoudre une problématique d'interpolation spatiale multivariable de données de précipitations dans un cadre de modélisation hydrologique.

Le pseudospectre est un nouvel outil pour étudier les matrices et les opérateurs linéaires. L’outil traditionnel est le spectre. Celui-ci peut révéler des informations sur le comportement des matrices ou operateurs normaux. Cependant, il est moins informatif lorsque la matrice ou l’opérateur est non-normal. Le pseudospectre s’est toutefois révélé être un outil puissant pour les étudier. Il fournit une alternative analytique et graphique pour étudier ce type des cas. Le but de cette thèse est d’étudier le comportement d’une matrice non-normale A en se basant sur le pseudospectre. Il est bien connu que le théorème matriciel de Kreiss donne des estimations des bornes supérieures de [symbol] et [symbol] en fonction du pseudospectre. En 1999, Toh et Trefethen [31] ont généralisé ce célèbre théorème aux polynômes de Faber et aux matrices ayant des spectres dans des domaines plus généraux. En 2005, Vitse [34] a donné une généralisation du théorème aux fonctions holomorphes dans le disque unité. Dans cette thèse, on généralise le théorème matriciel de Kreiss aux fonctions holomorphes et aux matrices ayant des spectres dans des domaines plus généraux. Certaines conditions devraient cependant être vérifiées. L’étude du comportement d’une matrice au cas où la valeur exacte de la norme de la résolvante est connue a été aussi remise en question. Il est bien connu que si A et B sont des matrices à pseudospectres identiques, alors [symbol] Mais, qu’en est-il pour les puissances supérieures [symbol] En 2007, Ransford [21] a montré qu’il existe des matrices [symbol] avec des pseudospectres identiques et où peuvent prendre des valeurs aléatoires et indépendantes les unes des autres pour [symbol]. Serait-il aussi le cas pour n assez grand ? Par ailleurs, le pseudospectre est aussi utilisé pour étudier le semi-groupe [symbol], mais permet-il de déterminer [symbol] ? Cette thèse répond à toutes ces questions en démontrant des résultats plus généraux. Elle généralise l’inégalité (1) aux transformations de Möbius. Elle montre aussi que la condition de pseudospectre identique n’est pas suffisante pour déterminer le comportement d’une matrice. Cependant, la condition de pseudospectre super-identique pourrait l’être. / The theory of pseudospectra is a new tool for studying matrices and linear operators. The traditional tool is the spectrum. It reveals information on the behavior of normal matrices or operators. However, it is less informative as the matrix or the operator are non-normal. Pseudospectra have nevertheless proved to be a powerful tool to study them. They provide an analytical and graphical alternative to study this type of case. The purpose of this thesis is to study the behavior of a non-normal matrix A based on its pseudospectra. It is well known that the Kreiss matrix theorem provides estimates of upper bounds of [symbol] according pseudospectra. In 1999, Toh and Trefethen [31] generalized the celebrated theorem to Faber polynomials and matrices with spectra in more general domains. In 2005, Vitse [34] generalized the theorem for holomorphic functions in the unit disk. In this thesis, the Kreiss matrix theorem is generalized to holomorphic functions and matrices with spectra in more general domains. However, certain conditions should be imposed. The behavior of a matrix if the exact knowledge of the resolvent norm is assumed has also been questioned. It is well known that if A and B are matrices with identical pseudospectra, then [symbol] But what about higher powers [symbol] ? In 2007, Ransford [21] showed that there exist matrices [symbol] with identical pseudospectra and where [symbol] and [symbol] can take more or less arbitrary values for [symbol]. Is it also the case for large n? Moreover, pseudospectra are also used to study the semigroup [symbol], but do they allow us to determine [symbol] ? This thesis addresses all these issues by demonstrating more general results. It generalizes the inequality (2) to Möbius transformations. It also shows that the condition of identical pseudospectra is not sufficient to determine the behavior of a matrix. However, the condition of super-identical pseudospectra could do so.

Dans ce mémoire on s’intéresse à la résolution des équations de Saint-Venant par la méthode des éléments finis. Différents tests sont simulés en utilisant dix paires d’éléments finis. Lorsque les résultats des analyses de dispersion existent, on les a comparés aux résultats des simulations numériques. On présente également une stratégie d’adaptation de maillage appliquée à des problèemes instationnaires. / This work deals with the resolution of the shallow water equations using the finite element method. Different test cases are simulated by employing ten finite element pairs. When the theoretical results of dispersion relation analysis are available, they are compared with the results of numerical simulations. Finally, we expose an adaptative mesh strategy for the solution of evolution problems.

Déterminer le groupe de Galois d’un polynôme rationnel ou encore d’une extension de corps n’est pas, en général, un travail de tout repos s’il est effectué manuellement. La difficulté de ce problème nous amène donc à vouloir automatiser le processus à l’aide d’algorithmes qui prennent le polynôme en entrée et ressortent son groupe de Galois en un temps raisonnable. Le présent mémoire a pour but de mettre la lumière sur deux algorithmes connus tout en présentant les résultats nécessaires pour les comprendre et les reproduire. Le tout est ensemencé d’exemples pour aider à comprendre certaines notions utilisées. Dans un niveau d’ordre un peu différent, nous analysons une particularité du deuxième algorithme, c’est-à-dire la provenance des polynômes à plusieurs variables utilisés lors de la construction de la résolvante du polynôme dont nous voulons trouver le groupe de Galois.

Ce mémoire s’intéresse à l’étude du critère de validation croisée pour le choix des modèles relatifs aux petits domaines. L’étude est limitée aux modèles de petits domaines au niveau des unités. Le modèle de base des petits domaines est introduit par Battese, Harter et Fuller en 1988. C’est un modèle de régression linéaire mixte avec une ordonnée à l’origine aléatoire. Il se compose d’un certain nombre de paramètres : le paramètre β de la partie fixe, la composante aléatoire et les variances relatives à l’erreur résiduelle. Le modèle de Battese et al. est utilisé pour prédire, lors d’une enquête, la moyenne d’une variable d’intérêt y dans chaque petit domaine en utilisant une variable auxiliaire administrative x connue sur toute la population. La méthode d’estimation consiste à utiliser une distribution normale, pour modéliser la composante résiduelle du modèle. La considération d’une dépendance résiduelle générale, c’est-à-dire autre que la loi normale donne une méthodologie plus flexible. Cette généralisation conduit à une nouvelle classe de modèles échangeables. En effet, la généralisation se situe au niveau de la modélisation de la dépendance résiduelle qui peut être soit normale (c’est le cas du modèle de Battese et al.) ou non-normale. L’objectif est de déterminer les paramètres propres aux petits domaines avec le plus de précision possible. Cet enjeu est lié au choix de la bonne dépendance résiduelle à utiliser dans le modèle. Le critère de validation croisée sera étudié à cet effet. / This thesis focuses on the study of a cross-validation criterion for the choice of models for small areas. The study is limited to models of small areas at the unit level. The standard model for this problem has been introduced by Battese, Harter and Fuller in 1988. It is a mixed linear regression model with random intercepts. Its consists of a number of parameters: β a regression parameter for the fixed part, the random component and the variances for the residual error. The model of Battese et al. is used to predict in the average of a study variable y in each small area using an administrative auxiliary variable x known throughout the population. The standard estimation method consists of using a normal distribution for modelling the experimental errors. The consideration of a non normal dependence gives more accurate estimates. This new model might lead to better prediction of the mean of y within small areas. Indeed, the generalization lies in modelling the residual dependency with a non normal exchangeable model. The model selection is an issue and this work investigates crossvalidationas a method to choose a model.

Dans cette thèse, nous donnons des méthodes directes pour calculer l'homologie et la cohomologie simplicielle de quelques algèbres de Banach, sans passer par le monde cyclique. On donne deux méthodes pour l'algèbre d'un semi-groupe semitreillis, chapitres 3 et 4. Ces deux méthodes sont développées, dans les chapitres 5 et 6, pour les semi-groupes bandes. Ainsi, on obtient deux méthodes directes pour déterminer l'homologie et la cohomologie des semi-groupes bandes. Au chapitre 7, on donne une formule explicite d'homotopie de l1(Z+). On termine avec le chapitre 8, qui porte sur l'algèbre d'un semi-groupe de Cuntz, dans lequel on utilise, en particulier, une application inspirée du chapitre 7.

La conjecture de Kadison-Singer traitant de l’existence et de l’unicité d’extension d’état pur de la C*-algèbre des opérateurs diagonaux dans B(H) sur B(H) fut émise en 1959 par Kadison et Singer. Il faut attendre jusqu’en 2013 pour que l’une de ses équivalences soit finalement résolue. La première partie de ce mémoire étudie le lien entre la conjecture et le résultat prouvé via deux autres équivalences. La seconde partie traite en profondeur de la preuve du résultat en passant par plusieurs concepts, tels que les familles entrelacées, la notion de stabilité et le polynôme caractéristique mixte. Enfin, la dernière partie porte sur une équivalence particulière, soit la conjecture de Feichtinger.

L’objectif de ce mémoire est de définir et de développer des notions diverses sur la théorie des fonctions presque périodiques sur la droite réelle, d’utiliser ses propriétés comme outils importants dans la compréhension et la preuve des principaux résultats, soit particulièrement le critère de Bochner, le théorème d’approximation et la relation de Parseval pour ce type de fonction. Nous terminerons par l’étude des séries de Dirichlet pour les fonctions presque périodiques holomorphes dans une bande du plan complexe C.

Au cours de ces dernières années, les techniques d’échantillonnage équilibré ont connu un regain d’intérêt. En effet, ces techniques permettent de reproduire la structure de la population dans des échantillons afin d’améliorer l’efficacité des estimations. La reproduction de cette structure est effectuée par l’introduction des contraintes aux plans de sondage. Encore récemment, des nouvelles procédures d’échantillonnage équilibré ont été proposées. Il s’agit notamment de la méthode du cube présentée par Deville et Tillé (2004) et de l’algorithme réjectif de Fuller (2009). Alors que la première est une méthode exacte de sélection, la seconde est une approche approximative qui admet une certaine tolérance dans la sélection. Alors, après une brève présentation de ces deux méthodes dans le cadre d’un inventaire de pêcheurs, nous comparons à l’aide de simulations Monte Carlo, les plans de sondage produits par ces deux méthodes. Aussi, cela a été l’occasion pour nous de vérifier si ces méthodes modifient les probabilités de sélection des unités. / In recent years, balanced sampling techniques have experienced a renewed interest. They allow to reproduce the structure of the population in samples in order to improve the efficiency of survey estimates. New procedures have been proposed. These include the cube method, an exact method presented by Deville and Tillé (2004), and an approximate method, the Fuller (2009) rejective algorithm. After a brief presentation of these methods as part of an angler survey, we compare using Monte Carlo simulations, the survey designs produced by these two sampling algorithms. We also use this as an opportunity to check whether these methods modify the inclusion probabilities.