Le présent document porte sur les facteurs premiers se situant entre le plus petit et le plus grand, appelés les facteurs premiers milieux, ou encore les facteurs premiers β-positionnés. Il s'agit d'une version plus élaborée d'articles publiés ou en phase de publication. Le premier chapitre présente les notions préalables à la bonne compréhension de cet ouvrage. S'y retrouvent entre autres les notations utilisées tout au long du texte, qu'elles soient des notations de fonctions arithmétiques ou encore des notations asymptotiques. Certains résultats classiques de théorie des nombres, tels que la formule de sommation d'Abel, la formule de Mertens et les séries de Dirichlet, de même qu'une introduction à la théorie de l'équirépartition modulo 1, y sont également mentionnés. Le second chapitre porte sur des problèmes d'estimation de sommes ou de séries sur des entiers qui ont un nombre prédéterminé de facteurs premiers, que la multiplicité soit comptée ou non, mais qui possèdent également d'autres propriétés. Celles-ci portent sur la taille des facteurs premiers, et c'est pourquoi il est question d'entiers friables ainsi que d'entiers sans petits facteurs premiers. Dans le cas des entiers friables, l'un des résultats présentés est dû à Erdõs et Tenenbaum et a été démontré par la méthode du col. En ce qui a trait aux entiers sans petits facteurs premiers, les résultats énoncés sont ceux d'Alladi obtenus par la méthode de Selberg-Delange. Le troisième chapitre porte sur le premier résultat principal de ce document. Il s'agit de l'étude du comportement asymptotique du facteur premier β-positionné, plus particulièrement l'obtention d'une estimation pour la somme sur la réciproque de ce facteur premier. L'idée générale est de généraliser et d'améliorer la démarche utilisée précédemment par De Koninck et Luca dans le cas du facteur premier milieu grâce aux résultats d'Alladi, d'Erdõs et Tenenbaum présentés au deuxième chapitre. Un résultat en phase de publication, portant sur la distribution du facteur premier β-positionné, clos le chapitre. Le quatrième chapitre, quant à lui, présente le second résultat principal, à savoir l'étude asymptotique ainsi que l'obtention d'une estimation pour la somme sur la réciproque du facteur premier β-positionné dans le cas où la multiplicité de chacun des facteurs premiers est prise en considération. Bien que l'idée initiale soit similaire à celle du précédent chapitre, la résolution de ce problème est bien différente et permet d'obtenir une estimation beaucoup plus précise. Le chapitre se termine par la présentation d'une amélioration de cette méthode dans le cas de l'étude du comportement asymptotique de la somme sur la réciproque du facteur premier milieu avec multiplicité. / The aim of this thesis is the study of some sums of the prime factors that are between the smallest and the largest ones, called the middle prime factors. In particular, this is an extended version of published and prepublished articles on this subject. The first chapter develops all the preliminary notions necessary for the good understanding of this document. In particular, arithmetic and asymptotic notations are established. Moreover, some classical analytic number theory results, such as the Abel summation formula, Mertens' formula and Dirichlet series, and an introduction to the theory of uniform distribution mod 1 are mentioned. The second chapter is about some problems on the asymptotic behavior of sums and series of integers that have a given number of prime factors, with or without multiplicity, and that have other properties concerning their smallest and biggest prime factors. In the case of smooth numbers, one of the result was obtained by Erdõs and Tenenbaum by the use of the saddle-point method. For the integers without small prime factors, the results were obtained by Alladi by the use of the Selberg-Delange method. The third chapter exposes the first main result of this thesis, namely the study of the asymptotic behavior of the sum of the reciprocals of the β-positioned prime factors of the integers n ≤ x. The proofs improve and generalize previous work of De Koninck and Luca about the middle prime factor. This was possible by the use of Alladi's and Erdõs and Tenenbaum's results which are given in the second chapter. This third chapter ends with the study of the distribution of the β-positioned prime factor. The fourth chapter presents the second main result, which is about the study of the asymptotic behavior of the sum of the reciprocals of the β-positioned prime factors with multiplicity of the integers n ≤ x. The methods used are different from those in the third chapter and allow for much more precise estimates. Moreover, this chapter ends by showing that the proof can be improved in the case of the middle prime factor with multiplicity.

Le pseudospectre est un nouvel outil pour étudier les matrices et les opérateurs linéaires. L’outil traditionnel est le spectre. Celui-ci peut révéler des informations sur le comportement des matrices ou operateurs normaux. Cependant, il est moins informatif lorsque la matrice ou l’opérateur est non-normal. Le pseudospectre s’est toutefois révélé être un outil puissant pour les étudier. Il fournit une alternative analytique et graphique pour étudier ce type des cas. Le but de cette thèse est d’étudier le comportement d’une matrice non-normale A en se basant sur le pseudospectre. Il est bien connu que le théorème matriciel de Kreiss donne des estimations des bornes supérieures de [symbol] et [symbol] en fonction du pseudospectre. En 1999, Toh et Trefethen [31] ont généralisé ce célèbre théorème aux polynômes de Faber et aux matrices ayant des spectres dans des domaines plus généraux. En 2005, Vitse [34] a donné une généralisation du théorème aux fonctions holomorphes dans le disque unité. Dans cette thèse, on généralise le théorème matriciel de Kreiss aux fonctions holomorphes et aux matrices ayant des spectres dans des domaines plus généraux. Certaines conditions devraient cependant être vérifiées. L’étude du comportement d’une matrice au cas où la valeur exacte de la norme de la résolvante est connue a été aussi remise en question. Il est bien connu que si A et B sont des matrices à pseudospectres identiques, alors [symbol] Mais, qu’en est-il pour les puissances supérieures [symbol] En 2007, Ransford [21] a montré qu’il existe des matrices [symbol] avec des pseudospectres identiques et où peuvent prendre des valeurs aléatoires et indépendantes les unes des autres pour [symbol]. Serait-il aussi le cas pour n assez grand ? Par ailleurs, le pseudospectre est aussi utilisé pour étudier le semi-groupe [symbol], mais permet-il de déterminer [symbol] ? Cette thèse répond à toutes ces questions en démontrant des résultats plus généraux. Elle généralise l’inégalité (1) aux transformations de Möbius. Elle montre aussi que la condition de pseudospectre identique n’est pas suffisante pour déterminer le comportement d’une matrice. Cependant, la condition de pseudospectre super-identique pourrait l’être. / The theory of pseudospectra is a new tool for studying matrices and linear operators. The traditional tool is the spectrum. It reveals information on the behavior of normal matrices or operators. However, it is less informative as the matrix or the operator are non-normal. Pseudospectra have nevertheless proved to be a powerful tool to study them. They provide an analytical and graphical alternative to study this type of case. The purpose of this thesis is to study the behavior of a non-normal matrix A based on its pseudospectra. It is well known that the Kreiss matrix theorem provides estimates of upper bounds of [symbol] according pseudospectra. In 1999, Toh and Trefethen [31] generalized the celebrated theorem to Faber polynomials and matrices with spectra in more general domains. In 2005, Vitse [34] generalized the theorem for holomorphic functions in the unit disk. In this thesis, the Kreiss matrix theorem is generalized to holomorphic functions and matrices with spectra in more general domains. However, certain conditions should be imposed. The behavior of a matrix if the exact knowledge of the resolvent norm is assumed has also been questioned. It is well known that if A and B are matrices with identical pseudospectra, then [symbol] But what about higher powers [symbol] ? In 2007, Ransford [21] showed that there exist matrices [symbol] with identical pseudospectra and where [symbol] and [symbol] can take more or less arbitrary values for [symbol]. Is it also the case for large n? Moreover, pseudospectra are also used to study the semigroup [symbol], but do they allow us to determine [symbol] ? This thesis addresses all these issues by demonstrating more general results. It generalizes the inequality (2) to Möbius transformations. It also shows that the condition of identical pseudospectra is not sufficient to determine the behavior of a matrix. However, the condition of super-identical pseudospectra could do so.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2004-2005 / Le krigeage est une méthode stochastique d'interpolation spatiale qui prévoit la valeur d'un phénomène naturel en des sites non échantillonnés par une combinaison linéaire sans biais et à variance minimale des observations du phénomène en des sites voisins. Ce mémoire se consacre à l'étude de cette méthode. Elle y est d'abord comparée à d'autres méthodes d'interpolation spatiale et ses fondements mathématiques sont examinés. La résolution des équations du krigeage est donc détaillée et commentée. L'analyse variographique, étape préalable au krigeage, est aussi présentée. En plus d'avoir pour objectif l'approfondissement de la théorie du krigeage, ce mémoire vise à expliciter son utilisation. Ainsi, une méthodologie de mise en oeuvre du krigeage est proposée et illustrée. Les performances du krigeage sont ensuite comparées à celle d'autres méthodes, et ce, pour résoudre une problématique d'interpolation spatiale multivariable de données de précipitations dans un cadre de modélisation hydrologique.

Dans cette thèse nous nous intéressons à la mesure de dépendance sous des modèles de copules. Nous y traitons trois problèmes : la mesure d’association dans le cas bidimensionnel en présence de seuils de détection, la mesure d’association pour des données en grappes et la mesure d’association pour des données hiérarchiques. Le premier problème, indépendant des deux autres, concerne la mesure d’association entre deux variables sujettes à une censure à gauche fixe due à l’existence de seuils de détection. Nous définissons une version conditionnelle du tau de Kendall permettant de mesurer l’association entre de telles variables. Nous en proposons un estimateur non paramétrique et en étudions les propriétés asymptotiques. Nous supposons, ensuite, un modèle de copule Archimédienne et en déduisons un estimateur pour le tau de Kendall global. Un test d’ajustement de copules à ce type de données est développé. Le deuxième problème traite de la mesure d’association dans un cadre multidimensionnel pour des données en grappes telles que les observations à l’intérieur de chaque groupe sont échangeables. Pour cela, nous introduisons le tau de Kendall échangeable comme une mesure d’association intra-classe et présentons un estimateur non paramétrique pour cette mesure. Ses propriétés asymptotiques sont étudiées sous un modèle de copules multidimensionnelles caractérisées par une propriété appelée échangeabilité. Nous en déduisons un estimateur du coefficient de corrélation intra-classe pour des données provenant d’une distribution elliptique. Nous dérivons ses propriétés asymptotiques sous un modèle ANOVA généralisé à un facteur. Enfin, nous développons un test d’indépendence basé sur le tau de Kendall. Le troisième problème est une extension du deuxième au cas de données hiérarchiques avec des sous-groupes imbriqués dans des groupes, dans le cas où les unités à l’intérieur de chaque sous-groupe sont échangeables et où les sous-groupes appartenant à un même groupe sont, eux mêmes, échangeables. Nous définissons alors deux mesures d’association basées sur le tau de Kendall échangeable et en proposons des estimateurs non paramétriques. Nous étudions les propriétés asymptotiques de ces estimateurs sous des modèles de copules hiérarchiques vérifiant certaines propriétés d’échangeabilité partielle. Pour les données provenant de copules meta-elliptiques hiérarchiques, nous déduisons des estimateurs pour les coefficients de corrélation intra-classe associés aux groupes et aux sous-groupes respectivement. Nous développons, enfin, des procédures de tests pour les effets de groupes et de sous-groupes. / In this thesis we are interested in measuring the dependence under copula models. We deal with three problems: the measure of association in the bivariate case in the presence of lower detection limits, the measure of association for clustered data and the measure of association for two-level hierarchical data. The first problem, independent of the other two, deals with the measure of association between two variables subject to fixed left censoring due to the presence of lower detection limits. We define a conditional version of Kendall’s tau to measure the association between such variables. We provide a nonparametric estimator of this measure and study its asymptotic properties. We then assume an Archimedean copula model and deduce an estimator for the copula’s Kendall’s tau. A goodness-of-fit test for the assumed copula is developed. The second problem deals with the measure of intra-class association for clustered data such that observations within each group are exchangeable. For this, we introduce an exchangeable version of Kendall’s tau as a measure of intra-class dependance and provide a nonparametric estimator for this measure. Its asymptotic properties are investigated under a multivariate exchangeable copula model. We derive an estimator of the intra-class correlation coefficient for data drawn from an elliptical distribution. The asymptotic properties of this estimator are investigated under a generalized oneway ANOVA model. Finally, we develop an intra-class independence test based on Kendall’s tau. The third problem is an extension of the second to the case of hierarchical data with a set of subgroups nested into groups, such that the units within each subgroup are exchangeable and the subgroups belonging to the same group are themselves exchangeable. We define two association measures based on the exchangeable Kendall’s tau and propose nonparametric estimators for these measures. We investigate their asymptotic properties under hierarchical copula models satisfying some properties of partial exchangeability. For data drawn from meta-elliptical hierarchical copulas we deduce estimators for the intra-class correlation coefficients associated to groups and subgroups respectively. We also develop procedures for testing the effects of groups and subgroups.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2015-2016 / La formule de Schwarz–Christoffel permet de trouver une transformation conforme entre un domaine polygonal et un disque. Par contre, cette formule ne s’applique qu’aux domaines simplement connexes. Récemment, Darren Crowdy a obtenu une généralisation de cette formule pour les domaines multiplement connexes. Celle-ci envoie des domaines circulaires sur des domaines polygonaux. Ce mémoire vise à faire la démonstration de la formule développée par Crowdy. Pour ce faire, il faudra définir la fonction de Schottky–Klein ainsi que la fonction de Green modifiée. Il faudra aussi introduire les domaines canoniques.

La conjecture de Kadison-Singer traitant de l’existence et de l’unicité d’extension d’état pur de la C*-algèbre des opérateurs diagonaux dans B(H) sur B(H) fut émise en 1959 par Kadison et Singer. Il faut attendre jusqu’en 2013 pour que l’une de ses équivalences soit finalement résolue. La première partie de ce mémoire étudie le lien entre la conjecture et le résultat prouvé via deux autres équivalences. La seconde partie traite en profondeur de la preuve du résultat en passant par plusieurs concepts, tels que les familles entrelacées, la notion de stabilité et le polynôme caractéristique mixte. Enfin, la dernière partie porte sur une équivalence particulière, soit la conjecture de Feichtinger.

Les méthodes de type mortier, introduites en 1987 par Bernardi, Maday et Patera, font partie de la grande famille des méthodes par décomposition de domaine. Combinées à la méthode des éléments finis, elles consistent à construire une discrétisation non conforme des espaces fonctionnels du ou des problèmes étudiés. Les trente dernières années de recherche portant sur ces méthodes ont permis d'acquérir des connaissances solides tant au point de vue théorique que pratique. Aujourd'hui, elles sont naturellement utilisées pour résoudre des problèmes d'une grande complexité. Comme applications, nous pouvons simplement penser à des problèmes de contact entre divers solides, à des problèmes d'interaction fluide-structure ou à des problèmes impliquant des mécanismes en mouvement tel des engrenages ou des alternateurs. Cette thèse de doctorat a pour objectif d'expliquer en détail la construction des méthodes de type mortier et de développer des algorithmes adaptés à la résolution des systèmes ainsi créés. Nous avons décidé d'employer l'algorithme du GCR (Generalized Conjugate Residual method) comme solveur de base pour nos calculs. Nous appliquons d'abord une factorisation du système linéaire global grâce à son écriture naturelle en sous-blocs. Cette factorisation génère un système utilisant un complément de Schur qu'il faut résoudre. C'est sur ce sous-système que nous employons l'algorithme du GCR. Le complément de Schur est préconditionné par une matrice masse redimensionnée, mais il est nécessaire de modifier l'algorithme du GCR pour obtenir des résultats théoriques intéressants. Nous montrons que la convergence de ce solveur modifié est indépendante du nombre de sous-domaines impliqués ainsi que de ses diverses composantes physiques. Nous montrons de plus que le solveur ne dépend que légèrement de la taille des éléments d'interface. Nous proposons une solution élégante dans le cas de sous-domaines dits flottants. Cette solution ne requiert pas la modification du solveur décrit plus haut. Des tests numériques ont été effectués pour montrer l'efficacité de la méthode du GCR modifiée dans divers cas. Par exemple, nous étudions des problèmes possédant plusieurs échelles au niveau de la discrétisation et des paramètres physiques. Nous montrons aussi que ce solveur a une accélération importante lorsqu'il est employé en parallèle. / The mortar methods, introduced in 1987 by Bernadi, Maday and Patera, are part of the large family of domain decomposition methods. Combined to the finite element method, they consist in constructing a nonconforming discretization of the functional space of the problem under consideration. The last thirty years of research about these methods has provided a solid knowledge from a theoretical and practical point of view. Today, they are naturally used to solve problems of great complexity such as contact problems between deformable solids, fluid-structure interaction problems or moving mechanisms problems like gears and alternators. The aim of this thesis is to explain in details the principles of mortar methods and to develop adapted algorithms to solve the generated linear systems. We use the GCR algorithm (Generalized Conjugate Residual method) as our basic solver in our computations. We first apply a factorization of the global linear system using the natural sub-block structure of the matrix. This factorization generates a system using a Schur complement. It is on this sub-system that we use the GCR algorithm. The Schur complement is preconditioned by a rescaled mass matrix, but it is necessary to slightly modify the GCR algorithm to obtain theorical results. We show that the convergence of this modified solver is independent of the number of subdomains involved and of the diverse physical parameters. We also show that the solver slightly depends on the size of the interface mesh. We present a strategy to take care of the so called floating subdomains. The proposed solution does not require any modification to the solver. Numerical tests have been performed to show the efficiency of the modified GCR method in various cases. We consider problems with several discretization and physical parameter scales. We finally show that the solver presents an important speedup in parallel implementation.

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à la structure multiplicative des nombres entiers par le biais des deux fonctions arithmétiques sqk(n) :=Ypjjn<kp et powk(n) :=Ypjjnkp; nommées respectivement la partie k-libre de n et la partie k-puissante de n. DXans le premier chapitre, nous évaluons le comportement asymptotique de la sommation nx sqa k(n)powbk (n) pour k 2 fixé et avec différentes valeurs réelles de a et b. Nous obtenons par exemple que X nx sqk(n) = C(k)x2 + O x1+ 1 k tandis que X nx powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O x1+ 1 k+1 , d'où nous pouvons conclure que la partie k-libre est fréquemment plus grande que la partie k-puissante. De plus, l'ordre de grandeur de la somme dépend généralement du maximum entre a et b. Dans le deuxième chapitre, nous obtenons divers résultats en lien avec les deux fonctions sqk(n) et powk(n) lorsque k = 2. Nous touchons en particulier à la distribution de leurs valeurs, à la densité des nombres satisfaisant pow2(n) > sq2(n), ainsi qu'à la valeur moyenne asymptotique de ces deux fonctions sur les nombres n'ayant aucun facteur premier plus grand que y, et ce pour différents ordres de grandeur de y. D'ailleurs, nous montrons que l'égalité log 0 BBBBB@ X nx P(n)y sq2(n) x 1 CCCCCA = (1 + o(1)) log 0 BBBBB@ X nx P(n)y pow2(n) x 1 CCCCCA est valide uniquement lorsque y = 2 log x auquel cas nous obtenons que ces expressions sont égales à (1 + o(1)) 2 log 2 log x log log x lorsque x ! 1: Finalement, dans le troisième et dernier chapitre, nous généralisons les résultats du chapitre précédent aux valeurs de k supérieures à 2. / In this thesis, we study the multiplicative structure of integers by using the two arithmetical functions sqk(n) := Y pjjn <k p and powk(n) := Y pjjn k p; named respectively the k-free part of n and the k-full part of n. In the first chapter, we evaluate the asymptotic behavior of the summation X nx sqa k(n)powbk (n) for k 2 fixed and for different real values of a and b. For example, we obtain that X nx sqk(n) = C(k)x2 + O x1+ 1 k while X nx powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O x1+ 1 k+1 , which means the k-free part is frequently greater than the k-full part. Furthermore, the order of magnitude of the sum generally depends on the maximum between a and b. In the second chapter, we get various results related to the functions sqk(n) and powk(n) when k = 2. We study in particular the distribution of their values, the density of numbers satisfying pow2(n) > sq2(n), and also the asymptotic mean value of those two functions on the numbers without any prime factor greater than y, and for different values of y. In fact, we show that the equality log 0 BBBBB@ X nx P(n)y sq2(n) x 1 CCCCCA = (1 + o(1)) log 0 BBBBB@ X nx P(n)y pow2(n) x 1 CCCCCA holds only for y = 2 log x. And for this value of y, those expressions are in fact equal to (1 + o(1)) 2 log 2 log x log log x as x ! 1: Finally, in the third and last chapter, we generalize the results of the previous chapter to k greater than 2.

Étant donné des paires de variables aléatoires dont les valeurs ont été dichotomisées, le coefficient de corrélation tétrachorique approxime la corrélation de Pearson sous l'hypothèse que la loi conjointe des observations est gaussienne. Pour vérifier la nécessité de cette hypothèse, Gréer et al. (2003) ont étudié la robustesse du coefficient tétrachorique en supposant que la structure de dépendance des observations est normale mais que leurs marges ne le sont pas. Ce mémoire complète ces travaux en proposant une évaluation de plusieurs approximations du coefficient tétrachorique dans le cas où les lois marginales des variables sont normales mais leur structure de dépendance n'est pas gaussienne. Le biais et l'erreur quadratique moyenne de ces estimations sont mesurés par voie de simulation sous différents modèles de copules.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2010-2011 / Dans la première partie, nous étudions le comportement au bord des fonctions dans les espaces de Dirichlet pondérés D(u). Une fonction analytique f sur le disque unité appartient à D(u) si le carré du module de sa dérivée est integrable par rapport à la mesure Pu dA, où Pu est l'intégrale de Poisson de la mesure positive u et dA est la mesure d'aire sur le disque unité. Pour étudier ces fonctions, nous introduisons une capacité cu qui généralise la capacité logarithmique. Nous prouvons que cu est une capacité au sens de Choquet. Nous montrons que les fonctions de D(u) sont quasi-continues par rapport à la capacité cu, permettant de définir une fonction f(ei0) sur le cercle unité à un ensemble de cu capacité nulle près. À l'aide de cette fonction, nous pouvons étudier les sous-espaces invariants pour l'opérateur shift sur D(u). Dans le cas où u est une somme finie de mesures de Dirac, nous donnons une description complète des sous-espaces invariants. Dans la deuxième partie, nous étudions les espaces de de Branges-Rovnyak H(b) lorsque b est un point non extrême de la boule unité de H°°. Lorsque u est une mesure de Dirac, l'espace D(u) coïncide avec un tel espace, avec égalité des normes. Nous prouvons que c'est le seul cas possible. Nous étudions ensuite la relation qui existe entre les espaces de Dirichlet et les espaces de de Branges-Rovnyak. Nous prouvons une formule de transfert permettant d'exprimer la norme dans 1i(b) comme une intégrale de Dirichlet. Nous montrons aussi une formule pour la norme dans H (b) analogue à une formule donnée par Shimorin pour l'intégrale de Dirichlet locale. Finalement, nous étudions la validité de l'approximation fr(z) = f(rz) ?¿ f(z) lorsque r ?¿ 1- dans H(b).