The topic of the diploma thesis is symplectic spinor geometry. Its re- search was started by D. Shale, B. Kostant and K. Habermann. We focus our attention to one of the so called symplectic twistor operators introduced by S. Kr'ysl. We investigate the action of this operator on real even dimensio- nal vector spaces considered as symplectic manifold, its invariance properties and regularity. We describe a part of the kernel of the symplectic twistor operator when acting on symplectic spinors on R2. The kernel forms a repre- sentation of the so called metaplectic group (double cover of the symplectic group). 1

Cette thèse est consacrée à l'étude des algèbres de Hecke carquois et de certaines généralisations des algèbres d'Iwahori-Hecke. Dans un premier temps, nous montrons deux résultats concernant les algèbres de Hecke carquois, dans le cas où le carquois possède plusieurs composantes connexes puis lorsqu'il possède un automorphisme d'ordre fini. Ensuite, nous rappelons un isomorphisme de Brundan-Kleshchev et Rouquier entre algèbres d'Ariki-Koike et certaines algèbres de Hecke carquois cyclotomiques. D'une part nous en déduisons qu'une équivalence de Morita importante bien connue entre algèbres d'Ariki-Koike provient d'un isomorphisme, d'autre part nous donnons une présentation de type Hecke carquois cyclotomique pour l'algèbre de Hecke de G(r,p,n). Nous généralisons aussi l'isomorphisme de Brundan-Kleshchev pour montrer que les algèbres de Yokonuma-Hecke cyclotomiques sont des cas particuliers d'algèbres de Hecke carquois cyclotomiques. Finalement, nous nous intéressons à un problème de combinatoire algébrique, relié à la théorie des représentations des algèbres d'Ariki-Koike. En utilisant la représentation des partitions sous forme d'abaque et en résolvant, via un théorème d'existence de matrices binaires, un problème d'optimisation convexe sous contraintes à variables entières, nous montrons qu'un multi-ensemble de résidus qui est bégayant provient nécessairement d'une multi-partition bégayante. / This thesis is devoted to the study of quiver Hecke algebras and some generalisations of Iwahori-Hecke algebras. We begin with two results concerning quiver Hecke algebras, first when the quiver has several connected components and second when the quiver has an automorphism of finite order. We then recall an isomorphism of Brundan-Kleshchev and Rouquier between Ariki-Koike algebras and certain cyclotomic quiver Hecke algebras. From this, on the one hand we deduce that a well-known important Morita equivalence between Ariki--Koike algebras comes from an isomorphism, on the other hand we give a cyclotomic quiver Hecke-like presentation for the Hecke algebra of type G(r,p,n). We also generalise the isomorphism of Brundan-Kleshchev to prove that cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras are particular cases of cyclotomic quiver Hecke algebras. Finally, we study a problem of algebraic combinatorics, related to the representation theory of Ariki-Koike algebras. Using the abacus representation of partitions and solving, via an existence theorem for binary matrices, a constrained optimisation problem with integer variables, we prove that a stuttering multiset of residues necessarily comes from a stuttering multipartition.

Women are generally underrepresented in media and have historically been degraded to stereotypical roles in media content. Sweden is a country that has actively worked with equality between the genders since the 1970s. The country's progress in equality piqued the scientists interest in the extent of gender stereotypes in Swedish media content. This study examines whether there is a gender based variation in the framing of individuals in said content. The aim is to map the extent to which these gender stereotypes shape the communication in the images of 238 Swedish companies on their “about us”-pages. The images are analyzed to determine how individuals are portrayed based on their perceived gender. The study has a theoretical foundation in gender theory, representation theory, Roland Barthes mythologies and framing theory. These 4 theories form the basis for both the quantitative and the qualitative analyses in the paper. The content analysis applies mixed methods, consisting of a quantitative and qualitative component. The census method formed the basis for the quantitative part, whereas the study’s criteria limited a list of companies with an annual revenue of over 500 million SEK. The sampling method for the qualitative part is a systematic random sampling. The analytical tools that are used for the qualitative analysis includes theories about colors and non-verbal communication, along with semiotic concepts such as connotation, denotation and anchoring. Despite Sweden actively addressing gender equality issues, the study’s results indicated that Swedish company websites to some extent depict women and men differently, even though the numerical representation is equal. Some companies seem to reinforce gender stereotypes while others challenge them. Companies’ visual communication generally portrayed women as more accommodating, affirming the camera with a smile. Men, on the other hand, were generally depicted as more distant and reserved, with a more averted gaze than the women. The findings suggest that people’s perception of gender stereotypes and gender can be influenced by the websites they consume, potentially impacting how gender stereotypes are reinforced or challenged in society.

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Invariants topologiques quantiques non semi-simples. La théorie des nœuds (courbes simples plongées dans R³, à déformation continue près) se développe au début du XXième siècle avec notamment les travaux d'Alexander et de Reidemeister. Elle a connu un tournant avec la topologie quantique née en 1984 par la découverte par Vaughan Jones d'une manière d'associer à chaque nœuds un polynôme. Vladimir Turaev et Nicolai Reshetikhin interprètent et généralisent ce procédé en terme de représentations des groupes quantiques. Aujourd'hui encore, la compréhension géométrique de ces invariants est ténue. Toujours dans les années 80, Edward Witten donne une interprètation physique du polynôme de Jones et suggère une généralisation aux variétés de dimension trois. Vladimir Turaev avec Nicolai Reshetikhin puis avec Oleg Viro réalise rigoureusement ces invariants nouveaux pour les variétés de dimension trois. Dans de nombreux cas, ces constructions s'avèrent triviales. Ceci est lié à la présence de représentations des groupes quantiques qui ne sont pas semi-simples. Mes travaux, en collaboration avec Nathan Geer, Vladimir Turaev, Francesco Costantino et Alexis Virelizier ont consisté, pour une grande part, à modifier les constructions précédentes pour définir des invariants non triviaux dans ce cadre non semi-simple. Ces travaux m'ont amené a développer, avec Nathan Geer et Jonathan Kujawa, des techniques algébriques qui présentent un intérêt propre en théorie des représentations. Relier les constructions de la topologie quantique et les invariants d'origine plus géométriques constitue un vrai challenge des mathématiques modernes pour lequel les invariants non semi-simples que j'ai définis offrent un point de vue prometteur.

Dans cette thèse on s'intéresse à la correspondance de Howe géométrique pour les paires duales réductives de type II (G = GL_n, H = GL_m) sur un corps local non-Archimédien F de caractéristique différente de 2, ainsi qu'à la fonctorialité de Langlands géométrique au niveau Iwahori. Notons S la représentation de Weil de G(F) × H(F) et I_H, I_G des sous groupes d'Iwahori de H(F) et G(F). On considère la version géométrique de la représentation S^(I_G×I_H) des algèbres de Hecke-Iwahori H_H et H_G sur laquelle agissent les foncteurs de Hecke. On obtient des résultats partiels sur la description géométrique de la catégorie correspondante. Nous proposons une conjecture décrivant le groupe de Grothendieck de cette catégorie comme module sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H. Notre description est en termes d'un champ attaché aux groupes de Langlands duaux dans le style de l'isomorphisme de Kazhdan-Lusztig. On démontre cette conjecture pour toutes les paires (GL_1, GL_m). Plus généralement, étant donné deux groupes réductifs connexes G et H et un morphisme \check{G}× SL_2 \to \check{H} de groupes de Langlands duaux, on suggère un bimodule sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H qui pourrait conjecturalement réaliser la fonctorialité de Langlands géométrique locale au niveau Iwahori.

Dominerande kroppsideal är föränderliga över tid och kopplas till samhällets normer, attityder och kultur. Det ideal som dominerats längst är det kvinnliga smalhetsidealet och det manliga muskulösa kroppsidealet. Idag sprids bilden av den ”perfekta” kroppen snabbare än någonsin tidigare och genom media nås allt fler. Ungdomar är en särskilt känslig målgrupp för exponeringen av kroppsideal. Det åtråvärda kroppsidealen är idag kopplade till en ökad psykisk ohälsa bland ungdomar där symtomen är bland annat; depression, ångest och ätstörningar. Som ett resultat av en förändrad attityd i samhället har ett nytt fenomen blivit allt vanligare. Fenomenet är bilder som visar upp kroppar som varierar i storlek och utseende. Även några företag har börjat använda sig av denna nya företeelse, för att göra upp med ouppnåeliga kroppsideal. Syftet med studien har varit att undersöka gymnasieelevers åsikter om det nya fenomenet, för att undersöka om det möjligen kan användas som en hälsofrämjande insatts. En nätbaserad enkätstudie genomfördes där 28 gymnasieelever svarade. Resultatet visade att majoriteten av svarspersonerna hade en positiv attityd till bilder av ”vardagliga kroppar”. Studien visade slutligen att media kan användas som arena för att sända ut hälsofrämjande budskap. Resultatet visade även vikten av att avsändarna för budskapet kodar budskapet meningsfullt och presenterar det på ett sådant sätt så att målgruppen kan ta till sig budskapet. / Dominating body ideal is changing over time and are related to community’s norms, attitudes and culture. The ideal that dominated longest for females is slenderness ideal and for the males, the muscular body ideal. Today spreads the image of the "perfect" body faster than ever before and through the media reaches out to more people. Young adolescents are a particularly vulnerable target group for the exposure of dominating body ideal. The normative body ideals is now linked to the increasing of mental illness among young people whose symptoms include; depression, anxiety and eating disorders. As a result of a change of attitude in society, a new phenomenon has become gradually common. The phenomenon is pictures that shows up bodies that varies in size and appearance. Although some companies have begun to make use of this new phenomenon, to make up with unattainable body ideals. The aim of the study was to explore high school students' opinions about the new phenomenon, to investigate whether it can possibly be used as a health-insert. A web-based questionnaire study was conducted in which 28 high school students responded. The results showed that the majority of the respondents had a positive attitude to images of "everyday bodies." The study last showed that the media can be used as an arena to send out health promotion messages. The result also showed the importance of the senders of the message encodes the message meaningful and presents it in a way so that the intended audience can understand the health message.

La quantification par déformation et la correspondance de McKay forment les grands thèmes de l'étude qui porte sur des variétés algébriques singulières, des quotients d'algèbres de polynômes et des algèbres de polynômes invariants sous l'action d'un groupe fini. Nos principaux outils sont les cohomologies de Poisson et de Hochschild et la théorie des représentations. Certains calculs formels sont effectués avec Maple et GAP. Nous calculons les espaces d'homologie et de cohomologie de Hochschild des surfaces de Klein, en développant une généralisation du Théorème de HKR au cas de variétés non lisses et utilisons la division multivariée et les bases de Gröbner. La clôture de l'orbite nilpotente minimale d'une algèbre de Lie simple est une variété algébrique singulière sur laquelle nous construisons des star-produits invariants, grâce à la décomposition BGS de l'homologie et de la cohomologie de Hochschild, et à des résultats sur les invariants des groupes classiques. Nous explicitons les générateurs de l'idéal de Joseph associé à cette orbite et calculons les caractères infinitésimaux. Pour les algèbres de Lie simples B, C, D, nous établissons des résultats généraux sur l'espace d'homologie de Poisson en degré 0 de l'algèbre des invariants, qui vont dans le sens de la conjecture d'Alev et traitons les rangs 2 et 3. Nous calculons des séries de Poincaré à 2 variables pour des sous-groupes finis du groupe spécial linéaire en dimension 3, montrons que ce sont des fractions rationnelles, et associons aux sous-groupes une matrice de Cartan généralisée pour obtenir une correspondance de McKay algébrique en dimension 3. Toute l'étude a donné lieu à 4 articles / Deformation quantization and McKay correspondence form the main themes of the study which deals with singular algebraic varieties, quotients of polynomial algebras, and polynomial algebras invariant under the action of a finite group. Our main tools are Poisson and Hochschild cohomologies and representation theory. Certain calculations are made with Maple and GAP. We calculate Hochschild homology and cohomology spaces of Klein surfaces by developing a generalization of HKR theorem in the case of non-smooth varieties and use the multivariate division and the Groebner bases. The closure of the minimal nilpotent orbit of a simple Lie algebra is a singular algebraic variety : on this one we construct invariant star-products, with the help of the BGS decomposition of Hochschild homology and cohomology, and of results on the invariants of the classical groups. We give the generators of the Joseph ideal associated to this orbit and calculate the infinitesimal characters. For simple Lie algebras of type B, C, D, we establish general results on the Poisson homology space in degree 0 of the invariant algebra, which support Alev's conjecture, then we are interested in the ranks 2 and 3. We compute Poincaré series of 2 variables for the finite subgroups of the special linear group in dimension 3, show that they are rational fractions, and associate to the subgroups a generalized Cartan matrix in order to obtain a McKay correspondence in dimension 3. All the study comes from 4 papers