Nous proposons dans ce mémoire de thèse une méthodologie permettant la résolution du problème de la décomposition de Hodge-Helmholtz discrète sur maillages polyédriques. Le défi de ce travail consiste à respecter les propriétés de la décomposition au niveau discret. Pour répondre à cet objectif, nous menons une étude bibliographique nous permettant d'identifier la nécessité de la mise en oeuvre de schémas numériques mimétiques. La description ainsi que la validation de la mise en oeuvre de ces schémas sont présentées dans ce mémoire. Nous revisitons et améliorons les méthodes de décomposition que nous étudions ensuite au travers d'expériences numériques. En particulier, nous détaillons le choix d'un solveur linéaire ainsi que la convergence des quantités extraites sur un ensemble varié de maillages polyédriques et de conditions aux limites. Nous appliquons finalement la décomposition de Hodge-Helmholtz à l'étude de deux écoulements turbulents : un écoulement en canal plan et un écoulement turbulent homogène isotrope. / We propose in this thesis a methodology to compute the Helmholtz-Hodge decomposition on discrete polyhedral meshes. The challenge of this work isto preserve the properties of the decomposition at the discrete level. In our literature survey, we have identified the need of mimetic schemes to achieve our goal. The description and validation of our implementation of these schemes are presented inthis document. We revisit and improve the methods of decomposition we then study through numerical experiments. In particular, we detail our choice of linear solvers and the convergence of extracted quantities on various series of polyhedral meshes and boundary conditions. Finally, we apply the Helmholtz-Hodge decomposition to the study of two turbulent flows: a turbulent channel flow and a homogeneous isotropic turbulent flow.

Les schémas de subdivision et les schémas de subdivision inverse sont largement utilisés en informatiquegraphique; les uns pour lisser des objets 3D, et les autres pour minimiser le coût d'encodagede l'information. Ce sont les deux aspects abordés dans cette thèse.Les travaux présentés dans le cadre de la subdivision décrivent l'études et la construction d'un nouveautype de schémas de subdivision. Celui-ci unifie deux schémas de subdivision de type géométriquesdifférents. Cela permet de modéliser des objets 3D composés de zones issues de l'applicationd'un schéma approximant et de zones issues de l'application d'un schéma interpolant. Dans le cadrede la subdivision inverse, Nous présentons une méthode de construction des schémas de subdivisionbi-réguliers inverses (quadrilatères et triangles)

L'approche de simulation numérique directe est utilisée pour la simulation d'un écoulement en canal pleinement turbulent afin d'étudier l'influence des grandes échelles de l'écoulement ainsi que la dynamique du transport des contraintes de Reynolds et de la vorticité. Les simulations sont réalisées sur un domaine de calcul de grande taille afin de pouvoir capturer l'intégralité des grandes structures de l'écoulement, et portent sur une gamme relativement étendue de nombres de Reynolds (Reτ =180, 395, 590 et 1100) allant des écoulements faiblement turbulents à des écoulements modérément turbulents. L'invariance remarquable des fluctuations de vorticité normale est expliquée à travers une analyse spectrale de la vorticité. L'étude des différents termes du transport de l'intensité turbulente de la vorticité révèle par ailleurs que le pic de production de la vorticité transverse est situé à proximité immédiate de la paroi et pourrait ouvrir la voie à des stratégies de réduction de la traînée basées sur la réduction de la vorticité transverse. Le transport des contraintes de Reynolds dans la couche interne et dans la couche de recouvrement est également étudié. A proximité des parois, la dépendance des termes de transport avec le nombre de Reynolds dans les échelles internes montre que ces dernières ne suffisent pas à caractériser la dynamique des contraintes de Reynolds dans cette zone. Cette insuffisance des échelles internes nous a amenés à nous intéresser plus particulièrement au processus de production à travers les statistiques de la production conditionnées par le passage par niveau des fluctuations de la vitesse normale ou longitudinale. Cette étude nous a permis d'identifier les fluctuations qui contribuent le plus à la production et celles qui sont à l'origine de la dépendance avec le nombre de Reynolds. / The direct numerical simulations of a fully turbulent channel flow are investigated to study the large scales effects on the flow quantities such as the Reynolds stresses and vorticity transport processes. Large computational domains are used so as to cover the largest scales of the flow. The simulations are performed in a wide range of Reynolds numbers (Reτ=180, 395, 590 and 1100) going from weakly to moderately high Reynolds number turbulent flows. The invariance of the wall-normal vorticity fluctuations scaled in wall variables in the inner layer versus the Reynolds number is analyzed using a spectral analysis. The vorticity transport equations are investigated in detail, presumably for the first time. The transport mechanism of the Reynolds shear stresses are subsequently analyzed in the inner layer and the overlapping zone. In the wall layer, different terms of the Reynolds stresses transport expressed in inner scales depend on the Reynolds number. This scaling failure lead us to focus on the statistics of the production when the streamwise or normal velocity fluctuations cross a given level, through the conditional Palm statistics. The main aim is to identify those amplitudes of the fluctuations that contribute more to the production and those which are responsible for the production Reynolds dependence.

Les modèles aux moments angulaires constituent des descriptions intermédiaires entre les modèles cinétiques et les modèles fluides. Dans ce manuscrit, les modèles aux moments angulaires basés sur un principe de minimisation d'entropie sont étudiés pour des applications en physique des plasmas. Ce mémoire se découpe en trois parties. La première est une contribution à la modélisation en physique des plasmas à travers le formalisme des modèles aux moments angulaires. Dans celle-ci, le domaine de validité de ces modèles est étudié en régimes non-collisionels. Il est également montré que les opérateurs de collisions proposés pour le modèle M1 permettent de retrouver des coefficients de transport plasma précis. La deuxième partie de ce document concerne la dérivation de méthodes numériques pour l'étude du transport de particules en temps long. Dans ce cadre, des schémas numériques appropriés pour le modèle M1, préservant l'asymptotique, sont construits et validés numériquement. La troisième partie représente un premier pas significatif vers la modélisation multi-espèces. Ici, le modèle aux moments angulaire M1, construit dans un référentiel mobile, est appliqué à la dynamique des gaz raréfiés. Les propriétés de ce modèle sont détaillées, un schéma numérique est proposé et une validation numérique est menée. / Angular moments models represent alternative descriptions situated in between the kinetic and the fluid models. In this work, angular moments models based on an entropy minimisation principle are considered for plasma physics applications. This manuscript is organised in three parts. The first one is a contribution to plasma physics modelling within the formalism of angular moments models. The validity domain of angular moments models in collisionless regimes is studied. It is also shown that the collisional operators proposed for the M1 angular moments model enable to recover accurate plasma transport coefficients. The second part of this document deals with the derivation of numerical methods for the long timescales particle transport. Appropriate asymptotic-preserving numerical schemes are designed for the M1 angular moments model and numerical validations are performed. The third part represents a first important step toward multi-species modelling. The M1 angular moments model in a moving frame is introduced and applied to rarefied gas dynamics. The model properties are highlighted, a numerical scheme is proposed and a numerical validation is carried out.

Dans cette thèse, nous présentons une nouvelle approche pour la simulation numérique des phénomènes électroconvectifs et électro-therrno-convectifs. La principale difficulté réside dans la détermination du champ électrique et de la distribution de densité volurnique de charges électriques. Dans cette approche, des schémas de type TVD (Total Variation Dirninishing) et IDC (ImprovedDeferred Correction) sont utilisées dans la discrétisation des flux convectifs et diffusifs par la méthode des volumes finis. La première partie de cette thèse présente certains aspects numériques liés à l'implémentation de ces schémas. Une approche unifiée pour les schémas convectifs TVD de type borné à haute résolution est présentée et diverses fonctions limiteur sont comparées. Dans une deuxième partie, l'électro-convection entre deux plaques parallèles est simulée. La méthodologie a étéévaluée et validée par la détermination des Critères de stabilité linéaire et non linéaire. Les différents scenarii d'évolution du développement de cette instabilité électroconvective vers l'état chaotique ont été définis. L'effet du mécanisme de diffusion la densité volumique de charge sur la boucle d'hystérésis et sur la structure de l'écoulement est étudié. L'influence du rapport d'aspect de la cavité est analysé. Enfin dans une dernière partie, nous étudions l'électro-thermo-convection lorsque le fluide est soumis simultanément à une injection unipolaire et à un gradient thermique. L'augmentation des transferts de chaleur a été caractérisée. / In this thesis, a numerical approach is presented to simulate the electro- and electro-thermo convection in dielectric liquids. The total variation diminishing (TVD) scheme and improved deferred correction (IDC) scheme are used to compute the convective and diffusive respectively. The aim of TVD scheme is to avoid non-physical oscillations and to capture high gradient of charge density. Some fundarnental aspects related to TVD and LDC schemes are investigated firstly. A unified approach for TVD schemes is explained and various limiter functions are compared. The connection among three methods for diffusive flux computation has been revealed. The original IDC scheme is improved by the application of 2nd order gradient evaluation method.The electro-convection between two parallel plates is then simulated. The methodology was assessed by the determination of the linear and nonlinear stability criterion. By continuously increasing the driving parameter, the successive instabilities and route to chaotic state has been defined. The effects of the diffusion mechanism for the charge density and vertical walls on the hysteresis 100p and the structure are also investigated. The last part is to simuiate electro-thermo-convection when injection and thermal gradient are simultaneously applied. Our solver was verified with a stationary and an overstable stability problem.The case that both heating and injection are from a bottom electrode has been analyzed in details. The neutral stabiliïy curve was reproduced. The existence of nonlinear phenornenon and the structure are highlighted.

Les schémas de subdivision et les schémas de subdivision inverse sont largement utilisés en informatiquegraphique; les uns pour lisser des objets 3D, et les autres pour minimiser le coût d’encodagede l’information. Ce sont les deux aspects abordés dans cette thèse.Les travaux présentés dans le cadre de la subdivision décrivent l’études et la construction d’un nouveautype de schémas de subdivision. Celui-ci unifie deux schémas de subdivision de type géométriquesdifférents. Cela permet de modéliser des objets 3D composés de zones issues de l’applicationd’un schéma approximant et de zones issues de l’application d’un schéma interpolant. Dans le cadrede la subdivision inverse, Nous présentons une méthode de construction des schémas de subdivisionbi-réguliers inverses (quadrilatères et triangles) / Subdivision schemes are commonly used to generate a smooth shape from a much more coarseone. The reverse subdivision is designed to describe a high resolution mesh from a coarse one. Bothof these tools are used in numerous graphical modelisation domains. In this thesis, we focused ontwo distinct aspects: on one hand the construction of quasi-linear subdivision schemes and on theother hand the construction of reverse quad/triangle subdivision schemes. The work, presented inthe context of the subdivision, describes the construction of a new type of subdivision schemes, andtheirs applications to solve some problems coming from the application of linear subdivision schemes.The work presented in the context of the reverse subdivision describes a new method to reverse thequad/triangle subdivision schemes

Dans ce travail, nous nous intéressons aux estimateurs Multilevel Monte Carlo. Ces estimateurs vont apparaître sous leur forme standard, avec des poids et dans une forme randomisée. Nous allons rappeler leurs définitions et les résultats existants concernant ces estimateurs en termes de minimisation du coût de simulation. Nous allons ensuite montrer une loi forte des grands nombres et un théorème central limite. Après cela nous allons étudier deux cadres d'applications. Le premier est celui des diffusions avec schémas de discrétisation antithétiques, où nous allons étendre les estimateurs Multilevel aux estimateurs Multilevel avec poids. Le deuxième est le cadre nested, où nous allons nous concentrer sur les hypothèses d'erreur forte et faible. Nous allons conclure par l'implémentation de la forme randomisée des estimateurs Multilevel, en la comparant aux estimateurs Multilevel avec et sans poids. / In this work, we will focus on the Multilevel Monte Carlo estimators. These estimators will appear in their standard form, with weights and in their randomized form. We will recall the previous existing results concerning these estimators, in terms of minimization of the simulation cost. We will then show a strong law of large numbers and a central limit theorem.After that, we will focus on two application frameworks.The first one is the diffusions framework with antithetic discretization schemes, where we will extend the Multilevel estimators to Multilevel estimators with weights, and the second is the nested framework, where we will analyze the weak and the strong error assumptions. We will conclude by implementing the randomized form of the Multilevel estimators, comparing this to the Multilevel estimators with and without weights.

L'objet de cette thèse est de mettre en œuvre des outils pour la simulation numériques des torches à projection plasma.<br />Dans la première partie, une méthode volumes finis 3D pour maillages non structurés est construite. Cette méthode d'ordre 2 utilise une reconstruction linéaire multipente. On prouve qu'elle est stable au sens du principe du maximum. Sa simplicité est mise en avant et sa rapidité est vérifiée par des tests numériques. Enfin on l'utilise pour réaliser une simulation de l'écoulement non visqueux dans une chambre de torche.<br />La seconde partie est dédiée à l'étude des jets chauds compressibles fortement pulsés par simulation numérique directe. L'utilisation de schémas d'ordre élevé en temps et en espace est justifiée. Des conditions aux limites permettant d'imposer de fortes perturbations au jet sont décrites. Le nombre de Reynolds de l'écoulement est d'autant plus élevé que la température du milieu ambiant est faible, rendant les simulations numériques difficiles.

L'objet de cette thèse est de comprendre comment se généralise la théorie de la ramification pour des actions par des schémas en groupes affines avec un intérêt particulier pour la notion de modération. Comme contexte général pour ce résumé, considérons une base affine S := Spec(R) où R est un anneau unitaire, commutatif, X := Spec(B) un schéma affine sur S, G := Spec(A) un schéma en groupes affine, plat et de présentation finie sur S et une action de G sur X que nous noterons (X, G). Enfin, nous notons [X/G] le champ quotient associé à cette action et Y := Spec(BA) où BA est l'anneau des invariants pour l'action (X, G). Supposons de plus que le champ d'inertie soit fini.Comme point de référence, nous prenons la théorie classique de la ramification pour des anneaux munis d'une action par un groupe fini abstrait. Afin de comprendre comment généraliser cette théorie pour des actions par des schémas en groupes, nous considérons les actions par des schémas en groupes constants en se rappelant que la donnée de telles actions est équivalente à celle d'un anneau muni d'une action par un groupe fini abstrait nous ramenant au cas classique. Nous obtenons ainsi dans ce nouveau contexte des notions généralisant l'anneau des invariants en tant que quotient, les groupes d'inertie et toutes leurs propriétés. Le cas non ramifié se généralise naturellement avec les actions libres. En ce qui concerne le cas modéré, qui nous intéresse particulièrement pour cette thèse, deux généralisations sont proposées dans la littérature. Celle d'actions modérées par des schémas en groupes affines introduite par Chinburg, Erez, Pappas et Taylor dans l'article [CEPT96] et celle de champ modéré introduite par Abramovich, Olsson et Vistoli dans [AOV08]. Il a été alors naturel d'essayer de comparer ces deux notions et de comprendre comment se généralisent les propriétés classiques d'objets modérés à des actions par des schémas en groupes affines.Tout d'abord, nous avons traduit algébriquement la propriété de modération sur un champ quotient comme l'exactitude du foncteur des invariants. Ce qui nous a permis d'obtenir aisément à l'aide de [CEPT96] qu'une action modérée définit toujours un champ quotient modéré. Quant à la réciproque, nous avons réussi à l'obtenir seulement lorsque nous supposons de plus que G est fini et localement libre sur S et que X est plat sur Y . Nous pouvons voir que la notion de modération pour l'anneau B muni d'une action par un groupe fini abstrait Γ est équivalente au fait que tous les groupes d'inertie aux points topologiques sont linéairement réductifs si l'on considère l'action par le schéma en groupes constant correspondant à Γ sur X. Il a été donc naturel de se demander si cette propriété est encore vraie en général. Effectivement, l'article [AOV08] caractérise le fait que le champ quotient [X/G] est modéré par le fait que les groupes d'inertie aux points géométriques sont linéairement réductifs.À nouveau, si l'on considère le cas des anneaux munis d'une action par un groupe fini abstrait, il est bien connu que l'action peut être totalement reconstruite à partir de l'action d'un groupe inertie. Lorsque l'on considère le cas des actions par les schémas en groupes constants, cela se traduit comme un théorème de slices, c'est-à-dire une description locale de l'action initiale par une action par un groupe d'inertie. Par exemple, lorsque G est fini, localement libre sur S, nous établissons que le fait qu'une action soit libre est une propriété locale pour la topologie fppf, ce qui peut se traduire comme un théorème de slices. Grâce à [AOV08], nous savons déjà qu'un champ quotient modéré [X/G] est localement isomorphe pour la topologie fppf à un champ quotient [X/H] où H est une extension du groupe d'inertie en un point de Y. Lorsque G est fini sur S, il nous a été possible de montrer que H est aussi un sous-groupe de G.

La première partie de cette thèse est consacrée aux méthodes numériques pour la simulation de processus aléatoires définis par des équations différentielles stochastiques (EDS). Nous commençons par l'étude de l'algorithme de Beskos et al. [13] qui permet de simuler exactement les trajectoires d'un processus solution d'une EDS en dimension 1. Nous en proposons une extension à des fins de calcul exact d'espérances et nous étudions l'application de ces idées à l'évaluation du prix d'options asiatiques dans le modèle de Black & Scholes. Nous nous intéressons ensuite aux schémas numériques. Dans le deuxième chapitre, nous proposons deux schémas de discrétisation pour une famille de modèles à volatilité stochastique et nous en étudions les propriétés de convergence. Le premier schéma est adapté à l'évaluation du prix d'options path-dependent et le deuxième aux options vanilles. Nous étudions également le cas particulier où le processus qui dirige la volatilité est un processus d'Ornstein-Uhlenbeck et nous exhibons un schéma de discrétisation qui possède de meilleures propriétés de convergence. Enfin, dans le troisième chapitre, il est question de la convergence faible trajectorielle du schéma d'Euler. Nous apportons un début de réponse en contrôlant la distance de Wasserstein entre les marginales du processus solution et du schéma d'Euler, uniformément en temps. La deuxième partie de la thèse porte sur la modélisation de la dépendance en finance et ce à travers deux problématiques distinctes : la modélisation jointe entre un indice boursier et les actions qui le composent et la gestion du risque de défaut dans les portefeuilles de crédit. Dans le quatrième chapitre, nous proposons un cadre de modélisation original dans lequel les volatilités de l'indice et de ses composantes sont reliées. Nous obtenons un modèle simplifié quand la taille de l'indice est grande, dans lequel l'indice suit un modèle à volatilité locale et les actions individuelles suivent un modèle à volatilité stochastique composé d'une partie intrinsèque et d'une partie commune dirigée par l'indice. Nous étudions la calibration de ces modèles et montrons qu'il est possible de se caler sur les prix d'options observés sur le marché, à la fois pour l'indice et pour les actions, ce qui constitue un avantage considérable. Enfin, dans le dernier chapitre de la thèse, nous développons un modèle à intensités permettant de modéliser simultanément, et de manière consistante, toutes les transitions de ratings qui surviennent dans un grand portefeuille de crédit. Afin de générer des niveaux de dépendance plus élevés, nous introduisons le modèle dynamic frailty dans lequel une variable dynamique inobservable agit de manière multiplicative sur les intensités de transitions. Notre approche est purement historique et nous étudions l'estimation par maximum de vraisemblance des paramètres de nos modèles sur la base de données de transitions de ratings passées