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Cette thèse se divise en deux parties. Nous nous intéressons dans un premier temps à des fragmentations d'arbres aléatoires, et aux arbres des coupes associés. Dans le cadre discret, les modèles étudiés sont des arbres de Galton-Watson, fragmentés en enlevant successivement des arêtes choisies au hasard. Nous étudions également leurs analogues continus, l'arbre brownien et les arbres stables, que l'on fragmente en supprimant des points donnés par des processus ponctuels de Poisson. L'arbre des coupes associé à l'un de ces processus, discret ou continu, décrit la généalogie des composantes connexes créées au fur et à mesure de la dislocation. Pour une fragmentation qui se concentre autour de nœuds de grand degré, nous montrons que l'arbre des coupes continu est la limite d'échelle des arbres des coupes discrets correspondants. Dans les cas brownien et stable, nous montrons également que l'on peut reconstruire l'arbre initial à partir de son arbre des coupes et d'un étiquetage bien choisi de ses points de branchement. Nous étudions ensuite un problème portant sur les cartes aléatoires, et plus précisément sur la quadrangulation uniforme infinie du plan (UIPQ). De récents résultats montrent que dans l'UIPQ, toutes les géodésiques infinies issues de la racine sont essentiellement similaires. Nous déterminons la quadrangulation limite obtenue en ré-enracinant l'UIPQ ''à l'infini'' sur de l'une de ces géodésiques. Cette étude se fait en découpant l'UIPQ le long de cette géodésique. Nous étudions les deux parties ainsi créées via une correspondance avec des arbres discrets, puis nous obtenons la limite souhaitée par recollement. / This PhD thesis is divided into two parts. First, we study some fragmentations of random trees and the associated cut-trees. The discrete models we are interested in are Galton-Watson trees, which are cut down by recursively removing random edges. We also consider their continuous counterparts, the Brownian and stable trees, which are fragmented by deleting the atoms of Poisson point processes. For these discrete and continuous models, the associated cut-tree describes the genealogy of the connected components which appear during the cutting procedure. We show that for a ''vertex-fragmentation'', in which the nodes having a large degree are more susceptible to be deleted, the continuous cut-tree is the scaling limit of the corresponding discrete cut-trees. In the Brownian and stable cases, we also give a transformation which rebuilds the initial tree from its cut-tree and a well chosen labeling of its branchpoints. The second part relates to random maps, and more precisely the uniform infinite quadrangulation of the plane (UIPQ). Recent results show that in the UIPQ, all infinite geodesic rays originating from the root are essentially similar. We identify the limit quadrangulation obtained by rerooting the UIPQ at a point ''at infinity'' on one of these geodesics. To do this, we split the UIPQ along this geodesic ray. Using a correspondence with discrete trees, we study the two sides, and obtain the desired limit by gluing them back together.

This thesis deals with complex processes, relationships and phenomena which go beyond the assumed and accepted materialistic perception of the world in general and the process of architectural design specifically. It clarifies and actually redefine the sustainability from a point of higher universal principles forming our environment. At the beginning this thesis presents an extensive knowledge base of existing holistic design systems including Feng-shui, sacred geometry, geomancy or numerology. The purpose is to build and establish a solid foundation for understanding and further research as well as objectively interpreting lesser known topics as a whole. On the basis of intersecting information through the above mentioned topics we specify the hypothesis which proposes the pre-existence of one unifying design matrix of harmonic structures in architecture. The structure of its verification takes us from an analysis of the science of human perception to systems of self-similar contextual references of animated and inanimated forms. These systems of emergent form and flow are basically known as fractals, and could be expressed in both mathematical and geometrical languages. The thesis research then consists of analysing chosen examples of urban and architectural scale in sense of fractality, symbolism and geometrical matrices. We include and integrate the research of associated and relevant phenomena in pedagogical practice, and a case study of the application of fractals in development of a chosen town. From the results of this thesis we abstract five non-dogmatic guidelines or tenets for architectural design; which are supported by experimental verification on some of the author´s buildings. These tenets stand as pillars of implosive architecture. This kind of architecture in context of transcendental overlaps means a possibility of how to bring our anthropogenic environment closer to the natural and harmonic code of the Universe.

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Cette thèse porte sur l’étude des propriétés qualitatives des solutions des équations des ondes et de la chaleur semi-linéaires. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Les deux premiers concernent l’existence et la description de dynamiques explosives de concentration en temps fini de l’état stationnaire à symétrie radiale dans le régime dit énergie surcritique ; en outre, pour l’équation des ondes la stabilité de ces phénomènes est étudiée dans le cas radial, et pour l’équation de la chaleur le cas plus général d’un domaine borné avec conditions de Dirichlet au bord est considéré. Le troisième porte sur la classification des dynamiques possibles près de l’état stationnaire radial pour l’équation de la chaleur dans le régime dit énergie critique, trois scénarios ayant lieu : la stabilisation, l’instabilité par explosion auto-similaire à profil explosif constant en espace, et l’instabilité par dissipation vers la solution nulle. Enfin, le quatrième a pour objet l’existence et la stabilité de profils explosifs auto-similaires non constants en espace pour l’équation de la chaleur dans le cas énergie surcritique / This thesis is devoted to the study of qualitative properties for solutions to the semilinear heat and wave equations. The results that are described are the following. The first two concern the existence and description of blow-up dynamics in which the radially symmetric stationary state is concentrated in finite time in the so-called energy supercritical regime; in addition, for the wave equation the stability of these phenomena is studied in the radial case, and for the heat equation the more general case of a bounded domain with Dirichlet condition at the boundary is considered. The third one deals with the classification of the possible dynamics near the radial stationary state for the heat equation in the so-called energy critical regime, where three scenarii occur: stabilization, instability by blow-up with the constant in space blow-up profile, and instability by dissipation to the null solution. Eventually, in the forth result we investigate the existence and the stability of self-similar blow-up profiles that are not constant in space, for the heat equation in the energy supercritical case

Dans cette thèse, nous étudions l'ensemble des solutions d'équations aux dérivées partielles résultant de modèles d'astrophysique et de biologie. Nous répondons aux questions de l'existence, mais aussi nous essayons de décrire le comportement de certaines familles de solutions lorsque les paramètres varient. Tout d'abord, nous étudions deux problèmes issus de l'astrophysique, pour lesquels nous montrons l'existence d'ensembles particuliers de solutions dépendant d'un paramètre à l'aide de la méthode de réduction de Lyapunov-Schmidt. Ensuite un argument de perturbation et le théorème du Point xe de Banach réduisent le problème original à un problème de dimension finie, et qui peut être résolu, habituellement, par des techniques variationnelles. Le reste de la thèse est consacré à l'étude du modèle Keller-Segel, qui décrit le mouvement d'amibes unicellulaires. Dans sa version plus simple, le modèle de Keller-Segel est un système parabolique-elliptique qui partage avec certains modèles gravitationnels la propriété que l'interaction est calculée au moyen d'une équation de Poisson / Newton attractive. Une différence majeure réside dans le fait que le modèle est défini dans un espace bidimensionnel, qui est expérimentalement consistant, tandis que les modèles de gravitationnels sont ordinairement posés en trois dimensions. Pour ce problème, les questions de l'existence sont bien connues, mais le comportement des solutions au cours de l'évolution dans le temps est encore un domaine actif de recherche. Ici nous étendre les propriétés déjà connues dans des régimes particuliers à un intervalle plus large du paramètre de masse, et nous donnons une estimation précise de la vitesse de convergence de la solution vers un profil donné quand le temps tend vers l'infini. Ce résultat est obtenu à l'aide de divers outils tels que des techniques de symétrisation et des inégalités fonctionnelles optimales. Les derniers chapitres traitent de résultats numériques et de calculs formels liés au modèle Keller-Segel / In this thesis we study the set of solutions of partial differential equations arising from models in astrophysics and biology. We answer the questions of existence but also we try to describe the behavior of some families of solutions when parameters vary. First we study two problems concerned with astrophysics, where we show the existence of particular sets of solutions depending on a parameter using the Lyapunov-Schmidt reduction method. Afterwards a perturbation argument and Banach's Fixed Point Theorem reduce the original problem to a finite-dimensional one, which can be solved, usually, by variational techniques. The rest of the thesis is de-voted to the study of the Keller-Segel model, which describes the motion of unicellular amoebae. In its simpler version, the Keller-Segel model is a parabolic-elliptic system which shares with some gravitational models the property that interaction is computed through an attractive Poisson / Newton equation. A major difference is the fact that it is set in a two-dimensional setting, which experimentally makes sense, while gravitational models are ordinarily three-dimensional. For this problem the existence issues are well known, but the behaviour of the solutions during the time evolution is still an active area of research. Here we extend properties already known in particular regimes to a broader range of the mass parameter, and we give a precise estimate of the convergence rate of the solution to a known profile as time goes to infinity. This result is achieved using various tools such as symmetrization techniques and optimal functional inequalities. The last chapters deal with numerical results and formal computations related to the Keller-Segel model