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We analyze a general class of difference operators containing a multi-well potential and a small parameter. We decouple the wells by introducing certain Dirichlet operators on regions containing only one potential well, and we treat the eigenvalue problem as a small perturbation of these comparison problems. We describe tunneling by a certain interaction matrix similar to the analysis for the Schrödinger operator, and estimate the remainder, which is exponentially small and roughly quadratic compared with the interaction matrix.

Pulse-shaped signals require a tool that can accurately analyse and identify the peak characteristics in the spectrum. One recently developed tool available to analyse non-stationary pulse-shaped waveforms with a suitable peak reconstruction is semiclassical signal analysis (SCSA). SCSA is a signal representation method that decomposes a real positive signal y(t) into a set of squared eigenfunctions through the discrete spectrum of the Schr¨odinger operator. In this study, we apply SCSA in two directions. First, we propose a new signal denoising method based on the signal curvature. We use this technique to show that denoising the pulse-shaped signal by regularizing its curvature can yield better peak-preserving performance than traditional filters, such as moving average filter or wavelet. Second, we apply SCSA to biomedical signal analysis. The localization abilities of L2 normalized squared eigenfunctions are used in blood pressure (BP) estimation. Based on existing properties, the systolic and diastolic phases are separated into photoplethysmograms (PPGs), which are then used as features for BP estimation. In addition, the Multiparameter Intelligent Monitoring in Intensive Care (MIMIC II) database is used to test the application with more than 8000 subjects. Another application uses SCSA features to characterize EEG and MEG signals, leading to more accurate epileptic spike detection and diagnosis in epileptic patients. Both applications are validated using real datasets, which guarantees statistical reliability and motivates future work of this model in clinical applications and equipment designs.

Mon travail de thèse se situe dans le cadre de l'analyse semi-classique. Il se divise en trois parties. Dans la première, j'ai étudié l'opérateur de Klein-Gordon semi-classique en dimension un. Dans la zone où le potentiel reste sous le niveau d'énergie, il existe pour cet opérateur des constructions de solutions WKB, similaires à celles développées pour l'opérateur de Schrödinger. Sous certaines hypothèses, on a prolongé ces solutions hors de cette zone, grâce aux méthodes utilisées près des points tournants pour l'opérateur de Schrödinger. On a ensuite étudié un exemple pour lequel on peut faire des calculs explicites. Enfin, en dimension quelconque, on a obtenu une nouvelle majoration des fonctions propres, lorsque la distance d'Agmon associée à cet opérateur a un gradient lipschitzien. La deuxième partie concerne l'opérateur de Schrödinger et l'étude des résonances en dimension un. Lorsque le potentiel présente deux puits et une mer pour les niveaux d'énergies considérés, on a obtenu des conditions de non croisement des résonances ainsi que leur graphe, grâce à la construction de modes. En présence d'un nombre quelconque de puits, cela permet également de calculer une estimation de la partie imaginaire des résonances dans le cas d'une interaction simple. Enfin, dans la troisième partie, on considère un opérateur de Schrödinger dont le potentiel présente un maximum non dégénéré. On a étudié les résonances générées par une courbe homocline qui passe par ce maximum. En dimension un, on a obtenu une condition de quantification, et par suite les résonances recherchées. En dimension quelconque, on a construit une solution asymptotique sortante le long de cette courbe, en adaptant la méthode de B. Helffer et J. Sjöstrand pour le fond de puits non résonnant. Une transformation FBI permet ensuite de conjecturer un premier niveau de résonances.

Dans cette thèse, on étudie les ensembles de niveau de champs gaussiens lisses, ou fonctions lisses aléatoires. On explore plusieurs directions, certaines liées à la géométrie spectrale, d’autres à la mécanique statistique.L’attention est d’abord portée sur une famille de champs gaussiens sur des variétés riemanniennes compactes définis comme des combinaisons linéaires de fonctions propres du laplacien avec des points gaussiens indépendants. Dans certains cas particuliers, cette famille donne l’ensemble à bande limitée qui a été très étudié ces dernières années, mais elle donne aussi le champ libre gaussien coupé en fréquence, qui est la projection du champ libre gaussien sur les premiers espaces propres du laplacien. On étudie la fonction de covariance de ces champs, l’espérance du nombre de composantes connexes de leur lieu d’annulation et, dans le cas du champ libre gaussien, on en déduit une estimation précise des grandes déviation de l’événement que le champ est positif sur un ensemble fixé quand la limite de fréquence tend vers l’infini.Puis on étudie la percolation des sur-niveaux de champs stationnaires sur le plan en utilisant des techniques de percolation de Bernoulli. On prouve d’abord un résultat de mélange sur la topologie des ensembles nodaux pour des champs gaussiens planaires. Puis on prouve un résultat de transition de phase pour le champ de Bargmann-Fock. / In this thesis, we study the level sets of smooth Gaussian fields, or random smooth functions. Several directions are explored, some linked to spectral theory, some to statistical mechanics.The first object of focus is a family of Gaussian fields on compact Riemannian manifolds defined as linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian with independent Gaussian weights. In special cases, this family specializes to the band-limited ensemble which has received a lot of attention in recent years, but also to the cut-off Gaussian Free Field, which is the projection of the Gaussian Free Field on the first eigenspaces of the Laplacian. We study the covariance function of these fields, the expected number of connected components of their zero set, and, in the case of the cut-off Gaussian Free Field, derive a precise large deviation estimate on the event that the field is positive on a fixed set when the energy cut-off tends to infinity.Next, we study percolation of excursion sets of stationary fields on the plane using techniques from Bernoulli precolation. We first derive a mixing bound for the topology of nodal sets of planar Gaussian fields. Then, we prove a sharp phase transition result for the Bargmann-Fock random field.

Human health is monitored through several physiological measurements such as heart rate, blood pressure, brain activity, etc. These measurements are taken at predefined points in the body and recorded as temporal signals or colorful images for diagnosis purposes. During the diagnosis, physicians analyze these recordings, sometimes visually, to make treatment decisions. These recordings are usually contaminated with noise caused by different factors such as physiological artifacts or electronic noises of the used electrodes/instruments. Therefore, the pre-processing of these signals and images becomes a crucial need to provide clinicians with useful information to make the right decisions. This Ph.D. work proposes and discusses different biomedical signal processing algorithms and their applications. It develops novel signal/image pre-processing algorithms, based on the Semi-Classical Signal Analysis method (SCSA), to enhance the quality of biomedical signals and images. The SCSA method is based on the decomposition of the input signal or image, using the squared eigenfunctions of a Semi-Classical Schrodinger operator. This approach shows great potential in denoising, and residual water-peak suppression for Magnetic Resonance Spectroscopy (MRS) signals compared to the existing methods. In addition, it shows very promising noise removal, particularly from pulse-shaped signals and from Magnetic Resonance (MR) images. In clinical practice, extracting informative characteristics or features from these pre-processed recordings is very important for advanced analysis and diagnosis. Therefore, new features and proposed are extracted based on the SCSA and fed to machine learning models for smart biomedical diagnosis such as predicting epileptic spikes in Magnetoencephalography (MEG). Moreover, a new Quantization-based Position Weight Matrix (QuPWM) feature extraction method is proposed for other biomedical classifications, such as predicting true Poly(A) regions in a DNA sequence, multiple hand gesture prediction. These features can be used to understand different complex systems, such as hand gesture/motion mechanism and help in the smart decision-making process. Finally, combining such features with reinforcement learning models will undoubtedly help automate the diagnoses and enhance the decision-making, which will accelerate the digitization of different industrial sectors. For instance, these features can help to study and understand fish growth in an End-To-End system for aquaculture environments. Precisely, this application’s preliminary results show very encouraging insights in optimally controlling the feeding while preserving the desired growth profile.

La théorie de la dynamique des processus chimiques élementaires cherche à décrire quantitativement les collisions réactives à l'échelle atomique. Les mouvements des noyaux étant extrêmement difficiles à traiter dans le formalisme quantique, les tomes sont souvent considérés comme des objets classiques. Cepandant, les effets purement quantiques jouent un rôle majeur dans certaines situations, alors que la description classique les néglige. Cette thèse apporte de nouvelles perspectives sur l'inclusion, dans le formalisme clasique, de forts effets quantiques, à savoir la quantification des mouvements internes des réactifs et produits. / The goal of chemical reaction dynamics theory is the quantitative description of reactive molecular collistions at the atomic scale. Since nuclear motions are difficult to study quantum mechanically, nuclei are often considered as classical object. However, quantum effects may play a major role in some situation, and the standard classical description does not take them into account. This thesis brings new perspectives on the inclusion into the classical treatment of one of the strongest qunatum effects, the quantization of reagents and products.

An investigation into open problems related to black hole evaporation in the semi-classical framework, concerning the existence of quantum field theories on spacetimes modelling evaporating black holes as well as the existence of black hole solutions to the semi-classical Einstein equations. / Eine Untersuchung offener Probleme zur Verdampfung schwarzer Löcher im semi-klassischen Modell, bezüglich der Existenz von Quantenfeldtheorien auf Raumzeiten, die verdampfende schwarze Löcher beschreiben, sowie der Existenz von Lösungen der semi-klassischen Einstein Gleichungen, welche schwarze Löcher darstellen.

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Dans cette thèse, nous étudions le comportement asymptotique précis à basse température de l’événement de sortie d'un domaine métastable $Omegasubset mathbb R^d$ (point de sortie et temps de sortie) pour le processus de Langevin sur amorti. En pratique, le processus de Langevin sur amorti peut par exemple simuler l'évolution des positions des atomes d'une molécule ou la diffusion d'impuretés interstitielles dans un cristal. Nos résultats principaux concernent le comportement asymptotique précis de la distribution de la loi du point de sortie de $Omega$. Dans la limite d'une petite température, ces résultats permettent de justifier l'utilisation de la formule d'Eyring-Kramers pour modéliser les événements de sortie de $Omega$. La loi d'Eyring-Kramers est par exemple utilisée pour calculer les taux de transition entre les états d'un système dans un algorithme de Monte-Carlo cinétique afin de simuler efficacement les différents états visités par le système. L'analyse repose de manière essentielle sur la distribution quasi stationnaire associée au processus de Langevin sur amorti dans $Omega$. Nos preuves utilisent des outils d'analyse semi-classique. La thèse se décompose en trois chapitres indépendants. Le premier chapitre (rédigé en français) est une introduction aux résultats obtenus. Les deux autres chapitres (rédigées en anglais) sont consacrés aux énoncés mathématiques / This thesis is dedicated to the study of the sharp asymptotic behaviour in the low temperature regime of the exit event from a metastable domain $Omegasubset mathbb R^d$ (exit point and exit time) for the overdamped Langevin process. In practice, the overdamped Langevin dynamics can be used to describe for example the motion of the atoms of a molecule or the diffusion of interstitial impurities in a crystal. The obtention of sharp asymptotic approximations of the first exit point density in the small temperature regime is the main result of this thesis. These results justify the use of the Eyring-Kramers law to model the exit event. The Eyring-Kramers law is used for example to compute the transition rates between the states of a system in a kinetic Monte-Carlo algorithm in order to sample efficiently the state-to-state dynamics. The cornerstone of our analysis is the quasi stationary distribution associated with the overdamped Langevin dynamics in $Omega$. The proofs are based on tools from semi-classical analysis. This thesis is divided into three independent chapters. The first chapter (in French) is dedicated to an introduction to the mathematical results. The other two chapters (in English) are devoted to the precise statements and proofs