On étudie les résonances semi-excitées pour un Opérateur h-Pseudo-différentiel (h-PDO)H(x, hDx) sur L2(M) induites par une orbite périodique de type hyperbolique à l’énergie E = 0. Par exemple M = Rn et H(x, hDx; h) est l’opérateur de Schrödinger avec effet Stark, ouH(x, hDx; h) est le flot géodesique sur une variété axi-symétrique M, généralisant l’exemplede Poincaré de systèmes Lagrangiens à 2 degrés de liberté. On étend le formalisme de Gérard and Sjöstrand, au sens où on autorise des valeurs propres hyperboliques et elliptiques del’application de Poincaré, et où l’on considère des résonances dont la partie imaginaire est del’ordre de hs, pour 0 < s < 1.On établit une règle de quantification de type Bohr-Sommerfeld au premier ordre en fonction des nombres quantiques longitudinaux (réels) et transverses (complexes), incluantl’intégrale d’action le long de l’orbite, la 1-forme sous-principale, et l’indice de Conley-Zehnder. / In this Thesis we consider semi-excited resonances for a h-Pseudo-Differential Operator (h-PDO for short) H(x, hDx; h) on L2(M) induced by a periodic orbit of hyperbolic type at energy E = 0, as arises when M = Rn and H(x, hDx; h) is Schrödinger operator withAC Stark effect, or H(x, hDx; h) is the geodesic flow on an axially symmetric manifold M,extending Poincaré example of Lagrangian systems with 2 degree of freedom. We generalizethe framework of Gérard and Sjöstrand, in the sense that we allow for hyperbolic and ellipticeigenvalues of Poincaré map, and look for (excited) resonances with imaginary part of magnitude hs, with 0 < s < 1,It is known that these resonances are given by the zeroes of a determinant associatedwith Poincaré map. We make here this result more precise, in providing a first order asymptoticsof Bohr-Sommerfeld quantization rule in terms of the (real) longitudinal and (complex)transverse quantum numbers, including the action integral, the sub-principal 1-form and Gelfand-Lidskii index.

A covariant Wigner-Weyl quantization formalism on the manifold that uses pseudo-differential operators is proposed. The asymptotic product formula that leads to the symbol calculus in the presence of gauge and gravitational fields is presented. The new definition is used to get covariant differential operators from momentum polynomial symbols. A covariant Wigner function is defined and shown to give gauge-invariant results for the Landau problem. An example of the covariant Wigner function on the 2-sphere is also included.

Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude, dans la limite semi-classique, de systèmes d'équations de Schrödinger non-linéaires couplées. Selon le potentiel considéré, le système peut, ou non, présenterun couplage linéaire, en plus de celui induit par le terme non-linéaire. Dans ce manuscrit, c'est la propagation d'états cohérents -états localisés dans l'espace des phases, et que l'on va faire vivre dans un niveau d'énergie donné - qui va nous intéresser.Dans le cadre linéaire, plusieurs situations ont été étudiées, certaines préservant l'adiabaticité,et d'autres la brisant, faisant apparaître des transitions entre les niveaux d'énergie.Le rôle de la non-linéarité et l'interaction de ses effets avec un éventuel couplage linéaire sur ces phénomènes est une questionimportante pour comprendre des systèmes qui entrent en jeu dans des problèmes très actuels en physique quantique.Dans un premier temps, le potentiel pris en compte aura des valeurs propres bien séparées par un trou spectral,et nous montrerons un théorème adiabatique pour une non-linéarité qui présente un exposant critique pour le paramètre semi-classique devant la non-linéarité. Un point de vue équivalent est de considérer des données petites de l'ordre d'une puissance positive du paramètre semi-classique.Il s'agit d'un résultat analogue à celui de Carles et Fermanian-Kammerer mais dans un cadre sur-critique L^2.Dans un deuxième temps, nous considèrerons, pour le cas unidimensionnel, un potentiel explicite de taille 2 X 2,qui présente un croisement évité :les deux valeurs propres sont séparées par un paramètre delta - paramètre adiabatique -qui va tendre vers zéro lorsque le paramètre semi-classique va tendre vers zéro. Nous montrerons alors que des transitions entre les modes ont lieu.Il s'agit ici d'une version non-linéaire des travaux d'Hagedorn et Joyeoù une telle transition est démontrée pour des systèmes linéaires. / This thesis is devoted to the study of coupled nonlinear Schrödinger equations in the semi-classical limit.Depending on the potential we consider, the system can present a linear coupling, in addition to the nonlinear one.We will focus on the propagation of coherent states that will be polarized along a given eigenvector of the potential.In the linear setting, several situations have been analyzed; some of them lead to adiabatic theorems whereas the others implytransitions between energy levels. When one adds a nonlinearity, understanding nonlinear effects onthe propagation and the competition between them and the linear coupling becomes a very interesting issue.We first consider a potential with eigenvalues that present a spectral gap and will prove an adiabatic theoremfor a critical nonlinearity in the semi-classical sense. This is a L^2-supercritical result,similar to the one proved by Carles and Fermanian-Kammerer for the one-dimensional case, which is L^2-subcritical.The second part of the thesis deals with an explicit 2 X 2 potential that presents an avoided crossing point :the minimal gap between its eigenvalues becomes smaller as the semiclassical parameter tends to zero. We will prove that this system exhibits transitions between the modes. This result is a nonlinear version of the study performed by Hagedorn and Joye in the linear case.

Les propriétés électroniques et thermoélectriques de matériaux basés sur Mg2Si ont été étudiées par calculs DFT et semi-classiques (théorie de Boltzmann). Les effets d’abaissement de dimensionalité et de contraintes ont été étudiés. Les calculs ont été effectués sur les films monocristallins orientés 001, 110 et 111 et sur les films polycristallins. Seul le film monocristallin orienté 110 a montré des propriétés thermoélectriques intéressantes. Trois types de contraintes ont été investiguées: uniaxiale, biaxiale et isotrope. L’augmentation de la contrainte sur Mg2Si produit un décalage du maximum du facteur de puissance (PF) vers les basses températures. Comparé à Mg2Si non contraint, le coefficient Seebeck (S) augmente uniquement sous contrainte isotrope. On montre l’équivalence des propriétés thermoélectriques entre Mg2Si contraint dans la direction [110] et celles du film orienté 110. Les contraintes de tension isotropes ont été modélisées en insérant des atomes Sb dans Mg2Si massif conduisant aux structures Mg2Si:Sb, Mg2Si:3Sb and Mg2Si:4Sb. Seul Mg2Si:4Sb produit une contrainte isotrope. Les effets de substitutions de Sn pour Si dans Mg2Si massif sont similaires à ceux observés pour Mg2Si sujet à des contraintes en tension uniaxiales et biaxiales. Pour les films Mg2Si1−xSnx orientés 110 le S du matériau dopé p est supérieur à celui des massifs Mg2Si et Mg2Si1−xSnx. Concernant les nanostructures, le super-réseau Mg2Si/Mg2Sn est le plus intéressant lorsque faiblement dopé p et à basse température. Les assemblages de fils sont les meilleurs en tant que matériaux faiblement dopés n et à basse température: le PF est quasiment doublé par rapport à celui de Mg2Si massif. / The electronic and thermoelectric properties of Mg2Si-based materials have been investigated by means of DFT calculations and semi-classical Boltzmann theory. The low-dimensional and strain effects on these properties have been studied. The properties have been investigated on 001-, 110- and 111-oriented Mg2Si monocrystalline films, and on polycrystalline Mg2Si film. Only the 110-oriented monocrystalline film has been found to have interesting thermoelectric properties. Three types of strains have been investigated: uniaxial, biaxial and isotropic. Increasing the intensity of the strain on Mg2Si induces a shift of the power factor (PF) maximum towards low temperature. Compared with unstrained Mg2Si, the Seebeck coefficient (S) increases only under isotropic strain. We evidence an equivalence in the thermoelectric properties between Mg2Si material constrained in the [110] direction and the 110-oriented Mg2Si film. Isotropic tensile strains have been modeled by inserting Sb atoms in bulk Mg2Si leading to the stuctures Mg2Si:Sb, Mg2Si:3Sb and Mg2Si:4Sb. Only Mg2Si:4Sb is found to induces such type of constraints. The effects of the Sn for Si substitutions in bulk Mg2Si are very similar to those observed for Mg2Si subjected to uniaxial and biaxial tensile strains. For (110)-oriented Mg2Si1−xSnx films S of the n−doped material outperforms that of the bulk Mg2Si and bulk Mg2Si1−xSnx. Regarding nanostructures, the Mg2Si/Mg2Sn superlattice is most interesting as a p-doped material at low carrier concentration/low temperature. The stick assemblage is best as a n-doping material at low carrier concentration/low temperature where its PF is almost twice as high as that of bulk Mg2Si.

Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité et la stabilisation pour des équation hyperboliques et dispersives. La première partie de cette thèse est consacrée à la stabilisation du système de Stokes hyperbolique. La propagation des singularités pour le système de Stokes semi-classique est établie dans chapitre 1. La preuve repose sur la stratégie de Ivrii et Melrose-Sjöstrand.Cependant, par rapport à l’opérateur de Laplace, la difficulté est causée par la pression qui a un effet non trivial pour les solutions concentrées au bord. Nous utilisons la paramétrix des solutions près d’un point elliptique ou hyperbolique. Ensuite, on traite les solutions concentrées près de l’ensemble «glancing» par une décomposition micro-locale. L’effet de la pression est alors bien contrôlé grâce à la géométrie. Finalement on utilise un argument récurrence pour terminer la preuve. Par conséquent, nous prouvons la stabilisation du système de Stokes hyperbolique dans le chapitre 2 sous la condition de contrôle géométrique sur le support de l’amortissement.La deuxième partie est consacrée à la contrôlabilité et la stabilisation de l’équation de Kadomtsev-Petviashvili (KP en bref). Dans le chapitre 3, en utilisant l’analyse semi-classique, nous avons prouvé la contrôlabilité verticale pour des données dans L^2 (T). De plus, un résultat négatif concernant la contrôlabilité horizontale est aussi obtenu. Dans le chapitre 4, nous considérons la contrôlabilité de l’équation de KP-I linéaire. C’est un modèle intéressant dans lequel la vitesse de groupe peut être dégénéré. Plus général, on a obtenu le plus petit ordre requis pour assurer l’observabilité des équations de KP-I fractionnaire linéaire. Finalement dans le chapitre 5, nous avons montré la contrôlabilité et la stabilisation des ’equations de KP-II et 5KP-II avec grandes données initiales dans l’espace de Sobolev, si la donnée initiale satisfait certaines hypothèses de compacité partielles. Ceci généralise la contrôlabilité des solutions de KP-II avec données petites dans le chapitre 3. / In this thesis, we deal with the control and stabilization for certain hyperbolic and dispersive partial differential equations. The first part of this work is devoted to the stabilization of hyperbolic Stokes equation. The propagation of singularity for semi-classical Stokes system is established in Chapter 1. This will be done by adpating the strategy of Ivrii and Melrose-Sjöstrand. However,compared to the Laplace operator, the difficulty is caused by the pressure term which has non-trivial impact to solutions concentrated near the boundary. We apply parametrix construction to resolve the issue in elliptic and hyperbolic regions. We next adapte a fine micro-local decomposition for solutions concentrated near the glancing set. The impact of pressure to the solution is then well controled by geometric considerations. As a consequence of the main theorem in Chapter 1, we prove the stabilization of hyperbolic Stokes equation under geometric control condition in Chapter 2. The second part is devoted to the controllability of Kadomtsev–Petviashvili(KP in short) equations. In Chapter 3, the controllability in L 2 (T) from vertical strip is proved using semi-classical analysis. Additionally, a negative result for the controllability in L^2 (T) from horizontal strip is also showed. In Chapter 4, we prove the exact controllability of linear KP-I equation if the control input is added on a vertical domain. It is an interesting model in which the group velocity may degenerate. More generally, we have obtained the least dispersion needed to insure observability for fractional linear KP I equation. Finally in Chapter 5, we prove exact controllability and stabilization of KP-II equation and fifth order KP-II equation for any size of initial data in Sobolev spaces with additional partial compactness conditions. This extends the exact controllability for small data obtained in Chapter 3.compactness condition. This extends the exact controllability for small data obtained in Chapter 3.

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Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de concentration des fonctions propres du laplacien discret sur des graphes réguliers de degré fixé dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Cette étude s'inspire de la théorie de l'ergodicité quantique sur les variétés. Par analogie avec cette dernière, nous développons un calcul pseudo-différentiel sur les arbres réguliers : nous définissons des classes de symboles et des opérateurs associés, et nous prouvons un certain nombre de propriétés de ces classes de symboles et opérateurs. Nous montrons notamment que les opérateurs sont bornés dans L², et nous donnons des formules de l'adjoint et du produit. Nous nous servons ensuite de cette théorie pour montrer un théorème d'ergodicité quantique pour des suites de graphes réguliers dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Il s'agit d'un résultat de délocalisation de la plupart des fonctions propres dans la limite des grands graphes réguliers. Les graphes vérifient une hypothèse d'expansion et ne comportent pas trop de cycles courts, deux hypothèses vérifiées presque sûrement par des suites de graphes réguliers aléatoires. / N this thesis, we study concentration properties of eigenfunctions of the discrete Laplacian on regular graphs of fixed degree, when the number of vertices tend to infinity. This study is made in analogy with the Quantum Ergodicity theory on manifolds. We construct a pseudo-differential calculus on regular trees by defining symbol classes and associated operators and proving some properties of these classes of symbols and operators. In particular we prove that the operators are bounded on L² and give adjoint and product formulas. We then use this theory to prove a Quantum Ergodicity theorem on large regular graphs. This is a property of delocalization of most eigenfunctions in the large scale limit. We consider expander graphs with few short cycles (for instance random large regular graphs). These hypothesis are almost surely satisfied by sequences of random regular graphs.

Cette thèse à pour objet l’étude des résonances du laplacien sur les variétés à pointes. Ce sont des variétés dont les bouts sont des pointes hyperboliques réelles. Ces objets ont été introduits par Selberg pour les surfaces à pointes de courbure constante dans les années 50. Leur définition a ensuite été étendue en courbure variable par Lax et Phillips. Les résonances sont les poles d’une famille méromorphe de fonctions propres généralisées du laplacien. Elles sont associées au spectre continu du laplacien. Pour analyser ce spectre continu, plusieurs directions de recherche sont explorées ici. D’une part, on obtient des résultats sur la localisation de ces résonances. En particulier, si la courbure est négative, on montre que pour un ensemble générique de métriques, les résonances se séparent en deux ensembles. Le premier est contenu dans une bande près du spectre continu. L’autre partie est composé de résonances qui s’éloignent du spectre. Ceci laisse une zone de taille log sans résonance.D’autre part, on étudie les mesures microlocales associées à certaines suites de paramètre spectraux. En particulier, on montre que pour des suites de paramètres spectraux qui s’approche du spectre, mais pas trop vite, la mesure microlocale associée est nécessairement la mesure de Liouville. Cette propriété est valable quand la courbure de la variété est négative. / In this thesis, we study the resonances of the Laplace operator on cusp manifolds. They are manifolds whose ends are real hyperbolic cusps. The resonances were introduced by Selberg in the 50's for the constant curvature cusp surfaces. Their definition was later extended to the case of variable curvature by Lax and Phillips. The resonances are the poles of a meromorphic family of generalized eigenfunctions of the Laplace operator. They are associated to the continuous spectrum of the Laplace operator. To analyze this continuous spectrum, different directions of research are investigated.On the one hand, we obtain results on the localization of resonances. In particular, if the curvature is negative, for a generic set of metrics, they split into two sets. The first one is included in a band near the spectrum. The other is composed of resonances that are far from the spectrum. This leaves a log zone without resonances. On the other hand, we study the microlocal measures associated to certain sequences of spectral parameters. In particular we show that for some sequences of parameters that converge to the spectrum, but not too fast, the associated microlocal measure has to be the Liouville measure. This property holds when the curvature is negative.

La thèse de doctorat comporte trois parties rédigées en anglais. Les deux premières parties correspondent principalement à l'étude de l'énergie de l'état fondamental. La dernière partie est consacrée à l'analyse de l'effet de pinning dans la supraconductivité.Dans une première partie de cette thèse, nous considérons la fonctionnelle de Ginzburg -Landau avec un champ magnétique variable appliqué dans un domaine borné et régulier de dimension 2. Nous déterminons le comportement asymptotique du paramètre d'ordre dans le régime o\`u le paramètre de Ginzburg-Landau et le champ magnétique sont grands et de même ordre. Comme conséquence, nous montrons que le paramètre d'ordre est localisé asymptotiquement dans la région où le profil du champ magnétique appliqué est petit.Dans une autre partie, nous considérons la fonctionnelle de Ginzburg -Landau avec un champ magnétique variable appliqué dans un domaine borné et régulier de dimension 2. Le profil du champ magnétique appliqué varie régulièrement et peut s'annuler exactement à l'ordre 1 le long d'une courbe. En supposant que la l'intensité du champ magnétique appliqué varie entre deux échelles caractéristiques, et que le paramètre de Ginzburg- Landau tend vers l'infini, nous déterminons une formule asymptotique précise pour minimiser l'énergie et montrer que les minimiseurs de l'énergie ont des vortex. Nous mettons en évidence que la présence d'un champ magnétique variable implique que la distribution de la vorticité dans l'échantillon n'est pas uniforme.Dans la dernière partie, nous étudions l'énergie de Ginzburg-Landau d'un supraconducteur avec un champ magnétique variable et un terme de pinning dans un domaine borné et régulier de dimension 2. En supposant que le paramètre de Ginzburg-Landau et l'intensité du champ magnétique sont grands et de même ordre, nous déterminons une formule asymptotique précise pour l'énergie. De plus, nous discutons l'existence des solutions non-triviales et déterminons le comportement asymptotique du troisième champ critique de la supraconductivité. / The PHD thesis has three parts, the first and the second part correpond mainly to study the groundstate energy, the last one being devoted to the analysis of the pinning effect in superconductivity.In a first part of this thesis, we consider the Ginzburg-Landau functional with a variable applied magnetic field in a bounded and smooth two-dimensional domain. We determine an accurate asymptotic formula for the minimizing energy when the Ginzburg-Landau parameter and the magnetic field are large and of the same order. As a consequence, it is shown how bulk superconductivity decreases in average as the applied magnetic field increases.In another part, we consider the Ginzburg-Landau functional with a variable applied magnetic field in a bounded and smooth two-dimensional domain. The profile of the applied magnetic field varies smoothly and is allowed to vanish non-degenerately along a curve. Assuming that the strength of the applied magnetic field varies between two characteristic scales, and that the Ginzburg-Landau parameter tends to , we determine an accurate asymptotic formula for the minimizing energy and show that the energy minimizers have vortices. The new aspect in the presence of variable magnetic field is that the distribution of vortices in the sample is not uniform.In the final part, we study the Ginzburg-Landau energy of a superconductor with a variable magnetic field and a pinning term in a bounded and smooth two-dimensional domain . Supposing that the Ginzburg-Landau parameter and the intensity of magnetic field are large and of the same order, we determine an accurate asymptotic formula for the minimizing energy. Also, we discuss the existence of non-trivial solutions and prove an asymptotics of the third critical field.

Po zhrnutí potrebných teoretických základov a predošlého výskumu v ob- lasti, prezentujeme semi-klasickú kvantovaciu schému pre uzavretú Nambuovu- Gotovu strunu. Týmto zovšeobecňujeme predošlú prácu, ktorá bola vykonaná pre otvorenú strunu a uzavretú strunu kruhového tvaru. Pomocou metód kvan- tovej teórie po©a v zakrivených priestoročasoch počítame strednú hodnotu vo©- ného Hamiltoniánu struny rotujúcej v dvoch na seba kolmých priestorových rovinách v priestoročase všeobecnej dimenzie. Táto hodnota je priamo úmerná kvantovej korekcii k celkovej energii struny, ktorá má formu tzv. Reggeovho interceptu. Výslednú hodnotu Reggeovho interceptu porovnávame s predošlým výskumom. Taktiež uvádzame porovnanie získaného spektra fyzikálnych stavov struny kvantovanej našou metódou so spektrom odvodeným pomocou kovariant- ného kvantovania. 1