Dans cette thèse, nous considérons des problèmes de stabilité et de commande robuste pour une classe de systèmes linéaires à sauts aléatoires. Dans la première partie, nous nous intéressons d'une part à l'analyse de la de systèmes linéaires à sauts Markoviens non-Homogènes en temps, et ceci en temps discret. En particulier, nous considérons le cas où la matrice de probabilité de transition de la chaîne de Markov non-Homogène varie dans un intervalle. En nous appuyons sur des outils issus de l'analyse par intervalles ainsi que de la théorie des graphes, nous obtenons une condition suffisante de stabilité en moyenne quadratique de cette classe de systèmes. D'autre part, nous considérons le problème de stabilité stochastique de systèmes linéaires à temps continu et à sauts aléatoires dépendant de l'état du système. En utilisant une version stochastique de la deuxième méthode de Lyapunov et la formule de Dynkin adaptée à cette classe de systèmes, nous établissons des conditions suffisantes de stabilité en termes d'inégalités matricielles linéaires. Dans la seconde partie de cette thèse, nous étudions le problème de commande prédictive des systèmes à sauts aléatoires sujets à des contraintes de type probabilistes. Nous étudions dans un premier temps un problème de commande à horizon glissant d'un système linéaire discret à sauts dépendant de l'état, soumis à des perturbations aléatoires éventuellement non bornées et à des contraintes de type probabilistes sur l'état du système. Dans un deuxième temps, nous relaxons l'hypothèse d'accessibilité de l'état du système et considérons le problème de commande à horizon glissant basée sur une estimation de l'état du système / We address stability and control problems of random jump linear systems (JLSs) that consists of a set of linear systems and the switching among them is governed by a random jump process. In the first part, we consider second moment stability and stabilization of random JLSs. We first consider discrete-Time inhomogeneous Markov JLSs with interval transition probability matrix and obtain a sufficient condition in terms of a spectral radius of a matrix by using results of interval analysis and graph theory. Alternatively, we obtain a convex hull representation of the interval transition probability matrix and give a sufficient condition in terms of linear matrix inequalities, using which we deal with stabilization. Next, we consider a continuous-Time state-Dependent JLS, where the transition rates of the random jump process depend on the state variable and address the problem of stochastic stability and stabilization. Then, we consider the presence of external disturbances and extend our results to H infinity stabilization problem. In the second part, we consider control of random JLSs subject to constraints. We use receding horizon control approach to handle constraints. We first investigate a receding horizon control of discrete-Time state-Dependent JLSs subject to stochastic disturbances and probabilistic constraints. For the same system, we try to extend our approach to the case of imperfect state availability. However, the unavailability of the state makes the formulation of state-Dependent jump process complex. Thus we confine ourselves to discrete-Time homogeneous Markov JLSs with process noise and noisy measurements and address the receding horizon control problem

Le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z est un processus qui sert de modèle à la diffusion d’un gaz le long d’une fissure. Dans cette thèse, réalisée sous la direction d'Ivan Nourdin, nous prouvons des formules de type Itô pour Z. Nos principaux outils sont le calcul de Malliavin, le calcul stochastique et l'utilisation de théorèmes limites. Une des spécificités des formules de changement de variables que nous avons obtenues est qu’elles ont lieu en loi, avec création d'un nouvel aléa. Ce mémoire est constitué d'un chapitre introductif, suivi de trois autres chapitres qui correspondent chacun à différents résultats obtenus lors de la préparation de cette thèse et rédigés sous forme d'articles de recherche. Plus précisément : 1) Dans un premier article, nous introduisons le processus central de cette thèse, à savoir le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z. Nous étudions ensuite les fluctuations de ses variations d’ordre p, où p est n'importe quel entier supérieur ou égal à 1. 2) Dans un deuxième article, avec mon encadrant Ivan Nourdin nous avons utilisé les résultats du premier article pour construire une formule de type Itô pour Z. Pour ce faire, nous avons étendu à notre cadre une idée due originellement à Khoshnevisan et Lewis, consistant à travailler avec une partition aléatoire du temps au lieu de la partition déterministe classique. 3) Enfin, dans un troisième et dernier article, nous avons prolongé la formule unidimensionnelle décrite en 2) au cadre bidimensionnel / Fractional Brownian motion in Brownian time Z may serve as a model for the motion of a single gas particle constrained to evolve inside a crack. In this PhD thesis, written under the supervision of Ivan Nourdin, we prove Itô's type formulas for Z. To achieve this goal, our main tools are the Malliavin calculus, the stochastic calculus and the use of limit theorems. One of the specificity of the formula we have obtained is that they hold in law, with creation of a new alea. This manuscript consists in an introductory chapter, followed by three other chapters, each one corresponding to different results obtained along the preparation of this thesis and written is the form of research papers. More precisely: 1) In a first paper, we introduce the central process of this thesis, namely the fractional Brownian motion in Brownian time Z. Then, we study the fluctuations of its power variations of order p, for any integer p greater than or equal to 1. 2) In a second paper, written jointly with my supervisor Ivan Nourdin, we use the results obtained in 1) to build an Itô's type formula for Z. To do so, we need to extend to our setting an approach originally due to Khoshnevisan and Lewis, consisting in rather working with a random partition of time, instead of the classical uniform deterministic partition. 3) Finally, in a third and last paper, we extend to bi-dimension the one- dimensional formula obtained in 2)

Cette thèse porte sur la dynamique des grandes échelles des écoulements géophysiques turbulents, en particulier sur leur organisation en écoulements parallèles orientés dans la direction est-ouest (jets zonaux). Ces structures ont la particularité d'évoluer sur des périodes beaucoup plus longues que la turbulence qui les entoure. D'autre part, on observe dans certains cas, sur ces échelles de temps longues, des transitions brutales entre différentes configurations des jets zonaux (multistabilité). L'approche proposée dans cette thèse consiste à moyenner l'effet des degrés de liberté turbulents rapides de manière à obtenir une description effective des grandes échelles spatiales de l'écoulement, en utilisant les outils de moyennisation stochastique et la théorie des grandes déviations. Ces outils permettent d'étudier à la fois les attracteurs, les fluctuations typiques et les fluctuations extrêmes de la dynamique des jets. Cela permet d'aller au-delà des approches antérieures, qui ne décrivent que le comportement moyen des jets.Le premier résultat est une équation effective pour la dynamique lente des jets, la validité de cette équation est étudiée d'un point de vue théorique, et les conséquences physiques sont discutées. De manière à décrire la statistique des évènements rares tels que les transitions brutales entre différentes configurations des jets, des outils issus de la théorie des grandes déviations sont employés. Des méthodes originales sont développées pour mettre en œuvre cette théorie, ces méthodes peuvent par exemple être appliquées à des situations de multistabilité. / This thesis deals with the dynamics of geophysical turbulent flows at large scales, more particularly their organization into east-west parallel flows (zonal jets). These structures have the particularity to evolve much slower than the surrounding turbulence. Besides, over long time scales, abrupt transitions between different configurations of zonal jets are observed in some cases (multistability). Our approach consists in averaging the effect of fast turbulent degrees of freedom in order to obtain an effective description of the large scales of the flow, using stochastic averaging and the theory of large deviations. These tools provide theattractors, the typical fluctuations and the large fluctuations of jet dynamics. This allows to go beyond previous studies, which only describe the average jet dynamics. Our first result is an effective equation for the slow dynamics of jets, the validityof this equation is studied from a theoretical point of view, and the physical consequences are discussed. In order to describe the statistics of rare events such as abrupt transitions between different jet configurations, tools from large deviation theory are employed. Original methods are developped in order to implement this theory, those methods can be applied for instance in situations of multistability.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la notion de temps fort de stationnarité et à celle, étroitement liée, de dual de stationnarité forte. Ces outils permettent d'étu- dier la convergence de processus ergodiques, en déterminant un instant aléatoire où l'équilibre est atteint. Les espaces d'état des processus considérés ici sont des graphes continus ou discrets. Dans la première partie, on considère le cas discret, et on dégage une condition nécessaire et suffisante à l'existence, pour n'importe quelle loi initiale, d'un temps fort de stationnarité fini. Pour cela, on construit explicitement un dual de station- narité forte, à valeurs dans l'ensemble des parties connexes du graphe, qui évolue à chaque étape en ajoutant ou en enlevant des points de sa frontière. Lorsque cette opération sépare l'ensemble dual en plusieurs parties, afin de ne pas le déconnecter, une de ces parties est choisie au hasard, avec une probabilité proportionnelle à son poids par la mesure invariante. On s'intéresse également au comportement général d'un processus dual, et on donne quelques exemples différents de celui construit précédemment. Dans la deuxième partie, on traite le cas continu, et le processus étudié est alors une diffusion. On caractérise notamment sa mesure invariante, et on explicite un générateur infinitésimal qui devrait être celui d'un processus dual. Néanmoins, ce cas s'avère plus compliqué que le cas discret. Le processus dual n'est donc construit que pour un mouvement brownien sur un graphe particulier, comme l'unique so- lution d'un problème de martingale. Des pistes sont présentées pour traiter des diffusions sur des graphes plus généraux, notamment en utilisant la convergence d'une suite de processus de saut tels que ceux présentés dans la première partie. / In this thesis, we are interested in the notion of strong stationary time, and in that, strongly connected, of strong stationary dual. These tools allow to study the convergence of ergodic processes, by determining a random time when the equilibrium is reached. The state space of the considered processes are discrete or continuous graphs. In the first part, we consider the discrete case, and we explicit a necessary and sufficient condition to the existence, for any initial distribution, of a finite strong stationary time. To do so, we construct explicitly a strong stationary dual, with values in the set of connected subsets of the graph, which evolves at each step by adding or removing some points at its border. Whenever this operation separates the dual set in several parts, in order not to disconnect it, one of these parts is chosen randomly, with a probability proportionnal to its weight relative to the invariant distribution. We also study the general behaviour of any dual process,2 and we give some other examples. In the second part, we deal with the continuous case, and the studied process is then a diffuion. We caracterize its invariant distribution, and we explicit an infinitesimal generator, which is expected to be that of a dual process. Nevertheless, this case turns out to be a little more involved that the discrete one. The dual process is thus constructed only for a brownian motion on a particular graph, as the unique solution of a martingale problem. Some leads are given to solve the case of diffusions on more general graphs, especially by using the convergence of a sequence of jump processes such as those presented in the first part.

L'adhésion cellulaire est un phénomène important en biologie. Le but de ce travail est le développement d'un modèle mécanique décrivant des phénomènes d'adhésion cellulaire à différentes échelles. La première échelle, microscopique, a pour objet la description des phénomènes cinétiques moléculaires durant le rolling. La seconde échelle, mésoscopique, est relative à la modélisation des déformations actives de la cellule durant la motilité. La troisième échelle, dite macroscopique, concerne la description de l'évolution dans le temps de l'adhésion d'une population de cellules. Les simulations réalisées mettent en évidence le rolling, et la déformation active de la cellule / Cell adhesion is an important phenomenon in biology, especially in the immune defence and tissue growth.We focus in this work on the development of a mechanical model for the description of the cell adhesion in a multiscal context. The first one is microscopic scale, which describes the molecular rupture and adhesion kinetics.At the mesoscopic scale, we model the active deformation of the cell during the motility phenomenon. At the macroscopic scale, we model the time evolution of the adhesion of cell population, under the action of the fluid. Numerical simulations emphasize the rolling phenomenon and the active deformation of a cell

Cette thèse porte sur l’optimisation de l’approvisionnement dans les zones géographiquement lointaines. Au moment de planifier des approvisionnements de matières premières ou de composants dans des pays lointains, la longue distance géographique entre l’acheteur et le fournisseur devient un enjeu essentiel à prendre en compte. Puisque le transport se fait souvent par la voie maritime, le délai d’approvisionnement est si long que les besoins peuvent évoluer pendant la longue période de livraison, ce qui peut engendrer un risque de rupture élevé. Cette thèse présente des approches adaptatives afin d’élaborer des plans d’approvisionnements lointains d’une manière rentable. Tout d’abord, nous proposons un cadre d’adaptation de la planification des approvisionnements lointains. Il déploie des techniques de prévision de la demande et des méthodes d’optimisation d’approvisionnements à horizon glissant. En utilisant ce cadre, nous transformons le problème de la planification sur l’horizon globale en plusieurs problèmes standards de lotissement avec demandes stochastiques sur des sous-horizons. Ce cadre permet aussi d’évaluer la performance sur une longue période des méthodes utilisées. Nous considérons ensuite la planification optimale d’approvisionnement sur les sous-horizons. Deux hypothèses de ruptures de stocks sont considérées: livraison tardive et vente perdue (ou sous-traitance). Nous développons des approches optimales ou quasi-optimales pour faire des plans d’approvisionnement tout en minimisant les coûts totaux prévus de commande, de stockage et de rupture sur les sous-horizons. Les méthodes proposées peuvent servir de repères pour évaluer d’autres méthodes. Pour chaque hypothèse, nous menons des expériences numériques pour évaluer les algorithmes développés et les approches adaptatives de planification globales. Les résultats expérimentaux montrent bien leur efficacité. / This research discusses procurement planning problems engaged in global sourcing. The main difficulty is caused by the geographically long distance between buyer and supplier, which results in long lead times when maritime transport is used. Customer demands of finished products usually evolve during the shipment, thus extra costs will be produced due to unpredictable overstocks or stockouts. This thesis presents adaptive planning approaches to make adequate long-distance procurement plans in a cost-efficient manner. Firstly, an adaptive procurement planning framework is presented. The framework deploys demand forecasting and optimal planning in a rolling horizon scheme. In each subhorizon, demands are assumed to follow some known distribution patterns, while the distribution parameters will be estimated based on up-to-date demand forecasts and forecast accuracy. Then a portable processing module is presented to transform the sub-horizon planning problem into an equivalent standard lot-sizing problem with stochastic demands.Secondly, optimal or near-optimal procurement planning methods are developed to minimize expected total costs including setup, inventory holding and stockout penalty in subhorizons. Two extreme stockout assumptions are considered: backorder and lost sale (or outsourcing). The proposed methods can serve as benchmarks to evaluate other methods. Numerical tests have validated the high efficiency and effectiveness of both sub-horizon planning methods and the overall adaptive planning approaches.

Durant les dernières décennies, des réseaux de logistiques inverses ont été lancésdans plusieurs pays industrialisés dans l’objectif de préserver l’environnement. La mise enplace et la gestion de cette logistique concernent les différents niveaux, stratégique, tactique etopérationnel existants dans le cadre de la logistique directe pour tout système de productionde biens industriels. Pour améliorer ce type de réseau, la modélisation et la simulation sontdes outils efficaces. Après avoir présenté un état de l’art de ce domaine, notre étude sefocalise sur la planification de certains sous-ensembles (appelés maillons) de cette chaineinverse (i.e. collecte-tri, désassemblage) au niveau tactique, c'est-à-dire à moyen terme. Lebut de ce travail est donc de proposer un modèle générique en programmation linéaire dans uncontexte multi-produit et multi-période, qui cherche à maximiser le profit total du maillonétudié et qui prend en compte l’incertitude sur la qualité des produits traités. Le modèlelinéaire en nombres entiers (déterministe, stochastique et évaluation stochastique) est ainsiformulé autour d’un profit contraint par les capacités du maillon, l’évolution des stocksentrants et sortants et la livraison des produits traités aux clients, avec une politique delivraison sans déclassement ou avec déclassement des produits. / During the last decades, reverse logistics networks have been launched in severalindustrialized countries with the aim of preserving the environment. The implementation andmanagement of the reverse logistics concerns the different levels (strategic, tactical andoperational) existing in the framework of forward logistics for any production system. Toimprove this type of network, modeling and simulation are effective tools. After presenting astate of the art in this domain, our study focuses on the planning of two sub-systems of thereverse logistics chain (i.e. collection-sorting and disassembly) on the tactical level that is tosay the medium term. The aim of this work is to propose a generic model by linearprogramming in a multi-product and multi-period context, which searches for maximizingthe total profit of the sub-system studied, taking into account the uncertainty of the productssupplied. The integer linear model (deterministic, stochastic and stochastic assessment) is thusformulated around a profit constrained by the sub-system capacity, the evolution of incomingand outgoing inventory and the delivery of products to customers: a delivery policyauthorizing the quality degrading of products or not.

Dans cette recherche, un modèle de propagation d'ondes de choc sur grandes distances sur un environnement urbain est construit et validé. L'approche consiste à utiliser l'Equation Parabolique Nonlinéaire (NPE) comme base. Ce modèle est ensuite étendu afin de prendre en compte d'autres effets relatifs à la propagation du son en milieu extérieur (surfaces non planes, couches poreuses, etc.). La NPE est résolue en utilisant la méthode des différences finies et donne des résultats en accord avec d'autres méthodes numériques. Ce modèle déterministe est ensuite utilisé comme base pour la construction d'un modèle stochastique de propagation sur environnements urbains. La Théorie de l'Information et le Principe du Maximum d'Entropie permettent la construction d'un modèle probabiliste d'incertitudes intégrant la variabilité du système dans la NPE. Des résultats de référence sont obtenus grâce à une méthode exacte et permettent ainsi de valider les développements théoriques et l'approche utilisée.

Le sujet principal de la thèse sont les systèmes de particules en interaction sur des graphes soit deterministes soit aléatoires. Les systèmes de particules en interaction sont des processus de Markov qui décrivent l'évolution de particules indistingables en interaction forte les unes avec les autres qui sont utilisés pour modéliser des phénomènes d'épidémies, de dynamiques des populations ou des processus chimiques. Dans la première partie de la thèse nous avons analysé l'ordre stochastique et l'attractivité dans une classe de systèmes de particules avec des naissances, des morts et des sauts de plus d'une particule à la fois qui dépendent de la conguration de manière très générale: nous avons utilisé l'attractivité pour obtenir des resultats d'ergodicité pour des modèles d'epidemie et pour construire des mesures invariantes non-triviales pour des modèles de dinamiques de métapopulations. Dans la deuxième partie de la thèse nous avons analysé les marches aléatoires coalescentes sur des graphes aléatoires, les graphes small world. Nous avons montré que le nombre de particules d'un processus de n marches aléatoires coalescentes renormalisées qui partent d'une ensemble particulier sur le small world converge vers un processus coalescent de Kingman. Nous avons aussi obtenu des resultats detaillés sur le temps de rencontre de deux particules sur le small world.

Dans cette thèse nous traitons deux sujets. Le premier sujet concerne l'apprentissage statistique en grande dimension, i.e. les problèmes où le nombre de paramètres potentiels est beaucoup plus grand que le nombre de données à disposition. Dans ce contexte, l'hypothèse généralement adoptée est que le nombre de paramètres intervenant effectivement dans le modèle est petit par rapport au nombre total de paramètres potentiels et aussi par rapport au nombre de données. Cette hypothèse est appelée ``\emph{sparsity assumption}''. Nous étudions les propriétés statistiques de deux types de procédures : les procédures basées sur la minimisation du risque empirique muni d'une pénalité $l_{1}$ sur l'ensemble des paramètres potentiels et les procédures à poids exponentiels. Le second sujet que nous abordons concerne l'étude de procédures d'agrégation dans un modèle de densité. Nous établissons des inégalités oracles pour la norme $L^{\pi}$, $1\leqslant \pi \leqslant \infty$. Nous proposons ensuite une application à l'estimation minimax et adaptative en la régularité de la densité.