Dans le secteur automobile, la réduction de l'émission des gaz à effet de serre (CO2) passe par l'amélioration du rendement des véhicules ; pour cela, la réduction des pertes par frottement est actuellement privilégiée. Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude de la topographie des surfaces des chemises de moteurs afin de réduire le frottement entre la chemise et les segments du piston, sans détériorer la consommation d'huile. Nous avons axé notre travail sur le développement de quatre outils numériques que nous présentons dans ce qui suit. Lors des travaux antérieurs sur le même sujet, des outils d'analyse, de décomposition et de simulation de surface ont été développés par Decencière et Jeulin, grâce aux apports de la morphologie mathématique. Nous les utilisons dans le cadre de notre travail aux fins d'opérations d'analyse, filtrage, décomposition ou correction d'images. Un outil de simulation de textures est développé afin de générer de nouvelles surfaces, meilleures en termes de frottement et de consommation d'huile, tout en respectant certaines contraintes fonctionnelles par rapport aux paramètres d'une surface de référence. Un modèle de prédiction du frottement hydrodynamique entre segment et chemise est développé. Cet outil permet, notamment, de remplacer des expériences souvent coûteuses ou difficiles à mener. En partant de la résolution des équations de Navier-Stokes ou de Reynolds, l'écoulement 3D entre la chemise et les segments (animés d'une vitesse donnée par la cinématique du système) est simulé. Après la validation du modèle en le confrontant avec des écoulements analytiques simples ou des mesures expérimentales, il est utilisé pour remonter à de nombreuses mesures globales ou locales permettant d'évaluer les performances des surfaces en termes de frottement, charge, transport de lubrifiant, etc. Des travaux d'optimisation de texture sont menés, ayant comme critère de classification les mesures fournies par l'outil de prédiction, afin d'obtenir des enseignements importants sur les valeurs optimales de certains paramètres des textures. Un outil d'optimisation stochastique de formes est également développé, dans le but de mener une optimisation plus exhaustive des motifs élémentaires des textures de surface périodiques. Enfin, à partir des résultats obtenus à la suite de ces travaux d'optimisation, des nouveaux dessins de surface, générés à l'aide de l'outil de simulation, sont soumis aux tests. Ces nouvelles textures présentent des performances a priori intéressantes, qui mériteraient d'être vérifiées expérimentalement.

Le but de cette thèse est d'étudier le comportement asymptotique de diffusions auto-interactives sur $\mathbb{R}^d$. Nous étudions deux familles de processus renforcés. La première est régie par l'équation différentielle stochastique $$\mathrm{d}X_t = \mathrm{d}B_t - g(t)\nabla V(X_t -<br />\overline{\mu}_t) \mathrm{d}t,$$ où $\overline{\mu}_t$ est la moyenne de la mesure empirique du processus $X$, $V$ est un potentiel strictement uniformément convexe en dehors d'un compact et $g$ est une fonction donnée. Nous étudions alors le comportement asymptotique de $X$, en fonction de $g$. Selon la forme de $g$, on peut montrer que $X$ converge presque-sûrement (chapitre 1) ou converge en loi (chapitre 2). Dans une seconde partie, nous<br />nous intéressons à une famille plus complexe, correspondant aux diffusions renforcées par la mesure d'occupation. Il s'agit de processus satisfaisant l'équation $$\mathrm{d}X_t = \mathrm{d}B_t -\left( \nabla V(X_t)+\frac{1}{t} \int_0^t \nabla_x W(X_t,X_s) \mathrm{d}s \right) \mathrm{d}t \\<br />\mathrm{d}\mu_t = (\delta_{X_t} - \mu_t)\frac{\mathrm{d}t}{r+t}\\<br />X_0 = x, \mu_0=\mu. $$ Nous établissons une relation<br />entre le comportement asymptotique de $\mu_t$ et le comportement asymptotique d'un système dynamique déterministe (défini sur l'espace des probabilités). Nous étendons alors de précédents<br />résultats à $\mathbb{R}^d$. Nous donnons également des conditions suffisantes pour la convergence de $\mu_t$. Enfin, nous illustrons, au chaptre 5, l'étude précédente de diffusions auto-interactives par quelques exemples en dimension deux.

Les maladies animales vectorielles sont devenues depuis 2000 une préoccupation majeure pour la France et certains pays de l'Union Européenne du fait de l'apparition, la persistance et l'expansion de virus pathogènes en provenance de régions du Sud. La fièvre catarrhale du mouton (FCM) est un bon exemple de la progression en zone tempérée d'arboviroses tropicales sous l'effet, semble-t-il, de l'extension de son vecteur principal sur le littoral méditerranéen européen (Corse, îles Baléares, Catalogne, Italie, Sardaigne, Sicile, Var).<br />L'objectif de cette thèse est à la fois d'étudier les outils méthodologiques et diagnostiques disponibles pour évaluer les risques liés à la FCM et d'en développer d'autres afin d'améliorer la surveillance de cette maladie en France.<br />Une première étude a constitué en l'évaluation des performances épidémiologiques du test sérologique (ELISA de compétition) utilisé pour le diagnostic et la surveillance de la FCM en Corse et sur le continent français. Une analyse du plan de surveillance de la circulation virale dans le contexte particulier corse a également été conduite. Elle a permis notamment d'identifier les points critiques de ce dispositif. <br />Suite à la détection de la présence de Culicoides imicola, vecteur biologique impliqué dans la circulation du virus de la FCM (BTV) sur le pourtour méditerranéen, dans la vallée de l'Argens (département du Var), le besoin de développer de nouveaux outils pour surveiller et évaluer le risque de transmission de ce virus dans des zones d'implantation récente est devenu nécessaire. Une étude entomologique a ainsi été mise en place dans la vallée de l'Argens afin i) de confirmer l'installation de C. imicola dans cette zone, ii) de suivre la dynamique de cette population sur une saison d'activité, iii) de collecter des données entomologiques pour estimer le potentiel de transmission de cette population de vecteurs. Un modèle stochastique de capacité vectorielle regroupant des données spécifiques des populations locales de C. imicola et des données publiées dans la littérature est ainsi proposé. Une étude de la compétence de C. imicola vis-à-vis du sérotype 9 de la FCM a, de plus, été initiée.<br />La discussion générale s'attarde sur les points qui semblent importants pour améliorer le dispositif de surveillance et avancer vers la mise en place d'un système d'alerte précoce. Elle ouvre également de nouvelles perspectives pour prolonger l'approche intégrative proposée en incluant notamment des travaux de géomatique initiés sur C. imicola. Elle pose, de plus, la question d'un passage à une échelle d'étude plus large. Les questions de recherche que pose l'épizootie récente de FCM dans le Nord de l'Europe sont finalement examinées.

Cette thèse présente trois sujets de recherche indépendants appartenant au domaine des méthodes numériques et du contrôle stochastique avec des applications en mathématiques financières.<br /><br />Nous présentons dans la première partie une méthode non-paramétrique d'estimation des sensibilités des prix d'options. A l'aide d'une perturbation aléatoire du paramètre d'intérêt, nous représentons ces sensibilités sous forme d'espérance conditionnelle, que nous estimons à l'aide de simulations Monte Carlo et de régression par noyaux. Par des arguments d'intégration par parties, nous proposons plusieurs estimateurs à noyaux de ces sensibilités, qui ne nécessitent pas la connaissance de la densité du sous-jacent, et nous obtenons leurs propriétés asymptotiques. Lorsque la fonction payoff est irrégulière, ils convergent plus vite que les estimateurs par différences finies, ce que l'on vérifie numériquement.<br /><br />La deuxième partie s'intéresse à la résolution numérique de systèmes découplés d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades. Pour des coefficients Lipschitz, nous proposons un schéma de discrétisation qui converge plus vite que $n^{-1/2+e}$, pour tout $e>0$, lorsque le pas de temps $1/n$ tends vers $0$, et sous des hypothèses plus fortes de régularité, le schéma atteint la vitesse de convergence paramétrique. L'erreur statistique de l'algorithme dûe a l'approximation non-paramétrique d'espérances conditionnelles est également controlée et nous présentons des exemples de résolution numérique de systèmes couplés d'EDP semi-linéaires.<br /><br />Enfin, la dernière partie de cette thèse étudie le comportement d'un gestionnaire de fond, maximisant l'utilité intertemporelle de sa consommation, sous la contrainte que la valeur de son portefeuille ne descende pas en dessous d'une fraction fixée de son maximum courant. Nous considérons une classe générale de fonctions d'utilité, et un marché financier composé d'un actif risqué de dynamique black-Scholes. Lorsque le gestionnaire se fixe un horizon de temps infini, nous obtenons sous forme explicite sa stratégie optimale d'investissement et de consommation, ainsi que la fonction valeur du problème. En horizon fini, nous caractérisons la fonction valeur comme unique solution de viscosité de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante.

La thématique principale de cette thèse est la construction et l'étude de méthodes implémentables par ordinateur permettant d'approcher le régime stationnaire d'un processus ergordique multidimensionnel solution d'une EDS dirigée par un processus de Lévy. S'appuyant sur une approche développée par Lamberton&Pagès puis Lemaire dans le cadre des diffusions Browniennes, nos méthodes basées sur des schémas <br />d'Euler à pas décroissant, « exacts » ou « approchés », permettent de simuler efficacement la probabilité invariante mais également la loi globale d'un tel processus en régime stationnaire. <br />Ce travail possède des applications théoriques et pratiques diverses dont certaines <br />sont développées ici (TCL p.s. pour les lois stables, théorème limite relatif aux valeurs extrêmes, pricing d'options pour des modèles à volatilité stochastique stationnaire...).

La fatigue à nombre de cycles élevé (HCF) est un mode de défaillance courant et dangereux pour les aubages de turbomachines. Elle est induite par les efforts dynamiques élevés générés lors de résonances présentes dans la plage de fonctionnement de ces machines. Les dispositifs amortisseurs basés sur l'utilisation du frottement sec, tels que les nageoires ou les frotteurs sous-plateformes, permettent de réduire les amplitudes vibratoires, voire de repousser les fréquences de résonance hors des zones de fonctionnement. Cependant la conception de ces dispositifs reste encore largement basée sur l'empirisme et ils peuvent être la source d'un effet de désaccordage potentiellement nuisible. L'objectif ici est de développer des modélisations adaptées au traitement du problème de vibration des aubages en présence de frottement sec, ceci afin de mieux maîtriser les comportements physiques mis en jeu et donc, de mieux maîtriser leur processus de conception. Plusieurs modélisations numériques sont testées et confrontées à des résultats de référence. Une comparaison entre procédures de résolution temporelle et fréquentielle est menée et montre l'efficacité des méthodes fréquentielles. La méthode fréquentielle de la balance harmonique à plusieurs harmoniques est adaptée au problème et exploitée dans le cadre d'une étude énergétique. Cette étude conduit à une meilleure compréhension des phénomènes mis en jeu lors de l'aplatissement des pics en fonctionnement ; elle permet de démontrer que l'alternance des états de contact glissant et bloqué est à l'origine de cet aplatissement et non la dissipation d'énergie comme souvent avancé dans la littérature. Enfin, la méthode est exploitée pour décrire le comportement des disques aubés désaccordés. La méthode de Monte Carlo est utilisée pour obtenir les caractéristiques statistiques de la réponse forcée d'un système discret, en tenant compte des variations stochastiques des paramètres du contact notamment, la charge normale, la raideur du contact et le coefficient de frottement. Les résultats obtenus permettent de mieux comprendre les effets de la nature variable de ces paramètres fondamentaux sur la dynamique d'ensemble du système non linéaire.

Une mosaïque aléatoire est une partition aléatoire de l'espace euclidien en des polytopes appelés cellules. Ce type de structure apparaît dans divers domaines tels que la biologie cellulaire, les télécommunications et la segmentation d'images. Beaucoup de travail a déjà été effectué sur la cellule typique c'est-à-dire sur une cellule "choisie uniformément". Cependant, ces travaux ne tiennent pas compte de l'irrégularité de la mosaïque et d'éventuelles cellules pathologiques (par exemple, celles qui sont anormalement allongées ou anormalement grandes). Dans cette thèse, on étudie les mosaïques aléatoires par une approche inédite: celle des valeurs extrêmes. En pratique, on observe la mosaïque aléatoire dans une fenêtre et on considère une certaine caractéristique géométrique (comme le volume, le nombre de sommets ou le diamètre des cellules). Le problème de base est d'étudier le comportement du maximum et du minimum, voire des statistiques d'ordre, de cette caractéristique pour toutes les cellules de la fenêtre lorsque la taille de celle-ci tend vers l'infini. Une telle approche permet non seulement de mieux comprendre la régularité de la mosaïque mais aussi d'étudier la qualité d'une approximation discrète d'un ensemble par des cellules d'une mosaïque aléatoire. Cette approche pourrait également fournir une piste inédite pour discriminer les processus ponctuels. Les résultats de cette thèse portent principalement sur des théorèmes limites des extrêmes et des statistiques d'ordre pour diverses caractéristiques géométriques et diverses mosaïques aléatoires. En particulier, on obtient des vitesses de convergence en établissant de fines estimations géométriques. On déduit de l'étude du maximum des diamètres une majoration de la distance de Hausdorff entre un ensemble et son approximation dite de Poisson-Voronoï. On traite, notamment, de plusieurs aspects géométriques comme les problèmes de bord et la forme des cellules optimisantes. Enfin, dans le but de savoir comment se répartissent les cellules excédentes (celles dont la caractéristique est grande), on s'intéresse à la convergence de processus ponctuels associés et à la taille moyenne d'un cluster d'excédents. Les outils utilisés sont issus à la fois de la géométrie aléatoire (mesure de Palm, probabilités de recouvrement, formule de Slivnyak) et de la théorie des valeurs extrêmes (graphes de dépendance, méthode de Chen-Stein, indice extrême).

La thèse porte sur l'apport de la méthode de Laplace pour l'approximation du filtre bayésien dans des modèles de Markov cachés généraux, c'est-à-dire dans un cadre séquentiel, avec comme domaine d'application privilégié la poursuite de cibles mobiles. A la base, la méthode de Laplace est une méthode asymptotique pour le calcul d'intégrales, c'est-à-dire dans un cadre statique, valide en théorie dès que la fonction à intégrer présente un maximum de plus en plus significatif, lequel apporte la contribution essentielle au résultat. En pratique, cette méthode donne des résultats souvent très précis même en dehors de ce cadre de validité théorique. Les deux contributions principales de la thèse sont les suivantes. Premièrement, nous avons utilisé la méthode de Laplace en complément du filtrage particulaire : on sait en effet que les méthodes de Monte Carlo séquentielles basées sur l'échantillonnage pondéré sont mises en difficulté quand la fonction de pondération (ici la fonction de vraisemblance) est trop localisée, par exemple quand la variance du bruit d'observation est trop faible, or c'est précisément là le domaine où la méthode de Laplace est efficace et justifiée théoriquement, d'où l'idée naturelle de combiner les deux points de vue. Nous proposons ainsi un algorithme associant la méthode de Laplace et le filtrage particulaire, appelé le Laplace particle filter. Deuxièmement, nous avons analysé l'approximation du filtre bayésien grâce à la méthode de Laplace seulement (c'est-à-dire sans génération d'échantillons aléatoires) : il s'agit ici de contrôler la propagation de l'erreur d'approximation d'un pas de temps au pas de temps suivant, dans un cadre asymptotique approprié, par exemple quand le bruit d'observation tend vers zéro, ou quand le bruit d'état et le bruit d'observation tendent conjointement (et à la même vitesse) vers zéro, ou plus généralement quand l'information contenue dans le système tend vers l'infini, avec une interprétation en terme d'identifiabilité.

Lors de la conception des avions, il est courant que les constructeurs évaluent la sûreté de fonctionnement en utilisant des modèles stochastiques, mais l'évaluation de la fiabilité opérationnelle à l'aide de modèles en ligne, pendant la réalisation des missions, reste rarement effectuée. Souvent, l'évaluation stochastique concerne la sécurité des avions. Cette thèse porte sur la modélisation de la fiabilité opérationnelle des avions, pour aider à la planification des activités de maintenance et des missions, ainsi qu'à la bonne réalisation de ces dernières. Nous avons développé une approche de modélisation, basée sur un méta-modèle qui sert de base i) de structuration des informations nécessaires à l'évaluation de la fiabilité opérationnelle d'un avion et ii) pour la construction de modèles stochastiques pouvant être mis à jour dynamiquement. La mise à jour concerne l'état courant des systèmes avion, un profil de mission et les moyens de maintenance disponibles dans les diverses escales incluses dans le profil de la mission. L'objectif est de permettre l'évaluation de la fiabilité opérationnelle en ligne. Deux cas d'études, basés sur des sous-systèmes avion, sont considérés à titre d'illustration. Nous présentons des exemples de résultats qui montrent le rôle important de l'évaluation de la fiabilité opérationnelle pendant une mission d'avion.

Cette thèse propose un cadre mathématique pour la modélisation de la dynamique du prix et du flux d'ordres dans un marché électronique ou' les participants achètent et vendent un produit financier en soumettant des ordres limites et des ordres de marche à haute fréquence à un carnet d'ordres centralisé. Nous proposons un modèle stochastique de carnet d'ordres en tant que système de files d'attente représentant la totalité des ordres d'achat et de vente au meilleur niveau de prix (bid/ask) et nous montrons que les principales caractéristiques de la dynamique du prix dans un tel marche peuvent être comprises dans ce cadre. Nous étudions en détail la relation entre les principales propriétés du prix et la dynamique du processus ponctuel décrivant l'arrivée et l'exécution des ordres, d'abord dans un cadre Markovien (Chapitre 2) puis, en utilisant des méthodes asymptotiques, dans le cadre plus général d'un processus ponctuel stationnaire dans sa limite heavy traffic, pour lequel les ordres arrivent fréquemment, comme c'est le cas pour la plupart des marches liquides (Chapitres 3 et 4). Le Chapitre 2 étudie un modèle Markovien de dynamique de carnet d'ordres, dans lequel l'arrivée d'ordres de marche, d'ordres limites et d'annulations est d'écrite à l'aide d'un processus de Poisson ponctuel. L'état du carnet d'ordres est d'écrit par une marche aléatoire changée de temps dans le quadrant positif et régénérée à chaque fois qu'elle atteint le bord. Ce modèle permet d'obtenir des expressions analytiques pour la distribution des durées entre changements de prix, la distribution et les autocorrelations des changements de prix, ainsi que la probabilité que le prix augmente, conditionnellement à l'état du carnet d'ordres. Nous étudions la limite de diffusion du prix et exprimons la volatilité des changements de prix à l'aide de paramètres décrivant l'intensité des ordres d'achat, de vente et d'annulations. Ces résultats analytiques permettent de mieux comprendre le lien entre volatilité du prix et flux d'ordres. Le Chapitre 3 étudie un modèle plus général de carnet d'ordres pour lequel les arrivées d'ordres et les tailles d'ordres proviennent d'un processus ponctuel stationnaire très général. Nous obtenons un théorème central limite fonctionnel pour la dynamique jointe des files d'attente des ordres de vente et d'achat, et prouvons que, pour un marche liquide, dans lequel les ordres d'achat et de vente arrivent à haute fréquence, la dynamique du carnet d'ordres peut être approximée par un processus à sauts Markovien diffusant dans l'orthant et dont les caractéristiques peuvent être exprimées à l'aide de propriétés statistiques du flux d'ordres sous-jacent. Ce résultat permet d'obtenir des approximations analytiques pour plusieurs quantities d'intérêt telles que la probabilité que le prix augmente ou la distribution de la durée avant le prochain changement de prix, conditionnellement à l'état du carnet d'ordres. Ces quantités sont exprimées en tant que solutions d'équations elliptiques, pour lesquelles nous donnons des solutions explicites dans certains cas importants. Ces résultats s'appliquent à une classe importante de modèles stochastiques, incluant les mod'eles bas'es sur les processus de Poisson, les processus auto-excitants ou la famille de processus ACD-GARCH. Le Chapitre 4 est une étude plus détaillée de la dynamique du prix dans un marche où les ordres de marche, les ordres limites et les annulations arrivent à haute fréquence. Nous étudions d'abord la dynamique discrète du prix à l'échelle de la seconde et nous obtenons des relations analytiques entre les propriétés statistiques des changements de prix dans une journée -distribution des incréments du prix, retour à la moyenne et autocorrelations- et des propriétés du processus décrivant le flux d'ordres et la profondeur du carnet d'ordres. Ensuite nous étudions le comportement du prix à des fréquences vi CONTENTS vii plus faibles pour plusieurs régimes asymptotiques -limites fluides et diffusives- et nous obtenons pour chaque cas la tendance du prix et sa volatilité en fonction des intensités d'arrivées d'ordres d'achat, de vente et d'annulations ainsi que la variance des tailles d'ordres. Ces formules permettent de mieux comprendre le lien entre volatilité du prix d'un côté et le flux d'ordres, décrivant la liquidité, d'un autre cote. Nous montrons que ces résultats sont en accord avec la réalité des marches liquides.