Orientador: Luciana de Fátima Martins / Banca: Ana Claudia Nabarro / Banca: Michelle Ferreira Z. Morgado / Resumo: A geometria de superfícies pode ser estudada do ponto de vista de contato, usando ferramentas da Teoria de Singularidades. Mais precisamente, estudando as singularidades de duas funções especiais, a função¸˜ao altura que mede o contato com hiperplanos, e a função distância ao quadrado que mede o contato com hiperesferas. Nosso objetivo neste trabalho 'e o estudo do contato de superfícies singulares de posto 1 em R3 com planos e esferas. Para isto estudamos a teoria básica para estas superfícies, como seu espaço tangente e normal, as formas fundamentais, direções assintóticas e a definição e propriedades de uma curvatura especial denominada curvatura umbílica. Para classificar o tipo de contato de planos e esferas com a superfície, precisamos entender que tipos de singularidades podem surgir nas funções altura e distância ao quadrado. Para isso, estudamos também símbolos de Boardman e pontos especiais denominados roundings e flattenings / Abstract: The geometry of surfaces can be studied by the viewpoint of contact, using tools of Singularity Theory. More precisely, on studying the singularities of two special functions, height function, that measures the contact with hiperplanes, and the distance squared function, that measures the contact with hiperspheres. Our goal in this work is the study of contact between a corank 1 surface of R3 and planes and spheres. For this, we study the basic theory for these surfaces, i.e., their tangent space and normal, the fundamental forms, asymptotic directions and the definition and properties of a special curvature called umbilic curvature. In order to classify the contact type of planes and spheres with the surface, we need to understand what types of singularities may arise in the height and distance squared functions. With this goal, we study the Boardman symbols and special points called roundings and flattenings / Mestre

Submitted by Marco Antônio de Ramos Chagas (mchagas@ufv.br) on 2016-08-30T17:24:15Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 4232344 bytes, checksum: 570158c74aae3b6b7b1e909cc8bc8bce (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-30T17:24:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 4232344 bytes, checksum: 570158c74aae3b6b7b1e909cc8bc8bce (MD5) Previous issue date: 2015-08-28 / Um tema de estudo do ensino médio ́e a relação entre os números de vértices, arestas e faces, para poliedros convexos regulares, conhecida como Teorema de Euler. No caso geral esta relação ́e conhecida como característica de Euler. Neste trabalho apresentaremos exemplos de poliedros não convexos que satisfazem o Teorema de Euler e algumas formas de calcular a característica de Euler para poliedros no caso em geral, com o objetivo de fornecer um material mais acessível para professores que trabalham com este tema. / One topic of study in the high school is the relation between the number of vertices, the number of edges and the number of faces, for regular convex polyedra, known as Euler’s theorem. In the general case this relationsship is known as Euler characteristic. In this paper we present examples of non-convex polyhedrons which satisfies the Euler’s Theorem. We present some ways to computer the Euler characteristic to polyhedrons in the general case.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 4303.pdf: 3100020 bytes, checksum: 4cb674332ae9ab95428422b1d6236b72 (MD5) Previous issue date: 2012-03-19 / Universidade Federal de Sao Carlos / Given closed connected surfaces X and Y, integers n > 0 and d > 2, and for i = 1,..., n partitions (dy)j=i,...,mi of d. The 5-tuple (X, Y, n, d, (dij)) is called the branch datum of a candidate branched covering. Many works discuss when a given branch datum can be realized by a branched covering / : X > Y of degree d, with n branching points and local degree in the pre-images of branching points given by dij. Hurwitz has established an algebraic equivalence to this geometric problem, this equivalence has been used to treat the subject. In this dissertation we define dessin d'enfant, a graph on the surface X, related to a branched covering and use this tool to obtain conditions for a given branch datum be exceptional (i.e. can not be realized). We also define an alternative and more explicit version for the definition of dessin d'enfant. / Considere duas superfícies fechadas, conexas, X e Y, inteiros n > 0 e d > 2, e para i = 1,... ,n uma partição (dy)j=i,...,mi de d. A 5-upla (X,Y,n,d, (dij)) é o dado de ramificação de um candidato a recobrimento ramificado. Em muitos trabalhos discute-se quando um dado de ramificação pode ser re¬alizado por um recobrimento ramificado / : X > Y de grau d, com n pontos de ramificação e graus locais na pré-imagem dos pontos de ramificação dados por d^. Hurwitz estabeleceu uma equivalência algébrica para este problema geomé¬trico, esta equivalência tem sido utilizada para tratar do tema. Neste trabalho apresentamos a definição de dessin d'enfant, um grafo na superfície X, relacionado com um recobrimento ramificado e utilizamos esta ferramenta para obter condições que estabelecem quando um dado de ramificação é excepcional (não pode ser re¬alizado). Abordamos também uma versão alternativa para a definição de dessin d'enfant, mais completa.

Made available in DSpace on 2015-05-14T16:52:58Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-12-12Bitstream added on 2015-05-14T16:59:37Z : No. of bitstreams: 1 000829398.pdf: 735180 bytes, checksum: 47660f344914d561b93a77ad264e4c4b (MD5) / O objetivo principal deste trabalho é obter um resultado sobre separação de superficies por grafos. A Homologia Relativa é a principal ferramenta usada, obtendo uma versão particular da Dualidade de Lefschetz. Para a elaboração desta dissertação foram estudados: grafos, homologia simplicial, homologia relativa e grafos em superficies. O estudo foi baseado em grande parte no livro Graphs, Surfaces and Homology de P. J. Giblin / The main goal of this work is to get a result on separation of surfaces by graphs. The Relative Homology is the principal tool used and we get a particular version of Lefschetz duality. For the preparation of this dissertation we studied: graphs, simplicial homology, relative homology and graphs on surfaces. The study was based on the book Graphs, Surfaces and Homology of P. J. Giblin

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Departamento de Matemática, Curso de Pós-Graduação em Matemática, 2015. / Submitted by Guimaraes Jacqueline (jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-11-18T11:07:32Z No. of bitstreams: 1 2015_AdersonAraujoSilvaPorto.pdf: 967991 bytes, checksum: 97b3b5f76592c08d435bc47d979ed6fc (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2015-12-04T12:55:36Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_AdersonAraujoSilvaPorto.pdf: 967991 bytes, checksum: 97b3b5f76592c08d435bc47d979ed6fc (MD5) / Made available in DSpace on 2015-12-04T12:55:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_AdersonAraujoSilvaPorto.pdf: 967991 bytes, checksum: 97b3b5f76592c08d435bc47d979ed6fc (MD5) / Nesta dissertação, baseada em um artigo de Juan A. Aledo, José M. Espinar e José A. Gálvez, apresentamos estimativas de altura ótimas para superfícies em S2 x R e H2 x R com curvatura Gaussiana K(I) constante e curvatura extrínseca positiva, caracterizando os casos extremos como superfícies de revolução. Além disso, apresentamos uma fórmula de representação para superfícies com curvatura Gaussiana constante em tais espaços ambientes, dando especial atenção aos casos de K(I) = 1 em S2 x R e K(I) = -1 em H2 x R. ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this master thesis, based on a paper of Juan A. Aledo, José M. Espinar and José A. Gálvez, we present optimal height estimates for surfaces in S2 x R and H2 x R with constant Gaussian curvature K(I) and positive extrinsic curvature, characterizing the extreme cases as the revolution ones. Moreover, we present a representation formula for surfaces with constant Gaussian curvature in such ambient spaces, with special attention to the cases of K(I) = 1 in S2 x R and K(I) = 1 in H2 x R.

Orientador: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Thiago de Melo / Banca: Flávia Souza Machado da Silva / Resumo: O objetivo principal deste trabalho é obter um resultado sobre separação de superficies por grafos. A Homologia Relativa é a principal ferramenta usada, obtendo uma versão particular da Dualidade de Lefschetz. Para a elaboração desta dissertação foram estudados: grafos, homologia simplicial, homologia relativa e grafos em superficies. O estudo foi baseado em grande parte no livro Graphs, Surfaces and Homology de P. J. Giblin / Abstract: The main goal of this work is to get a result on separation of surfaces by graphs. The Relative Homology is the principal tool used and we get a particular version of Lefschetz duality. For the preparation of this dissertation we studied: graphs, simplicial homology, relative homology and graphs on surfaces. The study was based on the book Graphs, Surfaces and Homology of P. J. Giblin / Mestre

Orientador: Thaís Fernanda Mendes Monis / Banca: Nelson Antônio Silva / Banca: Sérgio Tsuyoshi Ura / Resumo: Nesse trabalho, consideramos o conceito de variedades topológicas. Porém, nos especializamos nas variedades conexas de dimensão 2, as chamadas superfícies. Nosso objetivo é o estudo da classificação topológica das superfícies compactas. Para isto, enunciamos e demonstramos o Teorema de classificação das superfícies compactas. Desta maneira, mostramos que toda superfície compacta orientável é homeomorfa à esfera ou a uma soma conexa de toros, e que toda superfície compacta não orientável é homeomorfa a uma soma conexa de planos projetivos / Abstract: In this work, we consider the concept of a topological manifold. However, we focus on the connected 2-dimensional manifolds, the so-called surfaces. Our goal is the study of the topological classification of the compact surfaces. In this direction, we state and prove the classification Theorem of compact surfaces. That is, we show that every orientable compact surface is homeomorphic to the sphere or to a connected sum of torus, and every non-orientable compact surface is homeomorphic to a connected sum of projective planes / Mestre

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2007. / Texto parcialmente liberado pelo autor. / Submitted by Mariana Fonseca Xavier Nunes (nanarteira@hotmail.com) on 2010-09-18T03:56:10Z No. of bitstreams: 1 2007-Ricardo Ruviaro.pdf: 158511 bytes, checksum: bd0f3b6d460ab681279b4ad86ee131c8 (MD5) / Approved for entry into archive by Carolina Campos(carolinacamposmaia@gmail.com) on 2010-09-29T16:17:47Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2007-Ricardo Ruviaro.pdf: 158511 bytes, checksum: bd0f3b6d460ab681279b4ad86ee131c8 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-09-29T16:17:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2007-Ricardo Ruviaro.pdf: 158511 bytes, checksum: bd0f3b6d460ab681279b4ad86ee131c8 (MD5) Previous issue date: 2007 / O presente trabalho de investigação tem como tema o Teorema de Bernstein. Buscou-se como objetivo demonstrar de formas diferentes o Teorema de Bernstein, já que este teorema é um resultado muito extraordinário, pois levando em conta a multiplicidade de soluções que possui a equação de Lagrange, é realmente instigante que o mero fato da solução estar definida para todo (x, y) exclua todas as soluções menos a solução trivial. Far-se-á também a demonstração para o Teorema de do Carmo-Peng e Fischer Colbrie-Schoen. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this dissertation. We give three different proofs of the Bernstein theorem and a proof of the theorem of do Carmo-Peng and Fischer Colbrie-Schoen.

Dissertação (mestrado)-Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2011. / Submitted by Gabriela Ribeiro (gaby_ribeiro87@hotmail.com) on 2011-06-27T17:35:31Z No. of bitstreams: 1 2011_RafaelaFernandesdoPrado.pdf: 1767208 bytes, checksum: 89b10fa8ca65635e8434f73793bd4a31 (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Ferreira de Souza(jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-07-13T21:04:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_RafaelaFernandesdoPrado.pdf: 1767208 bytes, checksum: 89b10fa8ca65635e8434f73793bd4a31 (MD5) / Made available in DSpace on 2011-07-13T21:04:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_RafaelaFernandesdoPrado.pdf: 1767208 bytes, checksum: 89b10fa8ca65635e8434f73793bd4a31 (MD5) / Neste trabalho, mostraremos uma generalizaçãao para um Teorema de Ribaucour que diz que a envoltória dos planos médios de uma congruência de retas isotrópica é uma superfície mínima. Para isso, usaremos coordenadas locais introduzidas em um trabalho de Guilfoyle e Klingenberg, obtendo condições para que tais coordenadas caracterizem congruências de retas isotrópicas e generalizando essas condições. Obteremos também invariantes naturais induzidos pela métrica de K ahler no espaço das retas orientadas em R3. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we'll generalize a Theorem of Ribaucour, wich says that the middle envelope of an isotropic congruence is a minimal surface. In order to do that, we'll use local coordinates _rst introduced by Guilfoyle and Klingenber, obtaining conditions so that such coordinates caracterize isotropic congruences and then generalizing these conditions. We'll also obtain natural invariants induced by a K ahler metric on the space of oriented lines in R3.

Orientador : Sueli Irene Rodrigues Costa / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-01T15:53:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Moraes_SimoneMariade_D.pdf: 3314627 bytes, checksum: 0e8930feef94d5858f8719399168c08b (MD5) Previous issue date: 2002 / Resumo: Dada uma superfície imersa em Rn, n= 4, podemos associar a cada ponto p ? M uma elipse, chamada a elipse de curvatura de M em p, definida como sendo o local geométrico de todos os pontos finais dos vetares curvatura das seções normais ao longo de todas as direções tangentes a M em p. O conceito de elipse de curvatura já é incluido em [36] de Moore e Wilson e amplamente utilizado par Little em [24] para caracterização de propriedades geométricas de superfícies em IR4. Neste trabalho estendemos o conceito para superfícies imersas em Rn, n =: 5, estabelecemos novas expressões que podem ser obtidas para parametrizações quaisquer da imersão. Em certos pontos de M esta elipse pode se degenerar em um segmento (pontos semiumbílicos de M), ou se degenerar em um ponto (pontos umbílicos de M). Através desta classificação dos pontos de M estudamos os pontos singulares de segunda ordem no sentido de Feldman da imersão [11]. Analisamos casos locais considerando a parametrização da imersão na forma de Monge, apresentamos as possíveis elipses de curvatura através do parabolóide osculador associado à superfície em um dado ponto. Alguns casos globais são analisados através da aplicação de Veronese de ordem e dimensão 2. Ainda por meio da classificação dos pontos da superfície em termos da elipse de curvatura (degenerada ou não) estabelecemos condições para que uma superfície imersa em IRn, n = 5, tenha contato de ordem 2=2 com k-planos ou k-esferas, 2=; k=; 4, em cada ponto. Estendemos as noções de umbilicidade, linhas de curvatura e configurações principais relativamente à direções normais em cada ponto da superfície, relacionando estes conceitos com direções no subespaço normal determinado pela elipse de curvatura e o respectivo subespaço normal complemento ortogonal. Caracterizamos semiumbilicidade total em termos de umbilicidade e configurações principais. Definimos direções binormais, assintóticas e convexidade local, fazendo um estudo análogo ao já conhecido para superfícies em IR4. Introduzimos o conceito de direção normal essencial, obtendo uma caracterização de convexidade local especial que nos possibilita determinar o número de direções binormais (essenciais) e assintóticas (essenciais) em cada ponto da superfície. Finalmente, obtemos algumas conclusões relacionando a existência de imersões regulares de superfícies de ordem 2 (no sentido de Feldman) e a existência campos normais essenciais globalmente definidos sobre superfícies em IRn, n = 5 / Abstract: Given a surface M immersed in IRn, n 2:=4, we can associate at each point p ? M one ellipse, called the curvature ellipse of M at p, defined as the locus of all .the end points of the curvature vectõrs of the normal sections along all the tangent directions to M at p. The curvature ellipse has been included in [36] by Moore and Wilson and used by Little in [24] to characterize geometric properties of surfaces in IR4 o Our purpose here is to extend this concept to the case of surfaces immersed in IRn, n =5 We establish new expressions for the curvature ellipse, which are suitable for arbitrary parametrizations of the surface. At certain points of M this ellipse may degenerate becoming a segment (semiumbilic points of M) or even into a point (umbilic points of M) o A classification of points of M is used to discuss singular points of order two of the immersion in the sense of Feldman. Local cases are studied through the Monge form parametrization of the immersion. The possibilities for curvature ellipses are presented by considering the osculating paraboloid associated to the surface. Some global cases are analyzed through the Veronese map of order and dimension two. Yet by means of the classification of the points of the surface by its curvature ellipse (degenerated or not) we establish conditions that an immersed surface must satisfy in order to have contact of order at least two contact with k-planes and k-spheres, k = 4, at each point. The concepts of umbilicity, curvature lines and principal configurations relatively to the normal directions at each point of the surface are extend and related to normal directions lying on the normal subspace determined by the curvature ellipse and the corresponding orthogonal complement. Total semiumbilicity is characterized in terms of umbilicity and principal configurations. The concepts of binormal and asymptotic directions and local convexity are introduced and studied by analogy with to the well know case of surfaces in IR4. We introduced the notion of essential normal direction and see that this concept provides a criterion for determining the number of binormal (essential) and asymptotic (essential) directions at each point of surface. Some conclusions relating the existence of regular immersions of order two of surfaces in IRn, n = 5, in the sense Feldman to the existence that of essential normal fields globally defined over the surfaces in IRn, n = 5, are then obtained. / Doutorado / Doutor em Matemática