Cette HDR présente des résultats récents liés à l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non-linéaires interconnectés. Elle est constituée de trois parties. La première traite des outils théoriques développés autour du concept d'ISS. La deuxième aborde des problématiques de synchronisation pour des applications aux neurosciences. La troisième présente des contributions pour la commande de systèmes par réseaux.

L'objectif de cette thèse est d'abord de modéliser, analyser, puis simuler certains modèles de métapopulations basés sur quelques approches modernes de la mobilité des humains, et ensuite d'attaquer et de résoudre la difficile question de l'existence et de la stabilité des équilibres endémiques.

Cette thèse s'articule en deux parties. Dans la première, nous étudions les équations de Saint- Venant qui modélisent le comportement des océans, et de façon générale des fluides homogènes peu profonds, au voisinage de l'équateur dans le cadre d'une rotation rapide de la Terre. Grâce à ces hypothèses et aux équations de Navier-Stokes, nous commencerons par obtenir un modèle également connu sous le nom d' Equatorial Shallow Water System . Les équations obtenues font apparaître un paramètre de pénalisation " contenant les hypothèses de petitesse faites pour obtenir ce système simplifié. L'étude de la matrice de pénalisation permettra par une méthode de filtrage d'exhiber un système limite formel lorsque le paramètre " tend vers zéro pour lequel nous donnerons une condition nécessaire et su sante de globalité. Nous montrerons ensuite la convergence des solutions filtrées vers la solution du système limite. Dans la deuxième partie, nous exhiberons une classe de données initiales engendrant une solution globale aux équations de Navier-Stokes dans R3. En e et, les solutions de ces équations sont globales dans le cadre bidimensionnel mais dans le cas tridimensionnel, il faut rajouter, par exemple, des conditions su santes de petitesse des données initiales pour que la solution n'explose pas en temps ni. Nous prouverons que si on considère une donnée initiale ayant un spectre proche du plan horizontal alors elle engendre une solution globale des équations de Navier-Stokes. De plus, nous montrerons que, sous certaines hypothèses, la perturbation d'une donnée initiale engendrant une solution globale, par ce type de données au spectre quasi-horizontal, engendre encore une solution globale.

Dans ce travail nous démontrons un théorème de simplification uniforme concernant les équations différentielles ordinaires du second ordre singulièrement perturbées au voisinage d'un point dégénéré, appelé point tournant. Il s'agit d'une version analytique d'un résultat formel dû à Hanson et Russell, qui généralise un théorème connu de Sibuya. Pour traiter ce problème, nous utilisons les développements asymptotiques combinés Gevrey introduits par Fruchard et Schäfke. Dans une première partie nous rappelons les définitions et théorèmes principaux de cette récente théorie. Nous établissons trois résultats généraux que nous utilisons ensuite dans la seconde partie de ce manuscrit pour démontrer le théorème principal de réduction analytique annoncé. Enfin nous considérons des équations différentielles ordinaires d'ordre supérieur à deux, singulièrement perturbées à point tournant, et nous démontrons un théorème de réduction analytique.

Cette thèse est consacrée à l'étude des décalages, ou encore systèmes dynamiques symboliques, définis sur certains monoïdes finiment présentés, $Z^d$ d'une part et les arbres d'autre part. Le principal résultat concernant les décalages multidimensionnels établit que tout décalage effectif de dimension d est obtenu par facteur et sous-action projective d'un décalage de type fini de dimension d+1. De ce résultat nous déduisons que les décalages S-adiques multidimensionnels donnés par une suite effective de substitutions sont sofiques. Sur les décalages d'arbres nous montrons un théorème de décomposition, qui permet d'écrire une conjugaison entre deux décalages d'arbres quelconques comme une suite finie d'opérations élémentaires, les fusions entrantes et les éclatements entrants. De ce théorème, associé à la commutation des fusions entrantes, nous déduisons la décidabilité du problème de conjugaison entre deux décalages d'arbres de type fini. Nous nous intéressons ensuite à la classe des décalages d'arbres sofiques, qui sont exactement ceux reconnus par des automates d'arbres montants dans lesquels tous les états sont à la fois initiaux et finaux. Nous montrons l'existence d'un unique automate d'arbres déterministe, réduit, irréductible et synchronisé qui reconnaît un décalage d'arbres sofique. Enfin nous montrons que l'appartenance à la sous-classe des décalages d'arbres AFT est décidable

Cette thèse se consacre aux études des comportements de longtemps des solutions pour les EDPs nonlinéaires qui sont proches d'une EDP linéaire ou intégrable hamiltonienne. Une théorie de la moyenne pour les EDPs nonlinéaires est presenté. Les modèles d'équations sont les équations Korteweg-de Vries (KdV) perturbées et quelques équations aux dérivées partielles nonlinéaires faiblement.

Cette thèse est consacrée à l'introduction d'une compactification des familles de fractions rationnelles dynamiquement marquées de degré d>1 utilisant la compactification de Deligne-Mumford dans le cas particulier du genre zéro. Nous montrerons que les éléments du compactifié peuvent être identifiés à des revêtements d'arbres de sphères dynamiques dont nous donnerons quelques propriétés propres. Dans ce cadre nous pouvons retrouver les résultats démontrés à ce jour par J. Kiwi sur les limites renormalisées sans utiliser les espaces de Berkovich et ré-interpréter d'autres travaux.

Dans cette thèse, nous étudions les solutions des équations Hamilton-Jacobi. Plus précisément, nous comparons la solution de viscosité, obtenue comme limite de solutions de l'équation perturbée par un petit terme de diffusion, et la solution minmax, définie géométriquement à partir d'une fonction génératrice quadratique à l'infini. Dans la littérature, il y a des cas bien connus où les deux coïncident, par exemple lorsque le hamiltonien est convexe ou concave, le minmax pouvant alors être réduit à un min ou un max. Mais les solutions minmax et de viscosité diffèrent en général. Nous construisons des "minmax itérés" en répétant pas à pas la procédure de minmax et démontrons que, quand la taille du pas tend vers zéro, les minmax itérés tendent vers la solution de viscosité. Dans une deuxième partie, nous étudions les lois de conservation en dimension un d'espace par le méthode de "front tracking". Nous montrons que dans le cas où la donnée initiale est convexe, la solution de viscosité et le minmax sont égaux. Et comme application, nous décrivons sur des exemples la manière dont sont construites les singularités de la solution de viscosité. Pour finir, nous montrons que la notion de minmax n'est pas aussi évidente qu'il y paraît.

Ce mémoire de thèse présente deux nouvelles approches pour l'analyse et la commande des systèmes non-linéaires complexes, comme les systèmes dynamiques à commutation de la classe des convertisseurs d'énergie électrique. Ces systèmes ont plusieurs modes de fonctionnement et ont un point de fonctionnement désiré qui, en général, n'est le point d'équilibre d'aucun des modes. Dans cette classe de systèmes, la commutation d'un mode de fonctionnement à un autre est commandée selon une loi qui doit être synthétisée. Par conséquent, la synthèse de commande implique l'étude des conditions qui permettent à un cycle limite stable de s'établir au voisinage du point de fonctionnement désiré, puis de la trajectoire de commande qui permet de l'atteindre en respectant les contraintes physiques de comportement (courant maximum supporté par les composants,. . .) ou les contraintes de temps (durée minimum entre deux commutations,. . .). Le cycle limite sera qualifié d'hybride car il est composé de plusieurs dynamiques(deux dans ces travaux).La première méthode développée s'appuie sur les propriétés géométriques des champs de vecteurs et est une extension d'une partie des travaux de thèse de Manon au LAGEP. Une condition nécessaire et suffisante d'existence et de stabilité d'un cycle limite hybride composé d'une séquence de deux modes de fonctionnement dans IR2 est présentée. Ce cycle définit la région finale à atteindre par le système depuis son état initial, par une trajectoire déterminée de manière optimale selon un critère donné (durée totale, énergie dépensée, . . .). La méthode proposée est appliquée aux convertisseurs d'énergie Buck et Buck-Boost alimentant une charge résistive. Une extension à IRn a été proposée et démontrée. Elle est illustrée sur un système non-linéaire dans IR3.La deuxième méthode est développée dans IR2 et basée sur la théorie de Lyapunov, bien connue en automatique pour étudier la stabilité des systèmes non-linéaires et concevoir des commandes stabilisantes.Il s'agit de déterminer par une approche géométrique, une fonction de Lyapunov quadratique commune aux deux modes de fonctionnement du système, qui permette d'obtenir un cycle limite hybride stable le plus proche possible du point de fonctionnement désiré et une commande stabilisante directe des interrupteurs

Aujourd’hui, la localisation de robots sous-marins demeure une tâche complexe. L’utilisation de capteurs habituels est impossible sous la surface, tels que ceux reposant sur les systèmes de géolocalisation par satellites. Les approches inertielles sont quant à elles limitées par leur forte dérive dans le temps. De plus, les fonds marins sont généralement homogènes et non structurés, rendant difficile l’utilisation de méthodes SLAM connues, qui couplent la localisation et la cartographie de manière simultanée. Il devient donc nécessaire d’explorer de nouvelles alternatives. Notre approche consiste à traiter un problème de SLAM de manière purement temporelle. L’originalité de ce travail est de représenter le temps comme une variable classique qu’il faut estimer. Cette stratégie soulève de nouvelles opportunités dans le domaine de l’estimation d’état, permettant de traiter de nombreux problèmes sous un autre angle. Toutefois, une telle résolution temporelle demande un ensemble d’outils théoriques qu’il convient de développer. Cette thèse n’est donc pas seulement une contribution dans le monde de la robotique mobile, elle propose également une nouvelle démarche dans les domaines de la propagation de contraintes et des méthodes ensemblistes. Cette étude apporte de nouveaux outils de programmation par contracteurs qui permettent le développement de solveurs pour des systèmes dynamiques. Les composants étudiés sont mis en application tout au long de ce document autours de problèmes robotiques concrets. / The localization of underwater robots remains a challenging issue. Usual sensors, such as Global NavigationSatellite System (GNSS) receivers, cannot be used under the surface and other inertial systems suffer from a strong integration drift. On top of that, the seabed is generally uniform and unstructured, making it difficult to apply usual Simultaneous Localization and Mapping (SLAM) methods to perform a localization.Hence, innovative approaches have to be explored. The presented method can be characterized as a raw-data SLAM approach, but we propose a temporal resolution – which differs from usual methods – by considering time as a standard variable to be estimated. This concept raises new opportunities for state estimation, under-exploited so far. However, such temporal resolution is not straightforward and requires a set of theoretical tools in order to achieve the main purpose of localization.This thesis is thus not only a contribution in the field of mobile robotics, it also offers new perspectives in the areas of constraint programming and set-membership approaches. We provide a reliable contractor programming framework in order to build solvers for dynamical systems. This set of tools is illustrated throughout this document with realistic robotic applications.