On s’intéresse à la dynamique dans un voisinage d’un point fixe d’une fonction antiholomorphe d’une variable. Dans un premier temps, on cherche à décrire et à comprendre l’espace des orbites dans un voisinage d’un point fixe multiple, appelé point parabolique, et à explorer les propriétés géométriques préservées par les changements de coordonnée. En particulier, on résout le problème de classification analytique des points paraboliques. Résoudre ce problème consiste à définir un module de classification complet qui permet de déterminer si deux germes de difféomorphismes antiholomorphes sont analytiquement conjugués dans un voisinage de leur point fixe parabolique. On examine également les applications du module à différents problèmes : i) extraction d’une racine n-ième antiholomorphe, ii) existence d’une courbe analytique invariante sous la dynamique d’un germe antiholomorphe parabolique et iii) centralisateur d’un germe antiholomorphe parabolique. Dans un second temps, on étudie les déploiements génériques d’un point fixe double, soit un point parabolique de codimension 1. Les questions sont de nature similaire, à savoir comprendre l’espace des orbites et les propriétés géométriques des déploiements. Afin de classifier les déploiements génériques, on déploie le module de classification pour les points paraboliques, ce qui permet d’obtenir des conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer lorsque deux déploiements génériques sont équivalents. / We are interested in the dynamics in a neighbourhood of a fixed point of an antiholomorphic function of one variable. First, we want to describe and understand the space of orbits in a neighbourhood of a multiple fixed point, called a parabolic point, and to explore the geometric properties preserved by changes of coordinate. In particular, we solve the problem of analytical classification of parabolic fixed points. To solve this problem, we define a complete modulus of classification that allows to determine whether two germs of antiholomorphic diffeomorphisms are analytically conjugate in a neighbourhood of their parabolic fixed point. We also consider the applications of the modulus to different problems: i) extraction of an n-th antiholomorphic root, ii) existence of an invariant real analytical curve under the dynamics of a parabolic antiholomorphic germ, and iii) centraliser of a parabolic antiholomorphic germ. In the second part, we study generic unfoldings of a double fixed point, i.e. a parabolic point of codimension 1. The questions are similar in nature, namely to understand the space of orbits and the geometric properties of unfoldings. In order to classify generic unfoldings, the modulus of classification of the parabolic point is unfolded, thus providing the necessary and sufficient conditions to determine when two generic unfoldings are equivalent.

Ce travail présente des contributions théoriques et appliquées dans le contexte des systèmes dynamiques discrets vus comme modèles des réseaux de régulation biologique. En mettant en avant le fait qu'accroître les connaissances du vivant nécessite aujourd'hui de mieux comprendre les propriétés mathématiques qui le régissent, il développe diverses réflexions menées en bio-informatique théorique en se fondant sur le formalisme des réseaux d'automates, notamment booléens. Les trois principaux thèmes abordés sur ces réseaux sont la robustesse environnementale, la combinatoire comportementale et la robustesse structurelle. La robustesse environnementale est notamment évoquée à travers une étude de la manière dont les réseaux d'automates réagissent face à l'influence de conditions de bord fixées (on y retrouve une généralisation au cas non-linéaire d'un résultat connu dans le domaine des automates cellulaires). La combinatoire comportementale est quant à elle abordée par les cycles d'interaction dont on connaît l'importance sur la dynamique des réseaux. Pour ces motifs particuliers et leurs intersections sont présentées des caractérisations combinatoires de leur comportement asymptotique en parallèle, qui font ensuite l'objet de comparaisons. Enfin, le thème de la robustesse structurelle est traité au travers du concept de graphe de transition général, qui a mené à mettre en évidence tous les comportements possibles des cycles d'interaction, à donner une classification de la robustesse des réseaux vis-à-vis de leur asynchronisme/synchronisme, de laquelle se sont imposées des études plus précises sur le rôle de la non-monotonie dans ces réseaux.

La vectorisation de poussée par actionneurs fluidiques permet d'accroître la manoeuvrabilité des appareils tout en minimisant l'impact sur la masse de l'engin. La petite dimension de la section d'éjection d'une tuyère rectangulaire a été modifiée et équipée d'un actionneur pneumatique, dans l'objectif d'étudier la vectorisation en lacet du jet. Les performances en vectorisation du jet sont investiguées par l'intermédiaire de mesures par vélocimétrie par images de particules (PIV) ; les résultats d'une modélisation numérique RANS, associés aux visualisations expérimentales, permettent d'établir un scénario des mécanismes responsables de la mise en mouvement de l'écoulement. Une discussion quant aux limitations du dispositif peut alors être apportée. Les résultats d'une campagne de mesure par vélocimétrie laser Doppler dans le sillage de l'actionneur permettent de quantifier l'impact de la vectorisation sur la couche de mélange. Il s'avère de plus, que les modifications apportées à la buse génèrent un réseau de chocs particulier qui, associé à l'acoustique se propageant dans la partie subsonique de l'écoulement, impose au jet un battement transversal bidimensionnel très important. La dynamique de ce battement est étudiée par l'intermédiaire d'une analyse par décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD) appliquée à des visualisations strioscopiques. On démontre alors le couplage entre le battement du jet et les ondes acoustiques non linéaires dans la région subsonique. Cette dynamique se révèle très robuste, puisqu'encore présente en régime vectorisé.

Ce travail de thèse porte sur la dynamique du flot linéaire des surfaces de translation et de sa renormalisation par le flot de Teichmüller introduite par H. Masur et W. Veech en 1982. Une version combinatoire de cette renormalisation, l'induction de Rauzy sur les échanges d'intervalles, fût introduite auparavant par G. Rauzy en 1979. D'une part, nous faisons une étude combinatoire des classes de Rauzy qui forment une partition de l'ensemble des permutations irréductibles et interviennent dans l'algorithme d'induction de Rauzy. Nous donnons une formule pour la cardinalité de chaque classe. D'autre part, nous étudions un modèle de billard infini périodique dans le plan appelé le "vent dans les arbres" introduit dans une version stochastique par P. et T. Ehrenfest en 1912 et par J. Hardy et J. Weber en 1980 dans la version périodique. Nous construisons une famille de directions pour lesquelles le flot du billard est divergent donnant ainsi des exemples de Z^2-cocycles divergents au-dessus d'échanges d'intervalles. De plus, nous démontrons que le taux polynomial de diffusion générique est 2/3 autrement dit que la distance maximale atteinte par une particule au temps t est de l'ordre de t^2/3. / In this thesis, we study the dynamics of the linear flow of translation surfaces and its renormalization by the Teichmüller flow introduced by H. Masur and W. Veech in 1982. A combinatorial version of the renormalization, the Rauzy induction on interval exchange transformations, was introduced by G. Rauzy in 1979. First of all, we consider the combinatorics of Rauzy classes which form a partition of the set of irreducible permutations and are part of the Rauzy induction. In a second time, we consider an infinite Z^2-periodic billiard in the plane called the wind-tree model. It was introduced in a stochastic version by P. and T. Ehrenfest in 1912 and in the periodic version by J. Hardy and J. Weber in 1980. We construct a family of directions for which the flow of the billiard is divergent and hence give examples of divergent Z^2-cocycles over interval exchange transformations. Moreover, we prove that the polynomial rate of diffusion is generically 2/3. In other words, the maximal distance reached by a particule below time t has the order of t^2/3.

Cette thèse traite de l’analyse robuste du comportement dynamique des systèmes frottants. Ces derniers constituent une classe particulière des systèmes non linéaires et sont caractérisés par des comportements dynamiques très sensibles aux variations des paramètres de conception en particulier aux dispersions des lois de frottement. Cette sensibilité se traduit par des variations qualitatives importantes du comportement dynamique (stabilité, niveaux vibratoire) qui peuvent alors affecter négativement les performances des systèmes frottants. Il est ainsi important, voire indispensable, de pouvoir tenir compte de la dispersion des lois de frottement dans l’étude et l’analyse du comportement dynamique des systèmes frottants afin d’en garantir la robustesse et, dans une perspective plus générale, d’asseoir une démarche de conception robuste des systèmes frottants. Des méthodes spectrales basées sur le concept du chaos polynomial sont proposées dans cette thèse pour traiter de l’analyse robuste du comportement dynamique des systèmes frottants. Pouvant modéliser les fonctions et processus stochastiques, ces méthodes sont adaptées au problème en particulier à l’analyse de la stabilité et à la prédiction des niveaux vibratoires en tenant compte de la dispersion des lois de frottement. Différentes procédures sont proposées et développées pour traiter de ces deux questions. Une efficacité importante a été illustrée à travers l’évaluation des différentes méthodes proposées (chaos polynomial généralisé, chaos polynomial multi-éléments, chaos de Wiener-Haar) en les appliquant sur un exemple de système frottant. En effet, il est montré que ces méthodes offrent une alternative très intéressante à la méthode prohibitive, mais référentielle, de Monte Carlo puisque, pour des niveaux de précision et de confiance similaires, le coût en nombre, en volume et nécessairement en temps de calcul occasionné par les méthodes spectrales sur les différentes analyses (de la stabilité et des niveaux vibratoire) est largement inférieur à celui requis par la technique de Monte Carlo. / This thesis deals with the robust analysis of the dynamic behaviour of dry friction systems. These are a special class of nonlinear systems and are characterized by dynamic behaviors very sensitive to changes in design parameters in particular to dispersions of friction laws. This sensitivity results in important qualitative changes (stability, vibration levels) that can adversely affect the performances of friction systems. It is thus important, even essential, to take account of the dispersion laws of friction in the study and analysis of the dynamic behavior of friction systems in order to ensure robustness and, in a more general perspective, to establish a robust design approach for friction systems. Spectral methods based on the concept of polynomial chaos are proposed in this thesis to address these problems. The spectral methods can model random functions and stochastic processes so they have been adapted to deal with the robust analysis of the dynamic behavior of frictions systems subjected to random friction coefficient. Different procedures are proposed and developed to, analyze with robustness the stability of friction system in a first step and to predict and estimate the vibratory levels of the same systems. High efficiency is demonstrated by evaluating the various proposed methods (generalized polynomial chaos, multi-element polynomial chaos, Wiener-Haar chaos) on the two issues considered. Indeed, it is shown that these methods offer an attractive alternative to the prohibitive, but referential, Monte Carlo method since, for similar levels of accuracy and confidence, the cost in terms of number and volume of calculus and thus in time of computing occasioned by the spectral methods on the different problems (robust stability and vibration levels analysis) is well lower than the one occasioned by the Monte Carlo technique.

Les gyroscopes laser à gaz constituent une solution technique de haute performances dans les problématiques de navigation inertielle. Néanmoins, pour de très faibles vitesses de rotation, les petites imperfections des miroirs de la cavité optique font que les deux faisceaux contra-propageant sont verrouillés en phase. En conséquence, les mesures en quadrature de leur différence de phase ne permettent plus de remonter directement aux vitesses de rotation à l'intérieur d'une zone autour de zéro, dite zone aveugle statique, ou, si l'on utilise une procédure d'activation mécanique, dite zone aveugle dynamique. Ce travail montre qu'il est néanmoins possible, en utilisant des méthodes issues du filtrage et de l'estimation, de remonter aux vitesses de rotation mêmes si ces dernières sont en zone aveugle. Pour cela, on part d'une modélisation physique de la dynamique que l'on simplifie par des techniques de perturbations singulières pour en déduire une généralisation des équations de Lamb. Il s'agit de quatre équations différentielles non-linéaires qui décrivent la dynamique des intensités et des phases des deux faisceaux contra-propageant. Une étude qualitative par perturbations régulières, stabilité exponentielle des points d'équilibre et applications de Poincaré permet de caractériser les zones aveugles statiques et dynamiques en fonction des imperfections dues aux miroirs. Il est alors possible d'estimer en ligne avec un observateur asymptotique fondé sur les moindre carrés récursifs ces imperfections en rajoutant aux deux mesures en quadrature celles des deux intensités. La connaissance précise de ces imperfections permet alors de les compenser dans la dynamique de la phase relative, et ainsi d'estimer les rotations en zone aveugle. Des simulations numériques détaillées illustrent l'intérêt de ces observateurs pour augmenter la précision des gyroscopes à gaz. / Gaz ring laser gyroscopes provide a high performance technical solution for inertial navigation. However, for very low rotational speeds, the mirrors imperfections of the optical cavity induce a locking phenomena between the phases of the two counter-propagating Laser beams. Hence, the measurements of the phase difference can no longer be used when the speed is within an area around zero, called lock-in zone, or,if a procedure of mechanical dithering is implemented, dithering lock-in zone. Nevertheless, this work shows that it is possible using filtering and estimation methods to measure the speed even within the lock-in zones. To achieve this result, we exploit a physical modeling of the dynamics that we simplify, using singular perturbation techniques, to obtain a generalization of Lamb's equations. There are four non-linear differential equations describing the dynamics of the intensities and phases of the two counter-propagating beams. A qualitative study by regular perturbation theory, exponential stability of the equilibrium points and Poincaré maps allows a characterisation of the lock-in zones according to the mirrors imperfections. It is then possible to estimate online, with an asymptotic observer based on recursive least squares, these imperfections by considering the additional measurements of the beam intensities. Accurate knowledge of these imperfections enables us to compensate them in the dynamic of the relative phase, and thus to estimate rotational speeds within the lock-in zones. Detailed numerical simulations illustrate the interest of those observers to increase the accuracy of gas ring laser gyroscopes.

La maladie de Newcastle (MN) grève lourdement les productions aviaires malgaches, essentielles à l'alimentation et à l'économie familiales. La MN est une dominante pathologique en l'absence de vaccination généralisée. L'objectif de cette thèse est la modélisation, la validation et l'analyse mathématique de modèles de transmission du virus de la MN (VMN) dans les systèmes avicoles villageois en général et à Madagascar en particulier. Nous proposons de nouveaux modèles basés sur les connaissances actuelles de l'histoire naturelle de la transmission du VMN. Ainsi, nous présentons deux modèles mathématiques à compartiments de la transmission du VMN dans une population de poules : un premier modèle avec transmission environnementale et un deuxième modèle où la vaccination contre la maladie est prise en compte. Nous présentons une analyse complète de la stabilité de ces modèles à l'aide des techniques de Lyapunov suivant la valeur du taux de reproduction de base R0. Le travail s'est appuyé sur des enquêtes de terrain pour comprendre les pratiques de vaccination actuelles à Madagascar. / Newcastle disease (ND) severely harms Malagasy bird productions, mainly uses to food and family economy. ND is a pathological dominant without general vaccination. The objective of this thesis is modelling the transmission of ND virus (NDV) in smallholder chicken farms in general and, Madagascar in particular. We propose new models based on the state of art and the epidemiology currently known from the transmission of the NDV. Thus, we present two models of the transmission of NDV: a first model with environmental transmission and a second model in which imperfect vaccination of chickens is considered. We present a thorough analysis of the stability of the models using the Lyapunov techniques and obtain the basic reproduction ratio R0. This work is based on field surveys to understand the current vaccination practices in Madagascar.

La commande à transmissions événementielles est une approche dans laquelle les instants de transmission sont définis selon un critère dépendant de l'état du système et non plus d'une horloge à l'instar des implantations périodiques. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur la synthèse de telles lois de commande par retour de sortie. Les contributions sont les suivantes : (i) nous proposons une méthode de synthèse dite par émulation pour des systèmes non linéaires; (ii) nous présentons une méthode de synthèse jointe de la loi de commande et de la condition de déclenchement pour les systèmes linéaires; (iii) nous nous intéressons au cas de systèmes non linéaires singulièrement perturbés et nous construisons le contrôleur à partir d’approximation de la dynamique lente uniquement. / Event-triggered control is a sampling paradigm in which the sequence of transmission instants is determined based on the violation of a state-dependent criterion and not a time-driven clock. In this thesis, we deal with event-triggered output-based controllers to stabilize classes of nonlinear systems. The contributions of the presented material are threefold: (i) we stabilize a class of nonlinear systems by using an emulation-based approach; (ii) we develop a co-design procedure to simultaneously design the output feedback law and the event-triggering condition for linear systems; (iii) we propose stabilizing event-triggered controllers for nonlinear systems whose dynamics have two-time scales (in particular, we only rely on the knowledge of an approximate model of the slow dynamics)

Les travaux de cette thèse portent sur l’analyse de stabilité et la synthèse de commande pour les systèmes singulièrement perturbés. Dans une première partie, nous présentons et analysons une classe générale de systèmes linéaires hybrides singulièrement perturbés dans lesquels la nature lente et rapide des variables d’état dépend du mode de fonctionnement. L’analyse de stabilité est fondée sur des résultats classiques de la théorie de Lyapunov pour les systèmes singulièrement perturbés. Une deuxième partie de ce travail présente la conception d’une loi de commande décentralisée qui garantit la synchronisation des systèmes multi-agents singulièrement perturbés avec un coût global garanti. Afin de contourner l’utilisation d’informations centralisées liées à la structure du réseau d’interconnexion, le problème est résolu en reformulant le problème de synchronisation comme un problème de stabilisation d’un système linéaire incertain singulièrement perturbé / This PhD thesis is dedicated to the study of stability and control design for singularly perturbed systems. In the first part, we introduce and analyze a general class of singularly perturbed linear hybrid systems, in which the slow or fast nature of the variables is mode-dependent. Our stability analysis is based on classical results of Lyapunov’s theory for singularly perturbed systems. A second part of this work presents the design of a decentralized control strategy that allows singularly perturbed multi-agent systems to achieve synchronization with global performance guarantees. To avoid the use of centralized information related to the interconnection network structure, the problem is solved by rewriting the synchronization problem in terms of stabilization of a singularly perturbed uncertain linear system

Ce mémoire de thèse traite du développement des dynamiques et des lois de commande de vol d’un projectile d’artillerie gyrostabilisé guidé par une tête découplée. Un modèle non linéaire du projectile est proposé, et sert à calculer un modèle linéarisé de la dynamique de roulis du nez et un modèle q-LPV des chaînes de tangage et de lacet à paramètres fortement variants. Les incertitudes de modélisation sont prises en compte pour concevoir l’autopilote. Des propriétés importantes des projectiles gyrostabilisés, qui sont liées au couplage dynamique tangage/lacet, aux modes internes et à la stabilité, sont mises en valeur grâce au modèle q-LPV. En vue de l’utiliser pour calculer une loi de commande, la dimension de son vecteur des paramètres est réduite et la position des capteurs intégrés dans le nez est considérée. Un seul correcteur linéaire est suffisant pour la dynamique de l’angle de roulis du nez alors qu’une stratégie systématique de commande par séquencement de gains basée sur une linéarisation est élaborée séparément pour générer un correcteur séquencé des facteurs de charge de tangage et de lacet. Des structures de commande fixées d’ordre réduit sont conçues en appliquant la même approche de synthèse linéaire H∞ par façonnage de gain de boucle pour les axes de roulis et de tangage/lacet. De très bonnes propriétés de performance et de robustesse en boucle fermée, comparables à celles fournies par des correcteurs d’ordre plein, sont obtenues. Finalement, l’efficacité de l’autopilote augmenté d’une loi de guidage par navigation proportionnelle pure est vérifiée via de nombreuses simulations non linéaires de trajectoires. Ces dernières correspondent à des scénarios de vol nominaux d’interception de cibles balistiques, non balistiques immobiles, ou manœuvrantes, ainsi qu’à des scénarios considérant des perturbations sur les conditions de tir ou sur les dynamiques du projectile guidé / This thesis addresses the development of the flight dynamics and control laws for an artillery spin-stabilized projectile equipped with a decoupled guidance nose. A projectile nonlinear model is discussed, and it is used for computing a linearized model of the nose roll dynamics along with a q-LPV model of the highly parameter-varying pitch/yaw-dynamics. Modeling uncertainty is taken into account for autopilot design. Important properties specific to spin-stabilized projectiles, which are relevant to pitch/yaw-channel cross-coupling, internal modes and stability, are highlighted using the q-LPV model. In order to use the latter for calculating a control law, the dimension of its parameter vector is reduced and the position of the nose-embedded sensors is considered. A single linear controller is sufficient for the nose roll angle dynamics whereas a systematic linearization-based gain-scheduled control strategy is separately devised to provide a pitch/yaw-axis load factor gain-scheduled controller. Controllers of reduced-order fixed structures are computed by applying the same H∞ linear design loop-shaping approach for the roll and pitch/yaw-axes. Very good closed-loop performance and robustness properties, which are similar to those provided by full order controllers, are obtained. Finally, the effectiveness of the autopilot augmented by a pure proportional navigation guidance law is verified through a variety of nonlinear trajectory simulations. The latter correspond to nominal flight scenarios with ballistic, non-ballistic stationary, and maneuvering interception points, and to scenarios with perturbed launch conditions or guided projectile dynamics