Les travaux présentés dans cette thèse portent sur des problématiques de modélisation mathématique de lutte biologique augmentative et des recommandations pratiques qui en sont dérivées. La lutte biologique est une méthode de phytoprotection visant à combattre les ravageurs des cultures à l'aide de leurs ennemis naturels ; son développement est crucial en vue de diminuer l'utilisation de pesticides dont les conséquences néfastes sont reconnues, notamment sur la santé des agriculteurs et des consommateurs, mais aussi sur l'environnement. Il est donc nécessaire de proposer et développer des méthodes de lutte biologique efficaces. Dans cette thèse, nous nous intéressons plus particulièrement à la lutte biologique augmentative, qui consiste à lâcher périodiquement des ennemis naturels qui n'ont pas la capacité de s'établir dans l'environnement en l'absence des ravageurs cibles. Nous introduisons une famille générique de modèles représentant d'une part la relation proie / prédateur à la base de la lutte biologique sous forme d'événements discrets. Nous précisons ensuite ce modèle pour diverses situations rencontrées dans le cadre de la lutte biologique et indiquons quelles en sont les conséquences sur les stratégies de déploiements des ennemis naturels : nous étudions notamment l'effet d'interférences entre prédateurs pour l'accès aux proies, l'existence de relations de cannibalisme entre prédateurs et les conséquences que peuvent avoir des récoltes partielles des plantes sur l'efficacité de la lutte biologique. Enfin, nous résumons tous nos résultats sous forme de recommandations pratiques pour la lutte biologique et en présentons une validation expérimentale sur un exemple agronomique d'intérêt, dans lequel les prédateurs entretiennent des relations d'interférence.

La signalisation cellulaire regroupe l'ensemble des mécanismes biologiques permettant à une cellule de répondre de façon adaptée à son microenvironnement. Pour ce faire, de nombreuses réactions biologiques entrent en jeux avec un important enchevêtrement, créant ainsi un réseau dont le comportement s'apparente à un système complexe. Le compréhension de la réponse cellulaire à une stimulation passe par le développement conjoint des techniques d'acquisition de données, et des méthodes permettant de formaliser ces données dans un modèle. C'est sur ce dernier point que s'inscrivent les travaux exposés dans cette thèse. Nous présentons ici deux approches visant à répondre à des questions de natures différentes sur la signalisation cellulaire. Dans la première nous utilisons un modèle différentiel pour étudier le rôle d'un nouvel interactant dans la voie canonique du TGF-beta. Dans la seconde nous avons exploré la combinatoire de la signalisation cellulaire en développant un formalisme discret basé sur les transitions gardées. Cette approche regroupe l'interprétation de la base de données Pathway Interaction Database dans un unique modèle dynamique de propagation du signal. Des méthodes de simulations et d'analyses inspirées des techniques de vérification de modèles telles que l'atteignabilité et l'invariance ont été développées. En outre, nous avons étudié la régulation du cycle cellulaire en réponse à la signalisation, ainsi que la régulation des gènes de notre modèle en comparaison avec des données d'expressions.

Ce mémoire comprend les chapitres : 1) Introduction 2) La généricité et les notions de "presque toujours" 3) Dynamique générique des équations paraboliques 4) Dissipativit é de l'équation des ondes amorties et application au contrôle global 5) Etude de fronts dans des EDP dissipatives

The mathematical analysis of dynamical systems covers a wide range of challenging problems related to the time evolution, transient and asymptotic behavior, or regulation and control of physical systems. A large part of my work has been motivated by new mathematical questions arising from biological systems, especially signaling and genetic regulatory networks, where the classical methods usually don't directly apply. Problems include parameter estimation, robustness of the system, model reduction, or model assembly from smaller modules, or control of a system towards a desired state. Although many different formalisms and methodologies can be used to study these problems, in the past decade my work has focused on discrete and hybrid modeling frameworks with the goal of developing intuitive, computationally amenable, and mathematically rigorous, methods of analysis. Discrete (and, in particular, Boolean) models involve a high degree of abstraction and provide a qualitative description of the systems' dynamics. Such models are often suitable to represent the known interactions in gene regulatory networks and their advantage is that a large range of theoretical analysis tools are available using, for instance, graph theoretical concepts. Hybrid (piecewise affine) models have discontinuous vector fields but provide a continuous and more quantitative description of the dynamics. These systems can be analytically studied in each region of an appropriate partition of the state space, and the full solution given as a concatenation of the solutions in each region. Here, I will introduce the two formalisms and then, using several examples, illustrate how a combination of different formalisms permits comparison of results, as well as gaining quantitative knowledge and predictive power on a biological system, through the use of complementary mathematical methods.

Dans cette thèse, nous étudions la robustesse dans le contexte de la modélisation de systèmes complexes par les automates cellulaires. En effet, si l'on cherche à reproduire un comportement émergent à partir d'un modèle d'automate cellulaire, il nous semble nécessaire de se demander si les comportements observés sont bien le résultat d'interactions entre entités constituantes, ou bien s'ils dépendent d'une définition particulière du modèle. Nous allons ainsi être amenés à considérer la robustesse du modèle, à savoir la résistance de son comportement à de petites variations sur les attributs de sa définition. Dans un premier temps, nous montrons la pertinence de cette approche en considérant plusieurs définitions possibles d'une perturbation de la mise à jour globale et en les appliquant à une classe simple et représentative de modèles d'automates cellulaires, les Automates Cellulaires Elémentaires. Nous observons que, malgré le fait que nos perturbations soient proches et qu'une majorité des modèles considérés ne change pas de comportement, quelques cas particuliers montrent des changements qualitatifs du comportement que nous étudions plus en détail. Dans un second temps, nous appliquons cette approche en nous penchant sur un modèle particulier d'automate cellulaire, qui simule le phénomène de formation d'essaim à partir d'un modèle évolué d'automate cellulaire, le gaz sur réseau. Nous explorons la robustesse du comportement du modèle en considérant la perturbation de deux attributs du modèle, la forme de la grille cellulaire et la mise à jour globale, et en tirons les conclusions sur la relation entre l'observation du comportement et la définition précise du modèle.

Cette thèse s'intéresse aux automorphismes des surfaces algébriques réelles, c'est-à-dire les transformations polynomiales admettant un inverse polynomial. La question centrale est de savoir si leur restriction au lieu réel reflète toute la richesse de la dynamique complexe. Celle-ci est traitée sous deux aspects : celui de l'entropie topologique et celui de l'ensemble de Fatou. Pour le premier point, on introduit une quantité purement géométrique, appelée concordance, qui ne dépend que de la surface. Puis on montre que le rapport des entropies réelle et complexe est relié à cette quantité. La concordance est calculée explicitement sur de nombreux exemples de surfaces, notamment les surfaces abéliennes qui sont traitées en détails, ainsi que certaines surfaces K3. Dans la seconde partie, on étudie l'ensemble de Fatou, qui correspond aux pointscomplexes pour lesquels la dynamique est simple. On montre, grâce à des résultats antérieurs de Dinh et Sibony sur les courants positifs fermés, que celui-ci est hyperbolique au sens de Kobayashi, quitte à lui enlever certaines courbes fixées par (unitéré de) notre transformation. Cette propriété permet d'en déduire que ce lieu réel ne peut pas être entièrement contenu dans l'ensemble de Fatou, hormis quelques cas exceptionnels où la topologie du lieu réel est simple et la dynamique bien comprise. Ainsi la complexité de la dynamique est presque toujours observable sur les points réels.

Ce mémoire est un recueil et une synthèse de plusieurs études en analyse en moyenne d'algorithmes et en bioinformatique. Il y est présenté des travaux allant de l'étude de problèmes sur les séquences à l'étude de systèmes biologiques, en gardant un fil conducteur fort: quelles que soient les applications, l'objet d'étude central est une source probabiliste qui produit des mots. Ces travaux trouvent des applications en bioinformatique qui se concrétisent par la mise au point d'algorithmes dédiés de recherche de motifs et la définition de tests statistiques et en biologie des systèmes biologiques avec des développements qui ont été appliqués, en collaboration étroite avec des équipes de biologistes, à des modèles biologiques réels.

Dans ce travail, deux problèmes issus de la théorie de la stabilité ont été étudiés: la synthèse de loi de commandes stabilisantes et l'analyse de la stabilité des systèmes interconnectés sous contraintes locales et globales. En ce qui concerne la synthèse, la problématique a été de concevoir une loi de commande pour les systèmes où la technique de Backstepping ne peut pas être appliquée pour stabiliser globalement l'origine mais s'avère utile pour stabiliser le système autour d'un ensemble désiré. Ensuite, il a été considéré le problème de concevoir une loi de commande qui stabilise localement l'origine de telle sorte que le bassin d'attraction contienne l'ensemble attracteur global. La stabilité globale est obtenue à travers une commutation des lois de commande. Pour l'analyse, il a été considéré le cas où le théorème des petits gains ne peut pas être appliqué dans un intervalle fini des réels positifs. L'approche consiste à utiliser l'analyse des petits gains où il est applicable et, dehors de ces regions, il a été étudié la variation de la mesure de l'ensemble des solutions. Des conditions suffisantes sont fournies pour que l'ensemble des conditions initiales pour lesquelles les solutions correspondantes ne convergent pas à l'origine ait une mesure de Lebesgue à zéro.

Cette thèse étudie deux modèles de calcul: les marches quantiques (QW) et les automates cellulaires quantiques (QCA), en vue de les appliquer en simulation quantique. Ces modèles ont deux avantages stratégiques pour aborder ce problème: d'une part, ils constituent un cadre mathématique privilégié pour coder la description du système physique à simuler; d'autre part, ils correspondent à des architectures expérimentalement réalisables.Nous effectuons d'abord une analyse des QWs en tant que schéma numérique pour l'équation de Dirac, en établissant leur borne d'erreur globale et leur taux de convergence. Puis nous proposons une notion de transformée de Lorentz discrète pour les deux modèles, QW et QCA, qui admet une représentation diagrammatique s'exprimant par des règles locales et d'équivalence de circuits. Par ailleurs, nous avons caractérisé la limite continue d'une grande classe de QWs, et démontré qu'elle correspond à une classe d'équations aux dérivées partielles incluant l'équation de Dirac massive en espace-temps courbe de $(1+1)$-dimensions.Finalement, nous étudions le secteur à deux particules des automates cellulaires quantiques. Nous avons trouvé les conditions d'existence du spectre discret (interprétable comme une liaison moléculaire) pour des interactions à courte et longue portée, à travers des techniques perturbatives et d'analyse spectrale des opérateurs unitaires. / This thesis is devoted to the development of two well-known models of computation for their application in quantum computer simulations. These models are the quantum walk (QW) and quantum cellular automata (QCA) models, and they constitute doubly strategic topics in this respect. First, they are privileged mathematical settings in which to encode the description of the actual physical system to be simulated. Second, they offer an experimentally viable architecture for actual physical devices performing the simulation.For QWs, we prove precise error bounds and convergence rates of the discrete scheme towards the Dirac equation, thus validating the QW as a quantum simulation scheme. Furthermore, for both models we formulate a notion of discrete Lorentz covariance, which admits a diagrammatic representation in terms of local, circuit equivalence rules. We also study the continuum limit of a wide class of QWs, and show that it leads to a class of PDEs which includes the Hamiltonian form of the massive Dirac equation in (1+1)-dimensional curved spacetime.Finally, we study the two particle sector of a QCA. We find the conditions for the existence of discrete spectrum (interpretable as molecular binding) for short-range and for long-range interactions. This is achieved using perturbation techniques of trace class operators and spectral analysis of unitary operators.

Cette thèse est dédiée au développement d’algorithmes génériques pour l’observation ensembliste de l’état continu et du mode discret des systèmes dynamiques hybrides dans le but de réaliser la détection de défauts. Cette thèse est organisée en deux grandes parties. Dans la première partie, nous avons proposé une méthode rapide et efficace pour le passage ensembliste des gardes. Elle consiste à procéder à la bissection dans la seule direction du temps et ensuite faire collaborer plusieurs contracteurs simultanément pour réduire le domaine des vecteurs d’état localisés sur la garde, durant la tranche de temps étudiée. Ensuite, nous avons proposé une méthode pour la fusion des trajectoires basée sur l'utilisation des zonotopes. Ces méthodes, utilisées conjointement, nous ont permis de caractériser de manière garantie l'ensemble des trajectoires d'état hybride engendrées par un système dynamique hybride incertain sur un horizon de temps fini. La deuxième partie de la thèse aborde les méthodes ensemblistes pour l'estimation de paramètres et pour l'estimation d'état hybride (mode et état continu) dans un contexte à erreurs bornées. Nous avons commencé en premier lieu par décrire les méthodes de détection de défauts dans les systèmes hybrides en utilisant une approche paramétrique et une approche observateur hybride. Ensuite, nous avons décrit deux méthodes permettant d’effectuer les tâches de détection de défauts. Nous avons proposé une méthode basée sur notre méthode d'atteignabilité hybride non linéaire et un algorithme de partitionnement que nous avons nommé SIVIA-H pour calculer de manière garantie l'ensemble des paramètres compatibles avec le modèle hybride, les mesures et avec les bornes d’erreurs. Ensuite, pour l'estimation d'état hybride, nous avons proposé une méthode basée sur un prédicteurcorrecteur construit au dessus de notre méthode d'atteignabilité hybride non linéaire. / This thesis is dedicated to the development of generic algorithms for the set-membership observation of the continuous state and the discrete mode of hybrid dynamical systems in order to achieve fault detection. This thesis is organized into two parts. In the first part, we have proposed a fast and effective method for the set-membership guard crossing. It consists in carrying out bisection in the time direction only and then makes several contractors working simultaneously to reduce the domain of state vectors located on the guard during the study time slot. Then, we proposed a method for merging trajectories based on zonotopic enclosures. These methods, used together, allowed us to characterize in a guaranteed way the set of all hybrid state trajectories generated by an uncertain hybrid dynamical system on a finite time horizon. The second part focuses on set-membership methods for the parameters or the hybrid state (mode and continuous state) of a hybrid dynamical system in a bounded error framework. We started first by describing fault detection methods for hybrid systems using the parametric approach and the hybrid observer approach. Then, we have described two methods for performing fault detection tasks. We have proposed a method for computing in a guaranteed way all the parameters consistent with the hybrid dynamical model, the actual data and the prior error bound, by using our nonlinear hybrid reachability method and an algorithm for partition which we denote SIVIA-H. Then, for hybrid state estimation, we have proposed a method based on a predictor-corrector, which is also built on top of our non-linear method for hybrid reachability.