L'expérience Von Karman sodium (VKS) engendre un champ magnétique par effet dynamo dans un écoulement turbulent de sodium liquide. Ce champ peut être stationnaire, oscillant, ou bistable entre ces 2 états. Pour d'autres valeurs des paramètres de contrôle, il présente un régime de renversements erratiques, similaires à ceux des observations paléomagnétiques. Nous montrons que tous ces régimes dynamiques résultent du couplage de deux modes de champ magnétique. Nous utilisons ensuite un modèle simple de dynamo cinématique pour étudier la structure spatiale du champ magnétique engendré. Nous faisons alors le lien entre les dynamos localisées dans un hémisphère (champ magnétique de Mars) et les renversements erratiques du champ magnétique (géodynamo). La dynamique de basse dimensionalité du champ magnétique à grande échelle présente une forte analogie avec la dérive d'un motif périodique. L'étude de ce système simple permet d'acquérir plus d'intuition sur le problème magnétique. Nous présentons ensuite un mécanisme d'instabilité par lequel une modulation à petite échelle des conditions aux limites magnétiques entraîne la croissance d'un champ à grande échelle. Ce phénomène peut expliquer le rôle déterminant des pales ferromagnétiques des turbines de l'expérience VKS. Enfin, nous présentons une étude numérique de la circulation à grande échelle engendrée dans une turbulence 2D. Un calcul analytique en régime fortement non-linéaire met en évidence le lien entre les petites échelles et la circulation globale. La prise en compte d'une friction linéaire entraîne des renversements erratiques de cette circulation, que nous caractérisons à l'aide des outils des systèmes dynamiques.

Les activités de recherches menées dans le cadre de cette thèse sont divisées en deux parties: Dans la première partie de cette thèse, nous allons présenter un cas particulier du problème de classification des solutions algébriques de l'équation de Painlevé 6. Ce cas simple se produit quand une solution algébrique donnée satisfait chaque membre d'une famille non-triviale d'équations. Une telle famille non-triviale d'équations contenant au moins deux éléments distincts satisfait toute la famille correspondante à la droite affine contenant ces deux éléments. Ainsi, toute famille non-triviale définie comme précédent, correspondant à un plan affine de l'espace des paramètres. Dans cette partie, nous donnons une classification de tous ces espaces affines avec leurs solutions algébriques associées. La preuve du théorème n'utilise pas la notion d'équations de Picard-Fuchs. On pourra constater que les solutions coïncident avec les solutions obtenues récemment par Doran qui a utilisé des déformations des surfaces elliptiques avec quatres fibres singulières et leurs équations de Picard-Fuchs associées. Dans la suite, on va essayer de donner une explication partielle de cette coïncidence. Rappelons que chaque solution d'une équation de Painlevé 6 donnée est gouvernée par une déformation isomonodromique d'un système Fuchsian approprié possédant quatre points singuliers. Nous disons qu'une telle déformation est géométrique si le système fondamental de solutions est entièrement constituté d'intégrales Abéliennes, qui dépendent algébriquement du paramètre de déformation. Une déformation géométrique d'un système Fuchsien est isomonodormique et définit une solution algébrique d'une équation de Painlevé 6 appropriée. Quand ceci est vrai, nous disons que la solution algébrique de l'équation de Painlevé 6 est d'origine géométrique. Nous montrons que lorsque une solution satisfait une famille d'équations de Painlevé 6, alors ils existent aux moins deux autres familles d'équations de Painlevé 6, telles que cette solution soient d'origine géométrique pour les deux familles. Dans le deuxième partie, on va présenter quelques définitions et notions de base sur les systèmes à retard. Le modèle choisi sera présenté, ainsi que l'existence et l'unicité des solutions pour les équations différentielles fonctionnelles (EDFR) associées. On introduit les méthodes des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii et de fonction de Razumikhin, qui donnent des conditions suffisantes pour assurer la stabilité de ces systèmes à retard. Puis, on considère des classes de systèmes incertains à retard dans l'état et dans la commande. En utilisant des techniques de Lyapunov, on propose des classes de contrôleurs continus, qui assurent la stabilité globale uniforme exponentielle de ces systèmes en boucle fermée, en imposant quelques conditions assorties sur les incertitudes. La fonction de Laypunov quadratique du système nominal stable (c'est-à-dire, le système assosié en l'absence des incertitudes et du retard) est utilisé comme fonction de Lyapunov candidate du système global. Puis, on va étudier la stabilité absolue d'une classe de systèmes à retard de type de Lurie. Cette classe est présentée comme une interconnexion du feedback d'un système dynamique linéaire et d'une non-linéarité staisfaisant la condition du secteur. En utilisant quelques inégalités intégrales, on obtient une nouvelle condition suffisante de stabilité absolue présentée sous forme d'inégalités matricielles linéaires (LMI). Cette condition améliore celle donnée par Han. Par la suite, on utilisera cette nouvelle condition pour construire un contrôleur basé sur un observateur dépendant du retard, tel que le système erreur soit présenté comme une interconnexion du feedback d'un système linéaire et d'une non-linéarité multiple dépendante aussi du retard et satisfaisant la condition du secteur. Dans la conception de l'observateur, on va étendre les travaux d'Arcak, Kokotovic et Fan dans le cas sans retard.

La première partie de cette thèse présente le cadre des équations différen- tielles à retard. Ces équations apparaissent notamment dans des modélisations de phénomènes physiques (calcul de marées) et physiologiques. La recherche de forme normale d'équation différentielle à retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On présente une méthode de calcul due à T. Faria qui permet de réduire cette difficulté en utilisant des variétés centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale « classique ». On étend ensuite ce résultat à l'aide d'une méthode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des équations différentielles ordinaires. En utilisant ces deux méthodes, on démontre un théorème donnant l'existence d'une forme renormalisée d'équation différentielle à retard. Dans une deuxième partie, on présente et on étudie le formalisme moulien développé par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs de vecteurs, et on l'applique à des champs hamiltoniens en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées action-angle. On obtient ainsi une nouvelle démonstration de la version formelle du théorème de Kolmogorov et du théorème de Birkhoff. On présente également une feuille de calcul avec Maple mettant en œuvre certains de ces calculs, et témoignant ainsi de la remarquable aptitude du formalisme moulien à être utilisé dans les logiciels de calcul formel.

Nous étudions les propriétés statistiques de réponses impulsionnelles de salles. Si la qualité acoustique d'une salle est décrite par ses réponses impulsionnelles, ces dernières renseignent également sur le système physique considéré. En 1975, Joyce émet l'hypothèse selon laquelle les grandes salles sont mélangeantes ou tout au moins ergodiques. Afin de vérifier cette dernière hypothèse, ce document se concentre sur l'estimation du temps auquel le système devient mélangé: le temps de mélange. Plusieurs types d'estimateur sont mis en œuvre. L'algorithme Matching Pursuit permet d'estimer les temps d'occurrence des retours. L'étude de leur distribution temporelle permet de définir un temps à partir duquel la densité de retours augmente d'un rapport constant avec le temps. Nous avons développé l'eXtensible Fourier Tranform (XFT) qui permet une visualisation temporelle pas-à-pas des composantes spectrales du signal. La XFT permet d'estimer le temps à partir duquel les composantes spectrales du signal sont distribuées statistiquement. Les deux estimateurs s'accordent tant sur des réponses expérimentales que synthétisées par un modèle stochastique: le temps de mélange est une fonction de la distance source/récepteur. Nous montrons que le temps que nous estimons n'est pas le temps de mélange au sens dynamique du terme. Nous proposons l'emploi du nom de temps de transition à la place. Finalement, les estimateurs ouvrent la voie à l'estimation de la diffusion, du filtrage d'une salle ou de l'entropie comme des fonctions du temps.

Face à une situation de crise sanitaire liée à l'apparition d'une pandémie de grande envergure, des mesures adéquates doivent rapidement être prises pour la contenir tout en préservant la capacité de production de l'économie. D'autre part, beaucoup de travaux sont réalisés dans le domaine de la diffusion de la propagation d'une épidémie. C'est pourquoi, nous accentuons notre apport à un décideur afin de lui permettre de maintenir les fonctions minimums de survie de la société dans le cadre d'une crise sanitaire. Ainsi, nous proposons un modèle d'aide à la décision de gestion de crise sanitaire. Par ailleurs, la société est située au coeur de notre modèle. Nous sommes donc amenés à considérer un certain nombre d'interactions directes et indirectes entre divers individus. La théorie des graphes, et principalement les graphes aléatoires, permettent de gérer une à une ces relations. Or, dans notre cas, la gestion des relations une à une n'est pas appropriée d'autant plus que les relations peuvent varier sous l'influence de facteurs incontrôlables. Cela nous a conduits à proposer un modèle mathématique de réseaux stochastiques basé sur une extension de la théorie des graphes aléatoires. Il s'agit de la prétopologie stochastique qui est issue du couplage de deux théories mathématiques fondamentales, la prétopologie classique et les ensembles aléatoires. La simulation de notre modèle est effectuée selon une approche multi-agents. Nous avons opté pour cette approche car nous souhaitons mettre en place un modèle d'aide à la décision. Cette méthode va donc nous permettre de faire des simulations et des analyses de sensibilités. Nous avons une représentation explicite des comportements des individus qui ne sont pas figés. Située entre la théorie et l'ensemble des données de l'expérience, l'approche multi-agents permet de prendre en compte de manière simultanée les comportements individuels, les interactions entre les individus et les hypothèses dynamiques formulées dans le modèle. Cette approche sera couplée au système d'information géographique afin de considérer l'aspect spatial. Considéré comme un " oignon ", le système d'information géographique permet d'exploiter différentes données et de les superposer sous forme de couches. Disposant de données épidémiologiques provenant des Groupes Régionaux d'Observation de la Grippe (GROG) et des données sociodémographiques issues de l'Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques (INSEE), nous pourrons tester la robustesse de notre modèle.

Les travaux présentés dans ce mémoire, portent essentiellement sur la théorie géométrique des systèmes dynamiques. Ils sont regroupés dans deux sections distinctes qui couvrent l'essentiel de mes recherches :<ul><li> L'étude de la dynamique et de la morphologie des homéomorphismes des surfaces,</li><li>L'utilisation de méthodes géométriques dans l'étude de certaines équations aux dérivées partielles apparaissant en mécanique et en hydrodynamique.</li></ul>Ce mémoire récapitule les travaux de dix-neuf articles groupés par thèmes et présentés dans l'ordre chronologique de leur élaboration.

La surveillance en-ligne d'un système industriel a pour objectifs de détecter tout dysfonctionnement du procédé, de localiser le ou les éléments défaillants et de déterminer la ou les causes de défaillances. Ces informations sur l'état du système peuvent alors être transmises aux opérateurs qui peuvent agir en conséquence et/ou être utilisées pour modifier, reconfigurer la commande voire le système lui-même ou sa mission. Dans ce mémoire, je présente une synthèse scientifique de mes contributions dans ce vaste domaine de recherche. <br />Toutes les méthodes de surveillance reposent sur la redondance d'information disponible sur le système. L'approche dite « à base de modèle » consiste à vérifier la cohérence des mesures effectuées en-ligne sur l'installation avec un modèle comportemental de celle-ci sous certaines hypothèses de fonctionnement. La première étape consiste à générer un ensemble de signaux indicateurs appelés communément « résidus ». Deux catégories de méthodes sont classiquement utilisées pour générer ces résidus : la méthode à base de Relations de Redondance Analytique et les méthodes à base d'observateurs. Ces méthodes, qui ont été récemment étendues au cas des modèles non-linéaires, présentent chacune des avantages et des inconvénients suivant le type de système (de modèle) considéré et les contraintes imposées pour l'implémentation des algorithmes. Ces travaux, initialement destinés à la surveillance des systèmes continus (ou discrétisés) ont été récemment adaptés et complétés pour traiter le problème de la surveillance des Systèmes Dynamiques Hybrides. Lorsque le système considéré est complexe, c'est à dire lorsque les éléments physiques ou composants qui le constituent sont nombreux, un pré-traitement structurel du modèle peut permettre de déterminer les conditions nécessaires de « surveillabilité » du système. L'analyse structurelle est un outil puissant qui ne nécessite pas la connaissance explicite des équations du modèle. Elle permet cependant de déterminer les sous-systèmes sur lesquels des algorithmes plus sophistiqués de surveillance peuvent être implantés.<br />La surveillance n'est qu'un module d'un processus complet permettant à une installation de fonctionner en respectant des critères de sécurité, de productivité et de qualité même en présence de défaillance. La commande du système peut être conçue de manière à utiliser les informations fournies par le module de surveillance. On parle alors de « commande tolérante aux défaillances »<br />Une réflexion sur les perspectives de recherche est exposée tout au long du manuscrit suivant le thème traité. Ces perspectives sont complétées à la fin du document par quelques orientations de recherche plus générales.

Un robot autonome collaborant avec des humains doit être capable d'apprendre à se déplacer et à manipuler des objets dans la même tâche. Dans une approche classique, on considère des modules fonctionnels indépendants gérant les différents aspects de la tâche (navigation, contrôle du bras...). A l'opposé, l'objectif de cette thèse est de montrer que l'apprentissage de tâches de natures différentes peut être abordé comme un problème d'apprentissage d'attracteurs sensorimoteurs à partir d'un petit nombre de structures non spécifiques à une tâche donnée. Nous avons donc proposé une architecture qui permet l'apprentissage et l'encodage d'attracteurs pour réaliser aussi bien des tâches de navigation que de contrôle d'un bras.Comme point de départ, nous nous sommes appuyés sur un modèle inspiré des cellules de lieu pour la navigation d'un robot autonome. Des apprentissages en ligne et interactifs de couples lieu/action sont suffisants pour faire émerger des bassins d'attraction permettant à un robot autonome de suivre une trajectoire. En interagissant avec le robot, on peut corriger ou orienter son comportement. Les corrections successives et leur encodage sensorimoteur permettent de définir le bassin d'attraction de la trajectoire. Ma première contribution a été d'étendre ce principe de construction d'attracteurs sensorimoteurs à un contrôle en impédance pour un bras robotique. Lors du maintien d'une posture proprioceptive, les mouvements du bras peuvent être corrigés par une modification en-ligne des commandes motrices exprimées sous la forme d'activations musculaires. Les attracteurs moteurs résultent alors des associations simples entre l'information proprioceptive du bras et ces commandes motrices. Dans un second temps, j'ai montré que le robot pouvait apprendre des attracteursvisuo-moteurs en combinant les informations proprioceptives et visuelles. Le contrôle visuo-moteur correspond à un homéostat qui essaie de maintenir un équilibre entre ces deux informations. Dans le cas d'une information visuelle ambiguë, le robot peut percevoir un stimulus externe (e.g. la main d'un humain) comme étant sa propre pince. Suivant le principe d'homéostasie, le robot agira pour réduire l'incohérence entre cette information externe et son information proprioceptive. Il exhibera alors un comportement d'imitation immédiate des gestes observés. Ce mécanisme d'homéostasie, complété par une mémoire des séquences observées et l'inhibition des actions durant l'observation, permet au robot de réaliser des imitations différées et d'apprendre par observation. Pour des tâches plus complexes, nous avons aussi montré que l'apprentissage de transitions peut servir de support pour l'apprentissage de séquences de gestes, comme c'était le cas pour l'apprentissage de cartes cognitives en navigation. L'utilisation de contextes motivationnels permet alors le choix entre les différentes séquences apprises.Nous avons ensuite abordé le problème de l'intégration dans une même architecture de comportements impliquant une navigation visuomotrice et le contrôle d'un bras robotique pour la préhension d'objets. La difficulté est de pouvoir synchroniser les différentes actions afin que le robot agisse de manière cohérente. Les comportements erronés du robot sont détectés grâce à l'évaluation des actions proposées par le modèle vis à vis des corrections imposées par le professeur humain. Un apprentissage de ces situations sous la forme de contextes multimodaux modulant la sélection d'action permet alors d'adapter le comportement afin que le robot reproduise la tâche désirée.Pour finir, nous présentons les perspectives de ce travail en terme de contrôle sensorimoteur, pour la navigation comme pour le contrôle d'un bras robotique, et son extension aux questions d'interface homme/robot. Nous insistons sur le fait que différents types d'imitation peuvent être le fruit des propriétés émergentes d'une architecture de contrôle sensorimotrice.

Cette thèse porte sur l'étude des cocycles quasi-périodiques à valeurs dans des groupes de Lie compacts semi-simples. Nous nous restreindrons au cas des cocycles à une fréquence. Nous démontrons que, pour un ensemble de mesure de Lebesgue pleine de fréquences, l'ensemble des cocycles $C^{\infty }$ qui sont $C^{\infty }$-réductibles sont $C^{\infty }$-denses. Le premier pas sera l'obtention de deux invariants de la dynamique, qu'on appellera énergie et degré, qui distinguent en particulier les cocycles réductibles des cocycles non-réductibles. On entamera ensuite la démonstration du théorème principal. Nous démontrons dans un second temps qu'un algorithme dit de renormalisation permet de ramener l'étude de tout cocycle à celle des perturbations de modèles simples indexés par le degré. Nous analysons ensuite ces perturbations par des méthodes inspirés de la théorie K.A.M.. En particulier, nous démontrons qu'un cocycle $C^{\infty }$ mesurablement réductible à une constante diophantienne est alors $C^{\infty }$-réductible.

Le thème global de la thèse est le comportement transitoire de certains systèmes répartis. Les résultats peuvent être divisés en trois groupes : transients de matrices et systèmes max-plus, convergence de systèmes de consensus asymptotique et la modélisation de "glitches" dans des circuits numériques. Pour l'algèbre max-plus, les résultats sont des bornes supérieures sur les transients de matrices et système linéaires max-plus. Elles améliorent strictement les bornes publiées. La thèse inclut une discussion de l'impact des bornes dans des applications. Les preuves utilisent notamment des réductions de chemins. La thèse contient aussi des bornes plus précises pour les transients des indices critiques. Ces bornes sont, en fait, indépendantes des poids spécifiques et ne dépendent que de la structure du graphe de la matrice et son graphe critique. De plus, elles sont des généralisations strictes des bornes booléennes pour des graphes non pondérées; par exemple les bornes de Wielandt ou de Dulmage et Mendelsohn. Quant au consensus asymptotique, la thèse améliore des bornes supérieures sur le taux de convergence et établit de nouveaux résultats sur la convergence dans le cas où les agents n'ont pas nécessairement de confiance en soi, c'est-à-dire qu'ils peuvent ignorer leurs propres valeurs. Ces résultats sont notamment pour des réseaux complètement dynamiques. Elle contient aussi un exemple d'un réseau complètement statique dont le taux de convergence est dans le même ordre que celui d'une grande classe de réseaux dynamiques. La dernière partie de la thèse est sur la propagation de "glitches" (signaux transitoires très courts) dans des circuits numériques. Plus spécifiquement, elle traite des modèles à valeur discrète et temps continu pour des circuits numériques. Ces modèles sont utilisés dans des outils pour la conception de circuits car ils sont beaucoup plus vites que la résolution des équations différentielles. Cependant, comme c'est prouvé dans la thèse, les modèles existants ne prédisent pas correctement l'occurrence de glitches dans le signal sortant d'un circuit. De plus, la thèse contient une proposition d'un nouveau modèle qui ne partage pas les caractéristiques avec les modèles existants qui leur interdisent de prédire correctement l'occurrence de glitches.