Depuis Ruelle, puis Rugh, Baladi, Tsujii, Liverani et d'autres, on sait que la fuite vers l'équilibre statistique dans de nombreux systèmes dynamiques chaotiques est gouvernée par le spectre de résonances de Ruelle de l'opérateur de transfert. A la suite de récents travaux de Faure, Sjöstrand et Roy, cette thèse propose une approche semiclassique de systèmes dynamiques chaotiques de type partiellement expansifs. Une partie du mémoire est consacrée aux extensions d'applications expansives vers des groupes de Lie compacts, en se reistreignant essentiellement aux extensions vers le groupe spécial unitaire SU(2). On se sert de la théorie des états cohérents pour les groupes de Lie, développée dans les années 70 par Perelomov et Gilmore, pour mettre en oeuvre les outils semiclassiques et la théorie des résonances de Helfer et Sjöstrand. On en déduira une estimation de Weyl et un gap spectral pour les résonances de Ruelle prouvant que la fuite vers l'équilibre statistique dans ces modèles est gouvernée par un opérateur de rang fini (en accord avec les résultats obtenus par Tsujii pour les semi-flots partiellement expansifs). On étend ensuite cette approche aux modèles "ouverts" pour lesquels la dynamique présente un ensemble captif de Cantor. On montrera l'existence d'un spectre discret de résonances de Ruelle et on prouve une loi de Weyl fractale, analogue classique du théorème de Lin-Guillopé-Zworski pour les résonances du laplacien hyperbolique sur les surfaces à courbure négative constante. On montre aussi un gap spectral asymptotique. On expliquera pourquoi ces modèles semblent être des objets d'étude adaptés pour approcher des questions importantes et difficiles du chaos classique ou quantique. On pense en particulier au problème de la minoration du nombre de résonances, étudié dans le contexte des applications quantiques par Nonnenmacher et Zworski.

Cette thèse se se compose de trois parties. La première partie est consacrée à l'étude des points périodiques des applications birationnelles des surfaces projectives. Nous montrons que toute application birationnelle de surface dont la croissance des degrés est exponentielle admet un ensemble de points périodiques Zariski dense. Dans la seconde partie, nous démontrons la conjecture de Mordell-Lang dynamique pour toute application polynomiale birationnelle du plan affine définie sur un corps de caractéristique nulle. Notre approche donne une nouvelle démonstration de cette conjecture pour les automorphismes polynomiaux du plan. Enfin la troisième partie porte sur un problème de géométrie affine inspiré par la généralisation au cas de toutes les applications polynomiales du plan affine de la conjecture de Mordell-Lang dynamique. Etant donné un ensemble fini S de valuations sur l'anneau de polynomes k[x,y] sur un corps algébriquement clos k triviales sur k, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que le corps des fractions de l'intersection des anneaux de valuations de S avec k[x,y] soit de degré de transcendance 2 sur k.

On utilise la théorie de Floquet-Lin pour des systèmes différentiels linéaires quasi-périodiques pour établir des résultats d'existence et d'unicité et de dépendance continue des systèmes différentiels non linéaires quasi-périodiques. Et dans un second temps on établit un résultat de réductibilité d'un système différentiel linéaire presque-périodique en un système différentiel linéaire triangulaire supérieur avec conservation du nombre des solutions presque-périodiques indépendantes. Ensuite, on établit un résultat d'existence et d'unicité et de dépendance continue des systèmes différentiels non linéaires presque-périodiques par rapport au terme du contrôle.

L'épilepsie est l’un des désordres neurologiques les plus courants; environ 1% de la population mondiale en est atteinte. Elle affecte le fonctionnement des neurones qui s'exprime par une survenue de décharges rapides, appelées crises.Les crises peuvent parfois résister aux médicaments antiépileptiques. Cet état de crise, nommé refractory status epilepticus (RSE), se définit par une survenue des décharges de façon continue, qui sont difficiles à arrêter. Malheureusement, un patient en état RSE risque même de mourir.Le dysfonctionnement des neurones peut parfois se propager lentement vers une dépression corticale envahissante, qui se caractérise par une dépolarisation lente des neurones entraînant une baisse transitoire de l’activité cérébrale.Les mécanismes qui initient ces activités pathologiques restent encore mal connus. Mettant en œuvre une approche mathématique, nous présentons une analyse qualitative d’un modèle dit Epileptor, qui reproduit l’activité épileptique, et décrivons l’évolution temporelle de la crise jusqu’au moment où la personne revient à la normale. La transition vers l’état normal est interprétée comme une bifurcation. Nous démontrons qu’il en existe plusieurs types en variant certains paramètres du modèle, permettant ainsi de classer les crises.Une caractérisation de ces activités est nécessaire pour s’en échapper. Pour ce faire, nous explorons un espace des paramètres permettant de conclure que ces activités coexistent dans le cerveau et surviennent de plusieurs façons. Cet espace des paramètres propose plusieurs voies, qui sont validées expérimentalement, pour éviter ces activités pathologiques et retourner à la normale, d’où son importance. / Epilepsy is one of the most common serious neurological disorders affecting about 1% of the population in the world. It is a condition of the nervous system in which neuronal populations manifest as abnormal excessive discharges, called seizures.On rare occasions, a seizure follows another in a series without recovery, and does not respondto antiepileptic drugs. This state of continuous seizure activity is called refractory status epilepticus, which are difficult to treat. Patients suffering from this state are unfortunately at an increased risk of death.The neuronal dysfunction can sometimes spread slowly towards a spreading depression, which corresponds to a slowly propagating depolarization wave (or depolarization block DB) in neuronal networks, followed by a shut down of brain activity.The mechanisms underlying the genesis of these activities remain unknown. Using a mathematical approach, we present a qualitative analysis of a so-called Epileptor model, which generate epileptic dynamics, and describe how seizures evolve toward termination. The transition to the normal state occurs through a bifurcation. We demonstrate that many types of the bifurcation exist, depending on the values of some parameters. As a consequence, we can classify seizures.To escape from these activities, a characterization is going to be necessary. To this, we explore a parameter space of the model which demonstrate that these activities coexist in the brain, and under some ways. In addition, the parameter space can provide pathways to switch between these activities. Interestingly, we could propose how to return to the ’normal’ brain activity.

L’évaluation expérimentale des mécanismes de l’initiation, de la propagation, et de la fin des crises d’épilepsie est un problème complexe. Cette thèse consiste en le développement d’un modèle de réseau de neurones aux caractéristiques biologiques pertinentes à la compréhension des mécanismes de genèse et de propagation de crises d’épilepsie. Nous démontrons que les décharges de type pointes ondes peuvent être générées par les neurones inhibiteurs seuls, tandis que les décharges rapides sont dues en grande partie aux neurones excitateurs. Nous concluons que les variations lentes d’excitabilité globale du système, dues aux fluctuations du milieu extracellulaire, et les interactions électro-tonique par jonctions communicantes sont les facteurs favorisant la genèse de crise localement, tandis qu’à plus large échelle spatiale les communications synaptiques excitatrices et le couplage extracellulaire qui participe davantage à la propagation des crises d’une région du cerveau à une autre. / This thesis consists in the development of a network model of spiking neurons and the systematic investigation of conditions under which the network displays the emergent dynamic behaviors known from the Epileptor, a well-investigated abstract model of epileptic neural activity. We find that exogenous fluctuations from extracellular environment and electro-tonic couplings between neurons play an essential role in seizure genesis. We demonstrate that spike-waves discharges, including interictal spikes, can be generated primarily by inhibitory neurons only, whereas excitatory neurons are responsible for the fast discharges during the wave part. We draw the conclusion that slow variations of global excitability, due to exogenous fluctuations from extracellular environment, and gap junction communication push the system into paroxysmal regimes locally, and excitatory synaptic and extracellular couplings participate in seizure spread globally across brain regions.

Cette thèse présente une étude des systèmes dynamiques polynomiaux motivée à la fois par le grand spectre d'applications de cetteclasse (modèles de réactions chimiques, modèles de circuits électriques ainsi que les modèles biologiques) et par la difficulté (voire incapacité)de la résolution théorique de tels systèmes. Dans une première partie préliminaire, nous présentons les polynômes multi-variés et nous introduisons les notions de forme polaire d'un polynôme (floraison) et de polynômes de Bernstein qui seront d'un grand intérêt par la suite. Dans une deuxième partie, nous considérons le problème d'optimisation polynomial dit POP. Nous décrivons dans un premier temps les principales méthodes existantes permettant de résoudre ou d'approcher la solution d'un tel problème. Puis, nous présentons deux relaxations linéaires se basant respectivement sur le principe de floraison ainsi que les polynômes de Bernstein permettant d'approcher la valeur optimale du POP. La dernière partie de la thèse sera consacré aux applications de nos deux méthodes de relaxation dans le cadre des systèmes dynamiques polynomiaux. Une première application s'inscrit dans le cadre de l'analyse d'atteignabilité: en effet, on utilisera notre relaxation de Bernsteinpour pouvoir construire un algorithme permettant d'approximer les ensembles atteignables d'un système dynamique polynomial discrétisé. Une deuxième application sera la vérification et le calcul d'invariants pour un système dynamique polynomial. Une troisième application consiste à calculer un contrôleur et un invariant pour un système dynamique polynomial soumis à des perturbations. Dans le contexte de l'invariance, on utilisera la relaxation se basant sur le principe de floraison.Enfin, une dernière application sera d'exploiter les principales propriétés de la forme polaire pour pouvoir étudier des systèmes dynamiques polynomiaux dans des rectangles. / This thesis presents a study of polynomial dynamical systems motivated by both thewide spectrum of applications of this class (chemical reaction models, electrical modelsand biological models) and the difficulty (or inability) of theoretical resolutionof such systems.In a first preliminary part, we present multivariate polynomials and we introducethe notion of polar form of a polynomial (blossoming) and Bernstein polynomialswhich will be of great interest thereafter.In a second part, we consider the polynomial optimization problem said POP.We first describe existing methods allowing us to solve or approximate the solution5TABLE DES MATI`ERES 6of such problems. Then, we present two linear relaxations based respectively on theblossoming principle and the Bernstein polynomials allowing us to approximate theoptimal value of the POP.The last part of the thesis is devoted to applications of the two relaxation methodsin the context of polynomial dynamical systems. A first application is in thecontext of reachability analysis. In fact, we use our Bernstein relaxation in order tobuild an algorithm allowing us to approximate the reachable sets of a discretizedpolynomial dynamical system. A second application deals with the verification andthe computation of invariants for polynomial dynamical systems. A third applicationconsists in calculating a controller and an invariant for a polynomial dynamicalsystem subject to disturbances. For the invariance problem, we use the relaxationbased on the blossoming principle. Finally, the last application consists in exploitingthe main properties of the polar form in order to study polynomial dynamicalsystems in rectangles.

Mon travail de thèse a porté sur la compréhension «systèmes dynamiques de la dynamique à grande échelle dans l’écoulement pleinement développé de cisaillement turbulent. Dans le plan écoulement de Couette, simulation des grandes échelles (LES) est utilisée pour modéliser petits mouvements d’échelle et de ne résoudre mouvements à grande échelle afin de calculer non linéaire ondes progressives (SNT) et orbites périodiques relatives (RPO). Artificiel sur-amortissement a été utilisé pour étancher une gamme croissante de petite échelle motions et prouvent que les motions grande échelle sont auto-entretenue. Les solutions d’onde inférieure branche itinérantes qui se trouvent sur le bassin laminaire turbulent limite sont obtenues pour ces simulation sur-amortie et continue encore dans l’espace de paramètre à des solutions de branche supérieure. Cette approche ne aurait pas été possible si, comme supposé dans certains enquêtes précédentes, les mouvements à grande échelle dans le mur bornées flux de cisaillement sont forcée par un mécanisme fondé sur l’existence de structures actives à plus petite échelle. En flux Poseuille, orbites périodiques relatives à décalage réflexion symétrie sur la limite du bassin laminaire turbulent sont calculés en utilisant DNS. Nous montrons que le RPO trouvé sont connectés à la paire de voyager vague (TW) solution via bifurcation mondiale (noeud-col-période infinie bifurcation). La branche inférieure de cette solution TW évoluer dans un état de l’envergure localisée lorsque le domaine de l’envergure est augmentée. La solution de branche supérieure développe plusieurs stries avec un espacement de l’envergure compatible avec des mouvements à grande échelle en régime turbulent. / My thesis work focused on ‘dynamical systems’ understanding of the large-scale dynamics in fully developed turbulent shear flow. In plane Couette flow, large-eddy simulation (L.E.S) is used to model small scale motions and to only resolve large-scale motions in order to compute nonlinear traveling waves (NTW) and relative periodic orbits (RPO). Artificial over-damping has been used to quench an increasing range of small-scale motions and prove that the motions in large-scale are self-sustained. The lower-branch traveling wave solutions that lie on laminar-turbulent basin boundary are obtained for these over-damped simulation and further continued in parameter space to upper branch solutions. This approach would not have been possible if, as conjectured in some previous investigations, large-scale motions in wall bounded shear flows are forced by mechanism based on the existence of active structures at smaller scales. In Poseuille flow, relative periodic orbits with shift-reflection symmetry on the laminar-turbulent basin boundary are computed using DNS. We show that the found RPO are connected to the pair of traveling wave (TW) solution via global bifurcation (saddle-node-infinite period bifurcation). The lower branch of this TW solution evolve into a spanwise localized state when the spanwise domain is increased. The upper branch solution develops multiple streaks with spanwise spacing consistent with large-scale motions in turbulent regime.

Beaucoup de phénomènes physiques sont modélisés par des équations aux dérivées partielles, la discrétisation de ces équations conduit souvent à des systèmes dynamiques (continus ou discrets) dépendant d'un vecteur de contrôle dont le choix permet de stabiliser le système dynamique. Comme ces problèmes sont, dans la pratique, de grandes tailles, il est intéressant de les étudier via un autre problème dérivé réduit et plus proche du modèle initial. Dans cette thèse, on introduit et on étudie de nouvelles méthodes basées sur les processus de type Krylov rationnel afin d'extraire un modèle réduit proche du modèle original. Des applications numériques seront faites à partir de problèmes pratiques. Après un premier chapitre consacré au rappel de quelques outils mathématiques, on s'intéresse aux méthodes basées sur le processus d'Arnoldi rationnel par blocs pour réduire la taille d'un système dynamique de type Multi-Input/Multi-Output (MIMO). On propose une sélection adaptative de choix de certains paramètres qui sont cruciaux pour l'efficacité de la méthode. On introduit aussi un nouvel algorithme adaptatif de type Arnoldi rationnel par blocs afin de fournir une nouvelle relation de type Arnoldi. Dans la deuxième partie de ce travail, on introduit la méthode d'Arnoldi rationnelle globale, comme alternative de la méthode d'Arnoldi rationnel par blocs. On définit la projection au sens global, et on applique cette méthode pour approcher les fonctions de transfert. Dans la troisième partie, on s'intéresse à la méthode d'Arnoldi étendue (qui est un cas particulier de la méthode d'Arnoldi rationnelle) dans les deux cas (global et par blocs), on donnera quelques nouvelles propriétés algébriques qui sont appliquées aux problèmes des moments. On consièdère dans la quatrième partie la méthode de troncature balancée pour la réduction de modèle. Ce procédé consiste à résoudre deux grandes équations algébriques de Lyapunov lorsque le système est stable ou à résoudre deux équations de Riccati lorsque le système est instable. Comme ces équations sont de grandes tailles, on va appliquer la méthode de Krylov rationnel par blocs pour approcher la solution de ces équations. Le travail de cette thèse sera cloturé par une nouvelle idée, dans laquelle on définit un nouvel espace sous le nom de sous-espace de Krylov rationnelle étendue qui sera utilisée pour la réduction du modèle. / Many physical phenomena are modeled by PDEs. The discretization of these equations often leads to dynamical systems (continuous or discrete) depending on a control vector whose choice can stabilize the dynamical system. As these problems are, in practice, of a large size, it is interesting to study the problem through another one which is reduced and close to the original model. In this thesis, we develop and study new methods based on rational Krylov-based processes for model reduction techniques in large-scale Multi-Input Multi-Output (MIMO) linear time invariant dynamical systems. In chapter 2 the methods are based on the rational block Arnoldi process to reduce the size of a dynamical system through its transfer function. We provide an adaptive selection choice of shifts that are crucial for the effectiveness of the method. We also introduce a new adaptive Arnoldi-like rational block algorithm to provide a new type of Arnoldi's relationship. In Chapter 3, we develop the new rational global Arnoldi method which is considered as an alternative to the rational block Arnoldi process. We define the projection in the global sense, and apply this method to extract reduced order models that are close to the large original ones. Some new properties and applications are also presented. In chapter 4 of this thesis, we consider the extended block and global Arnoldi methods. We give some new algebraic properties and use them for approaching the firt moments and Markov parameters in moment matching methods for model reduction techniques. In chapter 5, we consider the method of balanced truncation for model reduction. This process is based on the soluytions of two major algebraic equations : Lyapunov equations when the system is stable or Riccati equations when the system is unstable. Since these equations are of large sizes, we will apply the rational block Arnoldi method for solving these equations. In chapter 6, we introduce a new method based on a new subspace called the extended-rational Krylov subspace. We introduce the extended-rational Krylov method which will be used for model reduction in large-scale dynamical systems.

Cette thèse adresse des problèmes liés à la modélisation des écosystèmes microbiens dans les sols.Les modèles de transport réactif sont très performants pour modéliser la biogéochimie d'un milieu poreux variablement saturé en tenant compte de plusieurs paramètres physiques et géochimiques mais ils n'intègrent pas (ou sinon de facon très sommaire) les activités microbiologiques dans les sols. Le modèle mathématique du chemostat est couramment utilisé en écologie microbienne. Dans le but d'une représentation spatiale plus simplifiée que les modèles de transport réactif mais suffisamment pertinente pour rendre compte de phénomènes biologiques, cette thèse est une première tentative pour comprendre la fonction entrées-sorties dans un chemostat structuré, et étudier comment une structure spatiale peut modifier cette fonction, et quels sont les paramètres clés. / The aim of this thesis is to study some problems related to the modeling of microbial ecosystems in soil. Considering different physical and biogeochemical parameters, the reactif transport models are very performing to represent the biochemistry of a variably saturated porous media. In contrast, these models don't integrate (or sparsely) the microbiological activities in the soils. The mathematical model of chemostat is frequently used in microbial ecology. For the purpose of a more simplified spatial representation than the reactif transport models, but sufficiently relevant to represent biological phenomena, this thesis is a first attempt to understand the "input-output" function in a structured chemostat, and to study how a special structure can alter this function, and what are the key parameters.

L'objet de cette thèse est le développement d'un cadre unifié pour étudier la régularité de certains éléments caractéristiques des dynamiques chaotiques (pression/entropie topologique, mesure de Gibbs, exposants de Lyapunov) par rapport à la dynamique elle même. Le principal problème technique est la perte de régularité venant de l'utilisation d'un opérateur de composition, l'opérateur de transfert, dont les propriétés spectrales sont intimement liées aux "éléments caractéristiques" ci-dessus. Pour surmonter ce problème, nous établissons un théorème de régularité par rapport aux paramètres pour des points fixes, dans un esprit proche du théorème des fonctions implicites de Nash Moser. Nous appliquons ensuite cette approche "point fixe" au problème de la réponse linéaire (régularité de la mesure invariante du système par rapport aux paramètres) pour une famille de dynamiques uniformément dilatantes. Dans un second temps, nous étudions la régularité du plus grand exposant de Lyapunov d'un produit aléatoire d'applications dilatantes, s'appuyant sur notre théorème de régularité et la théorie des contractions de cônes. Nous en déduisons la régularité par rapport aux paramètres de la mesure stationnaire, de la variance dans le théorème limite central, et d'autres quantités dynamiques d'intérêt. / The aim of this thesis is the development of a unified framework to study the regularity of certain characteristics elements of chaotic dynamics (Topological presure/entropy, Gibbs measure, Lyapunov exponents) with respect to the dynamic itself. The main technical issue is the regularity loss occuring from the use of a composition operator, the transfer operator, whose spectral properties are intimately connected to the aformentionned "characteristics elements". To overcome this issue, we developped a regularity theorem for fixed points (with respect to parameter), in the spirit of the implicit function theorem of Nash and Moser. We then apply this "fixed point" approach to the linear response problem (studying the regularity of the system invariant measure w.r.t parameters) for a family of uniformly expanding maps. In a second time, we study the regularity of the top characteristic exponent of a random prduct of expanding maps, building from our regularity theorem and cone contraction theory. We deduce from this regularity w.r.t parameters for the stationanry measure, the variance in the central limit theorem, and other quantities of dynamical interest.