Cette thèse est consacrée à la modélisation mathématique de réseaux de régulation génétique et métabolique. Une étude détaillée d'un réseau particulier, l'opéron lactose, nous permet de mettre en évidence les principales difficultés de la modélisation quantitative de tels systèmes. Dans ce domaine, la théorie des systèmes hybrides constitue un outil de modélisation pertinent, qui nous permet de proposer un modèle de l'opéron lactose reproduisant les principales caractéristiques de son comportement telles qu'elles sont connues aujourd'hui. Deux approches qualitatives sont ensuite envisagées. Une approche discrète, basée sur la théorie des réseaux d'automates booléens, est tout d abord présentée. Nous abordons dans ce cadre la question de l'identification de réseaux, en proposant notamment une preuve ainsi qu'une implémentation de l'algorithme d'inférence de réseaux booléens REVEAL. Nous faisons également une analyse de la complexité et de l'efficacité de cet algorithme. Enfin, nous proposons l'étude d une classe de systèmes différentiels comportant des lois de puissance, les S-systèmes. Ces systèmes présentent des propriétés intéressantes d'approximation locale de systèmes provenant des sciences du vivant. Nous proposons un algorithme itératif basé sur les S-systèmes dont le but est de trouver les points d'équilibre positifs d'un système dynamique quelconque, ainsi qu'une approximation locale de ce système autour de ces points d'équilibre. Cette approximation sous forme de lois de puissance offre une alternative à la technique classique de linéarisation. Nous appliquons cet algorithme à l'étude d'une partie d'un système métabolique chez la plante Arabidopsis thaliana.

Les travaux de recherche effectués dans cette thèse s'inscrivent dans le cadre du projet 81/2 qui développe des structures de données et de contrôle expressives et efficaces pour la simulation de systèmes dynamiques. L' objectif de ce travail est de concevoir, étudier et développer des représentations dynamiques de l'espace dans un cadre déclaratif.<br>Nos travaux ont consisté à introduire dans 81/2 deux nouvelles structures de données, les GBF et les amalgames, en proposant une formalisation et en étudiant leur implémentation. Les GBF permettent de représenter des espaces réguliers et homogènes, tandis que les amalgames permettent de construire, par calcul, des espaces hétérogènes et ad-hoc. Ces deux nouvelles notions trouvent directement leur application dans le domaine de la simulation des systèmes hautement dynamiques (comme par exemple les processus de croissance en biologie). Elles trouvent aussi une application directe en informatique classique, en fournissant un nouveau cadre théorique pour 1) la spéciffication, l'analyse et l' implémentation de données récursives (les GBF permettent en particulier de considérer les arbres et les tableaux dans le même cadre théorique) ; 2) la conception et la formalisation des nouveaux mécanismes de programmation incrémentielle qui commencent à apparaître dans des langages tels que Java (les amalgames permettent en particulier de conjuguer à la fois un mécanisme d' instanciation par capture implicite et d'extension des programmes). GBF et amalgames sont d'abord étudiés pour eux-mêmes puis sont introduits et intégrés au langage déclaratif 81/2 pour donner lieu à la déffinition du langage 81/2D .<br>Nous avons montré, par de nombreux exemples signifficatifs, la pertinence des choix effectués. Ceux- ci mettent en évidence le gain en expressivité apporté par l'enrichissement de la notion d'espace, et des primitives permettant la déffinition d'objets sur ces espaces. Les notions de GBF et d'amalgame permettent la déffinition, de façon extrêmement concise, de structures de données régulières et irrégulière, dans un cadre déclaratif, et ouvrent de nouvelles voies pour la paramétrisation et la construction incrémentielle de programmes.

Le travail présenté concerne l'étude de différents modèles bilinéaires de systèmes dynamiques à temps discret dans leurs versions déterministe et stochastique. Dans le cas déterministe on précise des conditions assurant des propriétés de contrôlabilité, d'observabilité et d'identifiabilité partielle de l'entrée. Dans le cas stochastique on examine les problèmes d'existence d'un processus d'état stationnaire, d'existence des moments d'un tel processus ainsi que les problèmes statistiques de filtrage de l'état et d'estimation des paramètres.

Le propos de cette thèse est l'étude de la dynamique du réseau de vortex dans un supraconducteur. La technique expérimentale utilisée, la mesure de bruit, offre une analyse fine de la nature des interactions du réseau de vortex en mouvement avec ses centres d'ancrage. Un dispositif de mesures de bruits de faible puissance a spécialement été conçu pour la réalisation des expériences.<br />En premier lieu, le bruit du système est observé dans des lames de Niobium dans différentes conditions : différentes tailles d'échantillon ont été ajustées de manière contrôlée, et des défauts de surface ont été introduits par irradiation ionique basse énergie, puis caractérisés par imagerie à force atomique. Il apparaît que le bruit basse fréquence, de même que le courant critique sont principalement dus à l'ancrage de surface. De plus, la portée des fluctuations se trouve être corrélée à la distribution spatiale de la rugosité.<br />Le régime bruyant en supraconductivité de surface, sans vortex dans le volume, montre clairement que de pures fluctuations de courant de surface conduisent au même bruit qu'en présence de vortex dans le volume. Ce résultat est confirmé par des mesures complémentaires de fluctuations de tension dans plusieurs directions, réalisée dans des échantillons massifs d'un alliage Pb-In.<br />La statistique du processus bruyant a été étudiée dans des micro-ponts sur couche mince de Niobium: les résultats indiquent que l'état de la surface, ainsi que celui des bords du système influent sur le régime bruyant du dépiégeage, au cours duquel des effets non-gaussiens et non-stationnaires, typiques d'un vol de Lévy, apparaissent.

L'affluence des résultats de la biologie "à grande échelle" permet d'envisager une nouvelle approche de la biologie du développement fondée sur une modélisation à l'échelle cellulaire. Aujourd'hui, l'organisation génétique et les mécanismes d'action de ces gènes sur les processus de morphogénèse commencent à être analysables. Dans ce contexte, il devient envisageable de comprendre comment l'architecture des plantes peut être modulée par ces mécanismes aux échelles moléculaire et cellulaire.<br />Dans une première partie de ce travail, des outils de digitalisation et d'analyse de tissus cellulaires et de leur évolution dans le temps ont été développés. Dans ce cadre, nous avons mis en place une chaîne de traitement, partant d'images issues d'un protocole d'observation basé sur la microscopie confocale et allant jusqu'à l'analyse quantitative de caractères morphologiques et leur évolution au cours du temps.<br />Ensuite, nous avons créé un premier modèle de la croissance du méristème apical caulinaire (une population de cellules souches chez les plantes) dans le but de comprendre le déterminisme du positionnement des organes latéraux de la plante. Pour rendre compte des connaissances biologiques existante, notre modèle a été développé à l'échelle de l'organe et inclus la simulation pour chaque cellule de son état génétique, de son état physiologique et de sa croissance, et la simulation des flux d'hormones entre les cellules. Ce modèle nous a<br />permis de prédire et d'analyser les accumulations d'hormones dans des méristèmes digitalisés. Ces études nous ont conduits à développer un modèle dynamique de fonctionnement du méristème capable de faire émerger des motifs phyllotaxiques sur la base d'une croissance cellulaire et d'une interaction cellule à cellule.<br />Tous les outils informatiques développés au cours de cette thèse ont été intégrés dans une plate-forme logicielle multi-langages. Cette plate-forme a notamment permis de tester des techniques de développement liés à l'intégration de langages compilés et de langages interprétés dans le cadre de l'étude de la morphogénèse.

Qu'est-ce qu'un cas particulier ? Comment un mathématicien peut-il dire qu'un phénomène est «exceptionnel» et ne se produit pas «en général» ? Ces questions sont abordées dans cette thèse sous un angle historique, à partir d'un corpus de textes de Poincaré constitué autour de trois pôles: son étude des points singuliers des équations différentielles (1881), son travail sur le théorème (1889, 1890, 1891), et son mémoire sur les géodésiques des surfaces convexes (1905). Je me suis intéressée à ce que Poincaré désigne comme cas particuliers, comme exceptions, aux moyens qu'il met en oeuvre pour les étudier et les caractériser, à la place qu'il leur donne.<br /><br />La nature de cette problématique m'a amenée à développer une méthode particulière de travail historique, centrée sur une exploitation systématique des textes en tant que textes, et non simplement comme véhiculant des résultats mathématiques. J'ai examiné les formes textuelles élaborées pour énoncer et démontrer les résultats visés, la terminologie employée, les rapports établis par l'auteur entre différents résultats. Cette analyse minutieuse des textes apporte un nouvel éclairage sur des sources qui avaient, pour certaines, déjà fait l'objet d'une étude historique. De plus, en permettant de décrire des méthodes de travail de Poincaré touchant à la question du général, elle fait apparaître certains traits caractéristiques de sa démarche de mathématicien.

Le nombre croissant des systèmes électroniques embarqués dans le secteur automobile a considérablement amélioré et diversifié les services rendus par le véhicule. Ces systèmes sont appelés systèmes mécatroniques. Ils intègrent une partie énergétique (mécanique, hydraulique ou électrique) commandée et contrôlée par un calculateur. Leur principal atout est la flexibilité logicielle dont dispose le concepteur pour implémenter de nouvelles fonctions. Toutefois, ceci a contribué à accroître leur complexité et à en diminuer la maîtrise, d'où la nécessité d'effectuer des études de Sûreté de Fonctionnement afin de garantir un bon niveau de sécurité. Par ailleurs, mener de telles études dès la phase de conception permet de diminuer les délais et les coûts de conception en détectant et en corrigeant au plus tôt les erreurs de conception. Actuellement, les études de sécurité prévisionnelle des systèmes automobiles sont réalisées par la méthode des Arbres de Défaillance. Or cette méthode est statique et ne permet pas de prendre en compte les phénomènes temporels liés à leur dynamique de fonctionnement et à leur aspect hybride. C'est dans ce contexte que des recherches sont menées en collaboration entre le groupe PSA Peugeot Citroën et le LAAS visant à développer une méthodologie d'aide à la conception de systèmes mécatroniques sûrs de fonctionnement. Mon projet de thèse se focalise sur l'analyse qualitative de la sécurité des systèmes mécatroniques en vue de l'obtention des scénarios redoutés. La connaissance de ces scénarios permet d'évaluer leurs probabilités d'occurrence et de valider les lois de reconfiguration pour orienter le choix des concepteurs quant aux différents types d'architectures possibles proposés pour le système. Nous avons développé une méthode de recherche des scénarios redoutés basée sur la modélisation préalable d'un système mécatronique sous la forme d'un Réseau de Petri et d'un ensemble d'équations différentielles. Cette modélisation hybride présente l'avantage de séparer clairement les aspects discrets et continus. Ceci nous permet une analyse logique (fondée sur la logique Linéaire) des causalités résultant des changements d'états. Grâce à cette analyse, il est possible à partir d'un état redouté de remonter les chaînes de causalité et de mettre ainsi en évidence tous les scénarios possibles conduisant à une situation critique. Chaque scénario est donné sous la forme d'un ordre partiel entre les événements nécessaires à l'apparition de l'état redouté. L'originalité de notre approche est qu'elle n'implique pas une énumération brutale et globale de tous les états accessibles du système. Au contraire elle permet de se focaliser sur le voisinage de l'état redouté en faisant une énumération locale d'états partiels. Autrement dit, nous ne considérons que les états des composants directement impliqués dans l'apparition de l'état redouté. Nous avons enfin élaboré un algorithme automatisant la recherche des scénarios redoutés et nous l'avons appliqué sur deux exemples simples de systèmes mécatroniques.

Afin d'appréhender l'ensemble système ventilatoire/ventilateur en tant que système dynamique nous avons construit un modèle mathématique d'objets en interaction. Ce modèle présente deux types de dynamiques : oscillations et amortissements. Nous avons ensuite introduit la variabilité ventilatoire dans le modèle avec l'hypothèse d'un système déterministe chaotique et nous avons utilisé les outils de la théorie du chaos. Nous avons recherché l'existence du chaos sur des données (débits instantanés) expérimentales et simulées de ventilation spontanée et avec ajout de résistances. La similitude des résultats du modèle et des données expérimentales nous conforte dans 1) l'utilisation du plus grand exposant de Lyapunov comme index de variabilité, 2) le choix du modèle et donc dans la possibilité que le système ventilatoire soit un système de type déterministe chaotique. Cependant, la démonstration que le système ventilatoire soit un système chaotique n'est pas faite.

Dans cette thèse on s'intéresse aux propriétés liées au chaos et aux mesures d'entropie maximale (ou mesures maximales) pour certains systèmes, en particulier ceux sur l'intervalle. Pour un système dynamique $(X,T)$, une entropie non nulle est considérée comme une propriété chaotique. On montre qu'une entropie non nulle implique la présence de couples asymptotiques propres, c'est-à-dire des couples de points distincts $(x,y)$ tels que la distance entre $T^n x$ et $T^n y$ tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini. Si $T$ est de plus inversible, de nombreux couples asymptotiques pour $T$ sont des couples de Li-Yorke pour l'inverse de $T$. Les preuves de ces résultats sont ergodiques. Une chaîne de Markov topologique est l'ensemble des chemins sur un graphe orienté ; c'est un outil pour l'étude des mesures maximales. Un graphe connexe est transient, récurrent nul ou récurrent positif. On rappelle les liens entre ces classes et la possibilité d'étendre ou de restreindre le graphe sans changer l'entropie, et on montre qu'un graphe transient admet un surgraphe récurrent de même entropie. On sait qu'une chaîne de Markov transitive a une mesure maximale si et seulement si le graphe est récurrent positif. On donne un nouveau critère impliquant la récurrence positive et on montre l'existence de mesures presque maximales fuyant vers l'infini pour un graphe non récurrent positif. Quand on se restreint aux systèmes sur l'intervalle, les diverses notions de chaos coïncident largement. On présente une synthèse des liens existant entre les différentes propriétés chaotiques. Pour un système sur l'intervalle, la question d'existence d'une mesure maximale se ramène dans certains cas à l'étude d'une chaîne de Markov. Cela permet de donner une condition assurant l'existence d'une mesure maximale pour les transformations $C^1$. Pour tout entier $n$, on construit des exemples de transformations de l'intervalle $C^n$ et mélangeantes mais n'admettant aucune mesure maximale.

L'activité neuronale est souvent considérée en neuroscience cognitive par la réponse évoquée mais l'essentiel de l'énergie consommée par le cerveau permet d'entretenir les dynamiques spontanées des réseaux corticaux. L'utilisation combinée d'algorithmes de classification (K means, arbre hirarchique, SOM) sur des enregistrements intracellulaires du cortex visuel primaire du chat nous permet de définir des classes de dynamiques neuronales et de les comparer l'activité évoquée par un stimulus visuel. Ces dynamiques peuvent être étudiées sur des systèmes simplifiés (FitzHugh-Nagumo, systèmes dynamiques hybrides, Wilson-Cowan) dont nous présentons l'analyse. Enfin, par des simulations de réseaux composés de colonnes de neurones, un modèle du cortex visuel primaire nous permet d'étudier les dynamiques spontanées et leur effet sur la réponse à un stimulus. Après une période d'apprentissage pendant laquelle des stimuli visuels sont prsentés, des vagues de dépolarisation se propagent dans le réseau. L'étude des corr ́lations dans ce réseau montre que les dynamiques spontanées reflètent les propriétés fonctionnelles acquises au cours de l'apprentissage.