Cette thèse traite de plusieurs sujets d'analyse dans les espaces métriques mesurés, en lien avec le transport optimal et des conditions de courbure-dimension. Nous considérons en particulier les équations de continuité dans ces espaces, du point de vue de fonctionnelles continues sur les espaces de Sobolev, et du point de vue de la dualité avec les courbes absolument continues dans l'espace de Wasserstein. Sous une condition de courbure-dimension, mais sans condition de doublement de mesure ou d'inégalité de Poincaré, nous montrons également l'identification des p-gradients faibles. Nous étudions ensuite les espaces de Sobolev sur le produit tordu de l'ensemble des réels et d'un espace métrique mesuré. En particulier, nous montrons la propriété Sobolev-à-Lipschitz sous une certaine condition de courbure-dimension. Enfin, sous une telle condition et dans le cadre d'une théorie non-lisse de Bakry-Emery, nous obtenons une inégalité améliorée de Bochner et proposons une définition du N-tenseur de Ricci. / This thesis concerns in some topics on calculus in metric measure spaces, in connection with optimal transport theory and curvature-dimension conditions. We study the continuity equations on metric measure spaces, in the viewpoint of continuous functionals on Sobolev spaces, and in the viewpoint of the duality with respect to absolutely continuous curves in the Wasserstein space. We study the Sobolev spaces of warped products of a real line and a metric measure space. We prove the 'Pythagoras theorem' for both cartesian products and warped products, and prove Sobolev-to-Lipschitz property for warped products under a certain curvature-dimension condition. We also prove the identification of p-weak gradients under curvature-dimension condition, without the doubling condition or local Poincaré inequality. At last, using the non-smooth Bakry-Emery theory on metric measure spaces, we obtain a Bochner inequality and propose a definition of N-Ricci tensor.

Ce mémoire s'adresse au problème de traduction de domaine non-supervisée. La traduction non-supervisée cherche à traduire un domaine, le domaine source, à un domaine cible sans supervision. Nous étudions d'abord le problème en utilisant le formalisme du transport optimal. Dans un second temps, nous étudions le problème de transfert de sémantique à haut niveau dans les images en utilisant les avancés en apprentissage de représentations et de transfert d'apprentissages développés dans la communauté d'apprentissage profond. Le premier chapitre est dévoué à couvrir les bases des concepts utilisés dans ce travail. Nous décrivons d'abord l'apprentissage de représentation en incluant la description de réseaux de neurones et de l'apprentissage supervisé et non supervisé. Ensuite, nous introduisons les modèles génératifs et le transport optimal. Nous terminons avec des notions pertinentes sur le transfert d'apprentissages qui seront utiles pour le chapitre 3. Le deuxième chapitre présente \textit{Neural Wasserstein Flow}. Dans ce travail, nous construisons sur la théorie du transport optimal et démontrons que les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour apprendre des barycentres de Wasserstein. De plus, nous montrons que les réseaux de neurones peuvent amortir n'importe quel barycentre, permettant d'apprendre une interpolation continue. Nous montrons aussi comment utiliser ces concepts dans le cadre des modèles génératifs. Finalement, nous montrons que notre approche permet d'interpoler des formes et des couleurs. Dans le troisième chapitre, nous nous attaquons au problème de transfert de sémantique haut niveau dans les images. Nous montrons que ceci peut être obtenu simplement avec un GAN conditionné sur la représentation apprise par un réseau de neurone. Nous montrons aussi comment ce processus peut être rendu non-supervisé si la représentation apprise est un regroupement. Finalement, nous montrons que notre approche fonctionne sur la tâche de transfert de MNIST à SVHN. Nous concluons en mettant en relation les deux contributions et proposons des travaux futures dans cette direction. / This thesis is concerned with the problem of unsupervised domain translation. Unsupervised domain translation is the task of transferring one domain, the source domain, to a target domain. We first study this problem using the formalism of optimal transport. Next, we study the problem of high-level semantic image to image translation using advances in representation learning and transfer learning. The first chapter is devoted to reviewing the background concepts used in this work. We first describe representation learning including a description of neural networks and supervised and unsupervised representation learning. We then introduce generative models and optimal transport. We finish with the relevant notions of transfer learning that will be used in chapter 3. The second chapter presents Neural Wasserstein Flow. In this work, we build on the theory of optimal transport and show that deep neural networks can be used to learn a Wasserstein barycenter of distributions. We further show how a neural network can amortize any barycenter yielding a continuous interpolation. We also show how this idea can be used in the generative model framework. Finally, we show results on shape interpolation and colour interpolation. In the third chapter, we tackle the task of high level semantic image to image translation. We show that high level semantic image to image translation can be achieved by simply learning a conditional GAN with the representation learned from a neural network. We further show that we can make this process unsupervised if the representation learning is a clustering. Finally, we show that our approach works on the task of MNIST to SVHN.

Dans cette thèse, nous étudions dans une première partie l'impact de la contrainte de sécurité en tatouage. Dans le contexte WOA (Watermarked contents Only Attack), un adversaire possède plusieurs contenus tatoués et cherche à estimer la clé secrète d'insertion afin d'accéder aux messages cachés. Une nouvelle manière de tatouer en étalement de spectre est présentée ici. Celle-ci est basée sur la construction de distributions circulaires dans le sous-espace secret de tatouage. Cette technique permet de minimiser la distorsion en moyenne provoquée par l'ajout de la marque dans le contexte WOA en utilisant l'algorithme d'optimisation des Hongrois et la théorie du transport. Nous vérifions ensuite qu'un tatouage sûr est utilisable en pratique en prenant comme exemple le tatouage d'images naturelles. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au cadre de l'estampillage d'oe uvres numériques permettant de tracer les redistributeurs de copies illégales. Les codes traçants utilisés sont ceux proposés par Gabor Tardos et sont résistants aux attaques de coalition, c'est-à-dire au groupement d'adversaires mettant en commun leurs contenus numériques afin de forger une version pirate. Puisque les techniques de tatouage permettent l'insertion de codes traçants dans un contenu numérique, nous avons conçu une attaque "au pire cas" qui dépend du niveau de sécurité et qui permet, pour les adversaires, de baisser leur accusation. Nous montrons que pour le cas particulier de l'estampillage un tatouage sûr sera plus efficace qu'un tatouage non-sûr (à robustesse équivalente). Finalement, une implantation des codes traçants dans un contenu vidéo utilisant des méthodes sûres par étalement de spectre est proposée. Nous montrons alors l'efficacité de l'accusation des adversaires dans ce cadre pratique.

Cette thèse comporte deux parties distinctes, toutes les deux liées à la théorie du transport optimal. Dans la première partie, nous considérons une variété riemannienne, deux mesures à densité régulière et un coût de transport, typiquement la distance géodésique quadratique et nous nous intéressons à la régularité de l’application de transport optimal. Le critère décisif à cette régularité s’avère être le signe du tenseur de Ma-Trudinger-Wang (MTW). Nous présentons tout d’abord une synthèse des travaux réalisés sur ce tenseur. Nous nous intéressons ensuite au lien entre la géométrie des lieux d’injectivité et le tenseur MTW. Nous montrons que dans de nombreux cas, la positivité du tenseur MTW implique la convexité des lieux d’injectivité. La deuxième partie de cette thèse est liée aux équations aux dérivées partielles. Certaines peuvent être considérées comme des flots gradients dans l’espace de Wasserstein W2. C’est le cas de l’équation de Keller-Segel en dimension 2. Pour cette équation nous nous intéressons au problème de quantification de la masse lors de l’explosion des solutions ; cette explosion apparaît lorsque la masse initiale est supérieure à un seuil critique Mc. Nous cherchons alors à montrer qu’elle consiste en la formation d’un Dirac de masse Mc. Nous considérons ici un modèle particulaire en dimension 1 ayant le même comportement que l’équation de Keller-Segel. Pour ce modèle nous exhibons des bassins d’attractions à l’intérieur desquels l’explosion se produit avec seulement le nombre critique de particules. Finalement nous nous intéressons au profil d’explosion : à l’aide d’un changement d’échelle parabolique nous montrons que la structure de l’explosion correspond aux points critiques d’une certaine fonctionnelle. / This thesis consists in two distinct parts both related to the optimal transport theory.The first part deals with the regularity of the optimal transport map. The key tool is the Ma-Trundinger-Wang tensor and especially its positivity. We first give a review of the known results about the MTW tensor. We then explore the geometrical consequences of the MTW tensor on the injectivity domain. We prove that in many cases the positivity of MTW implies the convexity of the injectivity domain. The second part is devoted to the behaviour of a Keller-Segel solution in the super critical case. In particular we are interested in the mass quantization problem: we wish to quantify the mass aggregated when the blow-up occurs. In order to study the behaviour of the solution we consider a particle approximation of a Keller-Segel type equation in dimension 1. We define this approximation using the gradient flow interpretation of the Keller-Segel equation and the particular structure of the Wasserstein space in dimension 1. We show two kinds of results; we first prove a stability theorem for the blow-up mechanism: we exhibit basins of attraction in which the solution blows up with only the critical number of particles. We then prove a rigidity theorem for the blow-up mechanism: thanks to a parabolic rescaling we prove that the structure of the blow-up is given by the critical points of a certain functional.

L'objet de cette thèse est d'étendre le cadre théorique et les méthodes numériques du transport optimal à des objets plus généraux que des mesures de probabilité. En premier lieu, nous définissons des modèles de transport optimal entre mesures positives suivant deux approches, interpolation et couplage de mesures, dont nous montrons l'équivalence. De ces modèles découle une généralisation des métriques de Wasserstein. Dans une seconde partie, nous développons des méthodes numériques pour résoudre les deux formulations et étudions en particulier une nouvelle famille d'algorithmes de "scaling", s'appliquant à une grande variété de problèmes. La troisième partie contient des illustrations ainsi que l'étude théorique et numérique, d'un flot de gradient de type Hele-Shaw dans l'espace des mesures. Pour les mesures à valeurs matricielles, nous proposons aussi un modèle de transport optimal qui permet un bon arbitrage entre fidélité géométrique et efficacité algorithmique. / This thesis generalizes optimal transport beyond the classical "balanced" setting of probability distributions. We define unbalanced optimal transport models between nonnegative measures, based either on the notion of interpolation or the notion of coupling of measures. We show relationships between these approaches. One of the outcomes of this framework is a generalization of the p-Wasserstein metrics. Secondly, we build numerical methods to solve interpolation and coupling-based models. We study, in particular, a new family of scaling algorithms that generalize Sinkhorn's algorithm. The third part deals with applications. It contains a theoretical and numerical study of a Hele-Shaw type gradient flow in the space of nonnegative measures. It also adresses the case of measures taking values in the cone of positive semi-definite matrices, for which we introduce a model that achieves a balance between geometrical accuracy and algorithmic efficiency.

Depuis l’article fondateur de Jordan, Kinderlehrer et Otto en 1998, il est bien connu qu’une large classe d’équations paraboliques peuvent être vues comme des flots de gradient dans l’espace de Wasserstein. Le but de cette thèse est d’étendre cette théorie à certaines équations et systèmes qui n’ont pas exactement une structure de flot de gradient. Les interactions étudiées sont de différentes natures. Le premier chapitre traite des systèmes avec des interactions non locales dans la dérive. Nous étudions ensuite des systèmes de diffusions croisées s’appliquant aux modèles de congestion pour plusieurs populations. Un autre modèle étudié est celui où le couplage se trouve dans le terme de réaction comme les systèmes proie-prédateur avec diffusion ou encore les modèles de croissance tumorale. Nous étudierons enfin des systèmes de type nouveau où l’interaction est donnée par un problème de transport multi-marges. Une grande partie de ces problèmes est illustrée de simulations numériques. / Since 1998 and the seminal work of Jordan, Kinderlehrer and Otto, it is well known that a large class of parabolic equations can be seen as gradient flows in the Wasserstein space. This thesis is devoted to extensions of this theory to equations and systems which do not have exactly a gradient flow structure. We study different kind of couplings. First, we treat the case of nonlocal interactions in the drift. Then, we study cross diffusion systems which model congestion for several species. We are also interested in reaction-diffusion systems as diffusive prey-predator systems or tumor growth models. Finally, we introduce a new class of systems where the interaction is given by a multi-marginal transport problem. In many cases, we give numerical simulations to illustrate our theorical results.