La principale motivation des travaux de cette thèse est de mieux comprendre le rôle du tenseur d'impulsion-énergie en géométrie spinorielle. On s'intéresse dans un premier temps à la géométrie spinorielle extrinsèque. On relie les restrictions à une sous-variété riemannienne d'objets spinoriels aux objets définis de manière intrinsèque. En particulier, on donne des estimations pour la première valeur propre d'un opérateur de Dirac défini sur les sous-variétés riemanniennes spinorielles compactes. Il apparaît alors que le cadre des hypersurfaces est un cadre naturel pour l'étude du tenseur d'impulsion-énergie associé à un champ de spineurs. On construit un produit tordu généralisé permettant de voir ce dernier comme la seconde forme fondamentale d'une immersion isométrique. On caractérise enfin les surfaces de S^3 et H^3 en terme de sections spéciales du fibré des spineurs, ainsi que les hypersurfaces parallèles de R^4.

Nous étudions le comportement analytique de la fonction zêta associée à une certaine hauteur anticanonique sur une variété torique projective et lisse, le corps de définition étant un corps global de caractéristique positive. Ce comportement est étroitement lié à l'évolution asymptotique du nombre de points de hauteur bornée sur la variété. Manin et ses collaborateurs ont proposé des formules conjecturales pour le nombre de points de hauteur bornée sur une variété de Fano ou presque de Fano. Dans le cas des variétés toriques définies sur un corps de nombres ces formules ont été démontrées par Batyrev et Tschinkel, puis redémontrées par Salberger sous des hypothèses plus restrictives mais par une méthode entièrement différente. Nous nous intéressons donc dans cette thèse à la version fonctionnelle de ces résultats. Nous commençons par traiter le cas d'une variété torique déployée, en nous inspirant de la méthode de Salberger, basée sur une paramétrisation des points rationnels donnée par les torseurs universels ainsi que sur une inversion de Möbius. Nous expliquons ensuite comment les techniques utilisées dans cette situation peuvent s'appliquer aussi à un contexte motivique, mais notre calcul repose en partie sur une hypothèse non demontrée. Enfin pour examiner le cas de la compactification d'un tore non déployé nous adaptons au cas fonctionnel l'approche de Batyrev et Tshinkel. Leur idée est d'utiliser la formule de Poisson pour obtenir une représentation intégrale de la fonction zêta des hauteurs, intégrale que l'on évalue à l'aide du théorème des résidus. Nous obtenons une formule conforme aux prédictions de Manin et al., modulo le calcul d'un invariant du tore, invariant spécifique à la caractéristique non nulle. Nous n'avons pu mener à bien le calcul de cet invariant que pour des familles particulières de tores algébriques, et dans ce cas la formule obtenue est celle attendue. La question de savoir si la situation est la même pour un tore algébrique quelconque reste ouverte.

Cette thèse propose une notion de quantification par déformation des variétés de Poisson au sens des C*-algèbres, en lien notamment avec l'emploi de groupoïdes. Cette théorie s'appuie sur des exemples, notamment celui des variétés toriques. La première partie est un rappel de connaissances développées depuis quelques dizaines d'années sur les groupoïdes et leurs C*-algèbres. La deuxième partie présente les définitions de déformation et de quantification utilisées ensuite, et leur traduction, pour les groupoïdes, dans la notion importante de groupoïde de déformation. Une large classe de sous-groupoïdes des groupoïdes de Lie est de ce type. Enfin le résultat principal de cette thèse est une condition suffisante sur les variétés M munies de l'action d'un tore Tn pour construire un groupoïde de déformation associé, au moyen du choix d'une action de Rn sur une variété contenant le quotient M/Tn ; ce groupoïde se présente comme un sous-groupoïde du groupoïde de l'action d'un groupe discret. On retrouve alors des résultats de quantification connus pour Cn, les tores et les sphères de dimension 4 non commutatifs. La troisième partie applique ce résultat à l'exemple des variétés toriques, dont la géométrie étonnante, en terme de moment notamment, fut découverte dans les années 80. Cette construction fournit le premier exemple de quantification des variétés toriques dans un cadre C*-algebrique, même dans les cas les plus simples (sphère de dimension 2, espaces projectifs complexes).

Dans une première partie, on considère un domaine $\Omega$ qui est relativement compact dans une variété kählérienne de dimension $n$ et qui vérifie une certaine condition de ``$\log\delta$-pseudoconvexité''. On montre que le problème du $\overline\partial$ avec support exact dans $\Omega$ admet une solutions en bidegrés $(p,q)$, $1\leq q\leq n-1$. En plus, l'image de l'opérateur $\overline\partial$ agissant sur les formes lisses de bidegré $(p,n-1)$ à support das $\overline\Omega$ est fermée. On donne des applications pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour les formes lisses et pour les courants pour tous les bidegés intermédiaires sur le bord d'un domaine faiblement pseudoconvexe dans une variété de Stein et pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour les courants sur les variétés $CR$ Levi-plates de codimension arbitraire. Dans une deuxième partie, on considère le problème du $\overline\partial$ avec trace nulle le long d'une hypersurface à signature constante. On donne des applications pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour des formes lisses à support compact et pour des courants sur l'hypersurface. On prouve aussi que le phénomène de Hartogs se produit dans les hypersurfaces faiblement 2-convexes-concaves à signature constante des variétés de Stein.

Cette thèse examine deux façons de diminuer la complexité des problèmes de propagation d'ondes diffractées par un obstacle borné : la diminution des domaines de calcul à l'aide de milieux fictifs absorbants permettant l'adjonction de conditions aux limites exactes et la recherche d'une nouvelle approximation spatiale sous forme polynomiale donnant lieu à des schémas explicites où la stabilité est indépendante de l'ordre choisi. Dans un premier temps, on réduit le domaine de calcul autour de domaines non nécessairement convexes, mais propres aux problèmes de scattering (non trapping), à l'aide de la méthode des Perfectly Matched Layers (PML). Il faut alors considérer des domaines d'exhaustion difféomorphes à des convexes avec des hypothèses "presque" nécessaires. Pour les Equations de type Maxwell et Ondes, l'existence et l'unicité sont montrées dans tout l'espace et en domaine artificiellement borné, tant en fréquentiel qu'en temporel. La décroissance est analysée localement et asymptotiquement et des simulations numériques sont proposées. La deuxième partie de ce travail est une alternative à l'approximation de type Galerkin Discontinu, inspirée des résultats de régularité de J. Rauch, présentant l'avantage de conserver une condition CFL de type Volumes Finis indépendante de l'ordre d'approximation, aussi bien pour des maillages structurés que déstructurés. La convergence de cette méthode est démontrée via la consistance et la stabilité, grâce au théorème d'équivalence de Lax-Richtmyer pour des domaines structurés. En déstructuré, la consistance ne pouvant plus s'établir au moyen de la formulation de Taylor, la convergence n'est plus assurée, mais les premiers tests numériques bidimensionnels donnent d'excellents résultats.

Grâce aux bases de données en ligne, le volume de données ne cesse d accroitre. Non seulement la quantité de donnes augmente mais aussi la complexité des donnes est hautement complexe. Ce fait nécessite le développement d algorithmes performants. Récemment, une nouvelle classe de méthodes connue sous le nom de: "apprentissage de variétés" a été introduite. Ces méthodes présentent un formalisme intéressant et performant pour l analyse de données à très haute dimension. Ces méthode assument que les degrés de liberté dans les données sont bien plus petit que la dimension de l espace des données. Le but de ces algorithmes est retrouve une variété plongée dans un espace à haute dimension (voire infinie). La sortie d un tel algorithme est une fonction transformant les données dans un espace (espace de feature) où l'analyse devient plus facile. Souvent cette fonction est considère comme une para métrisation de la variété. Dans la première partie de ce manuscrit, nous allons introduire les idées principales ainsi que la théorie des espaces métriques. Ceci nous fournira les outils de bases pour les méthodes d'apprentissage de variétés. Par la suite nous présenterons des méthodes linéaires et non- linéaires pour l'apprentissage de variétés et analyserons leurs points forts et faibles. La deuxième partie développera deux applications en utilisant l'apprentissage des variétés. Dans les deux cas l'apprentissage de variétés est appliqué pour approximer le métrique dans l espace initiale. Ainsi la distance entre points dans l'espace originale peut être approximé en utilisant la métrique dans l'espace feature. Ainsi nous pouvant résoudre des problèmes d optimisation basée sur les distances entre points. Dans cette idée nous regardons le premier problème connu sous le nom "problème de la pré-image". Nous analyserons ce problème dans le contexte de la ACP a noyau and la technique des di

Nous démontrons un résultat d'équidistribution sur les courbes modulaires: les orbites galoisiennes d'invariants modulaires a l'intérieur d'une même classe d'isogénie non~CM se répartissent le long de la mesure de Poincaré sur la courbe modulaire. Un corollaire est que la hauteur des points considérés diverge, retrouvant là un résultat de Szpiro et Ullmo. Pour obtenir cet énoncé nous combinons des propriétés galoisiennes (le théorème de Serre sur l'action du groupe de Galois sur les points de division) et des propriétés ergodiques (le théorème de Ratner sur les flots unipotents dans les espaces de réseaux, ou plutôt l'équidistribution des points de Hecke). Nous généralisons notre méthode dans le cadre des variétés de Shimura. Dans ce cadre, en~revanche, l'un de nos ingrédients repose sur une forme de la conjecture de Mumford-Tate. Cela nous amène à étudier, dans une seconde partie, des raffinements de l'équidistribution des points de Hecke. Apparaissent alors certaines questions de divergence dans les espaces de réseaux. La méthode de linéarisation de Dani-Margulis ramène cette question à un énoncé géométrique. Nous apportons une réponse à cette question. Dans le cas réel, il s'agit d'une collaboration avec Nimish Shah. Dans le cas p-adique, nous sommes amenés à utiliser la géométrie ultramétrique récemment développée par Berkovich, en relation avec la théorie de Bruhat-Tits, et plus particulièrement des résultats recents de B. Remy, A. Thuillier et A. Werner. Nous sommes amenés en particulier à démontrer - des propriétés de décomposition des immeubles inspirées des théorème de décomposition de Mostow sur les espaces symétriques; - des propriétés de convexité sur les immeubles de fonctions analytiques, au sens ultramétrique, sur le groupe associé. Nous illustrons enfin comment nos résultats, en combinaison avec les travaux de D. Kleinbock et G. Tomanov, et le théorème de Ratner, s'appliquent à l'étude de problèmes S-arithmétiques dans les espaces de réseaux.

Au début du XXème siècle, Poincaré puis Birkhoff ont été amenés, lors de leur recherche sur le problème restreint des trois corps, à étudier les courbes invariantes par une transformation d'une surface préservant l'aire. Cinquante ans plus tard, les théorèmes KAM démontrent la persistance de courbes invariantes après perturbation en topologie de classe k plus grande ou égale à trois. On peut alors se demander ce que devient ce résultat en topologie de classe moins élevée. Par ailleurs, l'étude des dynamiques C1-génériques connaît de nombreux développements, grâce notamment au Connecting Lemma. Par exemple, Bonatti et Crovisier on démontré qu'un difféomorphisme C1-générique d'une telle surface possède un ensemble dense de points dont l'orbite sort de tout compact. Ces deux résultats permettent de penser qu'un difféomorphisme C1-générique d'une surface n'admet pas de courbes fermées simples invariantes. C'est ce que nous démontrons dans ce travail. On obtient assez facilement, en utilisant le Connecting Lemma ainsi que les propriétés topologiques de l'anneau, qu'un difféomorphisme C1-générique de l'anneau possède des points périodiques sur toute courbe fermée simple invariante. Cela se généralise à une surface quelconque en utilisant une famille dénombrable d'anneau constituant une base de voisinages d'une courbe fermée simple quelconque. La construction d'une telle famille d'anneaux est le principal résultat du premier chapitre. Il s'agit alors de supprimer les points périodiques sur les courbes invariantes. Dans un premier temps, nous nous inspirerons d'un argument qu'Herman utilise dans le cadre de courbes invariantes par les twists de l'anneau pour montrer que tous les points périodiques ne peuvent être hyperboliques. Ensuite, nous définissons une propriété, la propriété Γ, qui si elle est vérifiée par un difféomorphisme symplectique et l'un de ses points périodiques elliptiques, empêche que ce point périodique appartienne à une courbe invariante. En montrant que cette propriété est vérifiée par un difféomorphisme C1-générique et tous ses points périodiques elliptiques, nous obtenons le résultat souhaité. Dans le quatrième chapitre, nous nous employons à définir de façon rigoureuse la notion de fonction génératrice qui est l'outil classique pour perturber des difféomorphismes symplectiques

Nous présentons dans ce travail deux exemples de modèles topologiques faisant appel à la cohomologie : - dans le premier exemple nous montrons comment obtenir des invariants topologiques, tels que ceux de Donaldson, de Mumford, de Mathaï-Quillen ou de gravité topologique, en utilisant la cohomologie équivariante. Nous présentons une méthode universelle permettant d'obtenir de tels invariants topologiques en se basant sur une approche de type BRST. Nous rappelons qu'il existe différents " schémas " caractérisant une théorie équivariante et nous montrons comment le schéma de Kalkman permet une construction optimisée des invariants. - dans le second exemple nous étudions les théories abéliennes de Chern-Simons. Nous montrons comment une approche basée sur la cohomologie de Deligne-Beilinson permet de traiter ces théories sur des variétés fermées de dimension trois. Nous montrons comment la structure de ces espaces de cohomologie induit canoniquement la quantification de la constante de couplage et des charges, tout en fournissant les informations nécessaires et suffisantes pour obtenir via l'intégration fonctionnelle les invariants de liens usuellement obtenus à partir de procédures de chirurgie sur la sphère. Cette méthode admet un prolongement naturel qui permet de traiter plus généralement les variétés de dimension 4n+3.

Dans cette thèse nous étudions deux aspects distincts des variétés toriques, l'un purement géométrique, sur C, et l'autre de nature arithmétique, sur des corps quasi algébriquement clos (corps C1). Les courbes extrémales qui engendrent le cône de Mori d'une variété torique projective sont des courbes primitives (V. Batyrev). En 2009, D. Cox et C. von Renesse ont conjecturé que les courbes primitives engendrent le cône de Mori de toute variété torique dont l'éventail est à support convexe, de dimension maximale. Nous présentons une famille de contre-exemples à cette conjecture et en proposons une nouvelle formulation basée sur la notion de contractibilité locale, généralisant la notion de contractibilité de C. Casagrande. Grâce aux couloirs, outils combinatoires que nous introduisons, nous montrons comment écrire une classe de 1-cycle donnée comme combinaison linéaire à coefficients entiers de classes de courbes toriques. Les couloirs nous permettent de donner une décomposition explicite de toute classe qui n'est pas contractible (couloirs droits) ainsi que de certaines classes contractibles (couloirs circulaires). Les corps C1 sont les corps sur lesquels l'existence de points rationnels dans une variété Y est assurée par le plongement en petit degré de Y dans un espace projectif (par définition) ou dans un espace projectif pondéré (d'après un théorème facile de Kollar). Pour un diviseur ample dans une variété torique dont l'éventail est simplicial et complet, nous montrons qu'il existe encore une notion de petit degré qui assure l'existence de points rationnels. Ceci nous permet notamment de montrer l'existence de points rationnels sur une large classe de variétés rationnellement connexes.