Nous étudions plusieurs modèles de polymères dirigés en milieux aléatoires. Pour le modèle classique sur Z^d, nous étudions la convergence de l'environnement vu par la particule dans la région de faible désordre. Nous donnons des résultats très forts pour de très hautes valeurs de la température. Nous donnons ensuite un traitement complet de la fonction de partition pour un modèle de polymères dirigés en milieux aléatoires sur le réseau hiérarchique en diamant. Finalement, nous étudions l'énergie libre des polymères dirigés en milieux aléatoires sur Z^d dans des boites très asymétriques. Nous parvenons à prouver que, dans un régime approprié, elle coïncide avec l'énergie libre d'un modèle en temps continu dans un environnement Brownien. En dimension 1, la valeur exacte de cette énergie libre est connue. Nous étudions également des polymères dirigés en dimension 1 avec un drift qui tend vers l'infini. Nous donnons la valeur exacte de l'énergie libre et l'ordre des fluctuations de la fonction de partition.

Cette habilitation présente une vue d'ensemble de mes travaux concernant l'analyse statistique et algorithmique de la structure des réseaux, et en particulier des réseaux biologiques. Il est structuré en trois parties. La première concerne l'étude de modèles de graphes aléatoires, notamment ceux basés sur la notion de mélange. Les questions de l'estimation de leur paramètres et de la classification des sommets y sont notamment abordées. La seconde partie est consacrée au développement statistique de la détection de motifs dans les réseaux, et en particulier dans le cadre de la notion de motif local. Enfin, le troisième chapitre reprend des thèmes liés à l'algorithmique et à la théorie des graphes en illustrant par deux exemples l'importance de la structure des cycles d'un réseau.

La gestion des stocks est un élément très important pour les entreprises. Il faut pouvoir satisfaire les clients à moindre coût. Pour cela, il est nécessaire d'être en possession de tous es composants, pour fabriquer les produits demandés et les livrer à la date voulue. En effet, une mauvaise politique d'approvisionnement en composants conduit soit à des retards de livraison, qui engendrent des frais, soit à des stocks inutiles. Dans cette thèse, nous étudions la planification des réapprovisionnements en composants pour les systèmes de production de différentes structures. Nous travaillons avec les nomenclatures à plusieurs niveaux et nous tenons compte des aléas des délais d'approvisionnement. Nous avons choisi comme variables de décision celles qui correspondaient aux paramètres de la méthode MRP, comme le temps de cycle planifié. L'objectif pratique de notre étude étant également de fournir des techniques pour le paramétrage des logiciels MRP en présence de ce type d'aléas. Nous avons proposé des modèles et avons démontré leurs propriétés théoriques intéressantes ainsi que des approches d'optimisation nouvelles pour ce type de problème.

Les matériaux architecturés font émerger de nouvelles possibilités en termes de propriétés structurales et fonctionnelles, repoussant ainsi les limites des cartes d'Ashby. Le terme "matériaux architecturés" inclus toute microstructure conçue de façon astucieuse, de sorte que certaines de ses propriétés soient optimisées. Les exemples sont nombreux : composites fibreux et particulaires, matériaux cellulaires, structures sandwiches, matériaux tissés, structures treillis, etc. Un enjeu de taille pour l'emploi de tels matériaux est la prédiction de leurs propriétés effectives. Dans ce travail, deux types de microstructures sont considérées : des structures auxétiques périodiques et des milieux fibreux aléatoires. Les auxétiques sont des matériaux apparus au milieu des années 1980, présentant un coefficient de Poisson négatif. On attend des auxétiques qu'ils présentent des propriétés mécaniques améliorées, comme le module de cisaillement ou la résistance à l'indentation. Les milieux fibreux aléatoires considérés dans ce travail sont constitués de fibres 3D infinies interpénétrantes aléatoirement distribuées et orientées. Ce type de structure aléatoire est très défavorable à la détermination d'une taille de volume élémentaire statistiquement représentatif. Pour les deux types de matériaux, l'homogénéisation numérique à l'aide de la méthode des éléments finis est implémentée dans le but d'estimer les propriétés thermiques et mécaniques effectives.

Cette thèse traite des domaines suivant en Apprentissage Automatique: la théorie des Bandits, l'Apprentissage statistique et l'Apprentissage par renforcement. Son fil rouge est l'étude de plusieurs notions d'adaptation, d'un point de vue non asymptotique : à un environnement ou à un adversaire dans la partie I, à la structure d'un signal dans la partie II, à la structure de récompenses ou à un modèle des états du monde dans la partie III. Tout d'abord nous dérivons une analyse non asymptotique d'un algorithme de bandit à plusieurs bras utilisant la divergence de Kullback-Leibler. Celle-ci permet d'atteindre, dans le cas de distributions à support fini, la borne inférieure de performance asymptotique dépendante des distributions de probabilité connue pour ce problème. Puis, pour un bandit avec un adversaire possiblement adaptatif, nous introduisons des modèles dépendants de l'histoire et traduisant une possible faiblesse de l'adversaire et montrons comment en tirer parti pour concevoir des algorithmes adaptatifs à cette faiblesse. Nous contribuons au problème de la régression en montrant l'utilité des projections aléatoires, à la fois sur le plan théorique et pratique, lorsque l'espace d'hypothèses considéré est de dimension grande, voire infinie. Nous utilisons également des opérateurs d'échantillonnage aléatoires dans le cadre de la reconstruction parcimonieuse lorsque la base est loin d'être orthogonale. Enfin, nous combinons la partie I et II : pour fournir une analyse non-asymptotique d'algorithmes d'apprentissage par renforcement; puis, en amont du cadre des Processus Décisionnel de Markov, pour discuter du problème pratique du choix d'un bon modèle d'états.

Le but de cette thèse est de relier deux phénomènes relatifs au comportement asymptotique des processus stochastiques, qui jusqu'à présent étaient restés dissociés. La convergence abrupte ou phénomène de cutoff d'une part, et la métastabilité d'autre part. Dans le cas du cutoff, une convergence abrupte vers la mesure d'équilibre du processus a lieu à un instant que l'on peut déterminer, alors que la métastabilité est liée à une grande incertitude sur l'instant où l'on va sortir d'un certain équilibre. On propose un cadre commun pour étudier et comparer les deux phénomènes : celui des chaînes de naissance et de mort à temps discret sur $\mathbb{N}$, avec une dérive vers zéro.<br />On montre que sous l'hypothèse de dérive il y a convergence abrupte vers zéro et métastabilité dans l'autre sens. De plus la dernière excursion dans la métastabilité est la renversée temporelle d'une trajectoire typique de cutoff.<br />On étend notre approche au modèle d'Ehrenfest, ce qui nous permet de montrer la convergence abrupte et la métastabilité sous une hypothèse de dérive plus faible.

Le modèle à deux matrices a été introduit pour étudier le modèle d'Ising sur surface aléatoire. Depuis, le lien entre les modèles de matrices et la combinatoire de surfaces discrétisées s'est beaucoup développé Cette thèse a pour propos d'approfondir ces liens et de les étendre au delà des modèles de matrices en suivant l'évolution de mes travaux de recherche. Tout d'abord, je m'attache à définir rigoureusement le modèle à deux matrices hermitiennes formel donnant accès aux fonctions génératrices de surfaces discrétisées portant une structure de spin. Je montre alors comment calculer, par des méthodes de g'eométrie algébrique, tous les termes du développement topologique des observables comme formes différentielles définies sur une courbe algébrique associée au modèle: la courbe spectrale. Dans un second temps, je montre comment, imitant la construction du modèle à deux matrices, on peut définir de telles formes différentielles sur n'importe quelle courbe algébrique possédant de nombreuses propriétés d'invariance sous les déformations de la courbe algébrique considérée. En particulier, on peut montrer que si cette courbe est la courbe spectrale d'un modèle de matrices, ces invariants reconstituent les termes des développements topologiques des observables du modèle. Finalement,<br /><br />je montre que pour un choix particulier des paramètres, ces objets peuvent être rendus invariants modulaires et sont solutions des équations d'anomalie holomorphe de la théorie de Kodaira-Spencer donnant un nouvel élément vers la preuve de la conjecture de Dijkgraaf-Vafa.

Nous proposons dans ces travaux une étude des marches aléatoires dans l'algorithmique distribuée pour les réseaux dynamiques. Nous montrons dans un premier temps que les marches aléatoires sont un outil viable pour la conception d'algorithmes distribués. Ces <br />algorithmes reposent principalement sur les trois propriétés fondamentales des marches aléatoires (Percussion, Couverture, Rencontre). Nous fournissons une méthode qui évalue <br />le temps ́ecoulé avant que ces trois propriétés soient vérifiées. Cela nous permet d'évaluer de la complexité de nos algorithmes. Dans un second temps, nous proposons l'utilisation d'un jeton circulant aléatoirement sous forme de mot circulant afin de collecter sur ce jeton des informations topologiques. Ces informations permettent la construction et la maintenance d'une structure couvrante du réseau de communication. Ensuite, nous <br />avons utilisé cette structure pour concevoir un algorithme de circulation de jeton tolérant aux pannes pour les environnements dynamiques. Cet algorithme a la particularité d'être complètement décentralisé. Nous proposons dans un dernier temps d'adapter notre circulation de jeton pour proposer une solution au problème d'allocation de ressources dans les réseaux ad-hoc.

Dans cette thèse, j'ai tenté d'obtenir des informations sur la dynamique des feuilletages transversalement holomorphes par une approche probabiliste: le mouvement brownien. J'obtiens principalement deux résultats: le premier dit que, dans un feuilletage transversalement holomorphe minimalisable de codimension un complexe, presque tout point du bord (topologique) d'une composante connexe F de l'ensemble de Fatou est un point d'accumulation de toutes les feuilles de F. Le second résultat concerne les feuilletages de Riccati du plan projectif complexe: tout germe d'holonomie d'un tel feuilletage entre deux droites projectives complexes se prolonge le long de presque toute trajectoire brownienne.

À l'aide de méthodes probabilistes, nous donnons des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger ou ondes. Nous tirons profit de l'aléa grâce à des propriétés de régularisation de séries aléatoires ou en éliminant un certain nombre de mauvaises valeurs d'un paramètre de l'équation. Ainsi, nous obtenons, sur un gros ensemble de paramètres, des résultats concernant la dynamique de l'équation. Notons que physiquement cette approche a un sens puisque les paramètres et les conditions initiales de l'équation ne peuvent être déterminés de façon absolue. De plus, dans chacune de nos méthodes employées, nous obtenons des résultats de stabilité de la dynamique par rapport aux conditions initiales. Enfin, nous montrons que l'approche précédente est pertinente en construisant, pour des choix particuliers de paramètres, des trajectoires exceptionnelles en utilisant des phénomènes de résonance.