This dissertation is concerned with the tail asymptotics of queueing networks with subexponential service time distributions. Our objective is to investigate the tail characteristics of key performance measures such as cycle times and waiting times on a variety of queueing models which may arise in many applications such as communication and manufacturing systems. First, we focus on a general class of closed feedforward fork and join queueing networks under the assumption that the service time distribution of at least one station is subexponential. Our goal is to derive the tail asymptotics of transient cycle times and waiting times. Furthermore, we argue that under certain conditions the asymptotic tail distributions remain the same for stationary cycle times and waiting times. Finally, we provide numerical experiments in order to understand how fast the convergence of tail probabilities of cycle times and waiting times is to their asymptotic counter parts. Next, we consider closed tandem queues with finite buffers between stations. We assume that at least one station has a subexponential service time distribution. We analyze this system under communication blocking and manufacturing blocking rules. We are interested in the tail asymptotics of transient cycle times and waiting times. Furthermore, we study under which conditions on system parameters a stationary regime exists and the transient results can be generalized to stationary counter parts. Finally, we provide numerical examples to understand the convergence behavior of the tail asymptotics of transient cycle times and waiting times. Finally, we study open tandem queueing networks with subexponential service time distributions. We assume that number of customers in front of the first station is infinite and there is infinite room for finished customers after the last station but the size of the buffer between two consecutive stations is finite. Using (max,+) linear recursions, we investigate the tail asymptotics of transient response times and waiting times under both communication blocking and manufacturing blocking schemes. We also discuss under which conditions these results can be generalized to the tail asymptotics of stationary response times and waiting times. Finally, we provide numerical examples to investigate the convergence of the tail probabilities of transient response times and waiting times to their asymptotic counter parts.

In this dissertation we study non-negative self-adjoint Laplace type operators acting on smooth sections of a vector bundle. First, we assume base manifolds are compact, boundaryless, and Riemannian. We start from the Fourier integral operator representation of half-wave operators, continue with spectral zeta functions, heat and resolvent trace asymptotic expansions, and end with the quantitative Wodzicki residue method. In particular, all of the asymptotic coefficients of the microlocalized spectral counting function can be explicitly given and clearly interpreted. With the auxiliary pseudo-differential operators ranging all smooth endomorphisms of the given bundle, we obtain certain asymptotic estimates about the integral kernel of heat operators. As applications, we study spectral asymptotics of Dirac type operators such as characterizing those for which the second coefficient vanishes. Next, we assume vector bundles are trivial and base manifolds are Euclidean domains, and study non-negative self-adjoint extensions of the Laplace operator which acts component-wise on compactly supported smooth functions. Using finite propagation speed estimates for wave equations and explicit Fourier Tauberian theorems obtained by Yuri Safarov, we establish the principle of not feeling the boundary estimates for the heat kernel of these operators. In particular, the implied constants are independent of self-adjoint extensions. As a by-product, we affirmatively answer a question about upper estimate for the Neumann heat kernel. Finally, we study some specific values of the spectral zeta function of two-dimensional Dirichlet Laplacians such as spectral determinant and Casimir energy. For numerical purposes we substantially improve the short-time Dirichlet heat trace asymptotics for polygons. This could be used to measure the spectral determinant and Casimir energy of polygons whenever the first several hundred or one thousand Dirichlet eigenvalues are known with high precision by other means.

Dans ce manuscrit, nous nous inéressons à l'étude du mouvement des vagues soumises uniquement à leur poids par le biais d'équations asymptotiques. Nous commençons par rappeler la dérivation des principaux modèles généralement utilisés (Boussinesq, Green-Naghdi,...). Nous introduisons également un nouveau modèle exprimé en amplitude-flux qui correspond à une variante des équations de Nwogu. Dans le second chapitre, nous démontrons un résultat d'existence en temps long pour ces nouvelles équations et nous étudions l'existence d'ondes solitaires pour les équations de Boussinesq. Ce travail permet notamment de calculer avec une grande précision ces solutions exactes. Le troisième chapitre détaille les différences non linéaires que l'on retrouve entre les différentes équations de Boussinesq (modèles en flux-amplitude comparés aux modèles en vitesse-amplitude). Enfin, les deux derniers chapitres introduisent un nouveau paradigme pour trouver des schémas numériques adaptés aux modèles asymptotiques. L'idée est d'appliquer une analyse asymptotique aux équations d'Euler discrétisées. Ce nouveau paradigme est appliqué aux équations de Peregrine, de Nwogu et de Green-Naghdi. Plusieurs cas tests sont proposés dans ces deux chapitres. / In this work, we are interested in the evolution of water waves under the gravity force using asymptotics models. We start by recalling the derivation of most used models (Boussinesq, Green-Naghdi,...) and we introduce a new model expressed amplitude-flux, which is an alternative version of the Nwogu equations. In the second chapter, we prove a long time existence result for the new model and we investigate the existence of solitary waves for the Boussinesq models. This work allow us to compute these solutions with a good precision. The third chapter highlights the nonlinear differences between the Boussinesq equations (amplitude-flux models versus amplitude-velocity models). Finally, the two last chapter introduce a new paradigm in order to find numerical schemes adapted to asymptotics models. The idea is to apply an asymptotic analysis to a discretized Euler system. This new paradigm is applied to Peregrine equations, Nwogu equations and Green-Naghdi equations. Test cases are presented in these two chapters

Les données du monde réel sont souvent de très grande dimension, faisant intervenir un grand nombre de variables non pertinentes ou redondantes. La sélection de variables est donc utile dans ce cadre. D'abord, on considère la sélection de variables dans le modèle de régression quand le nombre de variables est très grand. En particulier on traite le cas où le nombre de variables pertinentes est bien plus petit que la dimension ambiante. Sans supposer aucune forme paramétrique pour la fonction de régression, on obtient des conditions minimales permettant de retrouver l'ensemble des variables pertinentes. Ces conditions relient la dimension intrinsèque à la dimension ambiante et la taille de l'échantillon. Ensuite, on considère le problème du test d'une hypothèse nulle composite sous un modèle de régression non paramétrique multi varié. Pour une fonctionnelle quadratique donnée $Q$, l'hypothèse nulle correspond au fait que la fonction $f$ satisfait la contrainte $Q[f] = 0$, tandis que l'alternative correspond aux fonctions pour lesquelles $ |Q[f]|$ est minorée par une constante strictement positive. On fournit des taux minimax de test et les constantes de séparation exactes ainsi qu'une procédure optimale exacte, pour des fonctionnelles quadratiques diagonales et positives. On peut utiliser ces résultats pour tester la pertinence d'une ou plusieurs variables explicatives. L'étude des taux minimax pour les fonctionnelles quadratiques diagonales qui ne sont ni positives ni négatives, fait apparaître deux régimes différents : un régime « régulier » et un régime « irrégulier ». On applique ceci au test de l'égalité des normes de deux fonctions observées dans des environnements bruités / Real-world data are often extremely high-dimensional, severely under constrained and interspersed with a large number of irrelevant or redundant features. Relevant variable selection is a compelling approach for addressing statistical issues in the scenario of high-dimensional and noisy data with small sample size. First, we address the issue of variable selection in the regression model when the number of variables is very large. The main focus is on the situation where the number of relevant variables is much smaller than the ambient dimension. Without assuming any parametric form of the underlying regression function, we get tight conditions making it possible to consistently estimate the set of relevant variables. Secondly, we consider the problem of testing a particular type of composite null hypothesis under a nonparametric multivariate regression model. For a given quadratic functional $Q$, the null hypothesis states that the regression function $f$ satisfies the constraint $Q[f] = 0$, while the alternative corresponds to the functions for which $Q[f]$ is bounded away from zero. We provide minimax rates of testing and the exact separation constants, along with a sharp-optimal testing procedure, for diagonal and nonnegative quadratic functionals. We can apply this to testing the relevance of a variable. Studying minimax rates for quadratic functionals which are neither positive nor negative, makes appear two different regimes: “regular” and “irregular”. We apply this to the issue of testing the equality of norms of two functions observed in noisy environments

Ces travaux contribuent à la théorie des tests non paramétriques minimax dans le modèle de grandes matrices de covariance. Plus précisément, nous observons $n$ vecteurs indépendants, de dimension $p$, $X_1,ldots, X_n$, ayant la même loi gaussienne $mathcal {N}_p(0, Sigma)$, où $Sigma$ est la matrice de covariance inconnue. Nous testons l'hypothèse nulle $H_0:Sigma = I$, où $I$ est la matrice identité. L'hypothèse alternative est constituée d'un ellipsoïde avec une boule de rayon $varphi$ autour de $I$ enlevée. Asymptotiquement, $n$ et $p$ tendent vers l'infini. La théorie minimax des tests, les autres approches considérées pour le modèle de matrice de covariance, ainsi que le résumé de nos résultats font l'objet de l'introduction.Le deuxième chapitre est consacré aux matrices de covariance $Sigma$ de Toeplitz. Le lien avec le modèle de densité spectrale est discuté. Nous considérons deux types d'ellipsoïdes, décrits par des pondérations polynomiales (dits de type Sobolev) et exponentielles, respectivement.Dans les deux cas, nous trouvons les vitesses de séparation minimax. Nous établissons également des équivalents asymptotiques exacts de l'erreur minimax de deuxième espèce et de l'erreur minimax totale. La procédure de test asymptotiquement minimax exacte est basée sur une U-statistique d'ordre 2 pondérée de façon optimale.Le troisième chapitre considère une hypothèse alternative de matrices de covariance pas nécessairement de Toeplitz, appartenant à un ellipsoïde de type Sobolev de paramètre $alpha$. Nous donnons des équivalents asymptotiques exacts des erreurs minimax de 2ème espèce et totale. Nous proposons une procédure de test adaptative, c-à-d libre de $alpha$, quand $alpha$ appartient à un compact de $(1/2, + infty)$.L'implémentation numérique des procédures introduites dans les deux premiers chapitres montrent qu'elles se comportent très bien pour de grandes valeurs de $p$, en particulier elles gagnent beaucoup sur les méthodes existantes quand $p$ est grand et $n$ petit.Le quatrième chapitre se consacre aux tests adaptatifs dans un modèle de covariance où les observations sont incomplètes. En effet, chaque coordonnée du vecteur est manquante de manière indépendante avec probabilité $1-a$, $ ain (0,1)$, où $a$ peut tendre vers 0. Nous traitons ce problème comme un problème inverse. Nous établissons ici les vitesses minimax de séparation et introduisons de nouvelles procédures adaptatives de test. Les statistiques de test définies ici ont des poids constants. Nous considérons les deux cas: matrices de Toeplitz ou pas, appartenant aux ellipsoïdes de type Sobolev / Our work contributes to the theory of non-parametric minimax tests for high dimensional covariance matrices. More precisely, we observe $n$ independent, identically distributed vectors of dimension $p$, $X_1,ldots, X_n$ having Gaussian distribution $mathcal{N}_p(0,Sigma)$, where $Sigma$ is the unknown covariance matrix. We test the null hypothesis $H_0 : Sigma =I$, where $I$ is the identity matrix. The alternative hypothesis is given by an ellipsoid from which a ball of radius $varphi$ centered in $I$ is removed. Asymptotically, $n$ and $p$ tend to infinity. The minimax test theory, other approaches considered for testing covariance matrices and a summary of our results are given in the introduction.The second chapter is devoted to the case of Toeplitz covariance matrices $Sigma$. The connection with the spectral density model is discussed. We consider two types of ellipsoids, describe by polynomial weights and exponential weights, respectively. We find the minimax separation rate in both cases. We establish the sharp asymptotic equivalents of the minimax type II error probability and the minimax total error probability. The asymptotically minimax test procedure is a U-statistic of order 2 weighted by an optimal way.The third chapter considers alternative hypothesis containing covariance matrices not necessarily Toeplitz, that belong to an ellipsoid of parameter $alpha$. We obtain the minimax separation rate and give sharp asymptotic equivalents of the minimax type II error probability and the minimax total error probability. We propose an adaptive test procedure free of $alpha$, for $alpha$ belonging to a compact of $(1/2, + infty)$.We implement the tests procedures given in the previous two chapters. The results show their good behavior for large values of $p$ and that, in particular, they gain significantly over existing methods for large $p$ and small $n$.The fourth chapter is dedicated to adaptive tests in the model of covariance matrices where the observations are incomplete. That is, each value of the observed vector is missing with probability $1-a$, $a in (0,1)$ and $a$ may tend to 0. We treat this problem as an inverse problem. We establish the minimax separation rates and introduce new adaptive test procedures. Here, the tests statistics are weighted by constant weights. We consider ellipsoids of Sobolev type, for both cases : Toeplitz and non Toeplitz matrices

We extend our results on the degree of ill-posedness for linear integration opera- tors A with weights mapping in the Hilbert space L^2(0,1), which were published in the journal 'Inverse Problems' in 2005 ([5]). Now we can prove that the degree one also holds for a family of exponential weight functions. In this context, we empha- size that for integration operators with outer weights the use of the operator AA^* is more appropriate for the analysis of eigenvalue problems and the corresponding asymptotics of singular values than the former use of A^*A.

Cette thèse est consacrée à l’étude de deux problèmes différents : l’asymptotique suramortie de la dynamique de Langevin d’une part, et l’étude d’une technique de réduction de variance dans une méthode de Monte Carlo par une repondération optimale des échantillons, d’autre part. Dans le premier problème, on montre la convergence en distribution de processus de Langevin dans l’asymptotique sur-amortie. La preuve repose sur la méthode classique des “fonctions test perturbées”, qui est utilisée pour montrer la tension dans l’espace des chemins, puis pour identifier la limite comme solution d’un problème de martingale. L’originalité du résultat tient aux hypothèses très faibles faites sur la régularité de l’énergie potentielle. Dans le deuxième problème, nous concevons des méthodes de réduction de la variance pour l’estimation de Monte Carlo d’une espérance de type E[φ(X, Y )], lorsque la distribution de X est exactement connue. L’idée générale est de donner à chaque échantillon un poids, de sorte que la distribution empirique pondérée qui en résulterait une marginale par rapport à la variable X aussi proche que possible de sa cible. Nous prouvons plusieurs résultats théoriques sur la méthode, en identifiant des régimes où la réduction de la variance est garantie. Nous montrons l’efficacité de la méthode en pratique, par des tests numériques qui comparent diverses variantes de notre méthode avec la méthode naïve et des techniques de variable de contrôle. La méthode est également illustrée pour une simulation d’équation différentielle stochastique de Langevin / This dissertation is devoted to studying two different problems: the over-damped asymp- totics of Langevin dynamics and a new variance reduction technique based on an optimal reweighting of samples.In the first problem, the convergence in distribution of Langevin processes in the over- damped asymptotic is proven. The proof relies on the classical perturbed test function (or corrector) method, which is used (i) to show tightness in path space, and (ii) to identify the extracted limit with a martingale problem. The result holds assuming the continuity of the gradient of the potential energy, and a mild control of the initial kinetic energy. In the second problem, we devise methods of variance reduction for the Monte Carlo estimation of an expectation of the type E [φ(X, Y )], when the distribution of X is exactly known. The key general idea is to give each individual sample a weight, so that the resulting weighted empirical distribution has a marginal with respect to the variable X as close as possible to its target. We prove several theoretical results on the method, identifying settings where the variance reduction is guaranteed, and also illustrate the use of the weighting method in Langevin stochastic differential equation. We perform numerical tests comparing the methods and demonstrating their efficiency

Nous nous intéressons à des problèmes de transmission entre diélectriques et métamatériaux, milieux présentant des propriétés électromagnétiques inhabituelles comme des caractéristiques effectives négatives à certaines fréquences. Par exemple, ces milieux peuvent être construits comme des assemblages périodiques de microstructures résonantes et dans ce cas la théorie de l'homogénéisation permet de justifier mathématiquement ces propriétés effectives. En régime harmonique et dans des géométries à variables séparables, des calculs analytiques peuvent être menés. Ils révèlent dans des cas dits critiques des difficultés mathématiques: les solutions n'ont pas la régularité standard, voire le problème peut être mal posé.La première partie étudie ces problèmes de transmission en régime temporel pour lequel les métamatériaux sont modélisés par des modèles dispersifs (modèle de Drude ou de Lorentz). Les difficultés résident dans le choix d'un schéma de discrétisation mais surtout dans la construction de conditions absorbantes. La méthode retenue ici est celle des Perfectly Matched Layers (PMLs). Comme les PMLs classiques sont instables pour ces modèles du fait de la présence d'ondes inverses, nous proposons une nouvelle classe de PMLs pour lesquelles nous menons une analyse de stabilité. Cette dernière permet de construire des PMLs stables. Elles sont ensuite utilisées pour simuler le comportement en temps long d'un problème de transmission; nous illustrons alors le fait que le principe d'amplitude limite peut être mis en défaut en raison de résonances d'interface.La deuxième partie vise à pallier ces phénomènes d'interface en régime harmonique en revenant sur le processus d'homogénéisation classique, pour un milieu dissipatif. Pour des problèmes de transmission, il est connu que les modèles issus de cette méthode perdent en précision du fait de la présence de couches limites à l'interface. Nous proposons un modèle enrichi au niveau de l'interface. En combinant la méthode d'homogénéisation double-échelle et celle des développements asymptotiques raccordés, nous construisons des conditions de transmission non standards faisant intervenir des opérateurs différentiels le long de l'interface. Le calcul de ces conditions nécessite la résolution de problèmes de cellule et de problèmes non standards posés dans des bandes périodiques infinies. Une analyse d'erreur confirme l'amélioration de la précision du modèle. Des simulations numériques illustrent l'efficacité de ces nouvelles conditions. Enfin, cette démarche est reproduite formellement dans le cas des matériaux à fort contraste se comportant comme des métamatériaux. Nous montrons alors que ces nouvelles conditions permettent de régulariser le problème de transmission dans les cas critiques. / We are interested in transmission problems between dielectrics and metamaterials, that is to say media with unusual electromagnetic properties such as negative constants at some frequencies. These media are often made of periodic assemblies of resonant micro-structures and in this case the homogenization theory can justify mathematically these effective properties. A preliminary part deals with these problems in the harmonic domain and in geometry with separation of variables.Analytical computations are done and reveal in the so-called critical cases some mathematical diffculties: the solutions do not have the standard regularity and the problem can even be ill-posed.The first part examines these transmission problems in the time domain for which metamaterials are modelled by dispersive models (Drude model or Lorentz model for instance). The diffculties reside in the choice of a discretization scheme but especially in the construction of absorbing conditions. The method used here is the use of Perfectly Matched Layers (PMLs). Since classical PMLs are unstable for these models due to the presence of backward waves, we propose a new class of PMLs for which we conduct a stability analysis. The latter allows us to build stable PMLs. They are then used to simulate the long-time behaviour of a transmission problem; we illustrate the fact that the limit amplitude principle can be faulted because of interface resonances.The second part aims to overcome these phenomena by coming back to the classical homogenization in the harmonic domain, for dissipative media. For transmission problems, it is known that models resulting from this method lose accuracy due to the presence of boundary layers at the interface. We propose an enriched model at the interface: by combining the method of two-scale homogenization and that of matched asymptotic expansions, we build non-standard transmission conditions involving tangential derivatives along the interface (Laplace-Beltrami operators). This requires to solve cell problems and non-standardproblems in infinite periodic bands. An error analysis confirms the improvement of the accuracy of the model and numerical simulations show the effectiveness of these new conditions. Finally, this approach is formally reproduced in the case of high contrast materials which behave like metamaterials. We show that these new conditions regularise the transmission problem in the critical cases.

Cette thèse porte sur la modélisation d'un réseau de câbles coaxiaux et multi-conducteurs. Ce dernier peut être mathématiquement traduit par les équations aux dérivées partielles de Maxwell qui régissent la propagation des ondes électromagnétiques en son sein ou par un modèle type circuit électrique d'inconnues - les potentiels et courants électriques- qui vérifient sur les branches du circuit l'équation des télégraphistes et sur les noeuds les lois de Kirchhoff.Si la première méthode est assez générale pour comprendre toutes sortes de défauts, elle néanmoins trop couteuse pour les applications que nous avons en tête, à savoir le contrôle non destructif. La seconde quant à elle est obtenue par une modélisation non issue de la théorie de Maxwell et est valide que si les câbles sont parfaits (cylindriques, sans pertes...). Nous avons établi diverses modèles 1D venant généraliser l'équation des télégraphistes et les lois de Kirchhoff pour y incorporer diverses défauts (géométrie, pertes, effet de peau, caractéristique des matériaux variables) tant sur les câbles que dans les jonctions. Ceux-ci sont obtenus via des analyses asymptotiques (classiques, multi-échelles, raccordées) des équations 3D de Maxwell en considérant certains paramètres (dimensions transverses des câbles par rapport à leurs longueurs, conductivité du milieu diélectrique par rapport à celle du métal des âmes, petite taille de la zone de jonction par rapport à l'ensemble du réseau) extrêmement petits.Une des difficultés mathématiques tient en ce que les domaines que nous prendrons en compte (sections des câbles, jonctions) ne sont aucunement simplement connexes, nous obligeant ainsi à remanier quelques outils standard tel les décompositions en potentiels. / This thesis aim to modelize network made of coaxial and multi-conductors cables.It could be mathematically represent with the Maxwell equations which deals on electromagnetic waves propagating in the network or an electrical circuit whose unknowns - the electrical potentials and currents - satisfy the telegrapher's equation on each branches and the Kirchhoff's laws on each knots.The first method is enough general to integrate many defaults but numerically too expansive for the application we have in mind, namely non destructive testing. The second one is not obtained from the Maxwell theory and it is valid if and only if the cable are perfect (cylindrical, lossless...). We derive some 1D models generalizing the usual telegrapher's equation and Kirchhoff's rules from Maxwell's equation. This new models integrate plenty of defects (geometry, losses, skin-effect, materials' characteristics varying) and are derive via asymptotic analysis (classical ones, multi-scales ones, matched ones) by considering very small parameters (transverse dimensions of the cables relative to length of the cables, conductivity of the dielectric part relative to the metal of the inner-wires, size of the junction part relative to the whole network).One of the mathematical difficult is due to the fact that the geometry we will consider (sections of the cables, junctions) are not simply connected. Thus we will generalize usual tools such as the Helmholtz decompositions.

Dans cette thèse nous considérons l’équation des ondes amorties vectorielle sur une variété riemannienne compacte, lisse et sans bord. L’amortisseur est ici une fonction lisse allant de la variété dans l’espace des matrices hermitiennes de taille n. Les solutions de cette équation sont donc à valeurs vectorielles. Nous commençons dans un premier temps par calculer le meilleur taux de décroissance exponentiel de l’énergie en fonction du terme d’amortissement. Ceci nous permet d’obtenir une condition nécessaire et suffisante la stabilisation forte de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous mettons aussi en évidence l’apparition d’un phénomène de sur-amortissement haute fréquence qui n’existait pas dans le cas scalaire. Dans un second temps nous nous intéressons à la répartition asymptotique des fréquences propres de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous démontrons que, à un sous ensemble de densité nulle près, l’ensemble des fréquences propres est contenu dans une bande parallèle à l’axe imaginaire. La largeur de cette bande est déterminée par les exposants de Lyapunov d’un système dynamique défini à partir du coefficient d’amortissement. / In this thesis we are considering the vectorial damped wave equation on a compact and smooth Riemannian manifold without boundary. The damping term is a smooth function from the manifold to the space of Hermitian matrices of size n. The solutions of this équation are thus vectorial. We start by computing the best exponential energy decay rate of the solutions in terms of the damping term. This allows us to deduce a sufficient and necessary condition for strong stabilization of the vectorial damped wave equation. We also show the appearance of a new phenomenon of high-frequency overdamping that did not exists in the scalar case. In the second half of the thesis we look at the asymptotic distribution of eigenfrequencies of the vectorial damped wave equation. Were show that, up to a null density subset, all the eigenfrequencies are in a strip parallel to the imaginary axis. The width of this strip is determined by the Lyapunov exponents of a dynamical system defined from the damping term.