Le travail de recherche présenté dans ce manuscrit est une contribution à l'étude des transitoires d'attaque dans les instruments auto-oscillants de type clarinette. L'objectif principal est d'analyser le comportement de l'instrument en réponse à une variation lente et linéaire de la pression dans la bouche du musicien. Dans des simulations numériques ou des expériences in vitro, lorsque la pression dans la bouche du musicien varie lentement et linéairement dans le temps, on observe en général l'apparition du son lorsque la pression dans la bouche atteint une valeur, appelée seuil d'oscillation dynamique, supérieure au seuil d'oscillation statique théorique. L'apport principal de ce travail est d'interpréter ce phénomène par la présence d'un retard à la bifurcation. L'approche analytique est privilégiée. La contribution majeure de ce doctorat est de comprendre les fondements de la théorie de la bifurcation dynamique et de s'inspirer de la méthodologie pour étudier le retard à la bifurcation dans un modèle de clarinette simple et bien connu de (le modèle dit "de Raman"). Les propriétés du seuil dynamique d'oscillation sont ainsi reliées aux caractéristiques de la variation temporelle de la pression dans la bouche que sont sa valeur initiale et sa pente. L'une des caractéristiques notoires du retard à la bifurcation se révèle être sa grande dépendance au bruit, même si ce dernier provient des erreurs d'arrondi de l'ordinateur. Les propriétés du seuil dynamique changent selon que le bruit peut être ignoré ou non. Nous montrons ensuite expérimentalement à l'aide d'une bouche artificielle et d'une clarinette de laboratoire que le retard à la bifurcation n'est pas qu'un phénomène numérique. Il est ainsi non seulement mis en évidence expérimentalement, mais ses propriétés sont également étudiés et comparées avec celles obtenues dans le cas numérique.

Dans ce mémoire, on s'intéresse à l'action du groupe des transformations affines et des homothéties sur l'axe du temps des systèmes différentiels quadratiques à foyer faible d'ordre trois, dans le plan. Ces systèmes sont importants dans le cadre du seizième problème d'Hilbert. Le diagramme de bifurcation a été produit à l'aide de la forme normale de Li dans des travaux de Andronova [2] et Artès et Llibre [4], sans utiliser le plan projectif comme espace des paramètres ni de méthodes globales. Dans [7], Llibre et Schlomiuk ont utilisé le plan projectif comme espace des paramètres et des notions à caractère géométrique global (invariants affines et topologiques). Ce diagramme contient 18 portraits de phase et certains de ces portraits sont répétés dans des parties distinctes du diagramme. Ceci nous mène à poser la question suivante : existe-t-il des systèmes distincts, correspondant à des valeurs distinctes de paramètres, se trouvant sur la même orbite par rapport à l'action du groupe? Dans ce mémoire, on prouve un résultat original : l'action du groupe n'est pas triviale sur la forme de Li (théorème 3.1), ni sur la forme normale de Bautin (théorème 4.1). En utilisant le deuxième résultat, on construit l'espace topologique quotient des systèmes quadratiques à foyer faible d'ordre trois par rapport à l'action de ce groupe. / We are interessed here in the action of the group of affine transformations and time homotheties on quadratic differential systems which have a weak focus of third order. These systems are important for Hilbert sixteenth problem. The bifurcation diagram was produced using Li's normal form in the articles of Andronova [2], and Artès and Llibre [4], without using the projective plane as parameter space, and without using global methods. In [7], Llibre and Schlomiuk used the projective plane as parameter space and global geometric methods (affine and topological invariants). This diagram contains 18 phase portraits and some of these portraits are repeated in distinct parts of the diagram. This led us to ask the following question : do there exist distinct differential systems, corresponding to distinct values of the parameter, which are on the same orbit of the group action? In this master's thesis, we prove an original result : the action of the group is not trivial on Li's normal form (theorem 3.1), neither is it trivial on Bautin's normal form (theorem 4.1). Using the second result, we construct the quotient topological space of these systems with a weak focus of third order, with respect to the group action.

Cette thèse a pour objectif principal de développer un outil numérique capable de prédire la ductilité des matériaux polycristallins. Cet outil est basé sur le couplage de l’approche multi-échelles autocohérente à deux critères d’instabilités plastiques : la théorie de bifurcation et l’approche d’imperfection initiale. Le schéma autocohérent est utilisé pour déterminer le comportement d’un agrégat polycristallin (supposé représentatif du matériau étudié) à partir du comportement des monocristaux constitutifs. Le comportement à l’échelle monocristalline est formulé dans le cadre des grandes déformations élastoplastiques. Deux différentes versions du critère de Schmid sont successivement utilisées pour modéliser l’écoulement plastique monocristallin : la version classique et une version régularisée. Pour intégrer numériquement les équations constitutives à l’échelle monocristalline, deux algorithmes ont été développés : un algorithme de type évolutif et un algorithme de type retour radial. Les équations gouvernant le schéma autocohérent ont été revisitées. Pour résoudre ces équations, un nouvel algorithme numérique a été proposé, qui est montré être plus efficace que les algorithmes existants communément basés sur la méthode du point fixe. De plus, une approche numérique robuste a été développée, qui permet de coupler le modèle autocohérent à l’approche d’imperfection initiale. La performance ainsi que la robustesse des différents algorithmes et schémas numériques développés ont été mis en évidence à travers plusieurs résultats de simulation. L’effet de plusieurs paramètres et choix de modélisation sur la prédiction de formabilité des tôles métalliques a été extensivement analysé. / The main objective of this PhD thesis is to develop a numerical tool capable of predicting the ductility of polycrystalline materials. This tool is based on the coupling of the self-consistent multiscale approach with two plastic instability criteria: the bifurcation theory and the initial imperfection approach. The self-consistent scheme is used to derive the mechanical behavior of a polycrystalline aggregate (assumed to be representative of the studied material) from that of its microscopic constituents (the single crystals). The constitutive framework at the single crystal scale follows a finite strain rate-independent formulation. Two different versions of the Schmid law are successively used to model the plastic flow: the classical version and a regularized one. To solve the constitutive equations at the single crystal scale, two numerical algorithms have been developed: one is based on the usual return-mapping scheme and the other on the so-called ultimate scheme. The equations governing the self-consistent approach have been revisited. To solve these equations, a new numerical scheme has been developed, which is shown to be more efficient than the existing schemes commonly based on the fixed point method. Also, a robust numerical approach has been developed to couple the self-consistent model to the initial imperfection approach. The performance and the robustness of the different numerical schemes and algorithms developed have been highlighted through several simulation results. The impact of various parameters and modeling choices on the formability prediction of sheet metals has been extensively analyzed.

Ce mémoire s'intéresse à l'étude des comportements dynamiques dans les systèmes d'électronique de puissance. La nature des cycles définis par les variables d'état du système peut être établie soit grâce à un diagramme de bifurcation soit grâce aux multiplieurs de Floquet obtenus par le modèle discret du convertisseur. Cependant, pour certaines structures de convertisseur statique, un modèle discret ne peut être obtenu sans introduire de fortes hypothèses. Les bifurcations de type flip (à l'échelle des hautes fréquences) ne peuvent pas être prédites par le modèle moyen alors qu'elles apparaissent dans de nombreux convertisseurs statiques. Une nouvelle formulation d'un modèle moyen continu permettant d'estimer le premier point de bifurcation (flip, Hopf...) a été présentée. La méthodologie proposée a été appliquée à un convertisseur boost, en mode de conduction continu, contrôlé en courant par différents types de contrôleur à fréquence fixe de commutation. Ensuite, ce modèle moyen a été utilisé pour le dimensionnement des paramètres du régulateur de courant associé à un système de filtrage actif. Les résultats obtenus par le modèle proposé ont été validés par simulation numérique ainsi que par des résultats expérimentaux.Les méthodes d'analyse des cycles limites ont été étendues pour étudier la stabilité des réseaux DC lorsque la fréquence de coupure du filtre LC reliant la source de tension avec le convertisseur statique est proche de la fréquence apparente de commutation des convertisseurs utilisés. Différents modèles discrets ont été développés pour pouvoir considérer ou non le caractère échantillonné de la commande des convertisseurs / This thesis discusses the study of dynamic behavior in power electronics systems. The nature of cycles defined by the state variables of the system can be settled either by a bifurcation diagram or by Floquet multipliers obtained from the discrete model of the converter. However, for certain structures of static converters, a discrete model cannot be obtained without introducing large assumptions. The flip bifurcations (fast-scale) cannot be predicted by the averaged model whereas they appear in many statics converters. A new formulation of a continuous averaged model is presented to estimate the first bifurcation point (flip, Hopf ...). The proposed methodology is applied to a boost converter, operated in continuous conduction mode, controlled by different types of fixed frequency switching current controllers. Then, this averaged model is used for the design of the current controller parameters associated with an active filter system. The variables obtained by the proposed model have been validated by numerical simulation and experimental results. Methods of analysis of limit cycles are extended to study the stability of DC networks when the cutoff frequency of the LC filter between the voltage source and the converter is close to the switching frequency of converters. Different discrete-time models have been developed in order to consider whether to use sampled or no-sampled converter control

L’objectif de ce sujet de thèse est de prédire l’apparition des instabilités plastiques (striction diffuse et striction localisée) dans les matériaux métalliques. Ces matériaux sont décrits par des modèles de comportement élasto-plastique couplés à l’endommagement. L'approche de Lemaitre, reliant l'endommagement à la déformation plastique équivalente et au taux de restitution de la densité d'énergie élastique, est adoptée. Parmi les différents critères et indicateurs qui sont considérés pour la prédiction des instabilités matériau, la théorie de bifurcation et les critères de type force maximum sont tout particulièrement analysés et comparés. Un objectif important de cette étude consiste à déterminer les mécanismes déstabilisants clés associés à cette modélisation du comportement, ainsi que l’impact des différents aspects physiques et des paramètres matériau sur l’apparition de la striction. Les développements résultants sont appliqués à une sélection représentative de matériaux métalliques afin prédire leurs limites de formabilités. Cette approche combinant des lois de comportement et critères de striction peut être utilisée comme outil théorique et numérique d’aide à la conception de nouveaux matériaux à ductilité améliorée / The aim of the present work is to predict the occurrence of plastic instabilities (diffuse and localized necking) in thin sheet metals. The prediction of these plastic instabilities is undertaken using an elastic–plastic model coupled with ductile damage, which is then combined with various plastic instability criteria theory. The bifurcation-based criteria and the maximum force criterion used in this work are formulated within a general three-dimensional modeling framework, and then applied for the particular case of plane-stress conditions for sheet metals. Some theoretical relationships or links between the different investigated necking criteria are established, which allows a hierarchical classification in terms of their conservative character in predicting critical necking strains. The resulting numerical tool is implemented into the finite element code ABAQUS/Standard to predict forming limit diagrams, in both situations of a fully three-dimensional formulation and a plane-stress framework. This approach, that combines constitutive equations to necking criteria, serves as a useful tool in the design of new materials with improved ductility

La théorie des jeux évolutionnaires est un outil qui permet d’étudier l’évolution des stratégies dans une population composée d’un grand nombre d’agents qui interagissent d’une façon continue et aléatoire. Dans cette théorie, il y a deux concepts essentiels qui sont la stratégie évolutivement stable (ESS), et la dynamique de réplication. Une stratégie évolutivement stable est une stratégie, qui, si adoptée par toute la population,ne peut pas être envahie par une autre stratégie ”mutante” utilisée par une petite fraction de la population. Ce concept statique est un raffinement de l’équilibre de Nash, et il ne peut pas renseigner, par exemple, sur la durée du temps nécessaire pour que l’ESS élimine la stratégie mutante. La dynamique de réplication, originalement proposée par Hawk-Dove, est un modèle dynamique qui permet de prédire l’évolution de la fraction de chaque stratégie dans la population en fonction du temps, en réponse aux gains des stratégies et l’état de la population.Dans cette thèse, nous proposons dans une première partie une extension de la dynamique de réplication classique en y introduisant des délais hétérogènes et aléatoires.En effet, la plupart des phénomènes qui se produisent prennent un temps incertain avant d’avoir des résultats. Nous étudions l’effet de la distribution des délais sur la stabilité de l’ESS dans la dynamique de réplication et nous considérons les distributions uniforme, exponentielle, et Gamma (ou Erlang). Dans les cas des distributions uniforme et Gamma, nous trouvons la valeur critique de la moyenne à laquelle la stabilité de l’équilibre est perdue et des oscillations permanentes apparaissent. Dans le cas de la distribution exponentielle, nous montrons que la stabilité de l’équilibre ne peut être perdue,et ce pour toute valeur de la moyenne de la distribution. Par ailleurs, nous montrons que la distribution exponentielle peut affecter la stabilité de l’ESS quand une seule stratégie subit un délai aléatoire issu de cette distribution. Nous étudions également le cas où les délais sont discrets et nous trouvons une condition suffisante et indépendante des valeurs des délais pour la stabilité de l’équilibre. Dans tous les cas, nous montrons que les délais aléatoires sont moins risqués que les délais constants pour la stabilité de l’équilibre, vu que la valeur moyenne critique des délais aléatoires est toujours supérieure de celle des délais constants. En outre, nous considérons comme paramètre de bifurcation la moyenne de la distribution des délais et nous étudions les propriétés de la solution périodique qui apparait à la bifurcation de Hopf, et ce en utilisant une méthode de perturbation non linéaire. En effet, à la bifurcation de Hopf, une oscillation périodique stable apparait dont l’amplitude est fonction de la moyenne de la distribution. Nous déterminons analytiquement l’amplitude de l’oscillation au voisinage de la bifurcation de Hopf en fonction du paramètre de bifurcation et de la matrice des jeux dans les cas des distributions de Dirac, uniforme, Gamma et discrète, et nous appuyons nos résultats avec des simulations numériques. Dans une deuxième partie, nous considérons une population hétérogène composée de plusieurs communautés qui interagissent d’une manière non-uniforme. Pour chaque communauté, nous définissons les matrices des jeux et les probabilités d’interaction avec les autres communautés. Dans ce contexte, nous définissons trois ESS avec différents niveaux de stabilité contre les mutations: un ESS fort, un ESS faible et un ESS intermédiaire. Nous définissons un ESS fort comme suit: si toute la population adopte l’ESS, alors l’ESS ne peut pas être envahi par une petite fraction de mutants composée d’agents de toutes les communautés. / In this dissertation, we study evolutionary game theory which is a mathematical tool used to model and predict the evolution of strategies in a population composed of a largenumber of players. In this theory, there are two basic concepts which are the evolutionarilystable strategy (ESS) and the replicator dynamics. The ESS is originally definedas follows [1]: if all the population adopts the ESS, then no alternative strategy used bya sufficiently small fraction of the population can invade the population.The ESS is astatic concept and a refinement of a Nash equilibrium. It does not allow us, for example,to estimate the time required for the ESS to overcome the mutant strategy, neither to predictthe asymptotic distribution of strategies in the population. The replicator dynamics,originally introduced in [2], is a model of evolution of strategies according to which the growth rate of a given strategy is proportional to how well this strategy performs relative to the average pay off in the population.In the first part of this work, we propose an extended version of the replicator dynamics which takes into account heterogeneous random delays. Indeed, in many situations,the presence of uncertain delays is ubiquitous. We first consider continuous delays and we study the effect of the distribution of delays on the asymptotic stability of the mixed equilibrium in the replicator dynamics. In the case of uniform and Gamma delay distributions,we find the critical mean delay at which a Hopf bifurcation is created and the stability of the mixed equilibrium is lost. When the distribution of delays is exponential, we prove that the stability of the equilibrium cannot be affected by the delays. However, when only one strategy is delayed according to the exponential distribution,the asymptotic stability of the ESS can be lost. In all the cases, we show that the critical mean delay value is higher than that of constant delays, and thus random delays are less threatening than constant delays. In addition, we consider discrete delays and one o four results is that, when the instantaneous term is dominant, that is when the probabilityof zero delay is sufficiently high, the stability of the ESS cannot be lost.Furthermore, by taking as a bifurcation parameter the mean delay distribution, we examine the properties of the bifurcating periodic solution created near the Hopf bifurcationusing a nonlinear perturbation method. Indeed, near the Hopf bifurcation, a stable periodic oscillation appears whose amplitude depends on the value of the bifurcation parameter. We give a closed-form expression of the amplitude of the periodic solution and we validate our results with numerical simulations.In the second part, we consider an heterogeneous population composed of several communities which interact in a nonuniform manner. Each community has its own set of strategies, payoffs, and interaction probabilities. Indeed, individuals of a population have many inherent differences that favor the appearance of groups or clusters. In this scenario, we define three ESS with different levels of stability against mutations: strong,weak, and intermediate ESS, and we examine their connection to each other. A strongESS is a strategy that, when adopted by all the population, cannot be invaded by a sufficientlysmall fraction of mutants composed of agents from all the communities. Incontrast, a weak ESS is a strategy wherein each community resists invasion by a sufficientlysmall fraction of mutants in that community (local mutants). In the intermediateESS, the population adopting the ESS cannot be invaded by a small fraction of mutantswhen we consider the total fitness of the population rather than the fitness of eachcommunity separately.

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Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des systèmes complexes. Nous construisons des réseaux couplés à partir de multiples instances de systèmes dynamiques déterministes, donnés par des équations différentielles ordinaires ou des équations aux dérivées partielles de type parabolique, qui décrivent un problème d'évolution. Nous étudions le lien entre la dynamique interne à chaque nœud du réseau, les éléments de la topologie du graphe portant ce réseau, et sa dynamique globale. Nous recherchons les conditions de couplage qui favorisent une dynamique globale particulière à l'échelle du réseau, et étudions l'impact des interactions sur les bifurcations identifiées sur chaque nœud. Nous considérons en particulier des réseaux couplés de systèmes de réaction-diffusion, dont nous étudions le comportement asymptotique, en recherchant des régions positivement invariantes, et en démontrant l'existence d'attracteurs exponentiels de dimension fractale finie, à partir d'estimations d'énergie qui révèlent la nature dissipative de ces réseaux de systèmes de réaction-diffusion. Ces questions sont étudiées dans le cadre de quelques applications. En particulier, nous considérons un modèle mathématique pour l'étude géographique des réactions comportementales d'individus, au sein d'une population en situation de catastrophe. Nous présentons les éléments de modélisation associés, ainsi que son étude mathématique, avec une analyse de la stabilité des équilibres et de leurs bifurcations. Nous établissons l'importance capitale des chemins d'évacuation dans les réseaux complexes construits à partir de ce modèle, pour atteindre l'équilibre attendu de retour au comportement du quotidien pour l'ensemble de la population considérée, tout en évitant une propagation du comportement de panique. D'autre part, la recherche de solutions périodiques émergentes dans les réseaux d'oscillateurs nous amène à considérer des réseaux complexes de systèmes hamiltoniens pour lesquels nous construisons des perturbations polynomiales qui provoquent l'apparition de cycles limites, problématique liée au XVIème problème de Hilbert. / This thesis is devoted to the study of the dynamics of complex systems. We consider coupled networks built with multiple instances of deterministicdynamical systems, defined by ordinary differential equations or partial differential equations of parabolic type, which describe an evolution problem.We study the link between the internal dynamics of each node in the network, its topology, and its global dynamics. We analyze the coupling conditions which favor a particular dynamics at the network's scale, and study the impact of the interactions on the bifurcations identified on each node. In particular, we consider coupled networks of reaction-diffusion systems; we analyze their asymptotic behavior by searching positively invariant regions, and proving the existence of exponential attractors of finite fractal dimension, derived from energy estimates which suggest the dissipative nature of those networks of reaction-diffusion systems.Our framework includes the study of multiple applications. Among them, we consider a mathematical model for the geographical analysis of behavioral reactions of individuals facing a catastrophic event. We present the modeling choices that led to the study of this evolution problem, and its mathematical study, with a stability and bifurcation analysis of the equilibria. We highlight the decisive role of evacuation paths in coupled networks built from this model, in order to reach the expected equilibrium corresponding to a global return of all individuals to the daily behavior, avoiding a propagation of panic. Furthermore, the research of emergent periodic solutions in complex networks of oscillators brings us to consider coupled networks of hamiltonian systems, for which we construct polynomial perturbationswhich provoke the emergence of limit cycles, question which is related to the sixteenth Hilbert's problem.

La thèse conduit une analyse cinématique des mécanismes spatiaux allant de mécanismes sphériques aux mécanismes spatiaux sur-contraints basés sur la méthode matricielle D-H et l’applique pour explorer le comportement rigide de pliabilité et de mouvement des modèles d’origami. Dans ce processus, la pliabilité rigide du motif origami en torsion triangulaire est d’abord examinée sur la base de la cinématique du réseau de mécanismes 4 R sphériques et de nouveaux mécanismes 6 R sur-contraints dérivés par la technique du kirigami. Ensuite, la cinématique du mécanisme de Bricard 6 R plan-symétrique est analysée et ses variations de bifurcation sont discutées. Après cela, les résultats sont appliqués pour étudier le pliage symétrique de l’origami de la waterbomb à six plis à panneau épais, qui est modélisé sous laforme d’un réseau de mécanismes de Bricard 6 R plan-symétriques. Le comportement de mouvement de sa tessellation correspondante de feuille de zéro-épaisseur est démontré par unréseau de mécanismes 6 R sphériques. Enfin, le comportement de mouvement de la forme cylindrique fermée de l’origami de la waterbomb est analysé à travers une étude paramétrique, en le modélisant comme un réseau fermé de mécanismes 6 R sphériques. Ces études aident à approfondir la compréhension de la cinématique des mécanismes spatiaux et du mouvement rigide de l’origami, et à jeter les bases des applications techniques des mécanismes spatiaux et des motifs d’origami rigides. / This dissertation conducts kinematic analysis of spatial linkages ranging from spherical linkages to overconstrained linkages based on the D-H matrix method, and applies it to explore the rigid foldability and motion behaviour of origami patterns. In this process, the rigid foldability of triangle twist origami pattern is firstly examined based on the kinematics of spherical 4 R linkage network and new overconstrained 6 R linkages are derived by kirigami technique. Then the kinematics of the plane-symmetric Bricard 6 R linkage is analyzed and its bifurcation variations are discussed. After that, the results are applied to study the symmetric folding of six-crease thick-panel waterbomb origami, which is modelled as a network of planesymmetric Bricard 6 R linkages. The motion behaviour of its corresponding tessellation of zerothickness sheet is demonstrated by a network of spherical 6 R linkages. Finally, the motion behaviour of the closed cylindrical form of waterbomb origami is investigated through a parametric study, by means of modelling it as a closed network of spherical 6 R linkages. These studies help to deepen the understanding of spatial linkage kinematics and rigid origami motion, and lay the foundation for engineering applications of spatial linkages and rigid origami patterns.

De nombreux travaux récents ont démontré l’importance de la stochasticité dans l’expression des gènes à différentes échelles. On passera tout d’abord en revue les principaux résultats expérimentaux pour motiver l’étude de modèles mathèmatiques prenant en comptedes effets aléatoires. On étudiera ensuite deux modèles particuliers où les effets aléatoires induisent des comportements intéressants, en lien avec des résultats expérimentaux : une dynamique intermittente dans un modèle d’auto-régulation de l’expression d’un gène ; et l’émergence d’hétérogénéité à partir d’une population homogène de protéines par modification post-traductionnelle. Dans le Chapitre I, nous avons étudié le modèle standard d’expression des gènes à trois variables : ADN, ARN messager et protéine. L’ADN peut être dans deux états, respectivement “ON“ et “OFF“. La transcription (production d’ARN messagers) peut avoir lieu uniquement dans l’état “ON“. La traduction (production de protéines) est proportionnelleà la quantité d’ARN messager. Enfin la quantité de protéines peut réguler de manière non-linéaire les taux de production précédent. Nous avons utilisé des théorèmesde convergence de processus stochastique pour mettre en évidence différents régimes de ce modèle. Nous avons ainsi prouvé rigoureusement le phénomène de production intermittente d’ARN messagers et/ou de protéines. Les modèles limites obtenues sont alors des modèles hybrides, déterministes par morceaux avec sauts Markoviens. Nous avons étudié le comportement en temps long de ces modèles et prouvé la convergence vers des solutions stationnaires. Enfin, nous avons étudié en détail un modèle réduit, calculé explicitement la solution stationnaire, et étudié le diagramme de bifurcation des densités stationnaires. Ceci a permis 1) de mettre en évidence l’influence de la stochasticité en comparant aux modèles déterministes ; 2) de donner en retour un moyen théorique d’estimer la fonctionde régulation par un problème inverse. Dans le Chapitre II, nous avons étudié une version probabiliste du modèle d’agrégation fragmentation. Cette version permet une définition de la nucléation en accord avec les modèles biologistes pour les maladies à Prion. Pour étudier la nucléation, nous avons utilisé une version stochastique du modèle de Becker-Dôring. Dans ce modèle, l’agrégation est réversible et se fait uniquement par attachement/détachement d’un monomère. Le temps de nucléation est définit comme le premier temps où un noyau (c’est-à-dire un agrégat de taille fixé, cette taille est un paramètre du mod`ele) est formé. Nous avons alors caractérisé la loi du temps de nucléation dans ce modèle. La distribution de probabilitédu temps de nucléation peut prendre différente forme selon les valeurs de paramètres : exponentielle, bimodale, ou de type Weibull. Concernant le temps moyen de nucléation, nous avons mis en évidence deux phénomènes importants. D’une part, le temps moyen denucl´eation est une fonction non-monotone du paramètre cinétique d’agrégation. D’autre part, selon la valeur des autres paramètres, le temps moyen de nucléation peut dépendre fortement ou très faiblement de la quantité initiale de monomère . Ces caractérisations sont importantes pour 1) expliquer des dépendances très faible en les conditions initiales,observées expérimentalement ; 2) déduire la valeur de certains paramètres d’observations expérimentales. Cette étude peut donc être appliqué à des données biologiques. Enfin, concernant un modèle de polymérisation-fragmentation, nous avons montré un théorème limite d’un modèle purement discret vers un modèle hybride, qui peut-être plus utile pourdes simulations numériques, ainsi que pour une étude théorique. / The importance of stochasticity in gene expression has been widely shown recently. Wewill first review the most important related work to motivate mathematical models thattakes into account stochastic effects. Then, we will study two particular models where stochasticityinduce interesting behavior, in accordance with experimental results : a bursting dynamic in a self-regulating gene expression model ; and the emergence of heterogeneityfrom a homogeneous pool of protein by post-translational modification.In Chapter I, we studied a standard gene expression model, at three variables : DNA, messenger RNA and protein. DNA can be in two distinct states, ”ON“ and ”OFF“. Transcription(production of mRNA) can occur uniquely in the ”ON“ state. Translation (productionof protein) is proportional to the quantity of mRNA. Then, the quantity of proteincan regulate in a non-linear fashion these production rates. We used convergence theoremof stochastic processes to highlight different behavior of this model. Hence, we rigorously proved the bursting phenomena of mRNA and/or protein. Limiting models are then hybridmodel, piecewise deterministic with Markovian jumps. We studied the long time behaviorof these models and proved convergence toward a stationary state. Finally, we studied indetail a reduced model, explicitly calculated the stationary distribution and studied itsbifurcation diagram. Our two main results are 1) to highlight stochastic effects by comparisonwith deterministic model ; 2) To give back a theoretical tool to estimate non-linear regulation function through an inverse problem. In Chapter II, we studied a probabilistic version of an aggregation-fragmentation model. This version allows a definition of nucleation in agreement with biological model for Prion disease. To study the nucleation, we used a stochastic version of the Becker-Döring model. In this model, aggregation is reversible and through attachment/detachment of amonomer. The nucleation time is defined as a waiting time for a nuclei (aggregate of afixed size, this size being a parameter of the model) to be formed. In this work, we characterized the law of the nucleation time. The probability distribution of the nucleation timecan take various forms according parameter values : exponential, bimodal or Weibull. Wealso highlight two important phenomena for the mean nucleation time. Firstly, the mean nucleation time is a non-monotone function of the aggregation kinetic parameter. Secondly, depending of parameter values, the mean nucleation time can be strongly or very weakly correlated with the initial quantity of monomer. These characterizations are important for 1) explaining weak dependence in initial condition observed experimentally ; 2) deducingsome parameter values from experimental observations. Hence, this study can be directly applied to biological data. Finally, concerning a polymerization-fragmentation model, weproved a convergence theorem of a purely discrete model to hybrid model, which may beuseful for numerical simulations as well as a theoretical study.