L'objet de cette thèse est une description effective des espaces de modules des courbes hyper- elliptiques de genre 3 en caractéristiques positives. En caractéristique nulle ou impaire, on obtient une paramétrisation de ces espaces de modules par l'intermédiaire des algèbres d'invariants pour l'action du groupe spécial linéaire sur les espaces de formes binaires de degré 8, qui sont de type fini. Suite aux travaux de Lercier et Ritzenthaler, les cas des corps de caractéristiques 3, 5 et 7 restaient ouverts. Pour ces derniers, les méthodes classiques de la caractéristique nulle sont inno- pérantes pour l'obtention de générateurs pour les algèbres d'invariants en jeu. Nous nous sommes donc contenté d'exhiber des invariants séparants en caractéristiques 3 et 7. En outre, nos résultats concernant la caractéristique 5 suggèrent l'inadéquation de cette approche pour ce cas. À partir de ces résultats, nous avons pu expliciter la stratification des espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre 3 en caractéristiques 3 et 7 selon les groupes d'automorphismes et implémenté divers algorithmes, dont celui de Mestre, pour la reconstruction d'une courbe à partir de son module, ie la valeur de ses invariants. Pour cette phase de reconstruction, nous nous sommes notamment attaché aux questions arithmétiques, comme l'existence d'une obstruction à être un corps de définition pour le corps de module et, dans le cas contraire, à l'obtention d'un modèle de la courbe sur ce corps minimal. Enfin pour la caractéristique 2, notre approche est différente, dans la mesure où les courbes sont étudiées via leur modèle d'Artin-Schreier. Nous exhibons pour celles-ci des invariants bigradués qui dépendent de la structure arithmétique des points de ramifications des courbes. / The aim of this thesis is to provide an explicite description of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in positive characteristic. Over a field of characteristic zero or odd, a parame- terization of these moduli spaces is given via the algebra of invariants of binary forms of degree 8 under the action of the special linear group. After the work of Lercier and Ritzenthaler, the case of fields of characteristic 3, 5 and 7 are still open. However, in these remaining case, the classical methods in characteristic zero do not work in order to provide generators for these algebra of invariants. Hence we provide only separating invariants in characteristic 3 and 7. Furthermore our results in characteristic 5 show this approach is not suitable. From these results, we describe the stratification of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in characteristic 3 and 7 according to the automorphism groups of the curves and imple- ment algorithms to reconstruct a curve from its invariants. For this reconstruction stage, we paid attention to arithmetic issues, like the obstruction to be a field of definition for the field of moduli. Finally, in the characteristic 2 case, we use a different approach, given that the curves are defined by their Artin-Schreier models. The arithmetic structure of the ramification points of these curves stratify the moduli space in 5 cases and we define in each case invariants that characterize the isomorphism class of hyperelliptic curves.

We study partially ordered sets of prime ideals as found in commutative Noetherian rings. These structures, commonly known as prime spectra, have long been a popular topic in the field of commutative algebra. As a consequence, there are many related questions that remain unanswered. Among them is the question of what partially ordered sets appear as Spec(A) of some Noetherian ring A, asked by Kaplansky during the 1950's. As a partial case of Kaplansky's question, we consider finite posets that are ring spectra of commutative Noetherian rings. Specifically, we show that finite spectra of such rings are always order-isomorphic to a bipartite graph. However, the most significant undertaking of this study is that of devising a constructive methodology for finding a ring with prime spectrum that is order-isomorphic to an arbitrary bipartite graph. As a result, we prove that any complete bipartite graph is order-isomorphic to the prime spectrum of some ring of essentially finite type over the field of rational numbers. Moreover, a series of potential generalizations and extensions are proposed to further enhance the constructive methodology. Ultimately, the results of this study constitute an original contribution and perspective on questions related to commutative ring spectra.

Esse trabalho trata um pouco da teoria de A-loops comutativos finitos. No primeiro captulo estudamos propriedades básicas de loops em geral e exi- bimos exemplos de loops não associativos. No captulo 2 falamos de A-loops em geral e mesmo sem assumirmos comutatividade obtivemos resultados importantes, um exemplo é que A-loop associa potências. Também determinamos quando um isótopo e K -holomorfo de um A-loop é um A-loop. No captulo 3, nossos únicos objetos de estudo foram os A-loops comutativos finitos. Vimos que tais estruturas têm proriedades muito interessantes, por exemplo, para um A-loop comutativo finito valem os teoremas de Lagrange, Cauchy. Também, um A-loop comutativo finito, Q, tem ordem potência de um primo p se e somente se todo elemento de Q tem ordem potência de p. Mais ainda, todo A-loop comutativo finito de ordem mpar é solúvel. No último captulo, apresentamos algumas maneira de se construir um A-loop. / In the first chapter we studied basic properties of general loops and we showed some examples of nonassociative loops. In chapter 2, we talked about general A-loops (without commutativity) and even that we obtained important results, for instance, that any A-loop is power-associative. We also determined when an isotope and a K -holomorph of an A-loop is an A-loop. In chapter 3 we dealt only with finite commutative A-loops. We saw that such structures have very interesting properties, for example, for a finite commutative A- loop, Lagrange, Cauchys theorems apply. Also a finite commutative A-loop, Q, has order a power of a prime p if and only if every element of Q has order a power of p. Moreover, finite commutative A-loops of odd order are solvable. In the last chapter we introduce some ways to construct a commutative A-loop

Le but de cette thèse est l'étude des invariants d'Iwasawa attachés aux p-groupes des classes généralisés dans les extensions de Lie p-adiques de corps de nombres.Ces invariants ont été introduits par Iwasawa pour les Zp-extensions. Les travaux de Venjakob sur la structure des modules sur l'algèbre d'Iwasawa d'un groupe de Lie p-adique ont permis d'en généraliser la définition à la théorie non-commutative. Par des techniques de descente et une étude algébrique fine de la structure des modules d'Iwasawa sur un groupe non-commutatif, on dégage des formules asymptotiques pour les p-groupes des classes généralisés le long d'une extension de corps de nombres de groupe de Galois p-valué. Ces formules ont pour paramètres les invariants d'Iwasawa de l'extension. Elles sont rendues plus précises dans le cas des Zp-extensions, où on remarque qu'un défaut de descente doit être pris en compte et est d'impact non négligeable sur le résultat final. Ces résultats asymptotiques sont ensuite exploités à l'aide de la théorie du miroir. Ceci conduit à des formules de dualité entre ramification et décomposition concernant les invariants d'Iwasawa / This thesis aim at exploring Iwasawa invariants attached to generalized p-class groups in p-adic Lie extensions of number fields. These invariants where introduced by Iwasawa for Zp-extensions. In his work on the structure of modules over the Iwasawa algebra of a p-adic Lie group, Venjakob extends the definition to the non commutative theory. Using descent techniques, along with a fine algebraic study of Iwasawa's modules structure over a non commutative group, we obtain asymptotic formulas for generalized p-class groups in a tower of number fields, with a p-valued group as Galois group. These formulas have Iwasawa invariants as parameters. They become more precise for Zp-extensions, where a significant descent default is involved. These asymptotic results are exploited thanks to reflexion theory. This leads to duality formulas between ramification and decomposition for Iwasawa invariants

Le droit au partage est généralement présenté comme étant consubstantiel du droit de propriété. Ce dernier est garanti par des textes de valeur constitutionnelle. Or, sinon le caractère prétendument absolu du droit de propriété, du moins son rang dans la hiérarchie des droits réels, s'opposent à ce que ses titulaires se trouvent contraints de l’exercer selon des modalités non voulues. Il importe dès lors que l'opération de partage soit impérativement réalisée dans le respect du droit dont elle est le prolongement, c'est-à-dire conformément aux intérêts patrimoniaux des copartageants. C'est « l’égalité » du partage, entendue alors comme synonyme de neutralité économique de l’opération. Mais les relations entre égalité et partage excèdent largement la notion d'égalité face à l'opération de « conversion » que réalise le partage. L'égalité n'est pas seulement le critère et l'impératif du partage ; elle en est aussi la « cause-impulsive », et parfois le motif. En certaines occasions, c'est parce qu'une certaine forme d'égalité aura été voulue qu'un partage s'établira. A cet égard, l’égalité ne se borne alors plus à assurer la bonne fin du partage ; elle le suscite. Le partage ne saurait se réduire en effet à la simple réalisation d’une opération commutative. Il assure la réception, en droit privé et, plus particulièrement, au sein du droit patrimonial de la famille, d’une aspiration égalitaire transcendant la technique juridique. La convention de partage n’est pas seulement un contrat nécessairement « égalitaire » ; elle emporte « contractualisation de l’égalité ». L’égalité en constitue le principal objet / The right to an equal share in the partition / to equal partition is undisociable from the right to property which is garanteed by Constitutional law. So, If not because of the allegedly absolute right to property, at least because of its rank in the hierarchy of real rights, the right to division is contrary to any acceptance by the entitled (of the proceedings) on undesired modalities. This is equality in partition in the full sense of the word – a synonym, here, of economic neutrality of the operation. The relations between equality and partition go beyond the notion of equality as understood in partition proper. Equality, indeed, is not solely the criterium and imperative for the partition, it is also the cause and, at times, even, the mobile. It may happen that partitioning is made because a certain kind of equality is desired. In these cases, equality has not its goal limited in bringing about a partition; but partition finds its cause in equality. It can, thus, be said that partitioning sums up both the efficacy of the right to property and the enforcement of a principle of equality that far exceeds its legal technique. It is clear, indeed, that the partition can’t be reduced to the sole effectiveness of a necessarily accumulative operation. It helps acknowledge, within, the private law and the patrimonial family law, in particular, that aspiration for equality that far transcends legal procedures. In that sense, the partition agreement must not be regarded solely as a necessarily egalitarian contract; it entails that equality itself be a contract. Indeed, equality is not a characteristic of the operation but its main object

In his study of spectra of f-rings via pointfree topology, Banaschewski [6] considers lattices of l-ideals, radical l-ideals, and saturated l-ideals of a given f-ring A. In each case he shows that the lattice of each of these kinds of ideals is a coherent frame. This means that it is compact, generated by its compact elements, and the meet of any two compact elements is compact. This will form the basis of our main goal to show that the lattice-ordered rings studied in [6] are coherent frames. We conclude the dissertation by revisiting the d-elements of Mart nez and Zenk [30], and characterise them analogously to d-ideals in commutative rings. We extend these characterisa-tions to algebraic frames with FIP. Of necessity, this will require that we reappraise a great deal of Banaschewski's work on pointfree spectra, and that of Mart nez and Zenk on algebraic frames. / Mathematical Sciences / M. Sc. (Mathematics)

Dans cette thèse, nous interprétons géométriquement la torsion de l'algèbre symétrique d'un faisceau d'idéaux I_Z d'un schéma Z défini par n+1 équations dans une variété n-dimensionnelle. Ceci revient à étudier la géométrie de la projectivisation de I_Z. Les applications de ce point de vue concernent en particulier le domaine des transformations birationnelles de l'espace projectif de dimension 3 au sujet duquel nous construisons des transformations birationnelles explicites qui ont le même degré algébrique que leur inverse, le domaine des courbes libres et presque-libres au sujet duquel nous généralisons une caractérisation des courbes libres en étendant les notions de nombre de Milnor et de nombre de Tjurina. Nous abordons aussi le sujet des hypersurfaces homaloides, notre motivation initiale, au sujet duquel nous exhibons en particulier une courbe homaloide de degré 5 en caractéristique 3. La dernière application concerne le calcul de l'inverse d'une transformation birationnelle. / In this thesis, we interpret geometrically the torsion of the symmetric algebra of the ideal sheaf I_Z of a scheme Z defined by n+1 equations in an n-dimensional variety. This is equivalent to study the geometry of the projectivization of I_Z. The applications of this point of view concern, in particular, the topic of birational maps of the projective space of dimension 3 for which we construct explicit birational maps that have the same algebraic degree as their inverse, free and nearly-free curves for which we generalise a characterization of free curves by extending the notion of Milnor and Tjurina numbers. We tackle also the topic of homaloidal hypersurfaces, our original motivation, for which we produce in particular a homaloidal curve of degree 5 in characteristic 3. The last application concerns the computation of the inverse of a birational map.

The concept of unique factorization was first recognized in the 1840s, but even then, it was still fairly believed to be automatic. The error of this assumption was exposed largely through attempts to prove Pierre de Fermat's, 1601-1665, last theorem. Once mathematicians discovered that this property did not always hold, it was only natural for them to try to search for the strongest available alternative. Thus began the attempt to generalize unique factorization. Using the ascending chain condition on principle ideals, we will show the conditions under which a ring is a unique factorization domain.

Ce mémoire est une présentation des travaux que l'auteur a réalisé en théorie des aneaux et des modules. Plus précisément l'auteur s'est consacré à l'étude des anneaux commutatifs arithmétiques et plus particulièrement aux anneaux de valuation (non nécessairement intègres). Le résultat le plus remaquable est la démonstration du théorème qui dit que tout annean local à type de module borné est un anneau de valuation presque maximal. Sont aussi présentés des résultats sur la localisation des modules injectifs et sur les enveloppes pure-injectives de certains modules.

Dans cette thèse, nous définissons algébriquement le résultant déterminantiel d'un morphisme f de modules libres de type dont la matrice a en entrée des polynômes homogènes f_i,j. A l'aide des complexes d'Eagon-Northcott et de Buchsbaum-Rim associés au morphisme P nous proposons des méthodes effectives pour calculer ce résultant déterminantiel ainsi que son degré. Dans le cas où les polynômes f_i,j sont à deux variables, nous montrons que ce résultant déterminantiel est donné par le déterminant d'une matrice en les coefficients des f_i,j , qui est une généralisation de la matrice de Sylvester de deux polynômes. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions des problèmes d'intersection de courbes et surfaces de Bézier en évitant la fameuse conversion instable entre la base de Bernstein et la base monomiale. Ces problèmes jouissent d'une structure particulière qui est dégénérée pour le résultant de Macaulay. Nous prouvons l'existence d'un résultant anisotrope adapté à ces systèmes dégénérés et proposons un algorithme pour le calculer.