On s'intéresse aux groupes de cohomologie à support de faisceaux sur des variétés algébriques. On étudie surtout, pour des fibrés en droites sur des variétés où opère un groupe réductif $G$, la cohomologie à support dans certaines sous-variétés invariantes par l'action d'un sous-groupe de Borel de $G$. On obtient ainsi des représentations de l'algèbre de Lie de $G$ que l'on analyse : on en donne des filtrations dont le gradué associé fait apparaître des ``modules de Verma généralisés''. Grâce au complexe de Grothendieck-Cousin, cette étude permet de retrouver le théorème de Borel-Weil-Bott sur les variétés de drapeaux et aussi de déterminer tous les groupes de cohomologie des fibrés en droites sur les compactifications $G \times G-$équivariantes de $G$ (en particulier sur les compactifications magnifiques). Cela généralise la description bien connue des groupes de cohomologie des fibrés en droites sur les variétés toriques complètes.

This thesis explores three different aspects of quantum gravity. First we study D3-brane black holes in Calabi-Yau compactifications of type IIB string theory. Using the OSV conjecture and a relation between topological strings and matrix models we show that some black holes have a matrix model description. This is the case if the attractor mechanism fixes the internal geometry to a conifold at the black hole horizon. We also consider black holes in a flux compactification and compare the effects of the black holes and fluxes on the internal geometry. We find that the fluxes dominate. Second, we study the scalar potential of type IIB flux compactifications. We demonstrate that monodromies of the internal geometry imply as a general feature the existence of long series of continuously connected minima. This allows for the embedding of scenarios such as chain inflation and resonance tunneling into string theory. The concept of monodromies is also extended to include geometric transitions: passing to a different Calabi-Yau topology, performing its monodromies and then returning to the original space allows for novel transformations. All constructions are performed explicitly, using both analytical and numerical techniques, in the mirror quintic Calabi-Yau. Third, we study cosmological topologically massive gravity at the chiral point, a prime candidate for quantization of gravity in three dimensions. The prospects of this scenario depend crucially of the stability of the theory. We demonstrate the presence of a negative energy bulk mode that grows logarithmically toward the AdS boundary. The AdS isometry generators have non-unitary matrix representations like in logarithmic CFT, and we propose that the CFT dual for this theory is logarithmic. In a complementing canonical analysis we also demonstrate the existence of this bulk degree of freedom, and we present consistent boundary conditions encompassing the new mode.

La recherche de solutions du vide en présence de flux non-triviaux dans la théorie des cordes est importante pour la construction de modèles pertinents à la phénomenologie de la physique des particules. Dans le cadre de la correspondance AdS/CFT, les théories de jauge en 4d, considérées comme descendantes de N=4 SYM, sont duales à des configurations de champs en 10d avec des géometries ayant un facteur AdS_5 asymptotiquement. Dans cette thèse, nous étudions des déformations de masse qui brisent la supersymétrie (partiellement ou totalement) du côté de la théorie des champs et qui sont duales aux états de la théorie IIB avec flux non-nuls du côté gravitique. Les équations du mouvement de la supergravité contraignent les paramètres de la théorie de jauge à satisfaire certaines relations. En particulier, nous trouvons que la somme des carrés de la masse des bosons est égale à celle fermions, rendant ces modèles problematiques pour des applications phénomenologiques. L'étude des théories duales de supergravité pour des déformations plus générales de la théorie conforme des champs exige des techniques qui vont au-delà des outils géometriques standards. La Géometrie Généralisée Exceptionelle fournit une façon très élégante d'intégrer les flux de supergravité dans la géometrie. Nous examinons les solutions AdS_5 avec des flux génériques conservants huit supercharges et nous montrons que celles-ci satisfont des relations particulièrement simples qui ont une interprétation géometrique dans le cadre de la Géometrie Généralisée. Ceci ouvre la voie pour l'étude systématique des déformations marginales supersymétriques de la théorie / The search for string theory vacuum solutions with non-trivial fluxes is of particular importance for the construction of models relevant for particle physics phenomenology. In the framework of the AdS/CFT correspondence, four-dimensional gauge theories which can be considered to descend from N = 4 SYM are dual to ten- dimensional field configurations with geometries having an asymptotically AdS_5 factor. In this Thesis, we study mass deformations that break supersymmetry (partially or entirely) on the field theory side and which are dual to type IIB backgrounds with non-zero fluxes on the gravity side. The supergravity equations of motion constrain the parameters on the gauge theory side to satisfy certain relations. In particular, we find that the sum of the squares of the boson masses should be equal to the sum of the squares of the fermion masses, making these set-ups problematic for phenomenology applications. The study of the supergravity duals for more general deformations of the conformal field theory requires techniques which go beyond the standard geometric tools. Exceptional Generalized Geometry provides a very elegant way to incorporate the supergravity fluxes in the geometry. We study AdS_5 backgrounds with generic fluxes preserving eight supercharges and we show that these satisfy particularly simple relations which admit a geometrical interpretation in the framework of Generalized Geometry. This opens the way for the systematic study of supersymmetric marginal deformations of the conformal field theory in the context of AdS/CFT.

Diese Doktorarbeit behandelt die bosonische Einbettung der geeichten N = 8 Supergravitation in elf Dimensionen. Die höher dimensionalen Felder müssen zuerst nichtlinear umdefiniert werden, sodass ihre supersymmetrischen Transformationen mit denen der vierdimensionalen Felder verglichen werden können. So wurden in der Literatur nichtlineare Beziehungen zwischen den neu definierten elfdimensionalen Feldern und den Feldern der N = 8 Supergravitation gefunden. Darauf basierend können nun direkte Ansätze gefunden werden, die eine vierdimensionale in eine elfdimensionale Lösung der Supergravitation einbetten. Die Arbeit präsentiert alle Ansätze für die skalaren internen Felder. Zuerst werden die schon bekannten Einbettungsformeln für die inverse Metrik, das Dreiform-Potential mit gemischter Indexstruktur sowie das Sechsform-Potential zusammengefasst. Danach werden neue Ansätze für die explizite interne Metrik, das vollständige Dreiform-Potential, den Warp Faktor, die Vierform Feldstärke sowie den Freund-Rubin Faktor gefunden. Die Einbettung der Vektorbosonen hängt dann nur von den skalaren Feldern ab. Der zweite Teil der Arbeit benutzt die gefundenen Einbettungsformeln, um gruppeninvariante Lösungen der elfdimensionalen Supergravitation zu finden. In solchen Fällen hängen die höherdimensionalen Felder ausschließlich von speziellen gruppeninvarianten Tensoren ab, die auf die jeweilige interne Geometrie angepasst sind. Als Beispiel wird zuerst die schon bekannte Einbettung der G2 invarianten Supergravitation zusammengefasst. Dann wird eine neue SO(3)×SO(3) invariante Löung der elfdimensionalen Supergravitation gefunden. Schließlich wird die Konsistenz der gefundenen Lösungen für eine maximal symmetrische Raumzeit überprüft. Die Ergebnisse können auf andere Kompaktifizierungen verallgemeinert werden, z.B. auf die nichtkompakten CSO(p,q,r) Eichungen oder auf die Reduzierung der Typ IIB Supergravitation zu fünf Dimensionen. / This thesis presents the complete embedding of the bosonic section of gauged N = 8 supergravity into 11 dimensions. The fields of 11-dimensional supergravity are reformulated in a non-linear way, such that their supersymmetry transformations can be compared to the four-dimensional ones. In this way, non-linear relations between the redefined higher-dimensional fields and the fields of N = 8 supergravity were already found in the literature. This is the basis for finding direct uplift Ansätze for the bosonic fields of 11-dimensional supergravity in terms of the four-dimensional ones. This work gives the scalar Ans¨atze for the internal fields. First, the well known uplift formulae for the inverse metric, the three-form potential with mixed index structure and the six-form potential are summarized. Secondly, new embedding formulae for the explicit internal metric, the full three-form potential and the warp factor are presented. Additionally, two subsequent non-linear Ansätze for the full internal four-form field strength and the Freund-Rubin term are found. Finally, the vector uplift can simply be found in terms of the obtained scalar fields. The second part of this thesis uses the obtained embedding formulae in order to construct group invariant solutions of 11-dimensional supergravity. In such cases, the higher-dimensional fields can be written solely in terms of certain group invariant tensors that are adapted to the particular geometry of the internal space. Two such examples are discussed in detail. The first one is the well-known uplift of G2 gauged supergravity. Furthermore, a new SO(3)×SO(3) invariant solution of 11-dimensional supergravity is found. In particular, the consistency of both solutions is explicitly checked for a maximally symmetric spacetime. The results may be generalized to other compactifications, e.g. the non-compact CSO(p, q, r) gaugings or the reduction from type IIB supergravity to five dimensions.

Le but de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats arithmétiques connus pour les formes modulaires elliptiques au cas des formes modulaires de Hilbert. Parmi ces résultats citons le contrôle de l'image de la représentation galoisienne résiduelle [Serre, Ribet], le critère de congruence de Hida, ainsi que la liberté de la cohomologie entière de la variété modulaire de Hilbert sur certaines composantes locales de l'algèbre de Hecke et la propriété de Gorenstein de celles-ci [Mazur, Faltings-Jordan]. Dans le cas de niveau "minimal" ceci permet de relier la $p$-partie "algébrique" de la valeur en 1 de la fonction L adjointe d'une forme modulaire de Hilbert nouvelle au cardinal du groupe de Selmer correspondant. L'approche des propriétés arithmétiques des formes modulaires de Hilbert se fait à travers leurs représentations galoisiennes modulo $p$ et l'outil principal est l'action de l'inertie en $p$. Cette action est contrôlée par le calcul des poids de Hodge-Tate (resp. de Fontaine-Laffaille) de la cohomologie $p$-adique (resp. modulo $p$) de la variété modulaire de Hilbert. La partie cohomologique de ce travail repose sur la construction des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété abélienne de Hilbert-Blumenthal universelle (et de ses produits fibrés), au-dessus des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété modulaire de Hilbert en niveau $\Gamma_1(c,n)$.

Nous étudions des solutions avec flux de la théorie des cordes, sur un espace-temps dix-dimensionnel séparé en un espace-temps quatre-dimensionnel maximalement symétrique, et une variété interne six-dimensionnelle M, étant ici une variété résoluble (un tore twisté). Ces solutions sont intéressantes pour relier la théorie des cordes à une extension supersymétrique (SUSY) du modèle standard des particules, ou à des modèles cosmologiques. Pour des solutions SUSY des supergravités de type II, la présence de flux sur M aide à résoudre le problème des moduli. Une classe plus large de variétés que le simple Calabi-Yau peut alors être considérée pour M, et une caractérisation générale est donnée en terme de Géométrie Complexe Généralisée: M doit être un Calabi-Yau Généralisé (GCY). Il a été montré qu'une sous-classe de variétés résolubles sont des GCY, donc nous allons chercher des solutions sur de telles M. Pour y parvenir, nous utilisons une méthode de résolution algorithmique. Nous étudions ensuite un certain type de solutions: celles qui admettent une structure SU(2) intermédiaire. Par la suite, nous considérons le twist, une transformation qui relie des solutions sur le tore à d'autres sur variétés résolubles. En déterminant des contraintes sur le twist pour générer des solutions, nous parvenons à relier des solutions connues, et nous en trouvons une nouvelle. Nous l'utilisons également pour relier des solutions avec flux de la corde hétérotique. Nous considérons finalement des solutions de de Sitter dix-dimensionnelles. Plusieurs problèmes, dont la brisure de la SUSY, rendent la recherche de telles solutions difficile. Nous proposons un ansatz pour des sources brisant la SUSY qui aide à surmonter ces difficultés. Nous donnons alors une solution explicite sur variété résoluble, et discutons partiellement sa stabilité quatre-dimensionnelle.

Grâce à l’exploitation du Large Hadron Collider, débutée en 2010, le monde de la physique des particules espère enfin avoir une compréhension plus précise du mécanisme de brisure de la symétrie électrofaible et résoudre certaines questions expérimentales et théoriques que soulèvent encore le modèle standard. S’inscrivant dans cette effervescence scientifique, nous allons présenter dans ce manuscrit une paramétrisation largement indépendante des modèles afin de caractériser les effets d’une éventuelle nouvelle physique sur les mécanismes de production et de désintégration du bosons de Higgs. Ce nouvel outil pourra aisément être utilisé dans les analyses des grandes expériences généralistes comme CMS et ATLAS afin de valider ou d’exclure de manière significative certaines théories au delà du modèle standard. Ensuite, dans une approche différente, fondée sur la construction de modèles, nous avons considéré un scenario où les champs du modèle standard peuvent se propager dans un espace plat possédant six dimensions. Les nouvelles directions spatiales supplémentaires sont compactifiées sur un Plan Projectif Réel. Cet orbifold original est l’unique géométrie à six dimensions qui présente des fermions chiraux et un candidat de matière noire dit naturel. Le photon scalaire, particule la plus légère du premier mode de Kaluza-Klein, est en effet stabilisé par une symétrie résiduelle de l’invariance de Lorentz à six dimensions. En utilisant les contraintes actuelles fournies par les observations cosmologiques, nous avons déterminé l’ordre de grandeur de la masse de cette particule aux alentours d’une centaine de GeV. De ce fait les nouveaux états présents dans cette théorie sont suffisamment légers pour produire des signatures claires et observables au Large Hadron Collider. Avec une étude plus poussée du spectre de masses et des couplages du modèle, incluant les corrections radiatives à une boucle, nous avons pu ainsi donner les premières prédictions et contraintes sur la phénoménologie attendue au Large Hadron Collider. / With the start of the Large Hadron Collider runs, in 2010, particle physicists will be soon able to have a better understanding of the electroweak symmetry breaking. They might also answer to many experimental and theoretical open questions raised by the Standard Model. Surfing on this really favorable situation, we will first present in this thesis a highly modelindependent parametrization in order to characterize the new physics effects on mechanisms of production and decay of the Higgs boson. This original tool will be easily and directly usable in data analysis of CMS and ATLAS, the huge generalist experiments of LHC. It will help indeed to exclude or validate significantly some new theories beyond the Standard Model. In another approach, based on model-building, we considered a scenario of new physics, where the Standard Model fields can propagate in a flat six-dimensional space. The new spatial extra-dimensions will be compactified on a Real Projective Plane. This orbifold is the unique six-dimensional geometry which possesses chiral fermions and a natural Dark Matter candidate. The scalar photon, which is the lightest particle of the first Kaluza-Klein tier, is stabilized by a symmetry relic of the six dimension Lorentz invariance. Using the current constraints from cosmological observations and our first analytical calculation, we derived a characteristic massrange around few hundred GeV for the Kaluza-Klein scalar photon. Therefore the new states of our Universal Extra-Dimension model are light enough to be produced through clear signatures at the Large Hadron Collider. So we used a more sophisticated analysis of particle mass spectrum and couplings, including radiative corrections at one-loop, in order to establish our first predictions and constraints on the expected LHC phenomenology

Das Ziel dieser Arbeit ist die Berechnung der arithmetischen Volumina der Shimuravarietäten vom orthogonalen Typ und der natürlichen Höhen der speziellen Zykel auf diesen. Wir entwickeln, für den Fall guter Reduktion, eine allgemeine Theorie ganzzahliger Modelle von toroidalen Kompaktifizierungen der Shimuravarietäten vom Hodge Typ (sowie des Standardhauptfaserbündels darüber). Dies ermöglicht, unter Verwendung der Theorie der Borcherdsprodukte, das arithmetische Voluminen einer zu einem Gitter L der Diskriminante D assoziierten Shimuravarietät, bis auf log(p) Beiträge zu Primzahlen p mit p^2|4D, zu berechnen. Dies ist eine Verallgemeinerung einer Arbeit von Burgos, Bruinier und Kühn. Die Höhen der speziellen Zykel werden im Falle von Kodimension 1 bis auf log(p)-Beiträge mit p|2D berechnet, sowie unter leichten zusätzlichen Einschränkungen im Falle von Kodimension > 1. The resultierenden Grössen sind spezielle Ableitungswerte gewisser L-Reihen. Im Falle der speziellen Zykel stimmen diese mit speziellen Ableitungswerten gewisser normalisierter Eisensteinreihen überein (zusätzlich, bis auf Beiträge bei unendlich). Dies bestätigt Vermutungen von Bruinier-Kühn, Kudla und anderen. / The overall aim of this thesis is to compute arithmetic volumes of Shimura varieties of orthogonal type and natural heights of the special cycles on them. We develop a general theory of integral models of toroidal compactifications of Shimura varieties of Hodge type (and of its standard principal bundle) for the case of good reduction. This enables us, using the theory of Borcherds products, and generalizing work of Burgos, Bruinier and Kühn, to calculate the arithmetic volume of a Shimura variety associated with a lattice L of discriminant D, up to log(p)-contributions from primes p such that p^2|4D. The heights of the special cycles are calculated in the codimension 1 case up to log(p), p|2D, and with some additional restrictions in the codimension > 1 case. The values obtained are special derivatives of certain L-series. In the case of the special cycles they are equal to special derivatives of Fourier coefficients of certain normalized Eisenstein series (in addition, up to contributions from infinity) in accordance with conjectures of Bruinier-Kühn, Kudla, and others.

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