[pt] A produção de petróleo em alta vazão a partir de reservatórios formados por arenitos friáveis requer a instalação de sistemas de contenção de sólidos para preservar equipamentos de superfície e subsuperfície. Os projetos de explotação para campos constituídos por estes reservatórios têm na completação uma etapa fundamental na construção do poço. Dentre as diversas operações de completação, a instalação de sistemas de contenção de sólidos é uma das mais complexas e envolve uma ampla gama de recursos humanos e financeiros. A alteração no estado de tensões atuante sobre a formação é uma das principais fontes de carregamento dos sistemas de contenção mecânica de sólidos instalados em poços horizontais. O objetivo deste trabalho é desenvolver um modelo para avaliação do desempenho de sistemas de contenção de sólidos do tipo gravel pack quando submetidos aos esforços relacionados ao comportamento geomecânico das formações produtoras e a variação de pressões durante a vida produtiva de um poço de petróleo, permitindo a otimização de projetos destes sistemas sob a ótica da resistência ao colapso das telas. O carregamento imposto sobre estes sistemas é avaliado através da implementação do modelo de Mohr Coulomb solucionado numericamente através do método de elementos finitos (MEF). O programa comercial ABAQUS™ é utilizado em função da sua flexibilidade para solução de modelos não-lineares. Foram analisados sistemas de contenção de areia com os conjuntos de telas tipicamente utilizados na indústria de petróleo. Em nenhum cenário analisado foram verificados indícios de colapso dos tubos indicando a possibilidade de redução da sua resistência mecânica. / [en] Global increase in energy demand and the lack of opportunities on shore or in shallow waters are driving production of hydrocarbons towards deep and ultra deepwater basins, where reservoirs are usually formed by weak and unconsolidated sandstones that require sand control methods to prevent damage in surface and subsurface equipments. Guidelines to select sand control systems are primarily based on sand exclusion, seeking to optimize balance between oil rate and fines production. Another aspect, often overlooked, is collapse strength of the system formed by the sand control equipment and the formation itself, subjected to mechanical loadings that change during life of the well. This contribution presents a method to evaluate collapse strength of sand control systems taking into account mechanical interaction between the formation and sand control screens. Elastoplastic models are used to represent granular materials. Three sand control systems were studied: gravel pack with premium screens, stand alone premium screens and pre-packed screens. A model to describe contact between granular materials (gravel and formation) and soil-pipe interaction is proposed. Results demonstrate that perforated base pipes used in premium screens may be oversized for applications under regular operating conditions.

Cette thèse consiste en une étude de jonctions tunnels à Quantum Dot (QD) unique. Le second chapitre présentera une introduction aux concepts fondamentaux nécessaires à la description d’une telle jonction. Dans le troisième chapitre, je décrirais les méthodes de fabrications et de mesures. Dans le quatrième chapitre, je décrirais une étude par spectroscopie tunnel de QDs PbS. Trois signatures distinctes du couplage électron-phonon sont observées dans le spectre tunnel. Dans le régime de « remplissage de couches », la dégénérescence d’ordre 8 des états est levée par les interactions de Coulomb et permet l’observation des sous-bandes de phonons résultant de l’émission de phonons optiques. A faible tension, une bande interdite (gap) est observée dans le spectre, laquelle ne peut être fermée avec la tension de grille, ce qui est une signature caractéristique du blocage de France-Condon. A partir de ces données, un facteur de Huang-Rhys de l’ordre de S~1.7-2.5 est obtenu. Finalement, dans le régime de « shell-tunneling », les phonons optiques apparaissent dans le spectre tunnel inélastique d2I/dV2. Dans le cinquième chapitre, je présente une étude du spectre tunnel de QDs HgSe. En appliquant une tension de grille, différents niveaux d’occupation du QD peuvent être atteints. La valeur de la bande interdite change avec le niveau d’occupation. Une valeur de 0.9 eV est observée pour l’inter-bande (QD vide), une valeur de 0.2 eV est observée pour l’intra-bande (QD occupé par 2 e). Sous illumination, un photocourant peut être mesuré en utilisant une technique de démodulation. De cette mesure, une durée de vide τ ~ 65 μs est extraite pour la paire électron-trou photo-générée. / My PhD work consists in a study of single Quantum Dot (QD) tunnel junctions. Following the introduction chapter, the second chapter will present the fundamental concepts needed to describe a single QD junction, such as quantum confinement and Coulomb blockade. In the third chapter, I will describe the sample fabrication methods and the measurement setups. In the fourth chapter, I will describe a tunneling spectroscopy study of single PbS QDs. Three distinct signatures of strong electron-phonon coupling are observed in the Electron Tunneling Spectrum (ETS) of these QDs. In the shell-filling regime, the 8 times degeneracy of the electronic levels is lifted by the Coulomb interactions and allows the observation of phonon sub-bands that result from the emission of optical phonons. At low bias, a gap is observed in the spectrum that cannot be closed with the gate voltage, which is a distinguishing feature of the Franck-Condon blockade. From the data, a Huang-Rhys factor in the range S~ 1.7 - 2.5 is obtained. Finally, in the shell tunneling regime, the optical phonons appear in the inelastic ETS d2I/dV2. In the fifth chapter, I present a tunnel spectroscopy study of single HgSe QDs. Upon tuning the gate voltage, different occupation levels of the QD can be reached. The gap observed in the ETS changes with the occupation level. A large inter-band gap, 0.9~eV, is observed for the empty QDs, and an intra-band gap 0.2~eV is observed for the doubly occupied QD. Upon illuminating the QD, a photocurrent can be measured using an especially designed demodulation technique. From this measurement, the lifetime τ ~65 μs is extracted for the photogenerated electron-hole in the QD.

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes de minimisation d'énergies discrètes et nous cherchons à comprendre pourquoi une structure périodique peut être un minimiseur pour une énergie d'interaction, c'est ce que l'on appelle un problème de cristallisation. Après avoir montré qu'un réseau de R^d soumis à un certain potentiel paramétré peut être vu comme un minimum local, nous démontrons des résultats d'optimalité du réseau triangulaire parmi les réseaux de Bravais du plan pour certaines énergies par point, avec ou sans densité fixée. Finalement, nous démontrons, à partir des travaux de Sandier et Serfaty sur les gaz de Coulomb bidimensionnels, la conjecture de Rakhmanov-Saff-Zhou, c'est-à-dire l'existence d'un terme d'ordre n dans le développement asymptotique de l'énergie logarithmique optimale pour n points sur la sphère unité de R^3. De plus, nous montrons l'équivalence entre la conjecture de Brauchart-Hardin-Saff portant sur la valeur de ce terme d'ordre n et celle de Sandier-Serfaty sur l'optimalité du réseau triangulaire pour une énergie coulombienne renormalisée / In this thesis, we study minimization problems for discrete energies and we search to understand why a periodic structure can be a minimizer for an interaction energy, that is called a crystallization problem. After showing that a given Bravais lattice of R^d submitted to some parametrized potential can be viewed as a local minimum, we prove that the triangular lattice is optimal, among Bravais lattices of R^2, for some energies per point, with or without a fixed density. Finally, we prove, from Sandier and Serfaty works about 2D Coulomb gases, Rakhmanov-Saff-Zhou conjecture, that is to say the existence of a term of order n in the asymptotic expansion of the optimal logarithmic energy for n points on the 2-sphere. Furthermore, we show the equivalence between Brauchart-Hardin-Saff conjecture about the value of this term of order n and Sandier-Serfaty conjecture about the optimality of triangular lattice for a coulombian renormalized energy

Les systèmes de nombreuses particules peuvent présenter des comportements variés en fonction du type d’interaction entre ses composants.Dans certaines situations, des structures macroscopiques hautement ordonnées peuvent émerger de telles interactions. Le problème de l’identification des mécanismes qui activent l’ordre microscopique dans les systèmes bidimensionnels a fait l’objet d’études théoriques et expérimentales. Il y a plusieurs décennies, il a été montré que les systèmes bidimensionnels avec des interactions de paramètres d’ordre suffisamment court et d’ordre continu n’ont pas d’ordre à longue portée (ils n’ont pas de phase solide). D’autre part, des études numériques sur des systèmes sans ordre positionnel ont montré que de tels systèmes pourraient présenter des transitions de phase. Cette contradiction apparente dans les systèmes bidimensionnels a été expliquée dans la transition KT (Kosterlitz-Thouless) proposée pour le modèle XY. Depuis lors, on a commencé à observer que les systèmes sans ordre positionnel pouvaient montrer des transitions de phase quand ils avaient un ordre de demi-longue portée (ODLP). Ce type d’ordre est associé à l’ordre d’orientation du système qui est perdu lorsque les défauts topologiques activés par les fluctuations thermiques sont divisés en paires produisant une transition. D’autre part, les systèmes bidimensionnels avec ordre de position à la température T = 0 peuvent être fusionnés dans un scénario comprenant trois phases : solide / hexatique / liquide dont les transitions sont dues à la division en deux étapes de défauts topologiques à deux températures différentes (Théorie de Kosterlitz-Thouless-Halperin-Nelson-Young KTHNY).Ce travail se concentre sur l’ étude du plasma d’un composant bidimensionnel (PUC2d), un système classique de N charges ponctuelles identiques qui interagissent à travers un potentiel électrique et immergées dans une surface bidimensionnelle avec densité de charge opposée. Le système est un cristal à T = 0 qui commence à fondre si T est suffisamment élevé. Si le potentiel d’interaction entre les particules est logarithmique,alors le système dans le plan et la sphère a une solution exacte pour une valeur spéciale de T située dans la phase fluide. Dans cette étude, un formalisme analytique est utilisé pour déterminer exactement les propriétés thermodynamiques et structurelles qui permettent de suivre le comportement du PUC2d en la phase désordonnée jusqu’`a ce que celui-ci cristallise avec la restriction de N pas très grand. Par le formalisme, nous trouvons des connexions intéressantes avec l’ensemble de Ginibre défini dans la théorie des matrices aléatoires.Nous avons effectué des simulations de Monte Carlo pour modéliser le PUC2d avec des interactions potentiel en inverse de distance et des conditions aux limites périodiques dans le plan. Trois phases sont identifiées incluant la phase hexatique pour des systèmes suffisamment grands. Nous avons déterminé par l’analyse de taille finie et la méthode multi-histogramme que la transition hexatique/ liquide est de premier ordre faible. Finalement,une étude statistique sur les arrangements de défauts (clusters) lors de la fusion cristalline est effectuée, confirmant en détail la théorie de KTHNY et décrivant des alternatives pour la détection de transitions en deux dimensions. / Many particle systems may exhibit interesting properties depending on the interaction between their constituents. Among them, it is possible to find situations where highly ordered microscopic structures may emerge from these interactions. The central problem to identify the mechanisms which activate the ordered particle arrangements has been the subject matter of theoretical and experimental studies. In the past decades, it was rigorously proved that systems in two dimensions with sufficiently short-range interactions and continuous degrees of freedom do not have long-range order. In contrast, numerical studies of systems featuring lack of positional order in two dimensions showed evidence of phase transitions. This apparent contradiction was explained by the Kosterlitz-Thouless (KT)-transition for the XY-model showing that transitions may take place in positional isotropic bidimensional systems if they still have quasi-long range (QLR) order. Such QLR order associated to the orientational order of the system, is lost when topological defects activated by thermal fluctuations begin to unbind in pairs producing a transition. On the other hand, two-dimensional systems with positional order at vanishing temperature may show a melting scenario including three phases solid/hexatic/fluid with transitions driven by a unbinding mechanism of topological defects according to the Kosterlitz-Thouless-Halperin-Nelson-Young (KTHNY)-theory.This work is focused on the study of the two dimensional one component plasma 2dOCPa system of N identical punctual charges interacting with an electric potential in a two-dimensional surface with neutralizing background. The system is a crystal at vanishing temperature and it melts at sufficiently high temperature. If the interaction potential is logarithmic, then the system on the flat plane and the sphere is exactly solvable at a special temperature located at the fluid phase. We use analytical approaches to compute exactly thermodynamic variables and structural properties which enables to study the crossover behaviour from a disordered phases to crystals for small systems finding interesting connections with the Ginibre Ensemble of the random matrix theory.We perform numerical Monte Carlo simulations of the 2dOCP with inverse power law interactions and periodic boundary conditions finding a hexatic phase for sufficiently large systems. It is found a weakly first order transition for the hexatic/fluid transition by using finite size analysis and the multi-histogram method. Finally, a statistical analysis of clusters of defects during melting confirms in a detailed way the predictions of the KTHNY-theory but also provides alternatives to detect transitions in two-dimensional systems.

L'objet principal de cette thèse est l'étude de plusieurs modèles de polynômes aléatoires. Il s'agit de comprendre le comportement macroscopique des racines de polynômes aléatoires dont le degré tend vers l'infini. Nous explorerons la connexion existant entre les racines de polynômes aléatoires et les gaz de Coulomb afin d'obtenir des principes de grandes déviations pour la mesure empiriques des racines. Nous revisitons l'article de Zeitouni et Zelditch qui établit un principe de grandes déviations pour un modèle général de polynômes aléatoires à coefficients gaussiens complexes. Nous étendons ce résultat au cas des coefficients gaussiens réels. Ensuite, nous démontrons que ces résultats restent valides pour une large classe de lois sur les coefficients, faisant des grandes déviations un phénomène universel pour ces modèles. De plus, nous démontrons tous les résultats précédents pour le modèle des polynômes de Weyl renormalisés. Nous nous intéressons aussi au comportement de la racine de plus grand module des polynômes de Kac. Celle-ci a un comportement non-universel et est en général une variable aléatoire à queues lourdes. Enfin, nous démontrons un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des ensembles biorthogonaux. / The main topic of this thesis is the study of the roots of random polynomials from several models. We seek to understand the behavior of the roots as the degree of the polynomial tends to infinity. We explore the connexion between the roots of random polynomials and Coulomb gases to obtain large deviations principles for the empirical measures of the roots of random polynomials. We revisit the article of Zeitouni and Zelditch which establishes the large deviations for a rather general model of random polynomials with independent complex Gaussian coefficients. We extend this result to the case of real Gaussian coefficients. Then, we prove that those results are also valid for a wide class of distributions on the coefficients, which means that those large deviations principles are a universal property. We also prove all of those results for renormalized Weyl polynomials. study the largest root in modulus of Kac polynomials. We show that this random variable has a non-universal behavior and has heavy tails. Finally, we establish a large deviations principle for the empirical measures of biorthogonal ensembles.

[pt] Neste trabalho estudamos as propriedades eletrônicas e de transporte de uma molécula artificial diatômica que consiste de dois pontos quânticos conectados a dois contatos submetidos a um potencial externo. Cada ponto quântico é descrito por um nível de energia no qual os elétrons estão fortmente correlacionados pela interação Coulombiana no interior e entre os pontos quânticos. Duas topologias são consideradas para o sistema: uma corresponde aos dois pontos dispostos numa linha de condução e o outro a uma configuração em paralelo. O problema é tratado com as funções de Green obtidas a partir do formalismo de Keldysh para o sistema fora do equilíbrio. Estas funções permitem o cálculo da carga nos pontos quânticos e da corrente elétrica no sistema. A física do sistema é controlada principalmente pelas várias interações Coulombianas. Para a configuração em paralelo existem dois canais interferindo para a propagação do elétron pelo sistema, cujas propriedades dependem do estado de carga de cada ponto quântico. Para a configuração em série a corrente é controlada pela possibilidade da carga ser drenada de um ponto quântico ao outro. O estado de carga em cada ponto quântico e a corrente elétrica são discutidos em detalhe para as duas configurações e para diferentes valores dos parâmetros que definem o sistema. / [en] In this work we study the electronic and transport properties of an artificial diatomic molecule consisting of two quantum dots connected to two leads under the effect of an applied potential. Each dot is described by one energy level in which the electrons are supposed to be strongly correlated due to intra-dot and inter-dot Coulomb interaction. Two topologies are considered for the system: one corresponds to two dots along a conducting line and the other in a parallel configuration. The problem is treated using the out-of-equilibrium Green function Keldysh formalism. The Green functions permit the calculation of the charge in the dots and the electronic current of the system. The physics is controlled mainly by the various Coulomb interactions. For the parallel configuration there are two interfering channels for the electron to go along the system, which properties depend upon the state of charge of each dot. For the serial configuration the current is controlled by the possibility of the charge to be drained from one dot to the other. The state of charge at each dot and the electronic current are discussed in detail for the two configurations and for different values of the parameters that define the system.

Ce mémoire, composé d'un article en collaboration avec Monsieur Luc Vinet et Vincent X. Genest, est la suite du travail effectué sur les systèmes quantiques super-intégrables définis par des Hamiltoniens de type Dunkl. Plus particulièrement, ce mémoire vise l'analyse du problème de Coulomb-Dunkl dans le plan qui est une généralisation du système quantique de l'atome d'hydrogène impliquant des opérateurs de réflexion sur les variables x et y. Le modèle est défini par un potentiel en 1/r. Nous avons tout d'abord remarqué que l'Hamiltonien est séparable en coordonnées polaires et que les fonctions d'onde s'écrivent en termes de produits de polynômes de Laguerre généralisés et des harmoniques de Dunkl sur le cercle. L'algèbre générée par les opérateurs de symétrie nous a également permis de confirmer le caractère maximalement super-intégrable du problème de Coulomb-Dunkl. Nous avons aussi pu écrire explicitement les représentations de cette même algèbre. Nous avons finalement trouvé le spectre de l'énergie de manière algébrique. / This master's thesis, composed of an article in collaboration with Luc Vinet and Vincent X. Genest, is the result of a work done on superintegrable quantum systems defined by Hamiltonians of the Dunkl kind. More specifically, the aim of this paper is to analyse the Coulomb-Dunkl problem in the plane which is a generalization of the quantum system of hydrogen involving operators of reflection on the variables x and y. The model is defined by a potential in 1/r. First, we notice that the Hamiltonian is separable in polar coordinates and the wave functions are written in terms of products of generalized Laguerre polynomials and Dunkl harmonics on the circle. The algebra generated by the symmetry operators has also allowed us to confirm the maximally superintegrable character of the Coulomb-Dunkl problem. We also write explicitly the representations of the same algebra. We finally found the energy spectrum algebraically.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés d'une part à la théorie du chaos multiplicatif Gaussien introduite par Kahane en 1985 et d'autre part à la théorie des matrices aléatoires dont les pionniers sont Wigner, Wishart et Dyson. La première partie de ce manuscrit contient une brève introduction à ces deux théories ainsi que les contributions personnelles de ce manuscrit expliquées rapidement. Les parties suivantes contiennent les textes des articles publiés [1], [2], [3], [4], [5] et pré-publiés [6], [7], [8] sur ces résultats dans lesquels le lecteur pourra trouver des développements plus détaillés / In this thesis, we are interested on the one hand in the theory of Gaussian multiplicative chaos introduced by Kahane in 1985 and on the other hand in random matrix theory whose pioneers are Wigner, Wishart and Dyson. The first part of this manuscript constitutes a brief introduction to those two theories and also contains the personal contributions of this work rapidly explained. The following parts contain the texts of the published articles [1], [2], [3], [4], [5] and pre-prints [6], [7], [8] on those results where the reader can find more detailed developments

Lorsqu’un avion atterrit, la force principale nécessaire pour arrêter l’avion est obtenue par le freinage. Par une réduction de la vitesse de rotation des roues, les freins provoquent une vitesse de glissement entre les pneus et la piste. C’est cette différence de vitesse qui génère la force de freinage capable de stopper l’avion. La modélisation de cette force est essentielle pour l’estimation de la longueur de piste à l’atterrissage. Les modèles classiques utilisés par les avionneurs sont assez simplistes et dérivent expérimentalement des modèles de frictions les plus simples. De sorte que ces modèles sont dans l’incapacité d’estimer l’influence de paramètres clefs influençant la force de freinage. Il s’agit, en particulier de la pression des pneus, de la nature de la gomme, de la température ambiante et de celle de la gomme, de l’état de la piste, de sa texture, etc. L’objectif de la thèse a été de développer un modèle de contact pneu-piste capable d’estimer la force de freinage. C’est le « Brush Model » qui a servi de base à cette modélisation. En phase de freinage la zone de contact est constituée d’une première zone de déformation de la gomme qui crée une force résistante en suivant la loi de Hooke, puis d’une seconde zone de glissement dont la force de résistance suit la loi de Coulomb. Ce modèle a été amélioré grâce aux résultats de la mécanique des structures pour la loi de Hooke et grâce aux résultats de la tribologie pour la loi de Coulomb. Ces deux modélisations faisant appel aux données issues de la science des matériaux. L’ensemble de ces modélisations a été enrichi par une coopération avec plusieurs centres de recherches ayant fourni de nombreux résultats expérimentaux. Le modèle obtenu a ensuite été confronté avec des résultats d’essais en vol obtenus avec « Airbus Operations S.A.S ». La thèse a validé le prétraitement des données d’essais ainsi que le processus d’identification qui a permis de montrer l’accord du modèle avec les résultats expérimentaux obtenus lors des essais en vol. Cette modélisation donne des résultats très encourageants, elle permet une compréhension beaucoup plus approfondie des effets de l’environnement sur les forces de freinage. De sorte que cette thèse a permis d’améliorer très sensiblement la compréhension fondamentale des phénomènes en jeu lors du freinage, au contact entre le pneu et la piste. Chez Airbus, les résultats obtenus vont servir de base pour les travaux à venir sur ce thème. / As an aircraft lands on a runway, the principal force acting to stop the aircraft within the confines of the runway is generated by the brakes. The brakes cause the tire’s rotational speed to slow down with regards to the aircraft’s speed over the ground. This difference in speed causes friction and it is this friction that is the principal force to stop the aircraft. In order to be able to estimate the stopping distance of an aircraft an understanding of this friction is essential. Traditionally, aircraft manufactures have relied on simplistic, empirically derived friction models. However, these empirical models cannot estimate the influence of several key factors that are known (scientifically) to affect friction such as the rubber temperature, the runway texture, the ambient air temperature and the rubber composition to name a few. This PhD work aims to develop a frictional model that can be used to estimate the friction developed between an aircraft tire and the runway. A model commonly known as the Brush Model, is derived for usewith aircraft tires and runways. The underlying physics of this model are developed using the established scientific theories of tribology, material science and strength of materials. Coordination with several research institutes provides experimental results to reinforce the model. The model is then compared with flight test results obtained from a partnership with Airbus OperationsS.A.S. The PhD works demonstrates the entire validation process from flight test data cleaning, the derivation of a curve-fitting algorithm and the matching of derived model with the flight test data. The modeling has shown very encouraging results. It allows for a much deeper understanding of the environmental effects on friction. This PhD work has greatly improved the fundamental understanding of friction and will serve as a base for future works with Airbus.

La maintenance, la réparation et le renforcement de murs en maçonnerie par matériaux composites collés nécessitent le développement de méthodes et techniques d'évaluation de l'aptitude au service et de requalification tant pour leur restauration fonctionnelle que pour leur adaptation à de nouvelles contraintes (évolution du zonage sismique par exemple). Le présent travail de thèse a pour objectif de proposer un outil d'évaluation par calcul de l'état limite ultime de murs en maçonnerie, renforcés par composites collés, chargés dans leur plan.Les travaux effectués concernent la modélisation par homogénéisation de murs en maçonnerie et une campagne expérimentale de caractérisation du transfert de charge entre un renfort en tissu de fibres de carbone et un support en blocs creux de béton par le biais d'un joint de colle. Pour modéliser la résistance des murs maçonnés, nous proposons une loi élastique parfaitement plastique pour le comportement dans le plan d'une maçonnerie constituée de blocs liés par des joints de mortier. Le convexe de plasticité est obtenu par une technique d'homogénéisation périodique qui prend en compte la nature tridimensionnelle de la cellule de base. On obtient alors un convexe limité par plusieurs surfaces de charge. Un algorithme numérique original est ensuite proposé et programmé dans le logiciel aux Eléments Finis ABAQUS. Des simulations numériques utilisant le module développé sont présentées / Maintenance, repair and reinforcing of masonry walls with composite materials glued require the development of methods and techniques for evaluating the suitability for service and retraining for both their functional restoration for their adaptation to new constraints (changes seismic zoning for example). This thesis aims to propose an evaluation tool by calculating the limit state of masonry walls,reinforced bonded composite, loaded in their plane.The work done on modeling by homogenization of masonry walls and acampaign experimental characterization of charge transfer between a reinforcement of carbon fiber fabric and a backing of hollow blocks concrete by means of an adhesive joint. To model the resistance of masonry walls, we propose a law for elastic perfectly plastic behavior in the plane formed of masonry blocks connected by mortar joints. The convex plasticity is obtained byperiodic homogenization technique which takes into account the three dimensional nature of the basic cell. This gives a convex bounded by several surfaces of charge. An algorithm digital original is then proposed and programmed in the finite element software ABAQUS. Numerical simulations using the developed module are presented