I kursplanen för matematik beskrivs att elever ska ges förutsättningar att tolka vardagliga och matematiska situationer genom att använda matematiska uttrycksformer. Begreppet uttrycksformer likställs i den här studien med representationsformer. Studiens syfte är att ta reda på vilka sätt lärare använder olika representationsformer för att elever ska ges möjlighet att skapa förståelse för tal i decimalform. Utgångspunkten i denna studie är en kvalitativ intervjustudie som inriktas mot lärares beskrivningar av sin undervisning kring tal i decimalform. Den empiriska insamlingen genomfördes genom semistrukturerade intervjuer med åtta lärare. Som utgångspunkt i studien har ett teoretiskt ramverk använts för att analysera den insamlade empirin i form av en tematisk analys. Analysen visar att lärare använder olika representationer i undervisningen inom varje representationsform. I resultatet framgår vad lärare anser vara relevant för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform och hur lärarna väljer att undervisa inom området. Den vanligaste representationen lärarna valde att inkludera i undervisningen var tallinjen men även tio-basmaterial och andra laborativa material används. / The curriculum for mathematics describes that pupils should be given conditions to interpret everyday and mathematical situations by using mathematical different forms of expression. The concept of forms of expression can be equated with representation. The aim of this study is to find out how teachers use representations to give pupils the opportunity to create an understanding of decimal numbers. This study is using qualitative interviews that are focusing on teachers’ description of their teaching of decimal numbers. The collection of data was conducted through semi-structured interviews with eight teachers. As a starting point in this study, a theoretical framework has been used in order to analyze the collected empirical data tough a processed thematic analysis. The analysis shows that teachers use different kinds of representations in their teaching. The results show what teachers consider as relevant for pupils to know to create an understanding to enhance their knowledges of decimal numbers and how teachers choose to teach in the area. The most common representation the teachers chose to include in their teaching was the number line, but base-ten materials and other laboratory materials are also used.

Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att analysera effektiva undervisningsmetoder för att förbättra elevers förståelse för tal i bråk- och decimalform. Studien har genomförts genom att samla in, granska och bearbeta forskning som besvarar vår frågeställning. Litteratursökningen gjordes via databasen ERIC och via manuell sökning. Resultatet visade effekten av tre undervisningsmetoder som skulle kunna bidra till ökad förståelse för tal i bråk- och decimalform: CRA-modellen, fysiska och digitala spel samt webbaserade verktyg. Resultatet visar på goda resultat hos de elever som arbetat med olika representationer i sin undervisning. Detta gäller även de elever som arbetat med webbaserad undervisning. Resultatet av undervisning som involverar spel visade att utformningen av spelet påverkade elevernas förståelse.

För att fördjupa förståelsen om elevers missuppfattningar beträffande tal i decimalform, är detta en intervjustudie med åtta elever som besvarar frågeställningarna: Vilka kritiska aspekter finns i relation till kända missuppfattningar gällande tal i decimalform? Vilka kritiska aspekter finns i relation till missuppfattningen om att svaret alltid blir mindre vid division? Den teoretiska utgångspunkten för studien är variationsteorin, då begreppen inom teorin är väsentliga för att få kännedom om vilka skilda sätt ett specifikt ämnesinnehåll uppfattas. Den data som samlats in för studien gjordes genom en triangulering. I studien har 45 elever genomfört ett arbetsblad där åtta elevers svar följdes upp med intervjuer som spelades in. Avsikten var att få inblick i vad som kan vara kritiskt i förhållande till olika missuppfattningar. I resultatet framförs vilka kritiska aspekter som kan orsaka missuppfattningar för tal i decimalform. Studien visar att flera av de kända missuppfattningarna som forskning skildrar också förekommer bland elever i årskurs 6.  De kritiska aspekter elever behöver urskilja för att förstå ett ämnesinnehåll kan finnas i fler än en specifik missuppfattning.

I min studie har jag valt att undersöka elevers förståelse och svårigheter om talomvandling mellan olika former (bråk, decimal och procent). Syftet med detta arbete är att ta reda på elevernas förståelse för och svårigheter med att omvandla tal mellan bråkform, decimalform och procentform. Dessutom ville jag ta reda på om det skiljer i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter när det gäller talomvandling. Med rutinuppgifter avser jag uppgifter utan text. Rutinuppgifternas syfte är att utveckla procedurförmåga medan de benämnda uppgifterna också utvecklar problemlösningsförmåga. Undersökningen i denna studie bygger på ett skriftligt test. Totalt deltog 243 elever i årskurs 7–9. Resultatet visar att eleverna har förståelse för talomvandling när det gäller • Möjligheten att skriva ett tal på olika form. • Relativ storlek på tal i bråkform, decimalform och procentform. Dock visar det sig att cirka 45 % av eleverna har svårigheter med talomvandling när det gäller • Sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentformSamt visar att cirka 71 % av eleverna har svårigheter med talomvandling när det gäller • Utbytbara uttryck för tal mellan bråkform, decimalform och procentformVidare visar resultaten på att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Resultaten visar att cirka 55 % av eleverna klarade rätt svar när det gäller rutinuppgifter medan bara 34 % av eleverna klarade rätt svar när det gäller benämnda uppgifter. Min undersöknings resultat visar att en stor del av eleverna har brister i uppmärksamhet så att matematik lärare måste betona att eleverna måste förbättra sig genom att läsa frågan och förstår vilka svar vi fråga efter. Ett laborativt arbete är viktigt med en god kommunikation och lärarna måste försäkra sig om att det laborativa arbetet är relevant som kan utveckla elevernas förståelse om talomvandling. Lärarna måste använda matematiskt språk på lektionerna så att eleverna vänjer sig uttrycka sig med matematikspråk. Grupparbete är bra metod så att eleverna ska kunna använda matematikspråk och tala med både klasskamrater och läraren. Jag tror att lärarna bör ta mer genomgångar på tavla och visa eleverna steg för steg hur lösningsprocesser måste vara samt träna mer med benämnda uppgifter. Lärare ska arbeta mer med ordkunskap. Matematikläraren bör samarbeta med modersmålslärare ger matematiklärare en viktig kunskap om hur barnet förstår och uttrycker sig på sitt modersmål och kan tillsammans vidta lämpliga åtgärder.

Studien behandlar missuppfattningar gällande tre begreppen platsvärde, tallinje och storleksordning inom ämnesområdet tal i decimalform. Syftet för studien är att genom en läromedelsanalys undersöka vilka aspekter av missuppfattningar som motverkas i fyra olika läromedel för den svenska årskursen 5. Ett konceptuellt ramverk används i studien där begrepp sammanlänkas för att förstå ett fenomen, som i denna studie avser missuppfattningar. Metoden som har använts är läromedelsanalys där det genomförts både kvantitativa och kvalitativa analyser av läromedel. De läromedel som har analyserats i studien är: Mitt i Prick Matematik 5A, Koll på Matematik 5A, Matte Direkt-Borgen 5B och Pixel Matematik 5A. Resultatet visar en variation av erbjudanden där samtliga läromedel motverkar missuppfattningar gällande tal i decimalform i olika utsträckning. En slutsats utifrån studien är att läromedel kan vara en möjlig resurs för arbete med tal i decimalform men förutsätter ämnesdidaktiskt medvetna lärare i undervisningen. / The study deals with misconceptions connected to the three concepts place value, order of magnitude and number line in the mathematical field of decimal numbers. The purpose of the study is to investigate, through a learning material analysis, which aspects of misconceptions that are counteracted. The learning material analysis is based on four different learning materials for the Swedish grade 5. A conceptual framework is used in the study where concepts are linked together to understand a phenomenon, in this study misconceptions. The method that has been used is learning material analysis where both quantitative and qualitative analysis of learning materials have been done. The learning materials that have been analysed are: Mitt i Prick Matematik 5A, Koll på Matematik 5A, Matte Direkt-Borgen 5B and Pixel Matematik 5A. The result shows that all teaching materials contributes to counteractions of misconceptions in different ways. A conclusion based on the study shows that teaching materials are a possible resource for the education of decimal numbers in combination with didactical knowledge.

I denna studie har tidigare internationell forskning inom området tal i decimalform undersökts i en svensk kontext. I den matematikdidaktiska forskningen har ett teoretiskt ramverk för elevers olika uppfattningar av tal i decimalform tagits fram. Tidigare studier har gjort flera försök till att kategorisera elevers olika förståelse av tal i decimalform (Moloney & Stacey, 1997; Resnik et al., 1989; Sackur-Grisvard & Léonard, 1985; Stacey & Steinle, 1998). Sackur-Grisvard och Léonards (1985) kategorisering utgår ifrån elevernas förkunskaper inom andra matematiska områden. Deras teoretiska ramverk består av elevers användning utav tre olika regler; heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln. Sackur-Grisvard och Léonards (1985) teoretiska ramverk har inte använts i någon högre utsträckning i det svenska forskningsfältet. Ramverket har i denna studie använts för att ta reda på om det kan användas som ett verktyg för att kategorisera elevers olika förståelse av tal i decimalform i årskurserna 4-6. I studien har metoden triangulering använts med både ett skriftligt test och semistrukturerade intervjuer. Alla elever har genomfört ett skriftligt test där de fått lösa uppgifter genom att jämföra och storleksordna olika tal i decimalform. Elevernas resultat användes sedan där några få elever ifrån årskurserna 4 och 5 valdes ut till semistrukturerade intervjuer genom ett målstyrt urval.  Resultatet visade att det teoretiska ramverket hade vissa begränsningar och att flera elever inte kunde kategoriseras till enbart en kategori utan flertalet använde sig av flera regler på det skriftliga testet. Elevernas resultat visade även en progression inom ämnesområdet där elever i årskurs 6 presterade bäst efterföljt av årskurs 5 och elever i årskurs 4 presterade sämst. / In this study earlier international research has been used from a Swedish perspective to investigate the field of decimal numbers. A theoretical framework for students’ various perceptions of decimal number has developed from the mathematical didactic research field. Earlier studies have done different attempts to categories students’ various perceptions of decimal numbers (Moloney & Stacey, 1997; Resnik et al., 1989; Sackur-Grisvard & Léonard, 1985; Stacey & Steinle, 1998). Sackur-Grisvard and Léonard (1985) categorization focus on students’ earlier knowledge in the mathematical field. Their theoretical framework involves the use of three different rules; the whole number rule, the fraction rule and the zero rule. Sackur-Grisvard and Léonard’s (1985) theoretical framework has not been used much in the Swedish research field. In this study the framework has been used to investigate if it can be used as a tool to categorise students in grade 4 and grade 5 various perception of decimal numbers. In this study the method triangulation has been used which involves a written test and semi-structure interviews. In the written test all students got tasks where they would compare and order different decimal numbers.  The students result from the test were used to choose a few students from grade 4 and grade 5 to do the semi-structured interviews through a target-driven selection. The result showed that the theoretical framework did have some limits and several students´ did not belong to only one category, several students did use more than one of the three rules in the written test. The students result showed a progression where students from grade 6 performed best on the test followed by students from grade 5, students in grade 4 performed worst.

I årskurserna 4–6 ska eleverna genomgå en progression att lära sig hur rationella tal och tal i decimalform är uppbyggda. Forskning har visat att det kan uppstå flera svårigheter och missuppfattningar kring området, bland annat veta siffrors olika platsvärde. Denna studie har inspirerats av en tidigare studie, genomförd av Jarl och Johansson (2014). Syftet med denna studie är att jämföra om samma kritiska aspekter som identifierats i Jarl och Johansson (2014) studie även visar sig i andra elevgrupper. Frågeställningen som studien ska besvara är: Vilka kritiska aspekter kan identifieras i en årskurs 4 och en årskurs 5 kring tal i decimalform? För att kunna besvara frågeställningen har eleverna i denna studie fått genomföra ett arbetsblad med uppgifter kopplade till tal i decimalform. Därefter har kvalitativa intervjuer genomförts för att få en breddad insikt kring vilka kritiska aspekter eleverna har eller inte har urskilt. Metodvalet i studien har inslag av variationsteorin där eleverna behöver få syn på nödvändiga detaljer (i studien benämnd som kritiska aspekter). Studiens resultat visar att samtliga kritiska aspekter som identifierades i Jarl och Johanssons (2014) studie, även var kritiska i denna studie. Däremot identifierades en ny kritisk aspekt: Elever behöver förstå att siffror på varsin sida om decimaltecknet tillsammans utgör ett tal. Kunskaper om kritiska aspekter kan ses som specialkunskaper för lärare att veta vad som kan missuppfattas kring det matematiska området. Dessa kunskaper kan inte generaliseras, men de kan vara överförbara att en kritisk aspekt kan identifieras i andra elevgrupper. / In grades 4–6, students must undergo a progression to learn how rational numbers and numbers in decimal form are structured. Research has shown that there can be several difficulties and misconceptions about the area, including knowing the different place value of numbers. This study has been inspired by a previous study, conducted by Jarl and Johansson (2014). The aim of this study is to compare whether the same critical aspects identified in Jarl and Johansson (2014) studies also show up in other student groups. The subject of interest in this study was: What critical aspects can be identified in a grade 4 and a grade 5 around numbers in decimal form? In order to be able to answer the question, the students in this study have had to complete a worksheet with tasks linked to numbers in decimal form. Thereafter, qualitative interviews were conducted to gain a broader insight into what critical aspects the students have or have not distinguished. The choice of method in the study has elements of the theory of variation where the students need to see the necessary details (in the study called critical aspects). The results of the study show that all critical aspects that were identified in Jarl and Johansson's (2014) study were also critical in this study. However, a new critical aspect was identified: Students need to understand that numbers on each side of the decimal point together must become a number. Knowledge of critical aspects can be seen as special knowledge for teachers to know what can be misunderstood about the mathematical field. This knowledge cannot generalize, but it can be transferable so that a critical aspect can be identified in other student groups.