No description available.

I detta kandidatarbete undersöker och jämför vi två olika metoder för att approximera gauss- och medelkrökningen hos en yta i rummet som är given som en mängd av punkter. Det är viktigt att försöka få en bra analogi mellan diskret krökning och analytisk krökning då man ofta startar med en mängd punkter i de praktiska fallen, som t ex i tillverkningsindustrin, igenkänning av objekt (inscannade bilder) och datorgrafik. Givet dessa punkter och en bra approximation av gauss- och medelkrökningen kan man få mer information om ytans geometri och beteende. För att kunna förstå dessa begrepp och metoder/algoritmer så behandlas först den bakomliggande teorin och sedan metoderna. Den första metoden är att återge ytan med hjälp av Bézierytor, vilka vi kan utföra geometriska operationer på utan problem och även få fram gauss- och medelkrökningen. Den andra metoden kommer från artikeln ``Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds'' av Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder och Alan H. Barr. Deras approximationer av krökningarna kräver en triangulering av ytan, vilket de inte ger någon algoritm för. De tittar på ett område runt varje punkt och approximerar krökningarna genom detta område, även Gauss-Bonnets sats används för approximering av gausskrökningen. Mina simuleringar visar att Bézierytornas approximationer av gauss- och medelkrökningar är konvergenta och att alla värden ligger relativt nära varandra. Artikelns algoritm fungerar bra för gauss- och medelkrökning men deras algoritm beror väldigt mycket på trianguleringen vilket gör att man behöver ha krav på den triangulerade ytan, vilket i sig är ett svårt problem att lösa. / In this thesis we analyze and compare two different methods for approximating the Gauss and mean curvature on a surface, which is given as a set of points. It is important to find a method that agrees well with the analytic Gauss and mean curvatures and guarantees robust estimations. There is a great interest in Gauss and mean curvature since these two curvatures give information about the local geometry of the surface around the point at which these curvatures are calculated. The thesis begins with a short overview of differential theory and then the methods are explained and described. The reason for this is to give the reader an understanding of the theory before explaining the methods. The first method is called Bézier surfaces, which interpolates the given points. These surfaces are differentiable which makes it possible to approximate the Gauss and mean curvature, and are therefore very well suited for our problem. The second method comes from the research article ``Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds'' by Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder and Alan H. Barr. Their algorithm requires a triangulated surface, which itself is a hard problem to solve (at least if one has requirements on the triangulation). Their approximations of the Gauss and mean curvatures use a well chosen area around the point, and the Gauss curvature also makes use of the Gauss-Bonnet theorem. My simulations show that Bézier surfaces approximate both Gauss and mean curvature well, and the approximations seem to converge to the analytic value when the information gets better. The articles algorithm also works well for approximating both curvatures, though this method seems to depend somewhat on the triangulation. This gives some requirements on the triangulation and will therefore be a harder problem to solve. The approximations do not converge when given a triangulation with obtuse triangles, though it shows signs to do so.

Organisationer som tillämpar Lean Production kan använda sig av kraftfulla metoder för att effektivisera sitt produktflöde och minska slöseri genom att kartlägga var den svagaste länken är i produktionen. SSAB Oxelösund AB ska implementera ett uppdrag, PV3000, som baseras på ett Lean-orienterat tankesätt med målet att minska både lagernivåerna och genomloppstiderna i valsverket. I valsverket anses valsningsprocessen vara en trång sektor som sätter höga krav på att ämneskap-systemet innan ska kunna leverera rätt mängd i rätt tid. Syftet med studien är att effektivisera flödet i ämneskap-systemet med hjälp av simulering genom att undersöka var flaskhals(ar) uppstår, samt att ta fram olika åtgärder som kan vidtas för att både kunna möta efterfrågan från ämnesugnarna och för att minska slöseri i ämneskap-systemet. Med målet att skapa en modell som simulerar verkligheten så nära som möjligt, följdes en simuleringsmetodik beståendes av nio steg med allt från planering och modellering till experimentering och implementering. Vid insamlingen av relevanta data användes både historiska data erhållet från SSAB:s databaser och manuellt insamlade data. De manuellt insamlade data erhölls i vissa fall genom fältstudier där författarna tog tid på processerna vid ämneskap-systemet och i andra fall genom uppskattningar. Samtliga data approximerades sedan med hjälp av matematiska sannolikhetsfunktioner och modellerades in i simuleringsmodellen. Efter en simulering av nuläget visar resultatet på att ämneskap 1 kapar rätt mängd i rätt tid. Ämneskap 2 klarar däremot inte av ämnesugnarnas efterfrågan och har samtidigt en hög andel aktiv tid. Även ämnessågarna har en hög andel aktiv tid och klarar inte av att kapa i rätt takt. Simuleringsmodellen användes sedan för att utföra olika experiment baserat på olika åtgärder, som exempelvis att investera i en ny såg, en ny rullbana eller en ny gaskap, men även att förändra arbetssättet i ämneskap-systemet. Åtgärderna sammanställdes i 18 olika scenarion uppdelat i två experiment vars resultat presenteras i form av genomloppstider, takter och tillståndsfördelningar. Resultaten visar att två scenarion tillfredsställer ämnesugnarnas efterfrågan och överstiger inte det uppsatta målet för lagernivåerna. Resultatet och analysen tyder på att ämneskap 2 är den primära och att ämnessågarna är den sekundära flaskhalsen för ämneskap-systemet. Vidare för att kunna nå ämnesugnarnas efterfrågan och minska slöseri i ämneskap-systemet behövs dels ett förändrat arbetssätt i ämneskap-systemet och dels antingen en ny såg och reducerade kapningstider eller en investering av en ny ämneskap 1. Slutligen, innan eventuella implementeringar i verkligheten, rekommenderas ytterligare arbete kring de slutsatser som erhölls genom att utföra analyser om hur studiens begränsningar kunde ha påverkat resultaten.

In meiner Doktorarbeit untersuche ich ein Kac-artiges Vielteilchen-Modell, das eine Beschreibung von plastischen Verformungen ohne Verwendung einer Referenz-Konfiguration ermöglicht. Im Rahmen des Modells wird die Verformung eines Körpers durch Angabe von Atompositionen beschrieben. Es wird eine Mesoskala zwischen der Mikroskala der Atom-Atom Abstände und der Makroskala des Körpers eingeführt. Um jeden Punkt wird die Konfiguration auf dieser Mesoscala mit einem Bravais-Gitters approximiert. Die Matrix, die dieses Gitter aufspannt, wird als Argument eines elastischen Energiefunktionals verwendet. Auf diese Weise wird ein Energiefunktional definiert, das die Eigenschaften des Systems festlegt. Im Ersten Teil meiner Doktorarbeit analysiere ich das Modell im Fall das eine Referenz-Konfiguration lokal existiert. Ich schätze die Energiedichte einer solchen Konfiguration mit einer Störungsrechung von oben ab und erhalte eine obere Schranke für die Energiebarriere für plastische Relaxation in zwei Dimensionen. Im zweiten Teil untersuche ich Möglichkeiten Lagrange-Koordinaten im Rahmen des Modells zu konstruieren. Ich beweise, dass für zwei Punkte deren Abstand klein genug sind und die bestimmte Regularitätseigenschaften erfüllen, die Gitterparameter der approximierenden Bravais-Gitter bis auf eine Reparametrisierung nahe beieinander liegen müssen. Dies erlaubt diskrete Ketten von regulären Punkten zur Definition von Homotopieklassen zu benutzen die mit verallgemeinerten Burgers-Vektoren charakterisiert werden. Es ist mit dieser Technik auch möglich die Kernenergie von Versetzungen nach unten abzuschätzen. Schließlich passe ich eine Methode kontinuierliche Lagrange-Koordinaten, die von L. Mugnai und S. Luckhaus entwickelt wurden, an das Model an und verbessere sie dergestalt, dass ich die Energiedichte mit Hilfe eines Funktionales der Lagrange-Koordinaten nach unten abschätzen kann. / I study a Kac-type many particle model that allows a reference-free description of plastic deformation.In the framework of the model the state of the body is given by a set of atom position. The typical atom-atom distance is the microscopic scale. The size of the body is the macroscopic scale. Around each point a lattice is fitted to the configuration on a mesoscopic scale. The lattice parameters are used as an argument of a non-linear elasticity energy functional. Hence, this procedure allows to define an free-energy functional of a particle configuration. In the first part of my thesis I analyze the model in the case that a reference configuration exists locally. I bound the energy-density of such a configuration from above with a pertubative calculation and obtain an upper bound for the energy barrier of plastic deformation for dimension two. In the second part I explore the possibility to construct Lagrangian coordinates in the framework of the model. I prove that for two points that are close to each other and that fulfill certain regularity assumptions the fitted lattice parameters are close to each other up to a reparametrisation. This allows to use discrete chains of regular points for homotopy type arguments and define a generalized Burgers vector as a topological quantity. I also use this method to get a lower bound for the core energy of a dislocation. Finally, I adapt a method to construct continuous Lagrangian coordinates presented in by L.Mugnai and S.Luckhaus to my model and improve it to a point where I can use a functional of these Lagrangian coordinate as a lower bound for the energy of the model.

The first part of the dissertation concerns the Ising problem proposed to Ernst Ising by his supervisor Wilhelm Lenz in the early 20s. The Ising model, or perhaps more correctly the Lenz-Ising model, tries to capture the behaviour of phase transitions, i.e. how local rules of engagement can produce large scale behaviour. Two decades later Lars Onsager solved the Ising problem for the quadratic lattice without an outer field. Using his ideas solutions for other lattices in two dimensions have been constructed. We describe a method for calculating the Ising partition function for immense square grids, up to linear order 320 (i.e. 102400 vertices). In three dimensions however only a few results are known. One of the most important unanswered questions is at which temperature the Ising model has its phase transition. In this dissertation it is shown that an upper bound for the critical coupling Kc, the inverse absolute temperature, is 0.29 for the tree dimensional cubic lattice. To be able to get more information one has to use different statistical methods. We describe one sampling method that can use simple state generation like the Metropolis algorithm for large lattices. We also discuss how to reconstruct the entropy from the model, in order to obtain parameters as the free energy. The Ising model gives a partition function associated with all finite graphs. In this dissertation we show that a number of interesting graph invariants can be calculated from the coefficients of the Ising partition function. We also give some interesting observations about the partition function in general and show that there are, for any N, N non-isomorphic graphs with the same Ising partition function. The second part of the dissertation is about matrix operations. We consider the problem of multiplying them when the entries are elements in a finite semiring or in an additively finitely generated semiring. We describe a method that uses O(n3 / log n) arithmetic operations. We also consider the problem of reducing n x n matrices over a finite field of size q using O(n2 / logq n) row operations in the worst case.

Since the introduction of Pollard's rho method for integer factorisation in 1975 there has been great interest in understanding the dynamics of quadratic maps over finite fields. One avenue for this, and indeed the heuristic on which Pollard bases the proof of the method's efficacy, is the idea that quadratic maps behave roughly like random maps. We explore this heuristic from the perspective of comparing the number of periodic points. We find that empirically random maps appear to model the number of periodic points of quadratic maps well, and moreover prove that the number of periodic points of random maps satisfy an interesting asymptotic behaviour that we have observed experimentally for quadratic maps.

A graph is an ordered pair composed by a set of vertices and a set of edges, the latter consisting of unordered pairs of vertices. Two vertices in such a pair are each others neighbors. Two edges are adjacent if they share a common vertex. Denote the amount of edges that share a specific vertex as the degree of the vertex. A proper edge-coloring of a graph is an assignment of colors from some finite set, to the edges of a graph where no two adjacent edges have the same color. A bipartition (X,Y) of a set of vertices V is an ordered pair of two disjoint sets of vertices such that V is the union of X and Y, where all the vertices in X only have neighbors in Y and vice versa. A bipartite graph is a graph whose vertices admit a bipartition (X,Y). Let G be one such graph. An X-interval coloring of G is a proper edge coloring where the colors of the edges incident to each vertex in X form an interval of integers. Denote by χ'int(G,X) the least number of colors needed for an X-interval coloring of G. In this paper we prove that if G is a bipartite graph with maximum degree 3n (n is a natural number), where all the vertices in X have degree 3, then <img src="http://www.diva-portal.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cmathit%7B%5Cchi'_%7Bint%7D%5Cleft(G,X%5Cright)%5Cleq%7D%0A%5C%5C%0A%5Cmathit%7B%5Cleft(n-1%5Cright)%5Cleft(3n+5%5Cright)/2+3%7D%0A%5C%5C%0A%5Cmathit%7Bif%20n%20is%20odd,%7D%0A%5C%5C%0A%5Cmathit%7Bor%7D%0A%5C%5C%0A%5Cmathbf%7B3n%5E%7B2%7D/2+1%7D%0A%5C%5C%0A%5Cmathit%7Bif%20n%20is%20even%7D.%0A" />

This thesis examines the problem of counting and describing walks in graphs, and the problem when such walks have modular restrictions on how many timesit visits each vertex. For the special cases of the path graph, the cycle graph, the grid graph and the cylinder graph, generating functions and regular languages for their walks and walks with modular restrictions are constructed. At the end of the thesis, a theorem is proved that connects the generating function for walks in a graph to the generating function for walks in a covering graph.

Vid beräkning i addition krävs kunskap att tolka siffrors positioner och värden i tal. Kunskaper om det decimala talsystemets struktur och platsvärde är grundläggande för att kunna göra beräkningar i addition. Syftet med denna litteraturstudie var att genomföra en litteraturöversikt om hur platsvärdet förhåller sig till addition och hur undervisning kan bedrivas om det decimala talsystemet. Litteratursökningen som gjordes genererade i artiklar som mestadels undersökte elever i de lägre åldrarna. Resultatet i litteraturöversikten baserades på tio artiklar som har analyserats av skribenterna. Resultatet visade att det fanns ett förhållande mellan platsvärde och förmågan att beräkna addition. Elever i denna litteraturstudie har visat svårigheter med att förstå platsvärde i det decimala talsystemet. Svårigheterna gick att förebygga genom varierade undervisningssekvenser som belyste olika aspekter av det decimala talsystemet. Undervisningsformer med tavla och konkret material visade sig vara de mest förekommande metoderna. Slutsatsen från skribenterna blev att undervisningsformen i sig inte är avgörande för att förstå det decimala talsystemet. Det matematiska innehållet och hur det förmedlas av läraren är betydande för hur eleverna lär sig platsvärde i det decimala talsystemet.

We have found an operation between permutations in the symmetric group Sn upon which we have experimentally derived results that can be linked to desirable properties in cryptography, mainly in the domain of one-way functions. From it, we have implemented a beta version of an algorithm for a hashing function by exploiting the operation’s low computational cost for speed and its properties for security. Its design makes it resistant to length extension attacks and the encoding of blocks into permutations suggests that any differential cryptanalysis technique that is based on bit conditions should be useless against it. More precisely, when measuring the evolution of differences in the compression function, bit-based distances such as the exclusive-or distance should be replaced by another type of distance, still to be determined in future research. In this work we will present the algorithm and introduce a new framework of cryptanalysis for collision and preimage attacks in order to somehow measure its security. Once this is done, we will run comparison tests against MD5 and SHA256 in order to externally evaluate our algorithm in terms of speed, weaknesses and strength.