In 1890 an equation was derived for frost depth calculations from the frost penetration rate. It was called Stefan’s equation. This work will examine how well this equation simulates the true ground frost depth in three locations during the years 1983 to 2001. It will also examine if the equation is able to simulate the ground frost breaking. The feasibility of the equation depends on the location studied. For places in the north of Sweden it can be applied from the start of the ground freezing until the end of March, in the middle of Sweden the uncertainties are bigger for the entire season. The ground frost breaking procedure points at a linear relation between true values and values calculated with Stefan’s equation. Again, the fit is better further north in the country, where the ground frost season has a more distinct beginning and end. Further south, the ground frost is not so deep and an unfrozen ground layer is seldom noted and the fit becomes less good. / År 1890 härleddes en ekvation för tjäldjupsberäkningar ur tjälnedträngningshastigheten. Den benämndes Stefans ekvation. Detta arbete undersöker hur väl denna ekvation överensstämmer med uppmätta värden för tre stationer under åren 1983 till 2001. Det undersöks också om ekvationen även kan användas för upptiningsförloppet. Hur länge Stefans ekvation kan användas beror på var i landet platsen ligger, för vilken beräkningen utförs. För platser i norra Sverige kan ekvationen användas från tjälsäsongens början fram till slutet av mars månad. I mellersta Sverige är osäkerheten större under hela tjälsäsongen. Upptiningsförloppet hos tjälen visar på ett linjärt samband mellan uppmätta värden och från Stefans ekvation beräknade värden. Återigen är denna trend tydligare längre norrut i landet där tjälsäsongen har en markant början och slut. Längre söderut är tjälen betydligt grundare och ett upptinat jordlager hinner sällan noteras, varav trenden blir otydligare.

Många gymnasieelever har svårt att förstå algebra, specifikt linjära ekvationer och linjära ekvationssystem, vilket hindrar deras vidare lärande i både matematik och andra ämnen.  Lärare måste därför ha en klar uppfattning om vilka dessa svårigheter är för att kunna hjälpa sina elever till förståelse och lärande av detta område i algebra. I studien undersöks forskningslitteraturens resultat om vilka dessa svårigheter är. Påvisade svårigheter som har illustrerats med exempel på elevlösningar är: brister i elevers algebraiska förkunskaper, procedurkunskaper och konceptuella kunskaper (särskilt om likhetstecken, konstanter och variabler), brister i elevers kunskaper om algebraisk syntax, samt brister i elevers hantering av de operationer som används för lösning av ekvationer och ekvationssystem, t ex hur man hanterar negativa koefficienter och konstanter och använder substitutionsmetoden. / Many students of secondary school find it difficult to understand algebra, specifically linear equations and systems of linear equations, which prevents their further learning in both mathematics and other subjects. Teacher must therefore have a clear idea of what these difficulties are in order to assist their students in understanding and learning this area in algebra. The study examines the findings of the research literature as to what these difficulties are. Proven difficulties that have been illustrated with examples of students´ solutions are: deficiencies in their algebraic prerequisites, procedural knowledge and conceptual knowledge (especially about similarities, constants and variables), lack of knowledge of the algebraic syntax, and incorrect handling of the operations used to solve equations and systems of equations, for example how to handle negative coefficients and constants and use the substitution method.

No description available.

Algebra är ett komplext område. Syftet med studien är att undersöka elevernas begreppsförståelse i matematikens algebra. Undersökningen studerar varierad undervisning där elever bland annat arbetar i grupper med uppgifter som exempelvis spel. Studien är kvalitativt genomförd med videoobservationer som insamlingsmetod. Resultatet visar att elevernas begreppsförståelse kan öka när de får förståelse för likhetstecknets betydelse, bokstavssymbolernas betydelse och genom att förstå algebraiskt uttryck. Även om begreppsförståelsen ökar visar resultatet att eleverna inte explicit använder de relevanta begreppen inom algebra. Slutsatsen är att eleverna behöver förstå delarna i algebra för att förstå helheten. Att gå utanför läroböcker i algebra kan öka begreppsförståelsen. Vidare forskning är att undersöka elevers explicita begreppsanvändande i området algebra.

I detta arbete har lösningar till ekvationen xn+yn= 1 i en ändlig kropp av primtalsordning studerats. Både konkreta lösningar för vissa givna förutsättningar samt resultat gällande antalet lösningar har varit målet för dessa studier. I uppsatsen redovisas även de metoder som använts för att nå nämnda resultat. Eftersom ekvationen kan studeras för en oändlig mängd kroppar presenteras inget heltäckande resultat. Vissa resultat är dock generella under premissen att antingen kroppen eller ekvationen fixeras för något primtal p respektive exponent n. För sådana specialfall presenteras flera exempel. Huvudresultatet i arbetet visar att det alltid finns många icke-triviala lösningar för ekvationen över stora ändliga kroppar.

Denna studie granskar algebraiska ekvationer i årskurs 6. Dessutom undersöks hur en variation kan påverka elevernas framgångar i algebra utifrån variationsteorin. Studien har inspirerats av en Learning study. Studiens syfte är att kartlägga elever i årskurs 6 svårigheter inom algebraiska ekvationer genom en deltagande observation. Dessutom diskuteras de insatser som kan gynna elevernas framgångar. Syftet skapades till följd av att svenska elever inte når de bästa resultaten i algebra gentemot andra länder. Dessutom för att undervisningen har visats vara en faktor för elevernas lärande. Två frågeställningar skapades inför kartläggningen: Vilka svårigheter har elever i årskurs 6 inom algebraiska ekvationer? Hur kan en variation inom algebraiska ekvationer utveckla elever i årskurs 6 kunskaper? Resultatet visar att eleverna har viss osäkerhet att lösa ekvationer till följd av låg förståelse för likhetstecknets betydelse och dolda multiplikationstecken. Eleverna visade olika kunskapsnivåer genom att några hade större svårigheter och andra mindre. Dessutom visade det sig att en variation inom algebra leder till att eleverna kan upptäcka kritiska aspekter som är avgörande förindividens lärande. Däremot är slutsatsen att det stora problemet är att eleverna inte använder sig av algebra och inser när de faktiskt gynnas av det både tidsmässigt och för att nå en korrekt lösning.

Syftet med detta arbete är att ta reda på hur lärare på gymnasiet ser på undervisning i linjär ekvationslösning och hur de utvecklar elevers förståelser och förmågor. Vi har genomfört semistrukturerade intervjuer med fem lärare på tre olika gymnasieskolor i södra Skåne.  De intervjuade lärarna använder en mängd olika metoder för att undervisa linjär ekvationslösning, t ex god metod, konkretisering och balansmodellen för att nämna några exempel.

Randintegralmetoder är numeriska beräkningsmetoder för att lösa partiella differential-ekvationer genom att integrera på randen av en domän. Dessa metoder ärbetydligt mer beräkningseffektiva än volymbaserade metoder såsom finita element-eller finita differansmetoder som diskretiserar hela domänen. När man använderrandintegralmetoder för att lösa harmoniska funktioner stöter man på evaluering avO(N^2) potentialer för ett system av N partiklar. Genom att använda algoritmen FastMultipole Method (FMM) kan antalet evalueringar reduceras. I den här rapportenkommer vi att använda oss av randintegralmetoder för att lösa tidsinvarianta Laplacesekvation, och med FMM reducera antalet potentialevalueringar till O(N log N ).

Denna studie är en läromedelsanalys som granskar introduktionen av algebra med variabler i tre läromedel för årskurs 5: Koll på Matematik 5B, Favorit Matematik 5A och Mattespanarna 5A. Studiens syfte är att studera introduktionen av området algebra med variabler i årskurs 5, särskilt avseende utrymme, representationsformer och samspelet mellan text och bild. Tre frågeställningar togs fram för granskningen: Hur stort utrymme får introduktionen av området algebra med variabler i förhållande till helheten av läromedlet? Vilken eller vilka representationsformer används i uppgifter vid introduktion av algebra med variabler? På vilket sätt samspelar text och bild med varandra vid introduktion av algebra med variabler i läromedlen? Metoden var av en komparativ design i form av en flerfallsstudie för att finna möjliga likheter och skillnader mellan läromedlen. Ramverk skapades för att finna likheter och skillnader mellan läromedlen. Resultatet visar att: algebra med variabler får mellan 2–20 procent av det totala utrymmet i läromedlen; de tre mest förekommande representationsformerna är verbal, bildlig och symbolisk; det mest förekommande samspelet mellan text och bild är när bilden behövs till texten för att lösa uppgiften. Slutsatsen blir att de tre läromedlen skiljer sig åt avseende hur mycket utrymme som ges till området algebra med variabler; från relativt litet utrymme med endast två procent till relativt mycket utrymme med 20 procent. De representationsformer som finns i läromedlen ger eleverna en möjlighet för att skapa sig en konkret förståelse, vid introduktionen av algebra med variabler, i det sociala samspelet mellan eleverna samt mellan elever och lärare.

Denna studie är en läromedelsanalys som granskar algebraiska uttryck och ekvationer i två läromedel för årskurs 6: Koll på Matematik 6A och Mattedirekt borgen 6A. Studiens syfte är att studera algebraiska uttryck och ekvationer utifrån variationsteorins fusion, kontrast och generalisering. Syftet skapades till följd av att svenska elever inte når de bästa resultaten i algebra gentemot andra länder. Dessutom för att kunna undersöka varför flera elever upplever området som svårt och abstrakt. Två frågeställningar togs fram för granskning: Hur presenteras algebraiska uttryck och ekvationer i två olika läromedel? Hur varieras innehållet inom algebraiska uttryck och ekvationer? Resultatet visar att läromedlen har likheter och skillnader i sin presentation av algebraiska uttryck och ekvationer. Ett läromedel ger större utrymme för variabelns värde i olika ekvationer och behandlar även decimaler. Ett annat läromedel har större variation av olika variabler och behandlar aldrig decimaler. En variation kan även utläsas i kontrast, fusion och generalisering. Kontrast presenteras genom att visa flera felaktiga exempel för att visa vad något inte är. Dessutom genom jämförelse av två olika räknesätt för att kunna se samband, karaktärsdrag och skilja dem åt. Generalisering syns genom att visa samma figurer men uttrycka dem på olika sätt. Fusion uttryckts genom att variera innehållet från vad som tidigare varit känt för eleven. Slutsatsen är att läromedlen skapar goda förutsättningar för eleverna att upptäcka kritiska aspekter inom algebraiska uttryck och ekvationer.