Material properties are very important to model correctly when calculating solutions for multiphase flows with non-Newtonian fluids. The models can make the solution converge or diverge depending on how it is chosen. This paper mainly focuses of the applicability of solid pressure and viscosity models in Ansys CFX. The main goal is to create a list of criterions that material properties must fullfill to ensure that the solution converges. Furthermore a test environment in MATLAB was made that verifies if the models satisfies the list of criterions. It was found that as long as the material properties has continous derivatives without removable singularities and are non imaginary on their domain they are applicable in Ansys CFX. It was also found that if there was a discontinuity in their domain the discontinuity could be moved outside of the domain using an assymetric model for the volume fraction.

This thesis explores the application of Radial Basis Functions (RBFs) to fluid dynamical problems. In particular, stationary Stokes and Navier-Stokes equations are solved using RBF collocation method. An existing approach from the literature, is enchanced by an additional polynomial basis and a new preconditioner. A faster method based on the partition of unity is introduced for stationary Stokes equations. Finally, a global method based on Picard linearization is introduced for stationary Navier-Stokes equations. / Denna avhandling utforskar tillämpningen av Radial Basis Functions (RBF) på dynamiska problem med vätskor. I synnerhet löses stationära Stokes och Navier-Stokes ekvationer lösas med hjälp av RBF-samlokaliseringsmetoden. En befintlig metod från litteraturen, förbättras genom en ytterligare polynombas och en ny förkonditionering. En snabbare metod baserad på enhetens partition introduceras för stationära Stokes-ekvationer. Slutligen introduceras en global metod baserad på Picard linjärisering för stationära Navier-Stokes ekvationer.

The goal of this project is to develop virtual surgical simulation software in order to simulate the suturing and knot tying processes associated with surgical thread. State equations are formulated using Lagrangian mechanics, which is useful for the conservation of energy. Solver methods are developed with theory based in Differential Algebraic Equations (DAEs) which concern governing Ordinary Differential Equations (ODEs) that are constraint with Algebraic Equations (AE). An implicit integration scheme and Newton's method is used to solve the system in each step. Furthermore, a collision response process based on the Linear Complementarity Problem (LCP) is implemented to handle collisions and measure their forces. Models have been developed to represent the different types of objects. A spline model is used to represent the suture and mass-spring model for the tissue. They were both selected for their efficiency and base on real physical properties. The spline model was also chosen as it is continuous and can be evaluated at any point along the length. Other objects are also defined such as rigid bodies. The Lagrangian multiplier method is used to define the constraints in the model. This allows for the construction of complex models. An important constraint is the suturing constraint, which is created when a sufficient force is applied by the suture tip on to the tissue. This constraint allows only a sliding point along the suture to pass through a specific point on the tissue. This results in a virtual suturing model which can be built on for use in surgical simulations. Further investigations would be interesting to increase performance, accuracy and scope of the simulator. / Det här projektet syftar till att utveckla mjukvara för virtuell simulering av kirurgi som involverar knytande av suturtråd. Lagranges ekvationer används för att härleda energibevarande tillståndsekvationer. Lösningsmetoderna grundar sig i teori från området Differential-Algebraiska Ekvationer (DAEer), som avser att kontrollera Ordinära Differentialekvationer (ODEer) med algebraiska bivillkor. Ett implicit integrationsschema och Newtons metod används för att lösa systemet i varje steg. Utöver det så implementeras en kollisionsrespons-process baserad på det linjära komplementaritetsproblemet (LCP) för att hantera kollisioner och mäta deras krafter. Modeller har utvecklats för att representera olika typer av objekt. En spline-modell används för att representera suturtråden och ett mass-fjäder system för vävnaden. Valet baserades på deras höga prestanda samt starka anknytning till objektens fysiska egenskaper. Spline-modellen valdes också då dess kontinuitet innebär att den går att evaluera för en godtycklig punkt inom dess domän. Andra objekt, såsom stela kroppar, finns också definierade. Lagrangemultiplikator används för att definiera bivillkor i modellen. Detta tillåter konstruktionen av komplexa modeller. Ett viktigt bivillkor är sutur-bivillkoret som uppstår när tillräcklig kraft från spetsen på den kirurgiska nålen appliceras på vävnaden. Detta bivillkor tillåter att endast en glidande punkt längsmed suturen passerar genom en specifik punkt på vävnaden. Detta resulterar i en virtuell modell för stygn som kan byggas vidare på för användning i kirurgiska simulationer. Det vore intressant med ytterligare undersökningar för att förbättra prestandan, precisionen och simulatorns omfattning.

Denna kvalitativa studie syftar till att få större insikt i hur lärare kan arbeta för att möta och minska den problematik och de svårigheter som elever kan uppvisa med algebraiska ekvationer i grundskolans årskurs 4-6. Studien är baserad på klassrumsobservationer i två klasser i årskurs 6 och en semistrukturerad intervju med en yrkesverksam matematiklärare. Detta är därmed en fallstudie som grundar sig i teorin om algebrans fem stora idéer samt de fem olika undervisningsstrategierna enligt Trigwell och Prosser, vilka är antingen elev- eller lärarfokuserade. Resultatet från undersökningen visar att den deltagande läraren är medveten om många av de svårigheter som elever har med algebraiska ekvationer, där särskilt stor vikt läggs på likhetstecknets innebörd. Vidare visar resultatet att läraren bemöter dessa, och andra, svårigheter på olika sätt och med varierande metoder baserat på intentionen med undervisningen. Däremot finns ingen djupare kunskap om algebrans fem stora idéer hos läraren, något som kan påverka undervisningsmöjligheterna och i sin tur elevernas inlärning. Det blir därmed relevant att överväga om det är något som bör ingå i de lärarutbildningar som ges vid olika universitet. / This qualitative study aims to gain greater insight into how teachers can work to meet and reduce the problems and difficulties that students may have with algebraic equations in primary school grades 4-6. The study is based on classroom observations in two classes in grade 6 and a semi-structured interview with a mathematics teacher. This is thus a case study based on the theory of the five big ideas of algebra and the five different teaching strategies according to Trigwell and Prosser, which are either student- or teacher-focused. The results of the study show that the participating teacher is aware of many of the difficulties that students have with algebraic equations, where particular emphasis is placed on the meaning of the equal sign. Furthermore, the results show that the teacher addresses these, and other, difficulties in different ways and with varying methods based on the intention of the teaching. However, the teacher has no deeper knowledge of the five big ideas of algebra, which can affect the teaching possibilities and in turn the students' learning. Therefore it becomes relevant to consider whether it is something that should be included in the teacher education programs offered at various universities.

Syftet med denna licentiatuppsats är att pröva en specifik strukturell modell som stöd för elevers utforskande av relationer mellan tal i additiva strukturer även när negativa tal är inkluderade. En intention är att resultatet ska kvalificera undervisningen och utgöra ett stöd vid planering och genomförande av en undervisning avseende ekvationer med additiv struktur utifrån algebraisk undervisning som alternativ till att i första hand finna en lösning med stöd av regler och procedurer. Under studien kartlades, kategoriserades och beskrevs elevernas erfarande av fenomenet relationer mellan kvantiteter. I studien prövades även om, och i sådant fall, på vilka sätt en specifik strukturell modell användes av elever under arbetet med att utforska ekvationers struktur. Elever från årskurserna 3, 8 och 9 deltog i semistrukturerade intervjuer samt i forskningslektioner. Tre grupper av lärare samt två forskare planerade, genomförde och reviderade forskningslektionerna baserat på ansatsen learning study. Fenomenografi var den teoretiska ansatsen för de inledande semistrukturerade intervjuerna. Variationsteori och lärandeverksamhet var de teoretiska ramverken för forskningslektionerna där Davydovs program var en inspirationskälla. För att uppnå syftet formulerades följande forskningsfrågor: Vilka skilda sätt att erfara fenomenet relationer mellan kvantiteter kan urskiljas i elevintervjuer? På vilka sätt använder elever en specifik strukturell modell för att utforska ekvationer? Den första forskningsfrågan besvaras i Artikel 1 som visar att elever erfar relationer mellan kvantiteter som någonting som ska beräknas alternativt någonting som ska relateras. Den andra forskningsfrågan besvaras i Artikel 2 som visar att elever använde sig av den i studien prövade specifika strukturella modellen såsom ett formulär att fylla i alternativt som en lärandemodell och redskap för att identifiera del-helhetsstrukturen mellan tal i en ekvation samt för att välja lämplig operation att lösa ut det obekanta talet.                           Resultaten visar på möjligheten, men även utmaningen, att introducera en algebraisk undervisning med fokus på analys och teoretiska resonemang även för elever med erfarenheter från en alternativ bakgrund. / The aim of the licentiate thesis is to examined a specific structural model in order to support students' exploration of relationships between numbers in additive structures even when negative numbers is included. One intention is that the finding should qualify the teaching and constitute a support when plan and implement teaching regarding equations with additive structure based on algebraic teaching as an alternative to primarily finding a solution with support of rules and procedures. During the study, the students' experiences of the phenomenon relationships between quantities was examined, categorized and described. In the study it was also examined whether and, if so, in what ways a specific structural model was used by students during the work of exploring the structure of equations. Students from grades 3, 8 and 9 participated in semi-structured interviews and in research lessons. Three groups of teachers and two researchers planned, conducted and revised the research lessons based on the learning study approach. Phenomenography was the theoretical approach for the initial semi-structured interviews. Variation theory and learning activity were the theoretical frameworks for the research lessons where Davydov's curriculum was a source of inspiration. In order to achieve the aim, the following research questions were formulated: 1) What different ways of experiencing the phenomenon of relationships between quantities can be discerned in student interviews? 2) In what ways do students use a specific structural model to explore equations? The first research question is answered in Article 1, which shows that students experience relationships between quantities as something to be calculated or something to be related. The second research question is answered in Article 2, which shows that students used the specific structural model examined in the study as a form to fill in alternatively as a learning model and a tool to identify the part-whole structure between numbers in an equation and to choose appropriate operation to find the unknown number. The findings show the possibility, but also the challenge, of introducing an algebraic teaching with a focus on analysis and theoretical reasoning also for students with experiences from an alternative background.

We study the interconnections between the spin Benjamin-Ono (sBO) and half-wave maps (HWM) equations, a pair of nonlinear partial integro-differential equations that have recently been found to permit multi-soliton solutions, where the time evolution of the constituent solitons can be described in terms of the well-known, completely integrable, spin Calogero-Moser (sCM) system. By considering a symmetry transformation of the sCM dynamics we are led to introduce a scale parameter into the sBO equation, yielding what we call the rescaled sBO (rsBO) equation, which has both the sBO and HWM equations as special cases. Together with the addition of a new constant background term in the multi-soliton ansatz for the sBO equation, this allows us to formulate a theorem for the rsBO equation that unifies and generalizes previously known soliton theorems for the sBO and HWM equations. The theorem offers a new perspective on these equations; we use it to show the emergence of HWM dynamics in a certain background-dominated limit of the sBO equation, and to suggest a generalization of the HWM equation. Along the way we discuss basic properties of the new multi-soliton solutions, and how to construct them. We spend some time proving that indeed all previously known multi-soliton solutions of the HWM equation are given by the new theorem, and not just a subset. We discuss, and state a conjecture about, possible physical interpretations of the sBO equation. Finally, we apply the same ideas to the spin non-chiral intermediate long-wave (sncILW) and non-chiral intermediate Heisenberg ferromagnet (ncIHF) equations, find that they are related in the same way as the sBO and HWM equations, and formulate a unified theorem for their multi-soliton solutions. For ease of exposition we keep the discussion to hermitian solutions of the sBO and sncILW equations and $\bb R^3$-valued solutions of the HWM and ncIHF equations, though readers familiar with the subject will have no problem generalizing to the non-hermitian and $\bb C^3$-valued cases. / Vi studerar kopplingarna mellan sBO- (spin Benjamin-Ono) och HWM- (half-wave maps) ekvationerna, två ickelinjära partiella integrodifferentialekvationer som nyligen visat sig tillåta multisolitonlösningar, där tidsevolutionen av ingående solitoner kan beskrivas av det välkända, fullständigt integrerbara sCM- (spin Calogero-Moser) systemet. Genom att undersöka en symmetritransformation av sCM-dynamiken leds vi att introducera en skalparameter i sBO-ekvationen, vilket ger upphov till vad vi kallar för rsBO- (rescaled sBO) ekvationen, som har både sBO- och HWM-ekvationerna som specialfall. Tillsammans med införandet av en ny konstant bakgrundsterm i multisolitonansatsen för sBO-ekvationen så låter detta oss formulera en sats för rsBO-ekvationen som förenar och generaliserar tidigare kända solitonsatser för sBO- och HWM-ekvationerna. Satsen ger ett nytt perspektiv på dessa ekvationer; vi använder den för att påvisa uppkomsten av HWM-dynamik i en viss bakgrundsdominerad gräns av sBO-ekvationen, och för att föreslå en generalisering av HWM-ekvationen. Längs vägen diskuterar vi grundläggande egenskaper hos de nya multisolitonlösningarna och hur man konstruerar dem. Vi lägger lite tid på att bevisa att mycket riktigt alla tidigare kända multisolitonlösningar av HWM-ekvationen ges av den nya satsen, och inte bara en delmängd. Vi diskuterar, och formulerar en konjektur kring, möjliga fysiska tolkningar av sBO-ekvationen. Slutligen tillämpar vi samma idéer på sncILW- (spin non-chiral intermediate long-wave) och ncIHF- (non-chiral intermediate Heisenberg ferromagnet) ekvationerna, finner att de är relaterade på samma sätt som sBO- och HWM-ekvationerna, och formulerar en förenad sats för deras multisolitonlösningar. För att förenkla presentationen håller vi diskussionen till hermiteska lösningar av sBO- och sncILW-ekvationerna samt $\bb R^3$-värda lösningar av HWM och ncIHF-ekvationerna, men läsare bekanta med ämnet bör utan besvär kunna generalisera till de icke-hermiteska och $\bb C^3$-värda fallen.

Within the military there is great need for reliable communication between vehicles. During the planning and construction of a military RIB, Rigid-hulled Inflatable Boat, it is important to design an efficient antenna system that does not deteriorate out of disorder. It must also be ensured that the antennas transmitted power does not stay in the RIB boat. We have been given assignment to model and simulate a proposed antenna system and assess which tool is best suitable for the task. To analyze the antenna system we will look at the radiated electrical field together with the reflectionand EMC properties. The tool that we choose to use is a software called EMPro produced by Keysight Technologies. In this program we will create 3Dstructures for each individual object, the boat, the three antennas and the seawater. It’s also important to include each objects properties concerning material, so that they correctly reflect the reality. We are covering a broad spectrum with our antennas reaching from 1.6-30MHz, 30-88MHz and 100512MHz. The resulting simulation verifies that electromagnetic field would be powerful enough and that the antennas would not affect each other with the proposed placement. We could also confirm that our antennas reflected an inordinate amount of power but with cause that our models were not an exact replica of the antenna. The software EMPro is a suitable tool for this kind of projects concerning modeling and simulating antenna systems.Within the military there is great need for reliable communication between vehicles. During the planning and construction of a military RIB, Rigid-hulled Inflatable Boat, it is important to design an efficient antenna system that does not deteriorate out of disorder. It must also be ensured that the antennas transmitted power does not stay in the RIB boat. We have been given assignment to model and simulate a proposed antenna system and assess which tool is best suitable for the task. To analyze the antenna system we will look at the radiated electrical field together with the reflectionand EMC properties. The tool that we choose to use is a software called EMPro produced by Keysight Technologies. In this program we will create 3Dstructures for each individual object, the boat, the three antennas and the seawater. It’s also important to include each objects properties concerning material, so that they correctly reflect the reality. We are covering a broad spectrum with our antennas reaching from 1.6-30MHz, 30-88MHz and 100512MHz. The resulting simulation verifies that electromagnetic field would be powerful enough and that the antennas would not affect each other with the proposed placement. We could also confirm that our antennas reflected an inordinate amount of power but with cause that our models were not an exact replica of the antenna. The software EMPro is a suitable tool for this kind of projects concerning modeling and simulating antenna systems. / Inom militären finns stort behov av pålitlig kommunikation mellan fordon. Vid konstruktion av ett småfartyg i militärtoch bevakningssyfte är det viktigt att designa ett välfungerande antennsystem som inte försämras utav störningar, det ska även ses till att antennernas utsända effekt inte fastnar i småfartyget. Vi har fått en ritning av hur antennplaceringen är planerad, denna rapport går ut på att verifiera dess funktionalitet samt hitta en mjukvara som kan användas för att verifiera olika antennsystem. För att bedöma antennsystemet kommer denna rapport att undersöka att dess elektriska fält samt reflektionsoch EMC egenskaper, en uppgift som kan lösas med programvaran EMPro (Keysight). I programvaran skapas en 3Dstruktur som innehåller småfartyget, dess 3 stycken antenner samt omfattande havsvatten. Här tas hänsyn till objektens materialegenskaper, antennernas jordning samt de frekvenser antennerna arbetar på, 1.6-30MHz, 30-88MHz samt 100-512MHz. Simulering av systemet gav positiva resultat kring antennsystemets elektromagnetiskafält, antennerna kommer inte heller att störa varandra. Antennerna som vi har modellerat reflekterar orimligt mycket effekt, detta bortser vi från då vi inte haft tillgång till exakt avbildning av antennerna. EMPro är ett verktyg som är lämpligt att använda i detta samt liknande projekt. Dock krävs det att en kraftig dator finns tillgänglig då simuleringar av stora antennsystem baseras på stora uträkningar, som generellt tar lång tid.