Sammanfattning Matematikundervisning kan behandlas ur olika aspekter. I examensarbetet är matematikhistoria i fokus. Jag har undersökt vissa matematikområden, men inte andra. Jag har också förklarat några logiska behov och intressanta motiv bakom dessa matematikområden. Det nämns några kopplingar mellan matematikhistoria och undervisning också. Syftet med examensarbetet är att studera enkla idéer bakom dagens avancerade och utvecklade matematikområden. Att börja lära ut från grundläggande begrepp, är en bra förberedelse för elever att lära sig bättre. I mitt examensarbete letar jag efter tecken på dessa begrepps uppfattningar. Det krävs olika undersökningsperspektiv för att se meningar bakom mänskliga historier och olika didaktiska metoder i praktiken för att använda undersökningsresultaten i matematikundervisning. Jag har intervjuat 7 lärare i åk 7-9 och gymnasiet. Jag tar hänsyn till olika teoretiska perspektiv som också är relaterade till matematikens historia. Resultatet visar att berätta objektivt och allsidigt om tankar bakom upptäckter och idéer är alltid lärorikt och kan väcka elevers intresse. Resultatet från mitt examensarbete är ett litet försök till att analysera utvecklingen av olika begrepp från historien som kan hjälpa lärare att förstå elevers svårigheter, med andra ord kan det bidra till ett bättre undervisningssätt.

Syftet med studien är att redovisa vilka inre och yttre faktorer som bidrar till elevers motivation i matematikämnet. Studien utgår från ett elevperspektiv i årskurs 6 med en avgränsning till algebra och ekvationer. Studien har sin teoretiska utgångspunkt i Self-determination theory (SDT) där ett kompletterande ramverk skapats utifrån fem motivationsvariabler som syftar till att mäta elevers motivation. Som insamlingsmetod används både intervjuer och observationer och utgår därmed från ett elevperspektiv. Observationerna genomfördes på två olika skolor i årskurs 6 och totalt deltog fyra elever från vardera skola i intervjuerna. Resultatet av studien visade bland annat att elevers motivation påverkas av både inre och yttre faktorer där exempelvis lärarens roll, betyg och elevers målsättning spelade en betydande roll. Samtliga elever ansåg dessutom att motivation är en viktig egenskap att erhålla sig för att lyckas och för att utveckla sina kunskaper inom matematikens algebra

Denna studie syftar till att undersöka hur två lärare använder konkretisering inom algebra och laborativt material för att öka elevernas förståelse om förstagradsekvationer i årskurs 6. Undersökningen är gjord med hjälp av semistrukturerade intervjuer samt klassrums-observationer som baseras på en kvalitativ undersökning. Intervjuerna är gjorda med två lärare, ljudet har spelats in och materialet har transkriberats. Totalt två lärare som undervisar i matematik på mellanstadiet deltar i studien. Datamaterialet har analyserats med hjälp av tematisk analys. Resultaten av intervjuarna visar att båda lärarna betonar vikten av konkretisering och användandet av laborativt material i matematikundervisning. Samtidigt som resultatet av klassrumsobservationerna visar att lärarna inte använder sig av laborativt material i den utsträckning som de uttrycker att de gör. I huvudsak anser lärarna att konkretiserad matematikundervisning ökar elevers förståelse av matematiska begrepp, då de anser att eleverna ska arbeta praktiskt med ämnesbegrepp i relation till problemlösningsfrågor i undervisningen och inte enbart teoretiskt. Ytterligare anser lärarna att kommunikation utgör ett viktigt redskap i undervisningen, då kommunikationen ger utrymme till konkretisering av ämnesbegrepp. Lärarna uttrycker även att elever visar mindre intresse för matematikämnet än andra ämnen i skolan. För att locka och fånga elevers intresse för matematikämnet har lärarna använt konkretisering och laborativt material i undervisningen. Detta anser lärarna har påverkat eleverna positivt då det har underlättat för de att förstå olika begrepp inom algebra. Enligt lärarna leder detta i sin tur till att eleverna kan uppnå kunskapsmålen och utveckla sig i ämnet.

I den här systematiska litteraturstudien fokuseras lärandet och undervisningen inom tidig algebra. Syftet med studien är att synliggöra centrala delar och kritiska aspekter i undervisningen om tidig algebra för elever i lågstadiet. För att få fram ett resultat  analyseras vetenskapliga artiklar. Studiens resultat grundas i tolv vetenskapliga artiklar som svarar på syftet och frågeställningarna. I studiens resultat presenteras olika sätt av lärande och undervisning inom algebra som analyseras utifrån variationsteorins centrala begrepp. De centrala begreppen är lärandeobjekt, kontrast, separation, generalisation, fusion och variationsmönster. Genom denna kategorisering får studien en klarare bild över vilka delar inom tidig algebra som är centrala samt vad som blir kritiska aspekter i undervisningen. Elever hamnar ofta i svårigheter med algebra då flera kritiska moment finns inom arbetsområdet. Läraren har därför en betydelsefull roll när ett lärande sker inom algebra för eleverna. En viktig förutsättning för lärande är variation. Variationen möjliggör för eleverna att lära sig nya saker. I resultatet diskuteras likhetstecknets betydelse, aritmetikens grundkunskaper samt ekvationers roll inom algebra.

Det här är en läromedelsgranskning som har syftet att granska hur tre olika matematikläromedel i årskurs 1 behandlar likhetstecknets innebörd och dess koppling till pre-algebra. Tidigare forskning visar att många elever har svårigheter inom just detta område. En djup och relationell förståelse för likhetstecknet är av stor vikt för att kunna utveckla ett algebraiskt tänkande och för att klara av högre studier inom matematik. För att nå denna typ av förståelse lyfter forskning flera olika undervisningsstrategier.  För att besvara studiens frågeställningar kring hur läromedel behandlar dessa undervisningsstrategier och pre-algebraiska uppgifter används ett analysverktyg, framtaget av oss studenter, vid granskningen. Varje läromedel undersöktes i relation till utvalda frågor som byggde på studiens teoretiska ramverk kring hur förståelsen för likhetstecknet påverkas av undervisning. Resultatet visade att alla tre läromedel innehöll uppgifter som stödjer en djup och relationell förståelse för likhetstecknet, men i olika utsträckningar och på olika sätt. Samtliga läromedel visade både likheter och skillnader till tidigare forsknings rekommenderade undervisningstrategier. Med denna insikt kan studien vara en hjälpande hand för lärare vid val av läromedel och vid undervisning av likhetstecknet.

Syftet med det här arbetet är att lösa kubiska ekvationer utifrån både algebraiska och geometriska perspektiv. Läsaren kommer att möta olika metoder att finna rötter av kubiska ekvationer med fokus på Cardanos metod. Kapitel 3 introducerar Khayyams metod för att hitta en positiv reell rot med hjälp av geometrisk algebra. Kapitel 4 presenterar Cardanos metod för att hitta en positiv reell rot med geometrisk och algebraisk metod. Kapitel 5 visar bisektionsmetoden och Newton-Raphsons metod för att hitta en reell rot med numeriska beräkningar. För att underlätta metoder (för moderna ögon) använde jag mig av spel, tabeller och moderna matematikprogram. Förståelsen av dessa metoder med faktorsatsen visas i kapitel 6 hur vi kan hitta alla reella rötter när vi har en rot. Dessutom innehåller kapitlet Cardanos formel för tre rötter av den allmänna kubiska ekvationen. Kapitel 7 presenterar Eulers metod för att lösa den allmänna bikvadratiska ekvationen med hjälp av Cardanos metod. Dessutom beskrivs Descartes metod för att lösa bikvadratiska ekvationer med användningen av geometriskalgebra. Läsaren får även en inblick i kvintiska ekvationer.

Den här studien är en systematisk litteraturstudie med inriktning årskurs 1–3. Syftet är att granska vilka svårigheter elever kan uppleva när de arbetar med ekvationer i matematik. Studien syftar även att undersöka var i arbetet med ekvationer som elever stöter på svårigheter när de går från ett konkret till ett abstrakt arbetssätt. För att svara på studiens frågeställningar har 17 vetenskapliga artiklar granskats och analyserats. Till hjälp har Heddens (1986) teori om att gå från en konkret representation till en abstrakt representation använts. Genom resultatet har flertalet svårigheter som elever kan uppleva framkommit. Till exempel förståelsen för likhetstecknet samt tecken och symboler för okända tal. I studiens diskussion redogörs för hur viktigt lärarens roll i undervisningen är för att eleverna inte ska möta dessa svårigheter.

The work is motivated by the goal of linking reality and model, and to see if there is an opportunity to develop an inexpensive educational tool for training in cyber-physical systems. This project has investigated the possibilities to build a cheap inverted pendulum with controller and connect this with the modeling language Acumen. Acumen models is used for comparison with the actual prototype. To solve these problems has a 3D printer been used to create hardware, Arduino UNO for control and Raspberry Pi for enable communication with Acumen over WLAN. The result was a cheap inverted pendulum, which can be built for a cost around 750 SEK. Graphs created in Acumen and from data collected from sensors can be analyzed. With a model of the inverted pendulum system, the results show that Acumen can be used in the development of cyber-physical systems. There are differences between model and reality but also similarities. / Arbetet motiveras av målet att knyta samman verklighet och modell, samt att se om det finns möjlighet att utveckla ett billigt utbildningsverktyg för utbildning i cyberfysiska system. Detta projekt har undersökt möjligheter att bygga en billig inverterad pendel med regulator samt koppla samman denna med modelleringsspråket Acumen. I Acumen skapa en modell av systemet och jämföra den med en fysisk prototyp. För att lösa dessa problem har en 3D skrivare använts för att skapa hårdvara. Arduino UNO för styrning och Raspberry Pi för att möjligöra kommunikation med Acumen över WLAN. Resultatet blev en billig inverterad pendel, som kan byggas för en kostnad runt 750 kr. Grafer från Acumen, och från data samlad från sensorer kan analyseras. Med en modell av en inverterad pendel visar resultaten att Acumen kan användas i utveckling av cyberfysiska system. Skillnader finns mellan modell och verklighet men även likheter.

I den här läromedelsanalysen fokuseras kritiska aspekter samt variation i matematikuppgifter inom tidig algebra. Syftet med studien är att identifiera kritiska aspekter av tidig algebra i årskurs tre samt hur dessa kritiska aspekter behandlas i två olika läromedel med hjälp av variationsteorin. De två läromedel i denna läromedelsanalys är två matematikböcker för årskurs 3. För att få svar på vilka de kritiska aspekterna är inom tidig algebra analyseras först vetenskapliga artiklar. Det kritiska inom tidig algebra är ett varierat arbete med likhetstecken, aritmetik integrerat med tidig algebra samt ekvationer. Därefter presenteras en analys av två läroböcker där kritiska aspekter samt variationsmönster i tidig algebrauppgifter redogörs i resultatavsnittet. I variationsteorin benämns en rad begrepp inom variationsmönster vilka är separation, kontrast, fusion och generalisation. För att läromedlet ska skapa ett lärande krävs det att alla variationsmönster synliggörs. I resultatet diskuteras det om Favorit Matematik och MatteDirekt Safari har en tillräcklig variation på tidig algebrauppgifter inom likhetstecknet, aritmetik integrerat med tidig algebra samt ekvationer.

Inthis degree project, a solution on a coarse grid is recovered by fitting apartial differential equation to a few known data points. The PDE to consideris the heat equation and the Dupire’s equation with their synthetic data,including synthetic data from the Black-Scholes formula. The approach to fit aPDE is by optimal control to derive discrete approximations to regularized Hamiltoncharacteristic equations to which discrete stepping schemes, and parameters forsmoothness, are examined. By non-parametric numerical implementation thedervied method is tested and then a few suggestions on possible improvementsare given / I detta examensarbete återskapas en lösning på ett glest rutnät genom att anpassa en partiell differentialekvation till några givna datapunkter. De partiella differentialekvationer med deras motsvarande syntetiska data som betraktas är värmeledningsekvationen och Dupires ekvation inklusive syntetiska data från Black-Scholes formel. Tillvägagångssättet att anpassa en PDE är att med hjälp av optimal styrning härleda diskreta approximationer på ett system av regulariserade Hamilton karakteristiska ekvationer till vilka olika diskreta stegmetoder och parametrar för släthet undersöks. Med en icke-parametrisk numerisk implementation prövas den härledda metoden och slutligen föreslås möjliga förbättringar till metoden.