Estudamos o Espectro de Fucík para o operador Laplaciano, isto é, o conjunto \'SIGMA\' das duplas (\'mü\', \'nü\') \'ESTA CONTIDO EM\' \'R POT. 2\', tais que o problema { - \'DELTA\' u(x) = \'\'\'mü \'nü\' POT. + (x); \'EPSILON\' \' OMEGA\', Bu = o; x \'EPSILON\' \'PARTIAL\' \' OMEGA\', admita soluções não triviais, onde \'OMEGA \'ESTA CONTIDO EM\' \'R POT. n\' é um domínio limitado, \'u POT +\'(x) = max{0, u(x)}, \' u POT. -\' (x) = f -u (x)} e B representa condições de contorno. Inicialmente apresentamos alguns resultados abstratos sobre o Espectro de Fucík e em seguida o calculamos explicitamente no caso unidimensional para os problemas de Dirichlet e de Neumann. Estes resultados são aplicados ao estudo da solubilidade do problema { - \'DELTA\' u(x) = f(x, u (x)); x \'epsilon\' \'OMEGA\', Bu = 0; x \'epsilon\' \'PARTIAL\' \' OMEGA\', quando a não linearidade f é uma conveniente perturbação de \'mü\'\'u POT. + - \'\'nü\' u+ - \'\'nü\' u POT. n\', descreveremos diferentes comportamentos em função dos parâmetros (\'mü\', \'nü\'). Por fim, consideramos o Espectro de Fucík em dimensão maior. Neste caso não é possível calculá-lo explicitamente, assim apresentamos uma caracterização variacional da sua primeira curva não trivial. Esta caracterização nos permitirá obter várias informações sobre a forma desta curva e também outros resultados sobre a solubilidade de (2) / We study the Fucik Spectrum for the Laplacian operator, that is, the set \'SIGMA\' of the couples (\'mü\', \'nü\') \'ARE THIS ESTA CONTAINED\' \'R POT. 2\', for which the problem { - \'DELTA\' u(x) = \'\'\'mü \'nü\' POT. + (x); \'EPSILON\' \' OMEGA\', Bu = 0; x \'EPSILON\' \'PARTIAL\' \' OMEGA\', admits a nontrivial solution, where \'OMEGA\' \'EPSILON\' \'R POT. n\' is a bounded domain, \'u POT. + (x) = max {0, u(x)}, \'u POT. -\'(x) = {0, - u(x)} and B represents some boundary condition. We first show abstract results about the Fucik Spectrum and then we compute it explicitly in the one dimensional case for the Dirichlet and Neumann problems. These results one applied at the study of the solvability of the problem. { - \'DELTA\'u(x) = f (x, u(x)), x \'EPSILON\' \'OMEGA\', Bu = 0; x \'EPSILON\' \'PARTIAL\'\'OMEGA\', whe3n the nonlinearity f is a suitable pertubation of \'mü\'\'u POT. + - \'\'nü\' u+ - \'\'nü\' u POT. n\'; we describe different behaviors depending on the parameters (\'mü\', \'nü\'). Finally, we consider the Fucik Spectrum in higher dimension. In this case it is not possible to compute it explicitly, so we will show a variational characterization of the first nontrivial curve. This characterization will allow to obtain some information on the properties of this curve and also further results on the solvability of (2)

Orientador: Marco Aurélio Amaral Henriques / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-26T04:02:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Sangalli_LeandroAparecido1988-_M.pdf: 2889538 bytes, checksum: 474d1ae695fc20d0f0b214ac8ba4716f (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Emparelhamentos bilineares sobre curvas elípticas são funções matemáticas que podem viabilizar protocolos criptográficos promissores. Porém, um fato que enfraquece o desenvolvimento destes protocolos é o alto custo computacional para calcular estes emparelhamentos. Diversas técnicas de otimização foram propostas nos últimos anos para realizar este cálculo de forma mais eficiente. Dentre estas técnicas existem as que mudam o tipo de emparelhamentos, o tipo de curvas elípticas ou a forma de cálculo dos emparelhamentos. As curvas Barreto-Naehrig são conhecidas como curvas amigáveis para emparelhamentos, pois se destacam para aplicações que buscam eficiência no cálculo dos mesmos. Este trabalho avalia em detalhes o custo das operações presentes no cálculo de alguns dos emparelhamentos mais utilizados atualmente definidos sobre curvas Barreto-Naehrig. Por meio desta análise, foi possível realizar uma comparação destes emparelhamentos no nível de operações de adição, multiplicação, quadrado, inversão e redução modular sobre um corpo finito primo e sobre um processador genérico. Os resultados mostram que de acordo com os parâmetros adotados, um dos emparelhamentos mais utilizados (Optimal Ate) pode não apresentar o melhor desempenho entre os analisados. Além disso, foi possível avaliar como o cálculo dos emparelhamentos é afetado pela adoção de diferentes processadores, desde aqueles com palavras curtas até aqueles que no futuro poderão ter palavras muito longas / Abstract: Bilinear pairings over elliptic curves are functions that support promising cryptographic protocols. However, a fact that hinders the development of these protocols is their high computational cost. Many techniques seeking more efficiency in the calculation of pairings have been proposed in the last years. Among these techniques are those that change the pairing type, the curve type and/or the pairing calculation method. Barreto-Naehrig curves are known as pairing-friendly curves, because they perform well in applications that require more efficiency in the pairing calculation. This work evaluates the cost of operations present in the most used pairings that are based on Barreto-Naehrig curves. With this evaluation, it was possible to compare these pairings at the level of basic operations as addition, multiplication, square, inversion and modular reduction over a prime finite field in a generic processor. The results show that, for the security parameters adopted in this work, one of the most used pairing algorithms (Optimal Ate) is not the fastest among those evaluated. Moreover, this work estimates the impact caused in the pairing calculation by different processors, ranging from the current short-medium word processors to the future very long word ones / Mestrado / Engenharia de Computação / Mestre em Engenharia Elétrica

Orientador : Jose Raimundo de Oliveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-02T00:50:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dias_MauricioAraujo_M.pdf: 5205799 bytes, checksum: 983ca32a97e31a92d42806addbfdc977 (MD5) Previous issue date: 2002 / Resumo: Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de um co-processador para algoritmos de criptografia assimétrica. Trata-se de um co-processador que pode servir de base para a implementação de algoritmos de criptografia assimétrica, não apenas de um dispositivo dedicado a um único algoritmo criptográfico. Para tanto, ele dispõe de uma biblioteca de módulos de circuitos que implem~ntamrotinas básicas úteis a vários desses algoritmos. A implementação é feita em um dispositivo do tipo FPGA. Para testar o funcionamento do co-processador foi escolhido o algoritmo de criptografia assimétrica, baseado no problema do logaritmo discreto sobre curvas elípticas. Os testes práticos do coprocessador apóiam-se no uso de curvas elípticas distintas e de diferentes pontos pertencentes a cada uma dessas mesmas curvas / Abstract: This work has as main objective the development of a co-processor for asymmetric cryptography algorithms. It is a co-processor that can serve for the implementation of asymmetríc cryptography algorithms. It isn't a devíce dedicated to only a cryptographic algorithm. So, it uses a library of hardware modules that implement basic routines useful to several of these algorithms. The implementation is made in a FPGA device. In order to test the operation of this co-processor, we choose the asymmetric cryptography algorithm based on tbe elliptic curve discrete logarithm problem. The practical tests of the co-processor are based on the use of distinct elliptical curves and different points over tbese same curves / Mestrado / Engenharia de Computação / Mestre em Engenharia Elétrica

Magíster en Ciencias, Mención Astronomía / Mediante la inspección de un conjunto espectroscópicamente completo de 70 galaxias de secuencia roja del cumulo de Coma, de las cuales un alto porcentaje (~75%) se encuentran ubicadas a una distancia inferior a 0.2R_200 (~0.5 Mpc) del centro del cúmulo, estudiamos el nivel de actividad de interacciones galácticas entre galaxias con bajo contenido de gas, utilizando datos del Coma Treasury Survey obtenidos con el Telescopio Espacial Hubble. La estimación de la actividad de interacciones se realiza a partir de la fracción de galaxias involucradas en pares. Identificamos 5 pares y un sistema triple, para un total de 13 galaxias, basados en los limites de distancia proyectada y diferencia en velocidad radial. De estos sistemas, ninguno muestra signos de interacción reciente por lo que ninguno es identificado como una colisión de galaxias en curso. Este resultado nos permite establecer un limite superior para la taza de interacciones de galaxias de bajo contenido en gas de un 1.5% por Gyr, lo que se condice con las bajas tazas de interacción esperadas para los cúmulos en su estado evolutivo actual. Una inspección detallada de las imágenes de todas las galaxias de secuencia roja en nuestro conjunto revela que solo una galaxia muestra signos identificados a un limite en brillo superficial de 26.5 mag/arcosegundo^2, indicadores de una interacción recientemente producida, lo que implica una fracción de galaxias perturbadas recientemente menor a un 2%.

Orientador: Nelson Callegari Junior / Banca: Emanuel Fernandes Lima / Banca: Tadashi Yokoyama / Resumo: É bem conhecido que em Mecânica Analítica muitos problemas integráveis não tem primitivas escritas em forma de funções elementares, tais como: corpo rígido assimétrico em rotação livre; pêndulo esférico, entre outros. O uso de funções elípticas faz-se necessário para se buscar soluções analíticas desses problemas. Neste trabalho, faremos primeiramente uma revisão da teoria dessas funções adotando como referência alguns textos clássicos. Feito isso, estudaremos a formulação de problemas de dinâmica, a saber o pêndulo simples e o pião simétrico. Por fim, com as integrais desses problemas em mãos, iremos determinar suas soluções com o uso das funções elípticas de Jacobi e Weierstrass / Abstract: It is well known that in Analytical Mechanics many simple integrable problems cannot be written in terms of elementary functions, such as: rigid asymmetrical body in free rotation, spherical pendulum, among others. The use of elliptic functions becomes necessary in order to obtain analytical solutions of these problems. In this work, we present a review of the theory of these functions accordingly to some classical texts. In the sequence, we study two problems of mechanics: the simple pendulum and the symmetrical top. Finally, we will determine the solutions to these problems using of the Jacobi and Weierstrass elliptic functions / Mestre

Orientador: Parham Salehyan / Banca: Michelle Ferreira Zanchetta Morgado / Banca: Behrooz Mirzaii / Resumo: Faremos neste trabalho um estudo das curvas elípticas. Do primeiro capítulo até o terceiro mostraremos as principais noções para o estudo desses objetos. Alguns resultados como o teorema de Riemann-Roch serão vistos em sequência. Veremos que curvas elípticas são dadas por equações de Weierstrass juntamente com uma estrutura de grupo nesse conjunto. O conteúdo dessa teoria servirá de base para o capítulo 4, onde demonstramos o teorema de Mordell-Weil. O procedimento de descida será mostrado, em seguida veremos o teorema de Mordell-Weil sobre o corpo dos números racionais. As funções altura serão definidas e então demonstraremos nosso principal resultado. Por fim, como um apêndice, veremos um pouco de pontos integrais sobre curvas elípticas. Apresentaremos a teoria de aproximação diofantina e alguns resultados de como as funções distância podem nos ajudar num estudo métrico ou topológico por meio dessas aproximações / Abstract: We will do in this work a study of the elliptic curves. From the first chapter to the third we will show the main notions for the study of these objects. Some results such as the Riemann-Roch theorem will be seen in sequence. We will see that elliptic curves are given by Weierstrass equations together with a group structure in that set. The content of this theory will serve as the basis for chapter 4, where we demonstrate Mordell-Weil's theorem. The descent procedure will be shown, then we will see Mordell-Weil's theorem on the field Q. The height functions will be defined and then we will demonstrate our main result. Finally, as an appendix, we will see some integral points on elliptic curves. We will present the theory of diophantine approximation and some results of how distance functions can help us in a metric or topological study through these approximations / Mestre

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis esta dividida en seis partes. La primera parte está dedicada a probar propiedades de Hadamard y teoremas del tipo de Liouville para soluciones viscosas de ecuaciones diferenciales parciales elípticas completamente no lineales con término gradiente \begin{equation}\label{eq06-10-13 1} \mathcal{M}^{-}(|x|,D^2u)+\sigma(|x|)|Du|+f(x,u)\leq 0,\quad \ x\in\Omega, \end{equation} donde $\Omega=\mathbb{R}^N$ o un dominio exterior, las funciones $\sigma:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ y $f:\Omega\times (0,\infty)\to (0,\infty)$ son continuas las cuales satisfacen algunas condiciones extras. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones que explotan en la frontera para ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales \begin{equation}\label{eq06-10-13 2} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=h(x),\quad & x\in\Omega,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\bar\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} \ } \lim_{x\in\Omega, x\to\partial\Omega}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$, $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, el operador $(-\Delta)^{\alpha}$ con $\alpha\in(0,1)$ es el Laplaciano fraccionario y $h:\Omega\to\R$ es una función continua la cual satisface algunas condiciones extras. Por otra parte, analizamos la unicidad y el comportamiento asimptótico de soluciones al problema (\ref{eq06-10-13 2}). El objetivo principal de la tercera parte es investigar soluciones positivas para ecuaciones elípticas fraccionarias \begin{equation}\label{eq06-10-13 3} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=0,\quad & x\in\Omega\setminus\mathcal{C},\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta) \ } \lim_{x\in\Omega\setminus\mathcal{C}, \ x\to\mathcal{C}}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$ y $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, $\mathcal{C}\subset \Omega$ es el frontera de dominio $G$ que es $C^2$ y satisface $\bar G\subset\Omega$. Consideramos la existencia de soluciones positivas para el problema (\ref{eq06-10-13 3}). Mas aún, analizamos la unicidad, el comportamiento asimptótico y la no existencia al problema (\ref{eq06-10-13 3}). En la cuarta parte, estudiamos la existencia de soluciones débiles de (F) $ (-\Delta)^\alpha u+g(u)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$ el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\alpha\in(0,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g$ es una función no decreciente satisfaciendo algunas hipótesis extras. Cuando $g$ satisface una condición de integrabilidad subcrítica, probamos la existencia y unicidad de una solución débil para el problema (F) para cualquier medida. En el caso donde $\nu$ es una masa de Dirac, caracterizamos el comportamiento asimptótico de soluciones a (F). Asimismo, cuando $g(r)=|r|^{k-1}r$ con $k$ supercrítico, mostramos que una condición de absoluta continuidad de la medida con respecto a alguna capacidad de Bessel es una condición necesaria y suficiente para que (F) sea resuelta. El propósito de la quinta parte es investigar soluciones singulares débiles y fuertes de ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales. Sean $p\in(0,\frac{N}{N-2\alpha})$, $\alpha\in(0,1)$, $k>0$ y $\Omega\subset \R^N(N\geq2)$ un dominio abierto acotado $C^2$ conteniendo a $0$ y $\delta_0$ la masa de Dirac en $0$, estudiamos que la solución débil de $(E)_k$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=k\delta_0 $ en $\Omega$ la cual se desvanece en $\Omega^c$ es una solución débil singular de $(E^*)$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=0 $ en $\Omega\setminus\{0\}$ con el mismo dato externo. Por otra parte, estudiamos el límite de soluciones débiles de $(E)_k$ cuando $k\to\infty$. Para $p\in(0, 1+\frac{2\alpha}{N}]$, el límite es infinito en $\Omega$. Para $p\in(1+\frac{2\alpha}N,\frac{N}{N-2\alpha})$, el límite es una solución fuertemente singular de $(E^*)$. Finalmente, en la sexta parte estudiamos la ecuación elíptica fraccionaria semilineal (E1) $(-\Delta)^\alpha u+\epsilon g(|\nabla u|)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$, el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\epsilon=\pm1$, $\alpha\in(1/2,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g:\R_+\mapsto\R_+$ es una funci\'on continua. Probamos la existencia de soluciones débiles para el problema (E1) cuando $g$ es subcrítico. Además, el comportamiento asimptótico y la unicidad de soluciones son descritas cuando $\epsilon=1$, $\nu$ es una masa de Dirac y $g(s)=s^p$ con $p\in(0,\frac)$.

Problemas de interface do tipo elípticos são frequentemente encontrados em dinâmicas de fluidos, ciências dos materiais, mecânica e outros campos de estudo. Em particular, o clássico Método de Interface Imersa (IIM) figura como uma das abordagens numéricas mais robustas para resolver problemas dessa categoria, o qual tem sido empregado recorrentemente para simular o comportamento de fluxos sobre corpos imersos em malhas cartesianas. Embora esse método seja eficiente e robusto, técnicas construídas com base no IIM impõem como restrições matemáticas diversos tipos de condições de salto na interface a fim de serem passíveis de utilização na prática. Nesta tese, introduzimos um novo método de Interface Imersa para resolver problemas elípticos com coeficientes descontínuos em malhas cartesianas. Diferentemente da maioria das formulações existentes que dependem de vários tipos de condições de salto para produzirem uma solução para o problema elíptico, o esquema aqui proposto reduz significativamente o número de restrições ao solucionar a EDP estudada, isto é, apenas os saltos de ordem zero das incógnitas devem ser fornecidos. A técnica apresentada combina esquemas de Diferenças Finitas, abordagem do Ponto Fantasma, modelos de correções e regras de interpolação em uma metodologia única e concisa. Além disso, o método proposto é capaz de produzir soluções de alta ordem, incluindo cenários onde há poucos dados disponíveis onde o quesito alta precisão é indispensável. A robustez e a precisão do método proposto são verificadas através de uma variedade de experimentos numéricos envolvendo diversos problemas elípticos com interfaces arbitrárias. Finalmente, a partir dos testes numéricos conduzidos, é possível concluir que o método projetado produz aproximações de alta ordem a partir de um número muito condensado de restrições matemáticas. / Elliptic interface problems are often encountered in fluid dynamics, material sciences, mechanics and other relevant fields of study. In particular, the well-known Immersed Interface Method (IIM) figures among the most effective approaches for solving non-trivial problems, where the method is traditionally used to simulate the flow behavior over complex bodies immersed in a cartesian mesh. Although their powerfulness and versatility, techniques that are built in light of the IIM impose as constraints different types of jump conditions at the interface in order to be properly managed and applicable for specific purposes. In this thesis, we introduce a novel Immersed Interface Method for solving Elliptic problems with discontinuous coefficients on cartesian grids. Different from most existing formulations that rely on various jump conditions types to get a valid solution, the present scheme reduces significatively the number of constraints when solving the PDE problem, i.e., only the ordinary jumps of the unknowns are required to be given, a priori. Our technique combines Finite Difference schemes, Ghost node strategy, correction models, and interpolation rules into a unified and concise methodology. Moreover, the method is capable of producing high-order solutions, succeeding in many practical scenarios with little available data wherein high precision is indispensable. We attest the robustness and the accuracy of the proposed method through a variety of numerical experiments involving several Elliptic problems with arbitrary interfaces. Finally, from the conducted numerical tests, we verify that the designed method produces high-order approximations from a very limited number of valid jump constraints.

Sistemas criptográficos como o RSA e o Diffie-Hellman sobre Curvas Elípticas (DHCE) têm fundamento em problemas computacionais considerados difíceis, por exemplo, o problema do logaritmo (PLD) e o problema da fatoração de inteiros (PFI). Diversos trabalhos têm relacionado a segurança desses sistemas com os problemas subjacentes. Também é investigada a segurança do LSB (bit menos significativo) da chave secreta no DHCE (no RSA é o LSB da mensagem) com relação à segurança de toda a chave. Nesses trabalhos são apresentados algoritmos que conseguem inverter os sistemas criptográficos citados fazendo uso de oráculos que predizem o LSB. Nesta dissertação, fazemos a implementação de dois desses algoritmos. Identificamos parâmetros críticos e mudamos a amostragem do formato original. Com essa mudança na amostragem conseguimos uma melhora significativa nos tempos de execução. Um dos algoritmos (ACGS), para valores práticos do RSA, era mais lento que a solução para o PFI, com nosso resultado passou a ser mais veloz. Ainda, mostramos como provas teóricas podem não definir de maneira precisa o tempo de execução de um algoritmo. / Cryptographic systems like RSA and Elliptic Curve Diffie-Hellman (DHCE) is based on computational problems that are considered hard, e.g. the discrete logarithm (PLD) and integer factorization (PFI) problems. Many papers investigated the relationship between the security of these systems to the computational difficulty of the underlying problems. Moreover, they relate the bit security, actually the LSB (Least Significant Bit), of the secret key in the DHCE and the LSB of the message in the RSA, to the security of the whole key. In these papers, algorithms are presented to invert these cryptographic systems making use of oracles that predict the LSB. In this dissertation we implement two of them. Critical parameters are identified and the original sampling is changed. With the modified sampling we achieve an improvement in the execution times. For practical values of the RSA, the algorithm ACGS becomes faster than the PFI. Moreover, we show how theoretical proofs may lead to inaccurate timing estimates.

Atualmente, a segurança da informação é um assunto muito discutido e alvo de muitos estudos. É imprescindível o uso de mecanismos de segurança em qualquer tipo de comunicação eletrônica, pois as mensagens trocadas são, muitas vezes, sigilosas e carregam informações valiosas. Com o poder computacional cada vez maior e o aparecimento de algoritmos que ameaçam a segurança de alguns sistemas criptográficos, os pesquisadores estão estudando novas técnicas e métodos para a elaboração de cripto sistemas mais seguros e mais robustos. Uma das teorias mais estudadas atualmente promete fazer parte da próxima geração de cripto sistemas. Essa teoria, conhecida por teoria de curvas elípticas, foi inicialmente proposta por Victor Miller e Neal Koblitz. Um cripto sistema baseado em curvas elípticas é capaz de oferecer segurança comparável a cripto sistemas já consagrados tal como o RSA, porém com chaves muito menores. A teoria de curvas elípticas é bastante extensa e as técnicas envolvidas têm sido estudadas para o desenvolvimento de novos cripto sistemas. Uma dessas técnicas é o emparelhamento bilinear. Recentemente descobriu-se que emparelhamentos poderiam ser usados em cripto sistemas. Desde então, os emparelhamentos têm sido utilizados em aplicações tais como criptografia baseada em identidade e assinaturas curtas. Dentre os emparelhamentos existentes, o de Tate merece destaque por oferecer algumas vantagens, sendo uma delas a facilidade de implementação.