Este trabalho estuda a possibilidade de se aprofundar o conceito de divisão Euclidiana, no Ensino Fundamental, de modo a evidenciar a relevância e o significado para o resto. Oferece algumas considerações sobre a divisão, além de uma análise de vários livros didáticos, dissertações de mestrado e tese de doutorado sobre o tema. Apresenta uma proposta didática baseada nos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval e nos Cenários para Investigação, de Ole Skovsmose. Essa proposta foi implementada e validada em uma turma do 7º Ano de uma escola municipal de Garibaldi, RS. A análise dos registros coletados e dos diálogos estabelecidos mostra que a sequência didática foi bem sucedida tanto nos avanços logrados pelos alunos na compreensão dos conteúdos, quanto no engajamento com a proposta, levantamento de hipóteses, elaboração de conclusões e justificativas. / In this work we study the possibility of enhancing the Euclidian division concept in high school level in order to evidence the relevance and meaning to the remainder. We offer some considerations about the division, beyond of an analysis of various text books, Masters degree dissertations and Ph.D theses related to this subject. We present a didactic proposal based on Raymond Duval’s Registers of Semiotic Representation and Ole Skovsmose’s Investigation Scenarios. This proposal was implemented and validated with a 7th year class of a municipal school in Garibaldi, RS. The analysis of the collected data and actual dialogs show that the didactic sequence was successful regarding the contents comprehension advancement obtained by the students as well as the participation with the proposal, the confection of hypotheses and the elaboration of conclusions and justifications.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O atual trabalho tem como objetivo principal estruturar estudantes, professores e amantes da matemÃtica para a melhor compreensÃo, interpretaÃÃo e resoluÃÃo de problemas que venham a ser solucionados usando-se as EquaÃÃes Diofantinas. Para isso, foram usadas tÃcnicas como o uso de inequaÃÃes e o mÃtodo paramÃtrico que sÃo conteÃdos estudados pelos professores do Ensino Fundamental e MÃdio. TambÃm foi utilizada para isso a apresentaÃÃo de vÃrios exemplos, todos resolvidos, que servirÃo como objeto de estudo para professores, universitÃrios, estudantes escolares e amantes da matemÃtica. No primeiro capÃtulo abordaremos os fatos histÃricos de grandes matemÃticos que contribuÃram com o desenvolvimento das EquaÃÃes Diofantinas. Jà no segundo capÃtulo, vamos conhecer melhor a essÃncia da Teoria Elementar dos NÃmeros, apresentando, demonstrando e exemplificando as ferramentas matemÃticas que serÃo utilizadas na resoluÃÃo das EquaÃÃes Diofantinas. Por fim, no terceiro capÃtulo, introduziremos as EquaÃÃes Diofantinas e os mÃtodos de determinaÃÃo de soluÃÃes das mesmas, aplicando-as em situaÃÃes-problema do cotidiano. A conclusÃo desse trabalho enfatiza a importÃncia da compreensÃo algÃbrica e geomÃtrica das EquaÃÃes Diofantinas, e que o contato com problemas desta Ãrea contribua para que o leitor desenvolva de modo criativo, suas habilidades cognitivas. à importante ressaltar que a introduÃÃo à resoluÃÃo de problemas dessa natureza nÃo necessita de conhecimentos superiores, podendo ser abordado no Ensino Fundamental e MÃdio. / The current work has as objective main to structuralize students, professors and loving of the mathematics for the best understanding, interpretation and resolution of problems that come to be solved using the Diofantinas Equations. For this, they had been used techniques as the use of inequalities and the parametric method that are contents studied for the professors of Basic and Average Education. Also the presentation of some examples, all decided, that they will serve as object of study for professors, collegeâs student was used for this, pertaining to school and loving students of the mathematics. In the first chapter we will approach the facts historical of great mathematicians who had contributed with the development of the Diofantinas Equations. No longer according to chapter, we go to better know the essence of the Elementary Theory of the Numbers, presenting, demonstrating and exemplifying the mathematical tools that will be used in the resolution of the Diofantinas Equations. Finally, in the third chapter, we will introduce the Diofantinas Equations and the methods of determination of solutions of the same one, applying them in situation-problem of the daily one. The conclusion of this work emphasizes the importance of the algebraic and geometric understanding of the Diofantinas Equations, and that the contact with problems of this area contributes so that the reader develops in creative way, its cognitive abilities. It is important to stand out that the introduction to the resolution of problems of this nature does not need superior knowledge, being able to be boarded in Basic and Average education.

Submitted by Kamila Costa (kamilavasconceloscosta@gmail.com) on 2015-06-18T21:11:32Z No. of bitstreams: 1 Dissertação-Luiz C C Mendes.pdf: 1127626 bytes, checksum: 3867dce3c1616f07fa4984ef6374d5d5 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-07-06T18:18:27Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação-Luiz C C Mendes.pdf: 1127626 bytes, checksum: 3867dce3c1616f07fa4984ef6374d5d5 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-07-06T18:22:43Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação-Luiz C C Mendes.pdf: 1127626 bytes, checksum: 3867dce3c1616f07fa4984ef6374d5d5 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-07-06T18:22:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação-Luiz C C Mendes.pdf: 1127626 bytes, checksum: 3867dce3c1616f07fa4984ef6374d5d5 (MD5) Previous issue date: 2015-02-04 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This paper aims to introduce students and teachers of basic mathematical education some resolutions of problems in the field of arithmetic which can benefit the teachinglearning process. Initially, it will be addressed the divisibility with their properties and criteria. This is done after a presentation of Euclidean division and its applications in basic education. Moreover, it will be presented a brief theoretical background based on the concept and the operational properties of modular congruence with their residue classes, followed by their applications. Finally, it will be presented a brief history of the numbers in the calendars. / A presente dissertação tem como objetivo principal apresentar a alunos e professores de matemática do ensino básico algumas resoluções de problemas no campo da aritmética que pode beneficiar o processo ensino-aprendizagem. Serão abordados inicialmente a divisibilidade, com suas propriedades e seus critérios, após apresentação da divisão euclidiana e suas aplicações no ensino básico. Além disso, será apresentado um breve embasamento teórico, pautado no conceito e nas propriedades operacionais da congruência modular com suas classes residuais, seguido de suas aplicações. No final, será feito um breve histórico dos números nos calendários.

Este trabalho estuda a possibilidade de se aprofundar o conceito de divisão Euclidiana, no Ensino Fundamental, de modo a evidenciar a relevância e o significado para o resto. Oferece algumas considerações sobre a divisão, além de uma análise de vários livros didáticos, dissertações de mestrado e tese de doutorado sobre o tema. Apresenta uma proposta didática baseada nos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval e nos Cenários para Investigação, de Ole Skovsmose. Essa proposta foi implementada e validada em uma turma do 7º Ano de uma escola municipal de Garibaldi, RS. A análise dos registros coletados e dos diálogos estabelecidos mostra que a sequência didática foi bem sucedida tanto nos avanços logrados pelos alunos na compreensão dos conteúdos, quanto no engajamento com a proposta, levantamento de hipóteses, elaboração de conclusões e justificativas. / In this work we study the possibility of enhancing the Euclidian division concept in high school level in order to evidence the relevance and meaning to the remainder. We offer some considerations about the division, beyond of an analysis of various text books, Masters degree dissertations and Ph.D theses related to this subject. We present a didactic proposal based on Raymond Duval’s Registers of Semiotic Representation and Ole Skovsmose’s Investigation Scenarios. This proposal was implemented and validated with a 7th year class of a municipal school in Garibaldi, RS. The analysis of the collected data and actual dialogs show that the didactic sequence was successful regarding the contents comprehension advancement obtained by the students as well as the participation with the proposal, the confection of hypotheses and the elaboration of conclusions and justifications.

Este trabalho estuda a possibilidade de se aprofundar o conceito de divisão Euclidiana, no Ensino Fundamental, de modo a evidenciar a relevância e o significado para o resto. Oferece algumas considerações sobre a divisão, além de uma análise de vários livros didáticos, dissertações de mestrado e tese de doutorado sobre o tema. Apresenta uma proposta didática baseada nos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval e nos Cenários para Investigação, de Ole Skovsmose. Essa proposta foi implementada e validada em uma turma do 7º Ano de uma escola municipal de Garibaldi, RS. A análise dos registros coletados e dos diálogos estabelecidos mostra que a sequência didática foi bem sucedida tanto nos avanços logrados pelos alunos na compreensão dos conteúdos, quanto no engajamento com a proposta, levantamento de hipóteses, elaboração de conclusões e justificativas. / In this work we study the possibility of enhancing the Euclidian division concept in high school level in order to evidence the relevance and meaning to the remainder. We offer some considerations about the division, beyond of an analysis of various text books, Masters degree dissertations and Ph.D theses related to this subject. We present a didactic proposal based on Raymond Duval’s Registers of Semiotic Representation and Ole Skovsmose’s Investigation Scenarios. This proposal was implemented and validated with a 7th year class of a municipal school in Garibaldi, RS. The analysis of the collected data and actual dialogs show that the didactic sequence was successful regarding the contents comprehension advancement obtained by the students as well as the participation with the proposal, the confection of hypotheses and the elaboration of conclusions and justifications.

Submitted by FERNANDA MACHADO PINHEIRO null (fer.mat@globo.com) on 2017-11-29T17:20:40Z No. of bitstreams: 1 Fernanda Machado Pinheiro_Dissertação_Profmat.pdf: 3644141 bytes, checksum: b0a8a2ea756f3df015ca157c9b1aec9a (MD5) / Approved for entry into archive by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br) on 2017-11-29T18:58:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 pinheiro_fm_me_sjrp.pdf: 3644141 bytes, checksum: b0a8a2ea756f3df015ca157c9b1aec9a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-29T18:58:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 pinheiro_fm_me_sjrp.pdf: 3644141 bytes, checksum: b0a8a2ea756f3df015ca157c9b1aec9a (MD5) Previous issue date: 2017-11-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Explorar o jogo “Avançando com o resto” sob a perspectiva da resolução de problemas constitui-se num recurso didático que favorece consolidar e ampliar o conhecimento dos alunos sobre diversos conteúdos matemáticos, em particular, o algoritmo da divisão euclidiana. Escrevemos a fundamentação teórica deste trabalho a partir de problemas que representam situações vivenciadas no jogo. Conceituamos e demonstramos os principais teoremas e resultados relacionados à divisão euclidiana, como Múltiplos e Divisores de números naturais, Paridade, Números primos e compostos, Congruência (aritmética modular), Sistema de Numeração Decimal e Critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5 e 6. Este estudo nos permitiu apresentar uma sugestão de atividade direcionada às turmas do 5º ano do Ensino Fundamental, explorando os diferentes significados da divisão e o estudo reflexivo do algoritmo, planejada de acordo com as orientações curriculares presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais e no Currículo de Matemática do Estado de São Paulo. Considerando as dificuldades encontradas no ensino desta operação matemática e o potencial lúdico do jogo para aprendizagem, apresentamos uma possibilidade de abordagem significativa do algoritmo da divisão euclidiana, envolvendo e motivando os alunos para a aprendizagem de conceitos, competências e habilidades inerentes ao Currículo de Matemática. / Exploring the game "Advancing with the rest" from the perspective of problem solving is a didactic resource that favours consolidating and expanding students' knowledge about the various mathematical contents, in particular algorithm of the Euclidean division. We write the theoretical basis of this study from problems that represent situations experienced in the game. We conceptualize and demonstrate the main theorems and results related to the Euclidean division, such as Multiples and Divisors of Natural Numbers, Parity, Prime and Compound Numbers, Congruence (Modular Arithmetic), Decimal Numbering System and Divisibility criteria by 2, 3, 4, 5 e 6. This study allowed us to present a suggestion of activity directed to the 5th grade classes of Elementary School, exploring the different meanings of the division and the reflexive study of the algorithm, planned according to the curricular guidelines present in National Curricular Parameters and the Mathematics São Paulo State Curriculum. Considering the difficulties encountered in teaching this mathematical operation and the playful potential of the game for learning, we present a possibility of a significant approach to the algorithm of the Euclidean division, involving and motivating students to learn concepts, skills and abilities inherent to the Mathematics Curriculum.

[pt] O aprendizado das quatro operações fundamentais, sobretudo a divisão, é um desafio para muitos educadores e estudantes na Educação Básica, a aquisição deste algoritmo muitas vezes é um processo mecânico e sem sentido. Este trabalho visa disponibilizar, instigar e oportunizar estratégias para auxiliar o processo de ensino-aprendizado, que muitas vezes se torna monótono e sem sentido, para que se torne algo prazeroso e significativo através de resoluções de problemas abordados através de sequências didáticas, nas quais o educando possa refletir sobre seu aprendizado e tornar-se agente ativo no seu processo de aprendizagem. Com esse intuito, fazemos um estudo de como a divisão é parte intuitiva do processo de aquisição do conhecimento humano, e que a seu modo o ser humano buscou estratégias para desenvolvê-la. Em seguida, fazemos um estudo das metodologias de George Pólya e Antoni Zabala, que tratam, respectivamente, de resoluções de problemas e de sequências didáticas. Além disso, propomos uma situação-problema abordando essas metodologias. Enfim, apresentamos um produto educacional que foi elaborado de maneira independente como fruto de todo o estudo desta dissertação. Ele tem como objetivo sugerir atividades que proporcionem aos seus educandos um momento lúdico, cercado de aventuras e de desafios na aprendizagem de Matemática. / [en] Learning the four fundamental operations, especially division, is a challenge for many educators and students in Basic Education, acquiring this algorithm is often a mechanical and meaningless process. This work aims to provide, instigate and provide opportunities for strategies to assist the teaching-learning process, which often becomes monotonous and meaningless, so that it becomes something pleasurable and meaningful through problem solving addressed through didactic sequences, in which the students can reflect on their learning and become an active agent in their learning process. With this aim, we study how division is an intuitive part of the process of acquiring human knowledge, and that in its own way, human beings have sought strategies to develop it. Next, we study the methodologies of George Pólya and Antoni Zabala, which deal, respectively, with problem solving and didactic sequences. Furthermore, we propose a problem situation addressing these methodologies. Finally, we present an educational product that was prepared independently as a result of the entire study of this dissertation. It aims to suggest activities that provide students with a playful moment, surrounded by adventures and challenges in learning Mathematics.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-05-10T13:29:13Z No. of bitstreams: 1 leticiavasconcellosdesouza.pdf: 334599 bytes, checksum: ecaf1358f31b66f2a2e8740f4db33535 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-06-15T13:12:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 leticiavasconcellosdesouza.pdf: 334599 bytes, checksum: ecaf1358f31b66f2a2e8740f4db33535 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-15T13:12:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 leticiavasconcellosdesouza.pdf: 334599 bytes, checksum: ecaf1358f31b66f2a2e8740f4db33535 (MD5) Previous issue date: 2015-08-14 / Este trabalho é voltado para professores que atuam nas séries finais do Ensino Fundamental. Tem como objetivo mostrar que é possível introduzir o estudo de Congruência Modular nesse segmento de ensino, buscando facilitar a resolução de diversas situações-problema. A motivação para escolha desse tema é que há a possibilidade de tornar mais simples a resolução de muitos exercícios trabalhados nessa etapa de ensino e que são inclusive cobrados em provas de admissão à escolas militares e em olimpíadas de Matemática para esse nível de escolaridade. Inicialmente é feita uma breve síntese do conjunto dos Números Inteiros, com suas operações básicas, relembrando também o conceito de números primos, onde é apresentado o crivo de Eratóstenes; o mmc (mínimo múltiplo comum) e o mdc (máximo divisor comum), juntamente com o Algoritmo de Euclides. Apresenta-se alguns exemplos de situações-problema e exercícios resolvidos envolvendo restos deixados por uma divisão para então, em seguida, ser dada a definição de congruência modular. Finalmente, são apresentadas sugestões de exercícios para serem trabalhados em sala de aula, com uma breve resolução. / The aims of this work is teachers working in the final grades of elementary school. It aspires to show that it is possible to introduce the study of Modular congruence this educational segment, seeking to facilitate the resolution of numerous problem situations. The motivation for choosing this theme is that there is the possibility to make it simpler to solve many problems worked at this stage of education and are even requested for admittance exams to military schools and mathematical Olympiads for that level of education. We begin with a brief summary about integer numbers, their basic operations, also recalling the concept of prime numbers, where the sieve of Eratosthenes is presented; the lcm (least common multiple) and the gcd (greatest common divisor), along with the Euclidean algorithm. We present some examples of problem situations and solved exercises involving debris left by a division and then, we give the definition of modular congruence . Finally , we present suggestions for exercises to be worked in the classroom, with a short resolution.