Visible and near-infrared diffuse reflectance spectroscopy has been demonstrated to be a fast and cheap tool for estimating a large number of chemical and physical soil properties, and effective features extracted from spectra are crucial to correlating with these properties. We adopt a novel methodology for feature extraction of soil spectroscopy based on fractal geometry. The spectrum can be divided into multiple segments with different step–window pairs. For each segmented spectral curve, the fractal dimension value was calculated using variation estimators with power indices 0.5, 1.0 and 2.0. Thus, the fractal feature can be generated by multiplying the fractal dimension value with spectral energy. To assess and compare the performance of new generated features, we took advantage of organic soil samples from the large-scale European Land Use/Land Cover Area Frame Survey (LUCAS). Gradient-boosting regression models built using XGBoost library with soil spectral library were developed to estimate N, pH and soil organic carbon (SOC) contents. Features generated by a variogram estimator performed better than two other estimators and the principal component analysis (PCA). The estimation results for SOC were coefficient of determination (R2) = 0.85, root mean square error (RMSE) = 56.7 g/kg, the ratio of percent deviation (RPD) = 2.59; for pH: R2 = 0.82, RMSE = 0.49 g/kg, RPD = 2.31; and for N: R2 = 0.77, RMSE = 3.01 g/kg, RPD = 2.09. Even better results could be achieved when fractal features were combined with PCA components. Fractal features generated by the proposed method can improve estimation accuracies of soil properties and simultaneously maintain the original spectral curve shape.

We study anomalous diffusion on fractals with a static external field applied. We utilise the master equation to calculate particle distributions and from that important quantities as for example the mean square displacement <r^2(t)>. Applying different bias amplitudes on several regular Sierpinski carpets we obtain maximal drift velocities for weak field strengths. According to <r^2(t)>~t^(2/d_w), we determine random walk dimensions of d_w<2 for applied external fields. These d_w corresponds to superdiffusion, although diffusion is hindered by the structure of the carpet, containing dangling ends. This seems to result from two competing effects arising within an external field. Though the particles prefer to move along the biased direction, some particles get trapped by dangling ends. To escape from there they have to move against the field direction. Due to the by the bias accelerated particles and the trapped ones the probability distribution gets wider and thus d_w<2. / In dieser Arbeit untersuchen wir anomale Diffusion auf Fraktalen unter Einwirkung eines statisches äußeres Feldes. Wir benutzen die Mastergleichung, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen zu berechnen, um daraus wichtige Größen wie das mittlere Abstandsquadrat <r^2(t)> zu bestimmen. Wir wenden unterschiedliche Feldstärken bei verschiedenen regelmäßigen Sierpinski-Teppichen an und erhalten maximale Driftgeschwindigkeiten für schwache Feldstärken. Über <r^2(t)>~t^{2/d_w} bestimmen wir die Random-Walk-Dimension d_w als d_w<2. Dieser Wert für d_w entspricht der Superdiffusion, obwohl der Diffusionsprozess durch Strukturen des Teppichs, wie Sackgassen, behindert wird. Es schient, dass dies das Ergebnis zweier konkurrierender Effekte ist, die durch das Anlegen eines äußeren Feldes entstehen. Einerseits bewegen sich die Teilchen bevorzugt entlang der Feldrichtung. Andererseits gelangen einige Teilchen in Sackgassen. Um die Sackgassen, die in Feldrichtung liegen, zu verlassen, müssen sich die Teilchen entgegen der Feldrichtung bewegen. Somit sind die Teilchen eine gewisse Zeit in der Sackgasse gefangen. Infolge der durch das äußere Feld beschleunigten und der gefangenen Teilchen, verbreitert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen und somit ist d_w<2.

The way in which macroscopic transport results from microscopic dynamics is one of the important questions in statistical physics. Dynamical systems theory play a key role in a resent advance in this direction. Offering relatively simple models which are easy to study, dynamical systems theory became a standard branch of modern nonequilibrium statistical physics. In the present work the deterministic diffusion generated by simple dynamical systems is considered. The deterministic nature of these systems is more clearly expressed through the dependencies of the transport quantities as functions of systems parameters. For fully hyperbolic dynamical systems these dependencies were found to be highly irregular and, in fact, fractal. The main focus in this work is on nonhyperbolic and on intermittent dynamical systems. First, the climbing sine map is considered which is a nonhyperbolic system with many physical applications. Then we treat anomalous dynamics generated by a paradigmatic subdiffusive map. In both cases these systems display deterministic transport which, under variation of control parameters, is fractal. For both systems we give an explanation of the observed phenomena. The third part of the thesis is devoted to the relation between chaotic and transport properties of dynamical systems. This question lies at the heart of dynamical systems theory. For closed hyperbolic dynamical systems the Pesin theorem links the sum of positive Lyapunov exponents to the Kolmogorov-Sinai entropy. For open hyperbolic systems the escape rate formula is valid. In this work we have formulated generalizations of these formulas for a class of intermittent dynamical systems where the chaotic properties are weaker.

A fundamental challenge is to understand nonequilibrium statistical mechanics starting from microscopic chaos in the equations of motion of a many-particle system. In this thesis we summarize recent theoretical advances along these lines. We focus on two different approaches to nonequilibrium transport: One considers Hamiltonian dynamical systems under nonequilibrium boundary conditions, another one suggests a non-Hamiltonian approach to nonequilibrium situations created by external electric fields and by temperature or velocity gradients. A surprising result related to the former approach is that in simple low-dimensional periodic models the deterministic transport coefficients are typically fractal functions of control parameters. These fractal transport coefficients yield the first central theme of this thesis. We exemplify this phenomenon by deterministic diffusion in a simple chaotic map. We then construct an arsenal of analytical and numerical methods for computing further transport coefficients such as electrical conductivities andchemical reaction rates. These methods are applied to hierarchies of chaotic dynamical systems that are successively getting more complex, starting from abstract one-dimensional maps generalizing a simple random walk on the line up to particle billiards that should be directly accessible in experiments. In all cases, the resulting transport coefficients turn out to be either strictly fractal, or at least to be profoundly irregular. The impact of random perturbations on these quantities is also investigated. We furthermore provide some access roads towards a physical understanding of these fractalities. The second central theme is formed by a critical assessment of the non-Hamiltonian approach to nonequilibrium transport. Here we consider situations where the nonequilibrium constraints pump energy into a system, hence there must be some thermal reservoir that prevents the system from heating up. For this purpose a deterministic and time-reversible modeling of thermal reservoirs was proposed in form of Gaussian and Nose-Hoover thermostats. This approach yielded simple relations between fundamental quantities of nonequilibrium statistical mechanics and of dynamical systems theory. Our goal is to critically assesses the universality of these results. As a vehicle of demonstration we employ the driven periodic Lorentz gas, a toy model for the classical dynamics of an electron in a metal under application of an electric field. Applying different types of thermal reservoirs to this system we compare the resulting nonequilibrium steady states with each other. Along the same lines we discuss an interacting many-particle system under shear and heat. Finally, we outline an unexpected relationship between deterministic thermostats and active Brownian particles modeling biophysical cell motility.

In der Statistik und der Mathematik ist die Normalverteilung der am meisten verbreitete, stochastische Term für die Mehrheit der statistischen Modelle. Wir zeigen, dass der entsprechende stochastische Prozess, die Brownsche Bewegung, drei entscheidende empirische Beobachtungen nicht abbildet: schwere Ränder, Langzeitabhängigkeiten und Skalierungsgesetze. Ein selbstähnlicher Prozess, der in der Lage ist Langzeitabhängigkeiten zu modellieren, ist die Gebrochene Brownsche Bewegung, welche durch die Faltung der Inkremente im Limit nicht normalverteilt sein muss. Die Inkremente der Gebrochenen Brownschen Bewegung können durch einen Parameter H, dem Hurst Exponenten, Langzeitabhängigkeiten darstellt werden. Für die Gebrochene Brownsche Bewegung müssten die Skalierungs-(Hurst-) Exponenten über die Momente verschiedener Ordnung konstant sein. Empirisch beobachten wir variierende Hölder-Exponenten, die multifraktales Verhalten implizieren. Wir erklären dieses multifraktale Verhalten durch die Änderung des alpha-stabilen Indizes der alpha-stabilen Verteilung, indem wir Filter für Saisonalitäten und Langzeitabhängigkeiten über verschiedene Zeitfrequenzen anwenden, startend bei 1-minütigen Hochfrequenzdaten. Durch die Anwendung eines Filters für die Langzeitabhängigkeit zeigen wir, dass die Residuen des stochastischen Prozesses geringer Zeitfrequenz (wöchentlich) durch die alpha-stabile Bewegung beschrieben werden können. Dies erlaubt es uns, den empirischen, hochfrequenten Datensatz auf die niederfrequente Zeitfrequenz zu skalieren. Die generierten wöchentlichen Daten aus der Frequenz-Reskalierungs-Methode (FRM) haben schwerere Ränder als der ursprüngliche, wöchentliche Prozess. Wir zeigen, dass eine Teilmenge des Datensatzes genügt, um aus Risikosicht bessere Vorhersagen für den gesamten Datensatz zu erzielen. Im Besonderen wäre die Frequenz-Reskalierungs-Methode (FRM) in der Lage gewesen, die seltenen Events der Finanzkrise 2008 zu modellieren. / Coming from a sphere in statistics and mathematics in which the Normal distribution is the dominating underlying stochastic term for the majority of the models, we indicate that the relevant diffusion, the Brownian Motion, is not accounting for three crucial empirical observations for financial data: Heavy tails, long memory and scaling laws. A self-similar process, which is able to account for long-memory behavior is the Fractional Brownian Motion, which has a possible non-Gaussian limit under convolution of the increments. The increments of the Fractional Brownian Motion can exhibit long memory through a parameter H, the Hurst exponent. For the Fractional Brownian Motion this scaling (Hurst) exponent would be constant over different orders of moments, being unifractal. But empirically, we observe varying Hölder exponents, the continuum of Hurst exponents, which implies multifractal behavior. We explain the multifractal behavior through the changing alpha-stable indices from the alpha-stable distributions over sampling frequencies by applying filters for seasonality and time dependence (long memory) over different sampling frequencies, starting at high-frequencies up to one minute. By utilizing a filter for long memory we show, that the low-sampling frequency process, not containing the time dependence component, can be governed by the alpha-stable motion. Under the alpha-stable motion we propose a semiparametric method coined Frequency Rescaling Methodology (FRM), which allows to rescale the filtered high-frequency data set to the lower sampling frequency. The data sets for e.g. weekly data which we obtain by rescaling high-frequency data with the Frequency Rescaling Method (FRM) are more heavy tailed than we observe empirically. We show that using a subset of the whole data set suffices for the FRM to obtain a better forecast in terms of risk for the whole data set. Specifically, the FRM would have been able to account for tail events of the financial crisis 2008.

Dynamic light scattering (DLS) is a method to size submicron particles by measuring their thermal motion (diffusion) in suspensions and emulsions. However, the validity of the Stokes-Einstein equation that relates the diffusion coefficient and the particle size is limited to spherical particles and very low concentrations. Within this thesis, DLS is used for the characterization of suspensions of pyrogenic silica which consists of fractal-like aggregates composed of sintered spherical primary particles. These structural features clearly complicate the understanding of DLS experiments and have been a severe obstacle to employing DLS as routine standard tool for the characterization of pyrogenic silica. The main objective of this thesis is therefore to evaluate the application of DLS in product development and quality assurance of pyrogenic silica industry, what essentially means to identify those structural properties of fractal aggregates which are measurable with DLS and to quantify the method’s sensitivity to changes in these properties. The investigations presented here are split up into four parts, simulations that establish a relation between structural and hydrodynamic properties, experiments validating the simulation results, the characterization of concentrated suspensions and the application-oriented analysis of DLS data for specific industrially relevant measurement tasks. / Die Dynamische Lichtstreuung (DLS) ist eine Messmethode zur Größenbestimmung submikroner Partikel. Dabei wird primär die stochastische Bewegung der Teilchen (Diffusion) in Suspensionen und Emulsionen bewertet. Die Stokes-Einstein Gleichung, die das Verhältnis zwischen gemessenem Diffusionskoeffizienten und Partikelgröße wiedergibt, ist jedoch nur für kugelförmige Teilchen, die in sehr niedriger Konzentration vorliegen, gültig. In der vorliegenden Arbeit wird die dynamische Lichtstreuung zur Charakterisierung von Suspensionen pyrogener Kieselsäure eingesetzt. Diese besteht aus fraktalen Aggregaten, die wiederum aus versinterten aber meist kugelförmigen Primärpartikeln zusammengesetzt sind. Diese strukturellen Eigenschaften erschweren die Anwendbarkeit der DLS bzw. die Interpretation der Messergebnisse und verhinderten bisher den Einsatz der DLS als Routinemethode zur Charakterisierung pyrogener Kieselsäuren. Das Hauptziel dieser Arbeit ist daher eine Bewertung der Möglichkeiten der DLS für die Produktentwicklung und Qualitätssicherung in der Herstellung pyrogener Kieselsäuren. Das bedeutet im Besonderen, dass sowohl die messbaren granulometrischen Eigenschaften als auch die Sensitivität der Methode bei Eigenschaftsänderungen ermittelt werden müssen. Die hier durchgeführten Arbeiten sind in vier Teile gegliedert: Simulationen, die eine Beziehung zwischen strukturellen und hydrodynamischen Eigenschaften herstellen, Experimente zur Validierung der Simulationsergebnisse, die Charakterisierung konzentrierter Suspensionen und die anwendungsorientierte Auswertung von DLS-Daten für spezifische industrierelevante Messaufgaben.

Understanding the connection of the atomic structure and the physical properties of materials remains one of the elementary questions of condensed-matter physics. One research line in this quest started with the discovery of quasicrystals by Shechtman et al. in 1982. It soon became clear that these materials with their 5-, 8-, 10- or 12-fold rotational symmetries, which are forbidden according to classical crystallography, can be described in terms of mathematical models for nonperiodic tilings of a plane proposed by Penrose and Ammann in the 1970s. Due to the missing translational symmetry of quasicrystals, till today only finite, relatively small systems or periodic approximants have been investigated by means of numerical calculations and theoretical results have mainly been obtained for one-dimensional systems. In this thesis we study d-dimensional quasiperiodic models, so-called labyrinth tilings, with separable Hamiltonians in the tight-binding approach. This method paves the way to study higher-dimensional, quantum mechanical solutions, which can be directly derived from the one-dimensional results. This allows the investigation of very large systems in two and three dimensions with up to 10^10 sites. In particular, we contemplate the class of metallic-mean sequences. Based on this model we focus on the electronic properties of quasicrystals with a special interest on the connection of the spectral and dynamical properties of the Hamiltonian. Hence, we investigate the characteristics of the eigenstates and wave functions and compare these with the wave-packet dynamics in the labyrinth tilings by numerical calculations and by a renormalization group approach in connection with perturbation theory. It turns out that many properties show a qualitatively similar behavior in different dimensions or are even independent of the dimension as e.g. the scaling behavior of the participation numbers and the mean square displacement of a wave packet. Further, we show that the structure of the labyrinth tilings and their transport properties are connected and obtain that certain moments of the spectral dimensions are related to the wave-packet dynamics. Besides this also the photonic properties are studied for one-dimensional quasiperiodic multilayer systems for oblique incidence of light, and we show that the characteristics of the transmission bands are related to the quasiperiodic structure. / Eine der elementaren Fragen der Physik kondensierter Materie beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen der atomaren Struktur und den physikalischen Eigenschaften von Materialien. Eine Forschungslinie in diesem Kontext begann mit der Entdeckung der Quasikristalle durch Shechtman et al. 1982. Es stellte sich bald heraus, dass diese Materialien mit ihren laut der klassischen Kristallographie verbotenen 5-, 8-, 10- oder 12-zähligen Rotationssymmetrien durch mathematische Modelle für die aperiodische Pflasterung der Ebene beschrieben werden können, die durch Penrose und Ammann in den 1970er Jahren vorgeschlagen wurden. Aufgrund der fehlenden Translationssymmetrie in Quasikristallen sind bis heute nur endliche, relativ kleine Systeme oder periodische Approximanten durch numerische Berechnungen untersucht worden und theoretische Ergebnisse wurden hauptsächlich für eindimensionale Systeme gewonnen. In dieser Arbeit werden d-dimensionale quasiperiodische Modelle, sogenannte Labyrinth-Pflasterungen, mit separablem Hamilton-Operator im Modell starker Bindung betrachtet. Diese Methode erlaubt es, quantenmechanische Lösungen in höheren Dimensionen direkt aus den eindimensionalen Ergebnissen abzuleiten und ermöglicht somit die Untersuchung von sehr großen Systemen in zwei und drei Dimensionen mit bis zu 10^10 Gitterpunkten. Insbesondere betrachten wir dabei quasiperiodische Folgen mit metallischem Schnitt. Basierend auf diesem Modell befassen wir uns im Speziellen mit den elektronischen Eigenschaften der Quasikristalle im Hinblick auf die Verbindung der spektralen und dynamischen Eigenschaften des Hamilton-Operators. Hierfür untersuchen wir die Eigenschaften der Eigenzustände und Wellenfunktionen und vergleichen diese mit der Dynamik von Wellenpaketen in den Labyrinth-Pflasterungen basierend auf numerischen Berechnungen und einem Renormierungsgruppen-Ansatz in Verbindung mit Störungstheorie. Dabei stellt sich heraus, dass viele Eigenschaften wie etwa das Skalenverhalten der Partizipationszahlen und der mittleren quadratischen Abweichung eines Wellenpakets für verschiedene Dimensionen ein qualitativ gleiches Verhalten zeigen oder sogar unabhängig von der Dimension sind. Zudem zeigen wir, dass die Struktur der Labyrinth-Pflasterungen und deren Transporteigenschaften sowie bestimmte Momente der spektralen Dimensionen und die Dynamik der Wellenpakete in Beziehung zueinander stehen. Darüber hinaus werden auch die photonischen Eigenschaften für eindimensionale quasiperiodische Mehrschichtsysteme für beliebige Einfallswinkel untersucht und der Verlauf der Transmissionsbänder mit der quasiperiodischen Struktur in Zusammenhang gebracht.

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Understanding the connection of the atomic structure and the physical properties of materials remains one of the elementary questions of condensed-matter physics. One research line in this quest started with the discovery of quasicrystals by Shechtman et al. in 1982. It soon became clear that these materials with their 5-, 8-, 10- or 12-fold rotational symmetries, which are forbidden according to classical crystallography, can be described in terms of mathematical models for nonperiodic tilings of a plane proposed by Penrose and Ammann in the 1970s. Due to the missing translational symmetry of quasicrystals, till today only finite, relatively small systems or periodic approximants have been investigated by means of numerical calculations and theoretical results have mainly been obtained for one-dimensional systems. In this thesis we study d-dimensional quasiperiodic models, so-called labyrinth tilings, with separable Hamiltonians in the tight-binding approach. This method paves the way to study higher-dimensional, quantum mechanical solutions, which can be directly derived from the one-dimensional results. This allows the investigation of very large systems in two and three dimensions with up to 10^10 sites. In particular, we contemplate the class of metallic-mean sequences. Based on this model we focus on the electronic properties of quasicrystals with a special interest on the connection of the spectral and dynamical properties of the Hamiltonian. Hence, we investigate the characteristics of the eigenstates and wave functions and compare these with the wave-packet dynamics in the labyrinth tilings by numerical calculations and by a renormalization group approach in connection with perturbation theory. It turns out that many properties show a qualitatively similar behavior in different dimensions or are even independent of the dimension as e.g. the scaling behavior of the participation numbers and the mean square displacement of a wave packet. Further, we show that the structure of the labyrinth tilings and their transport properties are connected and obtain that certain moments of the spectral dimensions are related to the wave-packet dynamics. Besides this also the photonic properties are studied for one-dimensional quasiperiodic multilayer systems for oblique incidence of light, and we show that the characteristics of the transmission bands are related to the quasiperiodic structure. / Eine der elementaren Fragen der Physik kondensierter Materie beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen der atomaren Struktur und den physikalischen Eigenschaften von Materialien. Eine Forschungslinie in diesem Kontext begann mit der Entdeckung der Quasikristalle durch Shechtman et al. 1982. Es stellte sich bald heraus, dass diese Materialien mit ihren laut der klassischen Kristallographie verbotenen 5-, 8-, 10- oder 12-zähligen Rotationssymmetrien durch mathematische Modelle für die aperiodische Pflasterung der Ebene beschrieben werden können, die durch Penrose und Ammann in den 1970er Jahren vorgeschlagen wurden. Aufgrund der fehlenden Translationssymmetrie in Quasikristallen sind bis heute nur endliche, relativ kleine Systeme oder periodische Approximanten durch numerische Berechnungen untersucht worden und theoretische Ergebnisse wurden hauptsächlich für eindimensionale Systeme gewonnen. In dieser Arbeit werden d-dimensionale quasiperiodische Modelle, sogenannte Labyrinth-Pflasterungen, mit separablem Hamilton-Operator im Modell starker Bindung betrachtet. Diese Methode erlaubt es, quantenmechanische Lösungen in höheren Dimensionen direkt aus den eindimensionalen Ergebnissen abzuleiten und ermöglicht somit die Untersuchung von sehr großen Systemen in zwei und drei Dimensionen mit bis zu 10^10 Gitterpunkten. Insbesondere betrachten wir dabei quasiperiodische Folgen mit metallischem Schnitt. Basierend auf diesem Modell befassen wir uns im Speziellen mit den elektronischen Eigenschaften der Quasikristalle im Hinblick auf die Verbindung der spektralen und dynamischen Eigenschaften des Hamilton-Operators. Hierfür untersuchen wir die Eigenschaften der Eigenzustände und Wellenfunktionen und vergleichen diese mit der Dynamik von Wellenpaketen in den Labyrinth-Pflasterungen basierend auf numerischen Berechnungen und einem Renormierungsgruppen-Ansatz in Verbindung mit Störungstheorie. Dabei stellt sich heraus, dass viele Eigenschaften wie etwa das Skalenverhalten der Partizipationszahlen und der mittleren quadratischen Abweichung eines Wellenpakets für verschiedene Dimensionen ein qualitativ gleiches Verhalten zeigen oder sogar unabhängig von der Dimension sind. Zudem zeigen wir, dass die Struktur der Labyrinth-Pflasterungen und deren Transporteigenschaften sowie bestimmte Momente der spektralen Dimensionen und die Dynamik der Wellenpakete in Beziehung zueinander stehen. Darüber hinaus werden auch die photonischen Eigenschaften für eindimensionale quasiperiodische Mehrschichtsysteme für beliebige Einfallswinkel untersucht und der Verlauf der Transmissionsbänder mit der quasiperiodischen Struktur in Zusammenhang gebracht.