J'ai souhaité dans cet ouvrage approfondir l'étude de certaines notions fondamentales qui sont au cœur de la théorie des rapports ou des proportions. Mon but est de montrer comment aux XIIIe et XIVe siècles se constitue une nouvelle théorie qui a pour objet premier le rapport (il semblerait que le rapport soit secondaire dans la théorie euclidienne au profit de la notion de proportion). À propos de ce rapport, les auteurs que j'ai étudiés se posent la question de sa nature (relation ou quantité), de ses divisions (en particulier en rapports rationnels et rapports irrationnels) et de sa dénomination (c'est-à-dire de la manière dont il convient de le nommer ; question épineuse quand il s'agit d'un rapport irrationnel). Nicole Oresme en fait même un objet de calcul dans son Algorismus proportionum, dont je propose une édition critique en annexe de cet ouvrage. Je montre ainsi comment cette théorie s'ancre à la fois dans la tradition des Éléments d'Euclide et dans celle de l'Arithmétique de Nicomaque transmise au monde latin par Boèce ; mais je montre aussi que cette théorie est nouvelle en ce qu'elle présente des glissements conceptuels (notamment à propos de l'irrationalité), mais aussi de nouveaux concepts (comme la notion de dénomination d'un rapport).

Pour résoudre un problème de mathématiques ou comprendre une démonstration, une figure bien choisie est parfois d’un grand secours. Ce fait souvent remarqué peut être vu comme un cas particulier d’un phénomène plus général. Utiliser une figure plutôt que des phrases, reformuler un problème sous la forme d’une équation, employer telles notations plutôt que telles autres : dans tous ces cas, en un sens, on ne fait que représenter sous une nouvelle forme ce qu’on sait déjà, et pourtant, cela peut permettre d’avancer. Comment est-ce possible ? Pour répondre à cette question, la première partie de cette thèse étudie ce qu’apporte un changement notationnel précis introduit par Leibniz à la fin du XVIIe siècle. La suite de ce travail analyse, et confronte à l’exemple précédent, plusieurs manières de penser les différences représentationnelles proposées dans la littérature philosophique récente. Herbert Simon, étudié dans la deuxième partie, s’appuie sur le modèle informatique des structures de données : deux représentations peuvent être « informationnellement » équivalentes, mais « computationnellement » différentes. Les logiciens Barwise et Etchemendy, étudiés dans la troisième partie, cherchent à élargir les concepts de la logique mathématique (en particulier ceux de syntaxe et de sémantique) aux diagrammes et figures. Enfin, certains philosophes des mathématiques contemporains, comme Kenneth Manders, remettent en cause la notion même de représentation, en soutenant qu’elle n’est pas éclairante pour comprendre l’usage de figures, formules ou autres supports externes en mathématiques. C’est à ces critiques qu’est consacrée la quatrième et dernière partie. / When solving a mathematical problem or reading a proof, drawing a well-chosen diagram may be very helpful. This well-known fact can be seen as an instance of a more general phenomenon. Using a diagram rather than sentences, reformulating a problem as an equation, choosing a particular notation rather than others : in all these cases, in a sense, we are only representing in a new form what we already knew; and yet, it can help us make progress. How is this possible? To address this question, the first part of this thesis explores the benefits afforded by a specific notational change introduced by Leibniz in the late seventeenth-century. The rest of this work analyses, and puts to the test of the preceding case study, several ways of understanding representational differences which have been put forward in the recent philosophical literature. Herbert Simon, studied in the second part, relies on a comparison with the notion of data structures in computer science: two representations, he writes, can be “informationally” equivalent yet “computationnally” different. The logicians Barwise and Etchemendy, studied in the third part, try to broaden the concepts of mathematical logic (in particular those of syntax and semantics) to cover diagrams and figures. Finally, some contemporary philosophers of mathematics, for instance Ken Manders, argue that the notion of representation itself is not helpful to understand the use of diagrams, formulas or other external reasoning tools in mathematics. Such arguments are the focus of the fourth (and last) part.

L'ensemble des travaux sur lesquels s'appuie la note de synthèse présente une unité évidente autour du thème de l'algèbre linéaire. Nous dégageons un autre type d'unité portant non pas sur le contenu mathématique étudié mais sur la méthodologie de recherche employée, tout en en soulignant l'originalité. Notre but est de montrer le rôle central joué dans nos travaux didactiques par l'interaction avec nos recherches historiques. Nous abordons cette question sous un angle plus général, en dégageant, au delà du seul exemple de l'algèbre linéaire, la nature des interactions possibles entre recherches historique et didactique et leur apport épistémologique, en dégageant également des questions de méthodologie. Nous nous appuierons sur diverses de nos publications pour construire notre réflexion.

Gauss introduit la notion de congruence en 1801 dans les Disquisitiones Arithmeticae. L'historiographie classique relie le plus souvent l'histoire de cette notion au développement de la théorie des nombres algébriques, une histoire construite autour d'un groupe de mathématiciens allemands. Pourtant, d'autres auteurs ont publié des travaux en lien avec les congruences dans la première moitié du XIXe siècle, et ce dans des perspectives différentes. Dans ce travail, nous nous proposons de rendre compte de ces dernières en nous concentrant sur les travaux de la scène française publiés entre 1801 et 1850. À partir d'une première lecture globale des textes de notre corpus, nous montrons d'abord que les congruences n'y ont pas connu un développement autonome mais ont été étudiées dans un lien étroit avec les équations. Toutefois, les différentes pratiques rencontrées sont très variées, que ce soit du point de vue des méthodes, des outils en jeu ou des configurations disciplinaires en jeu. Nous étudions ensuite plusieurs travaux arithmétiques d'Euler, de Lagrange, de Legendre et de Gauss afin de comprendre certaines origines de cette activité multiforme mise en évidence dans notre première partie. Nous nous concentrons enfin sur les travaux de deux auteurs de notre corpus, Louis Poinsot et Augustin Louis Cauchy, qui ont joué un rôle important dans l'élaboration et la diffusion de résultats et de pratiques liés aux congruences, même s'ils ont pratiquement disparu des histoires de la théorie des nombres publiées au XXe siècle.

Ce travail se saisit de la figure de Laurent Schwartz (1915-2002) pour étudier la vie collective des mathématiques dans la seconde moitié du XXème siècle.Il vise à montrer comment les pratiques collectives sont alors constitutives du travail et de la communauté mathématiques et comment elles évoluent au cours de cette période. Par le biais biographique, en considérant Schwartz à la fois comme un acteur important qui laisse de nombreuses traces ou comme un simple témoin, nous présentons plusieurs tableaux du collectif. Nous étudions la rencontre que Schwartz fait de la vie collective des mathématiques pendant la Seconde Guerre mondiale, notamment par son interaction avec le groupe Bourbaki. Nous analysons ensuite la diffusion de la théorie des distribu- tions dans les mathématiques et son historiographie et montrons le rôle actif de Schwartz dans ces processus. Un chapitre consacré au théorème des noyaux de Schwartz et ses écritures ultérieures permet d'approfondir l'étude des interactions entre pratiques d'écriture en mathématiques et différents types de collectifs. Ce sont ensuite sur trois formes d'organisation collective du travail mathématique que nous nous penchons : le colloque (en proposant une étude de cas sur le colloque d'analyse harmonique de 1947), le séminaire et, enfin, le laboratoire de mathématiques (en prenant l'exemple du Centre de Mathématiques de l'École polytechnique). Enfin, nous abordons la question de l'engagement politique de Schwartz en tant que mathématicien. Nous cherchons à montrer comment cet engagement traduit une certaine conception de la communauté mathématique, tout en s'inspirant de ses pratiques sociales particulières. / This work takes the case of laurent schwartz (1915-2002) to study the collective life of mathematics in the second half of the 20th century.Its goal is to show how collective practices have then been constitutive of mathematical work and community, as well as how they evolved over this period. through a biographical lens, by considering schwartz both as an important actor who has left numerous traces and as a simple witness, we present several tableaus of the collective. we study the encounter between schwartz and the collective life of mathematics during world war ii, in particular through his interaction with the bourbaki group. we then analyze the diffusion of the theory of distributions in mathematics and its historiography, and show schwartz?active role in these processes. a chapter devoted to the kernel theorem (théorème des noyaux) and its later written incarnations allows us to deepen our study of interactions between writing practices in mathematics and various kinds of collectives. Three forms of collective organization of the mathematical work are then investigated: the conference (through a study of the 1947 colloquium on harmonic analysis), the seminar, and, finally, the mathematical research center (taking as an example the centre de mathématiques de l'ecole polytechnique). Finally, we take on the question of schwartz's political engagement as a mathematician. we wish to show how this engagement embodies a certain conception of the mathematical community, while taking some inspiration from its particular social practices

L'entre-deux-guerres mathématique est étudié à partir des 242 thèses en sciences mathématiques soutenues en France. Ce corpus est analysé à trois niveaux différents. L'analyse de premier niveau consiste en une analyse quantitative de l'ensemble des doctorats. Elle permet de mettre en évidence les équilibres entre les différents domaines des sciences mathématiques et les différentes facultés de France, celle de Paris et celles de province. Les thèses soutenues en province sont alors étudiées séparément et révèlent les vies mathématiques de plusieurs facultés : celles de Strasbourg, Poitiers, Lyon et Montpellier. Le deuxième niveau d'analyse est fondé sur l'étude des introductions et des rapports de thèses, le troisième sur celle des thèses en elles-mêmes et des rapports. Le deuxième niveau est appliqué aux thèses soutenues à Paris et classées dans les domaines de l'arithmétique et de l'algèbre, de la géométrie et de la théorie des fonctions. Un ensemble de doctorats classés en théorie des fonctions de la variable complexe et les thèses de probabilités sont étudiées avec le troisième niveau d'analyse. Ces deux dernière échelles permettent de mettre en lumière le rôle joué par certains mathématiciens, comme Élie Cartan, de montrer les méthodes et les résultats qui sont repris et travaillés dans les thèses, et de saisir quelques dynamiques de recherche.

Colin Maclaurin est un mathématicien écossais important dans la vie intellectuelle, sociale et politique de l'Écosse. Pour lui, l'évidence et la certitude des mathématiques justifient leur utilisation dans les autres champs du savoir. Nous montrons donc comment il les utilise en physique, en astronomie, en théologie, etc. De plus, nous montrons comment sa lecture des œuvres de Newton évolue et comment il passe d'un statut de disciple à celui de commentateur, puis à celui de chercheur aux conceptions propres. Enfin, l'étude globale de ses œuvres nous permet de dégager des lignes de forces dans sa production : une volonté de fondation, en particulier en algèbre et dans la méthode des fluxions, un usage fin et privilégié de la géométrie, et une application réciproque de la géométrie et de l'algèbre. Nous analysons de nombreux résultats nouveaux qui résultent de cette approche maclaurinienne des mathématiques.

Qu'est-ce qu'un cas particulier ? Comment un mathématicien peut-il dire qu'un phénomène est «exceptionnel» et ne se produit pas «en général» ? Ces questions sont abordées dans cette thèse sous un angle historique, à partir d'un corpus de textes de Poincaré constitué autour de trois pôles: son étude des points singuliers des équations différentielles (1881), son travail sur le théorème (1889, 1890, 1891), et son mémoire sur les géodésiques des surfaces convexes (1905). Je me suis intéressée à ce que Poincaré désigne comme cas particuliers, comme exceptions, aux moyens qu'il met en oeuvre pour les étudier et les caractériser, à la place qu'il leur donne.<br /><br />La nature de cette problématique m'a amenée à développer une méthode particulière de travail historique, centrée sur une exploitation systématique des textes en tant que textes, et non simplement comme véhiculant des résultats mathématiques. J'ai examiné les formes textuelles élaborées pour énoncer et démontrer les résultats visés, la terminologie employée, les rapports établis par l'auteur entre différents résultats. Cette analyse minutieuse des textes apporte un nouvel éclairage sur des sources qui avaient, pour certaines, déjà fait l'objet d'une étude historique. De plus, en permettant de décrire des méthodes de travail de Poincaré touchant à la question du général, elle fait apparaître certains traits caractéristiques de sa démarche de mathématicien.

Notre contexte pratique — nous enseignons à des élèves doués de cinquième année suivant le programme international — a grandement influencé la présente recherche. En effet, le Programme primaire international (Organisation du Baccalauréat International, 2007) propose un enseignement par thèmes transdisciplinaires, dont un s’intitulant Où nous nous situons dans l’espace et le temps. Aussi, nos élèves sont tenus de suivre le Programme de formation de l’école québécoise (MÉLS Ministère de l'Éducation du Loisir et du Sport, 2001) avec le développement, notamment, de la compétence Résoudre une situation-problème et l’introduction d’une nouveauté : les repères culturels. Après une revue de la littérature, l’histoire des mathématiques nous semble tout indiquée. Toutefois, il existe peu de ressources pédagogiques pour les enseignants du primaire. Nous proposons donc d’en créer, nous appuyant sur l’approche constructiviste, approche prônée par nos deux programmes d’études (OBI et MÉLS). Nous relevons donc les avantages à intégrer l’histoire des mathématiques pour les élèves (intérêt et motivation accrus, changement dans leur façon de percevoir les mathématiques et amélioration de leurs apprentissages et de leur compréhension des mathématiques). Nous soulignons également les difficultés à introduire une approche historique à l’enseignement des mathématiques et proposons diverses façons de le faire. Puis, les concepts mathématiques à l’étude, à savoir l’arithmétique, et la numération, sont définis et nous voyons leur importance dans le programme de mathématiques du primaire. Nous décrivons ensuite les six systèmes de numération retenus (sumérien, égyptien, babylonien, chinois, romain et maya) ainsi que notre système actuel : le système indo-arabe. Enfin, nous abordons les difficultés que certaines pratiques des enseignants ou des manuels scolaires posent aux élèves en numération. Nous situons ensuite notre étude au sein de la recherche en sciences de l’éducation en nous attardant à la recherche appliquée ou dite pédagogique et plus particulièrement aux apports des recherches menées par des praticiens (un rapprochement entre la recherche et la pratique, une amélioration de l’enseignement et/ou de l’apprentissage, une réflexion de l’intérieur sur la pratique enseignante et une meilleure connaissance du milieu). Aussi, nous exposons les risques de biais qu’il est possible de rencontrer dans une recherche pédagogique, et ce, pour mieux les éviter. Nous enchaînons avec une description de nos outils de collecte de données et rappelons les exigences de la rigueur scientifique. Ce n’est qu’ensuite que nous décrivons notre séquence d’enseignement/apprentissage en détaillant chacune des activités. Ces activités consistent notamment à découvrir comment différents systèmes de numération fonctionnent (à l’aide de feuilles de travail et de notations anciennes), puis comment ces mêmes peuples effectuaient leurs additions et leurs soustractions et finalement, comment ils effectuaient les multiplications et les divisions. Enfin, nous analysons nos données à partir de notre journal de bord quotidien bonifié par les enregistrements vidéo, les affiches des élèves, les réponses aux tests de compréhension et au questionnaire d’appréciation. Notre étude nous amène à conclure à la pertinence de cette séquence pour notre milieu : l’intérêt et la motivation suscités, la perception des mathématiques et les apprentissages réalisés. Nous revenons également sur le constructivisme et une dimension non prévue : le développement de la communication mathématique. / Our practical context -we teach gifted fifth grade students in an International School- has greatly influenced this research. Indeed, the International Primary Years Programme (International Baccalaureate Organization, 2007) fosters transdisciplinary themes, including one intitled Where we are in place and time. Our students are also expected to follow the Quebec education program schools (Ministry of Education, Recreation and Sport, 2001) with the development of competencies such as: To solve situational problem and the introduction of a novelty: the Cultural References. After the literature review, the history of mathematics seems very appropriate. However, there are few educational resources for primary teachers. This is the reason why we propose creating the resources by drawing upon the constructivist approach, an approach recommended by our two curricula (OBI and MELS). We bring to light the advantages of integrating the history of mathematics for students (increased interest and motivation, change in their perception of mathematics and improvement in learning and understanding mathematics). We also highlight the difficulties in introducing a historical approach to teaching mathematics and suggest various ways to explore it. Then we define the mathematical concepts of the study: arithmetic and counting and we remark their importance in the Primary Mathematics Curriculum. We then describe the six selected number systems (Sumerian, Egyptian, Babylonian, Chinese, Roman and Mayan) as well as our current system: the Indo-Arabic system. Finally, we discuss the difficulties students may encounter due to some teaching practices or textbooks on counting. We situate our study in the research of science of education especially on applied research and the contributions of the teacher research reconciliation between research and practice, the improvement of teaching and / or learning and a reflection within the teaching practice). Also, we reveal the possible biases that can be encountered in a pedagogical research and thus, to better avoid them. Finally, we describe the tools used to collect our data and look at the requirements for scientific rigor. Next, we describe our teaching sequence activities in details. These activities include the discovery of how the different number systems work (using worksheets and old notations) and how the people using the same systems do their additions and subtractions and how they do their multiplications and divisions. Finally, we analyze our data from a daily diary supported by video recordings, students’ posters, the comprehension tests and the evaluation questionnaire. Our study leads us to conclude the relevance of this sequence in our context: interest and motivation, perception of mathematics and learning achieved. We also discuss constructivism and a dimension not provided: the development of mathematical communication.

Durant l'ère Meiji, afin d'occuper une position forte dans le concert des nations, le gouvernement japonais engage le pays dans un mouvement de modernisation. Dans le cadre de ce mouvement, les mathématiques occidentales, et en particulier la géométrie euclidienne, sont introduites dans l'enseignement. Cette décision est prise alors que, en raison du succès des mathématiques traditionnelles (wasan), aucune traduction sur le sujet n'est disponible. Mes travaux s'intéressent aux premiers manuels de géométrie élémentaire, qui ont été élaborés, diffusés et utilisés dans ce transfert scientifique. Une grille d'analyse centrée sur les questions du langage et des outils logiques est déployée pour mettre en évidence les différentes phases dans l'importation et l'adaptation des connaissances occidentales / During the Meijing era, the political context in East Asia led the Japanese authorities to embark on a nationwide modernization program. This resulted in the introduction of Western mathematics, and especially Euclidean geometry into Japanese education. However, as traditional mathematics (was an) were very successful at that time, there were no Japanese translations of texts dealing with this new geometry available at this time. My work focuses on the first Japanese textbooks that were developed, distributed and used during this period of scientific transfer. My analysis concentrates on language and logical reasoning in order to highlight the various phases in the importation and adaptation of Western knowledge to the Japanese context