This work is focusing on automatic verification of systems with parallel running processes. We discuss the existing methods and certain possibilities of optimizing them. Existing techniques are essentially based on finding an inductive invariant (for instance using a variant of counterexample-guided abstract refinement (CEGAR)). The effectiveness of these methods depends on the size of the invariant. In this thesis, we explored the possibility of improving the methods by focusing on finding invariants of minimal size. We implemented a tool that facilitates exploring the space of invariants of the system under scrutiny. Our experimental results show that many practical existing systems indeed have invariants that are much smaller than what can be found by the existing methods. The conjectures and the results of the work will serve as a basis of future research of an efficient method for finding small invariants of parallel systems.

We present the notions of uniform distribution and discrepancy of sequences contained in the unit interval, as well as an important application of discrepancy in numerical integration by way of the quasi-Monte Carlo method. Some fundamental (and other interesting) results with regards to these notions are presented, along with some detalied and instructive examples and comparisons (some of which not often provided by the literature). We go on to analytical and numerical investigations of the asymptotic behaviour of the discrepancy (in particular for the van der Corput-sequence), and for the general error estimates of the quasi-Monte Carlo method. Using the discoveries from these investigations, we give a conditional proof of the van der Corput theorem. Furthermore, we illustrate that by using low discrepancy sequences (such as the vdC-sequence), a rather fast convergence rate of the quasi-Monte Carlo method may still be achieved, even for situations in which the famous theoretical result, the Koksma inequality, hasbeen rendered unusable. / Vi presenterar begreppen likformig distribution och diskrepans hos talföljder på enhetsintervallet, såväl som en viktig tillämpning av diskrepans inom numerisk integration via kvasi-Monte Carlo metoden. Några fundamentala (och andra intressanta) resultat presenteras med avseende på dessa begrepp, tillsammans med några detaljerade och instruktiva exempel och jämförelser (varav några sällan presenterade i litteraturen). Vi går vidare med analytiska och numeriska undersökningar av det asymptotiska beteendet hos diskrepansen (särskilt för van der Corput-följden), såväl som för den allmänna feluppskattningen hos kvasi-Monte Carlo metoden. Utifrån upptäckterna från dessa undersökningar ger vi ett villkorligt bevis av van der Corput's sats, samt illustrerar att man genom att använda lågdiskrepanstalföljder (som van der Corput-följden) fortfarande kan uppnå tämligen snabb konvergenshastighet för kvasi-Monte Carlo metoden. Detta även för situationer där de kända teoretiska resultatet, Koksma's olikhet, är oandvändbart.

Voltage Impasse Region (VIR) is a phenomenon in power systemswhose dynamics are describe by a set of Differential AlgebraicEquations (DAE). VIR denotes a state-space area where voltagecausality is lost, i.e. the Jacobian of the algebraic part of DAEis singular. In a Time Domain Simulation (TDS) once system trajectoriesenter VIR, TDS experiences non-convergence of the solution.Then, there is no reason to continue with the simulation. Thisis why it is important to understand the mechanisms that introduceVIR. It is known that VIR appears in relation to static, non-linearload models. However, it remained unknown what the cumulativeeffect of several static, non-linear loads would be.This master thesis has further expanded the concept of VIRby carrying out a structured study on how the load modelling affectsVIR. For this purpose, this thesis proposes a quasi-dynamicmethodology to map VIR in the relative rotor angle space. Themethodology introduces a new discrete index called Voltage ImpasseRegion Flag (VIRflag), which allows to determine if the algebraicequations of DAE are solvable or not and, thus, to locate VIR.A test system is used to test the proposed quasi-dynamic approach.The VIRflag was first used to map VIR for various load combinations.Then, the relationship between TDS non-convergence issuesand the intersection of a trajectory with VIR is examined toverify the proposed methodology.The proposed method has been proved to be efficient in the determinationof VIR regardless of the number of non-linear loads inthe power system. Among the static exponential load models, theConstant Power (CP) load component has been identified as theone with the largest influence on VIR appearance and shape. TheConstant Current (CC) loads induce ”smaller" VIR areas and theConstant Impedance (CI) load can only alter the shape of VIR inthe presence of non-linear load models. / VIR (Voltage Impasse Regions) är ett fenomen i kraftsystem varsdynamiska förlöp beskrivs av differential-algebraiska ekvationer(DAE). VIR betecknar ett område i tillståndsrummet där går förlorad,dvs Jakobianen av den algebraiska delen av DAE är singulärI tidsdomän-simuleringar (TDS) när en trajektoria träffar VIR,konvergerar TDS inte till en lösning. Då finns ingen anledning attfortsätta med simuleringen. Därför är det viktigt att förstå mekanismernasom introducerar VIR. Det är känt att VIR är relateradetill statiska, icke-linjära lastmodeller. Det var dock okänt vadden kumulativa effekten av flera statiska, icke-linjära belastningarskulle vara.Denna uppsats har vidareutvecklat begreppet VIR genom attgenomföra en strukturerad studie om hur lastmodellering påverkarVIR. För detta ändamål föreslår denna avhandling en kvasidynamiskmetod för att kartlägga VIR i det relativa rotorvinkelrummet.Metoden introducerar ett nytt diskret index som heterVoltage Impasse Region Flag (VIRflag), vilket gör det möjligt attbestämma om den algebraiska delen av DAE är lösbar eller inteoch därmed lokalisera VIR. Ett används för att testa det föreslagnakvasi-dynamiska tillvägagångssättet. VIRflag användes först för attkartlägga VIR för olika belastningskombinationer. Därefter granskasförhållandet mellan konvergensproblem i TDS och korsningenmellan en trajektoria och VIR för att verifiera den föreslagna metoden.Den föreslagna metoden har visat sig vara effektiv vid bestämningav VIR, oberoende av antalet icke-linjära belastningar. Bland destatiska exponentiella belastningsmodellerna har konstanteffektlast(CP) haridentifierats som den som har störst inflytande påVIR;s form. Den konstantströmlasten (CC) inducerar mindre"VIRområdenoch konstantimpedanslasten (CI) kan endast ändra formenav VIR i närvaro av icke-linjära belastningsmodeller.

As the fifth generation of telecommunications is deployed, and the number of devices transmitting in the microwave bands grows, effective filtering technologies are becoming ever more important. When a filter is designed, some performance trade-offs have to be made, and one of them is the trade-off between filter size and electrical performance. This thesis addresses this tradeoff by proposing two fourth order all-pole Chebyshev filters in the Ku band realised in suspended integrated stripline technology, which combine a small physical footprint with high unloaded Q-values. These characteristics make it possible to create more compact systems, or increase the filtering capability in systems where the existing filter size is the limiting factor. The first filter was designed with the goal of maximum compactness, with the resonators made up of metallic strips on both sides of the microwave substrate, with intra-resonator capacitive coupling between the strip, and inter-resonator capacitive coupling mainly between adjacent resonators. The second filter was made slightly larger but with improved electrical performance, with the main difference being a via shorting the resonator strips together, largely confining the electric field to the suspended integrated stripline’s air cavity. The comparison between these filters allows a potential systems engineer to make an informed decision on how compact a filter could be while still providing good enough performance. Both filters had a return loss less than 20 dB in the entire passband, the first filter had an insertion loss ranging from -2.15 dB to -1.6 dB, and the second filter had an insertion loss ranging from -2 dB to -1.1 dB. / I takt med att den femte generationen av telekommunikationsteknologi utvecklas och lanseras så finner sig kommunikationssystem i en allt mer brusig signalmiljö. Fler och fler system kommer att behöva dela på det tillgängliga elektromagnetiska spektrat, och därmed behövs allt mer effektiv teknologi för att filtrera signalerna, både på mottagar- och sändarsidan. Trådlös kommunikation sker med hjälp av elektromagnetisk strålning inom radiospektrat, och dessa signaler kräver speciella mikrovågskomponenter för förstärkning och filtrering. Mikrovågsfilter konstrueras ofta som stora och materialkrävande kavitetsfilter i metall, eftersom denna typ av filter har lägst förluster av de vanligt förekommande filtertyperna. Den stora materialåtgången är en uppenbar nackdel ur en hållbarhetssynpunkt, och storleken på filtret kan i vissa kompakta tillämpningar utgöra en begränsning av ett systems filtreringsförmåga. Detta examensarbete presenterar därmed två nya filter för Ku-bandet i integrerad hängande-substrat-stripline-teknologi, vars konstruktion kombinerar ett kompakt format med relativt låga energiförluster. Dessa filter utgör ett alternativ för framtida system som både kan tillåta miniatyrisering av system där filtrena är den begränsande faktorn storleksmässigt, såväl som att möjliggöra ökad filteringskapabilitet för redan kompakta system. Det första filtret, vars mål var maximal kompakthet hade förluster mellan -2.15 dB och -1.6 dB i passbandet, medan det andra filtret hade något större dimensioner och hade förluster mellan -2 dB och -1.1 dB. Då filtrena konstruerades i form av diskreta komponenter med koaxialdon, så är de angivna förlusterna till viss del orsakade av donen och dess omgivande struktur i filtrena. Förlusterna kan alltså vidare minimeras om filtrena i stället konstrueras som en del av ett integrerat system, direkt anslutna till en eller flera angränsande komponenter.

There is an increasing trend in manufacturing industry for producing complex and delicate parts. As a result, the importance of having a deeper understanding of machine systems, in order toget higher accuracy of machined parts, arises. This leads to an increasing demand of testingmachine accuracy under operational condition. There are methods that has been investigated in order to test under operational condition. However, the studies were mostly focused on thestatic, quasi-static and dynamic states separately and comparison were not investigated. This thesis aims at presenting a comparative study of static and quasi-static compliance on machine tool under loaded conditions, to investigate how the stiffness changes from static toquasi-static state, and also the potential factors that would lead to this result. A 5-axis machine tool- Hermle C50U machine is used in order to perform the measurements.The method chosen for the measurements includes circular tests under loaded conditions utilizinga loaded double ball bar device. Three LVDTs are used for the measurements, in order to detect the deflection along the circular trajectory. The main parameter that undergoes study is the effect of the applied feed rate. After the measurements, the data is analyzed using MAT-LAB and the average deflections for both states are compared. In general, the results show that there is no significant difference between the two states, despite the observed different shape ofdeflection. / Det finns en ökande trend inom tillverkningsindustrin för tillverkning av komplexa och känsliga delar. Som ett resultat uppstår vikten av att ha en djupare förståelse för maskinsystem, för att få högre noggrannhet hos bearbetade delar. Detta leder till en ökande efterfrågan på att testamaskinens noggrannhet under driftsförhållanden. Det finns metoder som har undersökts för att testa under driftskondition. Studierna var dock mest inriktade på de statiska, kvasistatiska och dynamiska tillstånden separat och jämförelsen undersöktes inte. Denna avhandling syftar till att presentera en jämförande studie av statisk och kvasi-statisk överensstämmelse på maskinverktyg under belastade förhållanden, för att undersöka hur styvheten förändras från statiskt till kvasi-statiskt tillstånd, och även de potentiella faktorer som skulle leda till detta resultat. Ett 5-axligt verktygsmaskin- Hermle C50U-maskin används för att utföra mätningarna.Metoden som valts för mätningarna inkluderar cirkulära tester under belastade förhållanden med användning av en laddad dubbelkulstångsanordning. Tre LVDT används för mätningarna för att detektera nedböjningen längs cirkelbanan. Huvudparametern som genomgår studier är effekten av den applicerade matningshastigheten. Efter mätningarna analyseras data med MATLAB och de genomsnittliga avböjningarna för båda tillstånden jämförs. I allmänhet visar resultaten att det inte finns någon signifikant skillnad mellan de två tillstånden, trots den observerade olika avböjningsformen.

In this thesis we present research on mathematical properties of methods for solv- ing symmetric systems of linear equations that arise in various optimization problem formulations and in methods for solving such problems. In the first and third paper (Paper A and Paper C), we consider the connection be- tween the method of conjugate gradients and quasi-Newton methods on strictly convex quadratic optimization problems or equivalently on a symmetric system of linear equa- tions with a positive definite matrix. We state conditions on the quasi-Newton matrix and the update matrix such that the search directions generated by the corresponding quasi-Newton method and the method of conjugate gradients respectively are parallel. In paper A, we derive such conditions on the update matrix based on a sufficient condition to obtain mutually conjugate search directions. These conditions are shown to be equivalent to the one-parameter Broyden family. Further, we derive a one-to-one correspondence between the Broyden parameter and the scaling between the search directions from the method of conjugate gradients and a quasi-Newton method em- ploying some well-defined update scheme in the one-parameter Broyden family. In paper C, we give necessary and sufficient conditions on the quasi-Newton ma- trix and on the update matrix such that equivalence with the method of conjugate gra- dients hold for the corresponding quasi-Newton method. We show that the set of quasi- Newton schemes admitted by these necessary and sufficient conditions is strictly larger than the one-parameter Broyden family. In addition, we show that this set of quasi- Newton schemes includes an infinite number of symmetric rank-one update schemes. In the second paper (Paper B), we utilize an unnormalized Krylov subspace frame- work for solving symmetric systems of linear equations. These systems may be incom- patible and the matrix may be indefinite/singular. Such systems of symmetric linear equations arise in constrained optimization. In the case of an incompatible symmetric system of linear equations we give a certificate of incompatibility based on a projection on the null space of the symmetric matrix and characterize a minimum-residual solu- tion. Further we derive a minimum-residual method, give explicit recursions for the minimum-residual iterates and characterize a minimum-residual solution of minimum Euclidean norm. / I denna avhandling betraktar vi matematiska egenskaper hos metoder för att lösa symmetriska linjära ekvationssystem som uppkommer i formuleringar och metoder för en mängd olika optimeringsproblem. I första och tredje artikeln (Paper A och Paper C), undersöks kopplingen mellan konjugerade gradientmetoden och kvasi-Newtonmetoder när dessa appliceras på strikt konvexa kvadratiska optimeringsproblem utan bivillkor eller ekvivalent på ett symmet- risk linjärt ekvationssystem med en positivt definit symmetrisk matris. Vi ställer upp villkor på kvasi-Newtonmatrisen och uppdateringsmatrisen så att sökriktningen som fås från motsvarande kvasi-Newtonmetod blir parallell med den sökriktning som fås från konjugerade gradientmetoden. I den första artikeln (Paper A), härleds villkor på uppdateringsmatrisen baserade på ett tillräckligt villkor för att få ömsesidigt konjugerade sökriktningar. Dessa villkor på kvasi-Newtonmetoden visas vara ekvivalenta med att uppdateringsstrategin tillhör Broydens enparameterfamilj. Vi tar också fram en ett-till-ett överensstämmelse mellan Broydenparametern och skalningen mellan sökriktningarna från konjugerade gradient- metoden och en kvasi-Newtonmetod som använder någon väldefinierad uppdaterings- strategi från Broydens enparameterfamilj. I den tredje artikeln (Paper C), ger vi tillräckliga och nödvändiga villkor på en kvasi-Newtonmetod så att nämnda ekvivalens med konjugerade gradientmetoden er- hålls. Mängden kvasi-Newtonstrategier som uppfyller dessa villkor är strikt större än Broydens enparameterfamilj. Vi visar också att denna mängd kvasi-Newtonstrategier innehåller ett oändligt antal uppdateringsstrategier där uppdateringsmatrisen är en sym- metrisk matris av rang ett. I den andra artikeln (Paper B), används ett ramverk för icke-normaliserade Krylov- underrumsmetoder för att lösa symmetriska linjära ekvationssystem. Dessa ekvations- system kan sakna lösning och matrisen kan vara indefinit/singulär. Denna typ av sym- metriska linjära ekvationssystem uppkommer i en mängd formuleringar och metoder för optimeringsproblem med bivillkor. I fallet då det symmetriska linjära ekvations- systemet saknar lösning ger vi ett certifikat för detta baserat på en projektion på noll- rummet för den symmetriska matrisen och karaktäriserar en minimum-residuallösning. Vi härleder även en minimum-residualmetod i detta ramverk samt ger explicita rekur- sionsformler för denna metod. I fallet då det symmetriska linjära ekvationssystemet saknar lösning så karaktäriserar vi en minimum-residuallösning av minsta euklidiska norm. / <p>QC 20150519</p>