In this work, using one parameter Lie groups, we analyze differential equations with partial fluxions, of second and third rank. Find equation symmetry groups of heat conductivity, undulatority, gas flow, waves spreading in shallow water and deducting appropriate formulas.

Darbe nagrinėjamas gegučių ir paukščių-šeimininkų sąveikos deterministinis modelis, priimant dėmesin paukščių amžių, ir atsižvelgiant į diskrečią jauniklių aibę bei jų globą. Visi individai yra skirstomi į tris grupes: priešreprodukcinio (dar negali turėti jauniklių), reprodukcinio (gali susilaukti palikuonių) ir poreprodukcinio amžiaus. Modelis yra sudarytas iš integro-dalinių diferencialinių lygčių, atsižvelgiant į integralinio tipo sąlygas. Šių lygčių skaičius priklauso nuo maksimalaus biologiškai įmanomo šeimininko kiaušinių lizde skaičiaus. Yra tiriami separabilieji uždavinio sprendiniai bei įrodoma egzistavimo teorema. / A Common Cuckoo and a host species dynamics deterministic model taking into account a discrete set of offsprings and their care, is considered. Individuals have three age intervals: pre-reproductive, reproductive (when they can produce offsprings) and post-reproductive. The model is described by integro-partial differential equations subject to conditions of integral type, where the number of equations depends on a maximal biologically possible number of eggs produced by the host birds. Separable solutions of this model are studied and the existence theorem is proved.

Šio darbo tikslas buvo sukurti metodiką, kuri užtikrintų efektyvų skaičiavimų tinklų panaudojimą kompiuteriniams modeliams, nagrinėjantiems biokatalizės procesus. Išnagrinėjus skaičiavimų tinklų panaudojimo galimybes biokatalizės procesams tirti, buvo pateikta skaičiavimų tinklų panaudojimo metodika, kurią galima įgyvendinti nepriklausomai nuo konkretaus skaičiavimų tinklo. Metodika buvo įgyvendinta skaičiavimų tinkle BalticGrid ir taikant šią metodiką atliktas biojutikliuose vykstančio biokatalizės proceso tyrimas. Biojutiklio veikimas aprašomas matematiniu modeliu, kuris bendruoju atveju yra nagrinėjamas naudojant kompiuterinį modelį. Biojutiklių veikimo kompiuteriniai modeliai dažnai yra parametrizuojami ir daugeliu atvejų yra sprendžiamas tas pats uždavinys, tik su skirtingais parametrų rinkiniais. Šiam modeliavimo procesui atlikti tikslinga naudoti skaičiavimų tinklus. Darbe pateikiama metodika buvo pritaikyta atliekant chemiškai modifikuoto biojutiklio kvazistacionariojo ir detaliojo modelių palyginimas. Sukurtos metodikos tyrimo metu nustatyta, kad ši metodika gali būti efektyviai taikoma nagrinėjant biokatalizės procesus. Nustatytas metodikos taikymo efektyvumas konkrečiame skaičiavimų tinkle bei pateiktos rekomendacijos kaip efektyviai taikyti šią metodiką. / The purpose of this master thesis was to develop a methodology, which would assure an efficient way to use computing grids for computer models modeling biocatalytic processes. After researching possibilities to use computing grids for modeling of such processes, a methodology was presented, which can be used independently of grid middleware. Methodology was implemented on BalticGrid. By applying this methodology biocatalytic processes in biosensors were investigated. Operation of biosensor is described with mathematical model, which in general case is solved with computer model. Computer models of biosensors are commonly parameterized, and in most cases same problem is being solved only with different set of parameters. Such processes can be solved by using computational grids. Methodology presented in this paper was used to compare quasi steady state and detailed models of chemically modified biosensors. After examining methodology presented in this paper it was proved that this methodology can be used efficiently to research biocatalytic processes. Effectiveness of applying this methodology in concrete computational grid was estimated and suggestions were presented how to apply this methodology in an efficient way.

The differential equations are often used in practice for making different mathematical models of mechanical systems and they are the best help for modelling. The flow, coming around elastic mechanical system, when there are some conditions, awakes the auto-oscillations of it. At my work I onquire the change of auto-oscillations into the electrical signal. If we want to reach it, we must give for mechanical system an extra stimulation by electric network. The purpose of my work - inquire simplification model of this made system; area of existence synchronic processes, when we have relaxed and forced oscillations; to analyse different trajectories of different types this differential equation; to find spectral charakteristics. The analytical and graphical results were forthcoming, let uncover some steady treatments' and their surroundings' attributes of pending system.

Pateiktas lygčių ir nelygybių simbolinio sprendimo lygiagretus algoritmas ir jo analizė, palyginimas su neefektyvia algoritmo realizacija. Atliktas įgyvendinto algoritmo tyrimas, nustatant jo spartos priklausomybes nuo aplinkos ir užduoties, palyginant rezultatus su esama PĮ. Taip pat, šiame darbe aptariami sukurtos programų sistemos architektūriniai sprendimai: MVC patern‘as (design pattern), „Svogūno“ architektūra, priklausomybių injekcijos (Dependency Injections). Šie architektūriniai sprendimai yra pranašesni už standartinę sluoksninę architekūrą, jais paremta PĮ yra lengviau palaikoma ir modifikuojama. Šiais laikais dauguma kompiuterių turi daugiabranduolius procesorius, tačiau esama PĮ jų neišnaudoja. Šio darbo tikslas yra sukurti tokią lygčių ir nelygybių simbolinio sprendimo lygiagrečiu metodu realizaciją, kuri panaudodama turimą skaičiavimų galią, sutrumpintų skaičiavimų laiką. Atlikus tyrimus nustatyta, jog sukurtoji PĮ yra pranašesnė už Maple CAS tik tuo atveju, kai uždavinio sąlyga nėra didelė, bet reikalaujama didelės skaičiavimų galios (nelygybių sistemų sprendimas). Tačiau sprendžiant didelės apimties lygčių sistemas (40-50 nežinomųjų ir tiek pat lygčių) sukurtoji PĮ atsilieka nuo Maple CAS, kadangi daug laiko sugaištama nagrinėjant pateiktą užduotį ir skaidant ją į dalinius uždavinius. / I have presented an effective way to solve symbolic systems of equations and inequalities using parallel processes and compared it to ineffective method. Also, I have performed analysis of presented algorithm, determining its performance dependencies and comparing its performance to existing software. Also, this paper discusses architectural solutions for the application system: MVC design pattern, "Onion" architecture and Dependency Injection. These architectural patterns benefit more than standard layered architecture, software, based on these patterns, is more maintainable and changeable. These days, computers usually have multi-core processors, but not all software use them efficiently. The main problem is to create algorithm for solving symbolic systems of equations and inequalities using parallel processes, using calculation power and decreasing calculation time. Such application system was created and analyzed in this paper. It was determined that created software is superior to Maple CAS when task is small by input but requires a lot of calculating power (systems of inequalities). On the other hand, results differ when task consist of plenty of equations (40-50 equations in system, same number of unknowns). Created software falls behind Maple CAS in performance. The main reason, for this, is that created software spends too much time to analyze task and strings in it.

Dauguma praktinių mokslinių, įvairių taikymų uždavinių yra spendžiami skaitiniais metodais. Šie metodai aktualūs ir mokymo aspektu. Įvairiose aukštosiose mokyklose studentai, studijuodami skaitinių metodų teoriją, sprendžia praktines užduotis, taigi tenka arba patiems programuodami algoritmus, arba naudoti kompiuterines programas. Šiame darbe nagrinėjami universalių kompiuterinių matematinių sistemų – MATLAB IR MATHCAD, kaip vieno svarbiausių skaitiniais metodais sprendžiamų uždavinių priemonės. Taip pat nagrinėjamas Excel programos panaudojimas netiesinių lygčių sprendimui skaitiniais metodais. Darbe išnagrinėti netiesinių lygčių sprendimo metodai, tokie kaip paprastųj����� iteracijų, pusiaukirtos, Niutono ir kirstinių metodai, jų realizacija kiekvienoje iš nurodytų programų. Pateikiant kiekvieną iš šių temų yra trumpai aprašyti patys metodai, lyginamos kiekvienos kompiuterinės programos galimybės spręsti uždavinius pagal šiuos metodus, jų funkcijų aprašymas, taikymai ir sprendimo pavyzdžiai. Darbe pristatyta sukurta kompiuterinė mokymo priemonė, skirta netiesinių lygčių sprendimo skaitiniais metodais įsisavinimui. / The most practical, scientific and various applied tasks are solved by using numerical methods. These methods are urgent in teaching aspect, too. The students of various higher schools are solving practical tasks when studying theory of numerical methods, therefore they have to programme algorithms by themselves or use computer programs. In this work there are analyzed universal computer algebra systems – Matlab and Mathcad – as the one of the most important measures of solving tasks by using numerical methods. Also there is analyzed the use of Excel program for the reason how to solve the nonlinear equation by using numerical methods. In the work there are analyzed methods of nonlinear equations solving, such as simple iterative, bisection, Newton and secant methods and their realization in each referred program.. There are described the very methods when presenting every those themes and comparised the possibilities of each computer program for the reason how to solve the tasks by using these methods. There is given description of methods functions, application and examples of solving. In the work there is presented created computer training appliance for the reason of mastering with nonlinear equation solving by using numerical methods.

Remiantis silpnąja Galiorkino formuluote darbe sukonstruoti trys paprastųjų diferencialinių lygčių integravimo metodai. Tyrinėtas metodų konvergavimas remiantis skaitiniais integravimo rezultatais, bei metodų tikslumas lyginant rezultatus su tiksliuoju sprendinių ir kitų integratorių rezultatais. / Three integrators of ordinary diferential equations based on Galiorkin's weak formulation were constructed in this work. The precision of ontegrators is evaluated numerically,by comparing the result with exact first integral and the solution got using Runge-Kutto method.

Šiame darbe yra sudaryta ir analiziškai išspręsta spindulių eigos idealiuose lęšiuose, diferencialinė lygtis. Rastas paviršius, į kurį kritę spinduliai po lūžimo eina lygiagrečiai simetrijos ašiai. Aprašyta, kaip sklinda perėję per idealųjį lęšį iš idealaus ir ne iš idealaus taškinio šaltinio išėję šviesos spinduliai. / In the present work, the differential equation is being structured and solved by analysis of beams motion in ideal lenses. There was a surface on witch motioned beams, after the refraction, come in parallel with symmetric axis. Also it includes how to gleams spread after passing through the ideal lens from ideal and non-ideal spot source witch they came from.

The new parallelization technology is presented in this work. The technology is suitable for parallelization of linear algebra problems that arise during solution of PDE and PDE systems. The new technology combines the strong points of "data parallel" and "global memory" parallel programming models. Using the pecularities of the problems of a given class, the technology allows to write effective code easily, with the addition of the possibility for semi-automatic parallelization. The work consists of 3 parts: the review of existing technologies, the description of the new one, various applications. / Šiame darbe pateikiama nauja tiesinės algebros algoritmų, atsirandančių sprendžiant dif. lygtis ir jų sistemas, lygiagretinimo technologija. Ši technologija apjungia "lygiagrečiųjų duomenų" ir "globalios atminties" lygiagretinimo modelių privalumus, ir, naudojant apibrėžtos klasės uždavinių yptaumus, leidžia lengvai gauti efektyvų programos kodą, kuris pusiau automatiškai lygiagretinamas. Darbas susideda iš 3 dalių: egzistuojančių priemonių apžvalga, naujos technologijos aprašymas, įvairūs taikymai.

There is investigated the weighted boundary value problem for the ordinary linear of the second order differential unhomogeneous equation with the strong singular coefficients at a separate point in this work and the singularity of the coefficients are of the degree type. The mentioned above boundary value problem are researched in interval which beginning coincides with the singular point of equation. Weighted condition is formed at singular point for the solution, the value of the solution is indicated in the another point. There are proved general characteristics of the homogeneous equation, also the existence and uniqueness of the solution of the analysed problem.