D'après le travail de Rickard, nous savons que deux anneaux possèdent la même catégorie d´erivée s'il existe un complexe basculant, construit à partir de modules projectifs sur le premier anneau de telle sorte que le deuxième anneau soit l'anneau des endomormorphismes de ce complexe basculant.<br />Dans cette thèse je décris, sous certaines conditions, l'anneau des endomorphismes de complexes à n termes à partir de l'anneau des endomorphismes d'une structure plus élémentaire, les homologies des complexes.<br />Le cas de complexes basculants à 2 termes sur un ordre de Gorenstein tel que les homologies sont sans torsion a été fait par S.König et A.Zimmermann.

Cette thèse est consacrée à l'étude asymptotique et l'homogénéisation de l'équation de la piézoélectricité, dans le cas de coefficients rapidement oscillants et des structures périodiquement perforées. L'étude consiste à développer deux approches; théorique et numérique. <br /><br />Dans l'approche théorique, on établit le problème homogénéisé et les tenseurs effectifs, ainsi que leurs propriétés pour une structure tridimensionnelle perforée, quand la période tend vers zéro. En se basant sur la même méthodologie, on traite le cas d'une plaque mince et d'une coque de Koiter périodiques, lorsque l'épaisseur et la période tendent vers zéro.<br /><br />Le deuxième volet comporte la simulation numérique du comportement macroscopique de quelques structures piézoélectriques particulières, en l'occurrence : le piézocomposite perforé et le piézocomposite laminé. Cette simulation trouve un intérêt pour de nouvelles applications dans ce type de structures, notamment l'hydrophonie, l'imagerie biomédicale et le contrôle des vibrations (filtrage spatial).

Le but de cette thèse est de donner une démonstration complète de la conjecture de l'inertie modérée de Serre qui donne des contraintes (en fonction de e et de r) sur l'action de Galois sur le groupe de cohomologie H^r_et(X_Kbar, Z/pZ) si X est une variété propre et lisse, à réduction semi-stable, sur un corps p-adique K d'indice de ramification absolue e.<br /><br />Pour ce faire, nous établissons, dans le cas er < p-1, un isomorphisme de périodes reliant le groupe de cohomologie étale précédent à un groupe de cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de X. Nous montrons ensuite que ce dernier groupe est un objet de la catégorie M^r définie par Breuil. La conclusion découle finalement d'un examen relativement fin des objets de M^r.<br /><br />Le dernier chapitre de cette thèse (qui est indépendant) est consacré à la construction d'une dualité sur la catégorie M^r.

Mes travaux ont porté sur la classification et la rigidité des points critiques de la fonctionnelle d'aire -- variétés minimales et apparentées -- pour des surfaces dans l'espace euclidien ou plus généralement dans certains espaces homogènes. Le cadre est riemannien ou hermitien, et je me suis attaché à comprendre et décrire la structure de l'équation aux dérivées partielles associée au problème géométrique, et celle de ses solutions. En utilisant des paramétrisations conformes, j'ai caractérisé notamment les solutions satisfaisant des conditions géométriques ou topologiques telles que le plongement, la fermeture des périodes en genre un (pour des tores lagrangiens) ou l'isopérimétrie.<br /><br />Dans une première partie, j'aborde essentiellement les surfaces minimales « classiques » dans l'espace euclidien de dimension 3, dont la structure analytique est donnée par la représentation de Weierstrass. Celle-ci peut-être utilisée pour ramener un problème sous contrainte topologico-géométrique (nombre de bouts, courbure totale finie, simple périodicité) à un problème d'analyse complexe sur une surfaces de Riemann, et j'en déduis un théorème de rigidité concernant l'escalier de Riemann. Mais les résultats les plus importants concernent le comportement des bouts minimaux plongés, de courbure totale infinie mais de type fini. On montre en effet que l'hypothèse de plongement contraint considérablement les données de de l'immersion, ce qui a pour conséquence géométrique que la surface est 0-asymptotique à l'hélicoïde. Ce résultat joue un rôle dans la preuve récente par Meeks et Rosenberg de l'unicité de l'hélicoïde comme surface proprement plongée simplement connexe.<br /><br />Dans la seconde partie, j'expose mes travaux sur le problème isopérimétrique dans les espaces plats périodiques de dimension trois. C'est un problème encore ouvert aujourd'hui, qui concerne les surfaces à courbure moyenne constante. J'ai notamment travaillé sur la conjecture sphère-cylindre-plan dans les tores de dimension 3, et démontré des inégalités pointues classifiant les cas (variétés, volumes) où la conjecture est vérifiée. Dans un autre registre, j'ai montré que les surfaces CMC possédant trop de symétries (les retournements diagonaux) ne peuvent être isopérimétriques, à l'exception des sphères bien sûr. Enfin, une étude numérique justifie que ce problème reste si difficile à résoudre.<br /><br />En troisième partie se trouvent mes travaux sur les surfaces lagrangiennes stationnaires hamiltoniennes, dans l'espace euclidien de dimension quatre, et aussi dans les espaces symétriques hermitiens. Après une introduction à ce domaine de la géométrie, on montrera que l'équation aux dérivées partielles de ce problème variationnel est associée à un système intégrable (comme dans le cas des surfaces CMC), avec différentes applications, telles la construction de tores de type fini, ou par potentiel suivant la méthode DPW (via les groupe de lacets). Cette approche est raffinée dans le cas euclidien où une représentation spinorielle permet de décrire explicitement les tores stationnaires hamiltoniens, résolvant même les problèmes de périodes. Enfin une généralisation aux dimensions supérieures est esquissée.

Nous nous intéressons au problème d'échantillonnage pour les espaces de fonctions analytiques dans le disque unité $\DD\subset\CC$, à poids radial. Nous considérons l'espace de Banach <br />$$A_h(\DD)=\{f \text{ holomorphes sur } \DD : \|f\|_h=\sup_{z\in\DD}|f(z)|e^{-h(|z|)}<+\infty\},$$<br />où le poids $h$ est de classe $C^2$ et $h(r)\to+\infty$ quand $r\to1-$. <br /><br />Le premier chapitre est consacré au cas des poids à croissance lente. Nous montrons que la stabilité de Möbius de l'échantillonnage n'est pas vérifiée dans $A_h(\DD)$.<br /><br />Les deux chapitres suivants sont consacrés au cas des poids à croissance rapide. Nous caractérisons les suites d'échantillonnage pour $A_h(\DD)$ en terme de densité.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la possibilité de paramétrer<br />toutes les solutions d´un système de contrôle ou système sous-déterminé par des formules dépendant de fonctions arbitraires du temps et de leurs dérivées jusqu´à un certain ordre. Après avoir lié cette problématique à la problématique plus connue en contrôle de la recherche de sorties plates, nous nous sommes intéressés a deux points de vue.<br />Le premier point de vue est une étude en petites dimensions qui nous amène à des conditions nécessaires et suffisantes pour paramétrer un système de contrôle en termes d´intégrabilité d´un système d´équation aux dérivees partielles simple´´.<br />Pour le deuxième point de vue nous considérons des dimensions quelconques et nous<br />présentons un outil pour l´étude des sorties plates et des conditions<br />nécessaires qu´elles vérifient. Un premier résultat est l´integrabilité très<br />formelle´´, notion qui est définie au préalable, des équations vérifiées par<br />ces sorties plates.

Mes recherches au Commissariat à l'Énergie Atomique concernent principalement la modélisa- <br />tion mathématique et la simulation numérique pour la physique des plasmas. Ce mémoire présente <br />mes contributions dans ce domaine.

En premier, nous montrons l'existence d'inégalités de Markov sur les courbes algébriques singulières de Rn. Nous donnons une signification géométrique à l'exposant de Markov en montrant qu'il est minoré par la multiplicité de la singularité de la courbe complexifiée dans Cn. Nous construisons une paramétrisation de Puiseux en la singularité réelle de la courbe complexifiée. Nous la prolongeons à un ouvert de C partout dense, afin d'obtenir la propriété d'HCP de la fonction de Green avec pôle à l'infini dans la courbe complexifiée, via la métrique des géodésiques. En second, nous montrons un théorème de type Bernstein pour les classes de fonctions intermédiaires entre les fonctions holomorphes et les fonctions indéfiniment différentiables sur des classes de compacts s-H convexes de Cn . Pour démontrer ce résultat, nous donnons une représentation intégrale sur les compacts s-H convexes de Cn des fonctions de A¥(K) via un noyau adéquat , nous approchons ce noyau par les noyaux à poids de type Henkin-Ramirez. Nous proposons une nouvelle propriété géométrique de la fonction de Green avec pôle à l'infini. Pour finir nous donnons quelques applications et corollaires.

Les travaux de recherche présentés dans ce mémoire portent sur des méthodes d'homogénéisation et d'approximation numérique pour des écoulements mono ou multiphasiques en milieux poreux hétérogènes. Les applications visées proviennent des problèmes de l'ingénierie pétrolière, la gestion des déchets radioactifs et la gestion des ressources en eau souterraines. On s'intéresse à des méthodes numériques pour le calcul des coefficients effectifs obtenus par des méthodes asymptotiques de mise à l'échelle, à des méthodes d'éléments finis mixtes, à des méthodes de volumes finis et à leur implémentation. Des méthodes numériques ont été développées pour la simulation des écoulements miscibles ou immiscibles en milieux poreux hétérogènes. Trois thèmes sont abordés. Le premier traite de l'homogénéisation pour des écoulements mono ou multiphasiques en milieux poreux. Les résultats de convergence obtenus sont établis à l'aide de la convergence à deux échelles et/ou la L-convergence. Le calcul des paramètres effectifs nécessite la résolution de problèmes locaux sur une cellule de base. Les méthodes numériques utilisées sont de type éléments finis conformes, éléments finis mixtes et volumes finis. Nous avons développé une plate-forme (Homogenizer++), en Java, de calcul de paramètres effectifs. Homogenizer++ est basée sur une Interface Homme Machine conviviale et utilisée comme un pré-processing à des simulations numériques d'écoulements en milieux poreux hétérogènes. Le deuxième thème porte sur l'approximation numérique de systèmes d'écoulements diphasiques miscibles ou immiscibles en milieux poreux. Le modèle miscible fait intervenir une équation elliptique couplée à une équation de diffusion-convection-réaction linéaire. Tandis que le modèle immiscible fait intervenir une équation elliptique couplée à une équation de diffusion-convection nonlinéaire et dégénérée. On utilise une méthode d'éléments finis mixtes pour l'approximation de l'équation elliptique combinée à un schéma volumes finis pour l'équation de diffusion-convection. Pour chaque système, on montre que le schéma est $L^\infty$ et BV stables, sous une condition CFL, et satisfait le principe du maximum discret. Ensuite, on établit des résultats de convergence vers la solution faible du problème. Les simulations numériques réalisées confirment l'efficacité des schémas numériques proposés. Un estimateur a posteriori d'un schéma volume finis pour l'équation de Darcy a été développé pour des maillages anisotropiques. On montre théoriquement et numériquement l'efficacité de cette méthode d'adaptation de maillage. Enfin le dernier thème concerne des méthodes d'approximation numérique pour des problèmes de ressources en eau souterraines. Une méthode sans maillage couplée à un algorithme génétique a été développée et implémentée pour une équation de diffusion modélisant un écoulement monophasique en milieux poreux. Puis on montre numériquement l'efficacité d'une méthode combinant les éléments frontières et un algorithme génétique pour un problème d'intrusion d'eau marine dans les nappes aquifères.

Nous présentons des travaux autour de trois axes : 1- Phénomène de focalisation en un point en optique géométrique non linéaire. Les équations considérées sont principalement des équations d'ondes et de Schrödinger non linéaires. 2- Rôle des oscillations quadratiques dans les équations de Schrödinger non linéaires. 3- Equations de Schrödinger non linéaire en présence d'un potentiel extérieur.