O elemento hélio, encontrado principalmente em reservas de gás natural, entra em condensação à temperatura de 4,2K, e é a única substância conhecida que permanece no estado líquido até o zero absoluto. Na fase liquida, o hélio apresenta ainda, em K, outra mudança de fase, onde passa de líquido comum à superfluido, com viscosidade praticamente nula. Estas propriedades conferem ao hélio importantes aplicações. Uma hdas principais aplicações é como agente refrigerante em supercondutores, como por exemplo, no acelerador de partículas LHC, que está sendo construído na fronteira da França com a Suíça, em aparelhos de ressonância magnética, satélites artificiais, etc. Neste trabalho, são apresentados dois modelos matemáticos para a transferência de calor no hélio líquido. O primeiro modelo, considerando apenas movimentos macroscópicos, é derivado com base nas leis constitutivas de Fourier e de Gorter-Mellink. O segundo modelo, baseado nas técnicas de Fremond, inclui movimentos microscópicos e pode ser visto como uma regularização do primeiro modelo. Os dois modelos são governados por equações diferenciais fortemente não lineares resultantes da não linearidade da lei de Gorter-Mellink e da mudança de fase. Ambos os modelos podem ser considerados casos particulares do problema de Stefan de duas fases, sendo que em uma das fases o fluxo de calor é governado pela equação não-linear do problema conhecido como p-laplaciano, com p=4/3. São também apresentadas técnicas para resolver de forma eficiente o problema do p-laplaciano, tanto para valores grandes de p, p>>2, quanto para valores de p próximos à 1, que constituem importantes desafios numéricos. Para tanto são propostos dois métodos iterativos simples, um baseado no método de quase-Newton, com termo de relaxação e, outro através da decomposição de Helmholtz, gerando um sistema de equações cujas matrizes são constantes, o que diminui significativamente o custo computacional. Experimentos numéricos são realizados para testar a eficiência dos modelos numéricos propostos bem como dos algoritmos desenvolvidos para resolver os sistemas de equações algébricas não lineares resultantes das aproximações por elementos finitos. São apresentados resultados de estudos de convergência, mostrando taxas de convergência ótimas ou quase ótimas, comparáveis às das interpolantes. Para o problema com mudança de fase, devido à descontinuidade do gradiente da temperatura sobre a interface que separa as duas fases do hélio líquido, as taxas de convergência não são ótimas. Usando malhas adaptativas, consegue-se taxas ótimas também para o problema com mudança de fase. Usando dados experimentais, encontrados na literatura, para os parâmetros de condutividade térmica, densidade e calor específico, dependentes da temperatura, são também apresentados testes de validação do modelo e exemplos de possíveis aplicações. Nos testes de validação do modelo, compara-se a solução numérica do modelo matemático com resultados experimentais para a temperatura, encontrados na literatura. / The element helium, found mainly in natural gas reserves, condenses at temperature of 4.2K, and is the unique known substance that remains in liquid to absolute zero. In the liquid phase, the helium presents still another phase change in 2.19K, where passes of common liquid to superfluous liquid, with almost zero viscosity. These properties give the helium important applications. One of the major applications is as a coolant in superconductors, such as in the particle accelerator LHC, which is being built in the French border with Switzerland, in magnetic resonance devices, artificial satellites, etc.. In this paper, we present two mathematical models for heat transfer in liquid helium. The first model, considering only macroscopic movements, is derived based on constitutive laws of Fourier and Gorter-Mellink. The second model, based on techniques of Fremond, includes microscopic movements and can be seen as a regularization of the first model. Both models are governed by highly nonlinear differential equations resulting from the nonlinearity of the law of Gorter-Mellink and change of phase. Both models can be considered special cases of the Stefan problem in two phases, with phase one of the heat flux is governed by non-linear equation of the problem known as p-Laplacian, with p = 4/3. We also presented techniques to efficiently solve the problem of p-Laplacian, both for large values of p, p>> 2, and for values of p close to 1, which are major numerical challenges. Are proposed two simple iterative methods, one based on the method of quasi-Newton, with the relaxation term and the other by the Helmholtz decomposition, creating a system of equations whose matrices are constant, which reduces significantly the computational cost. Numerical experiments are conducted to test the efficiency of numerical models proposed and the algorithms developed for solving systems of nonlinear algebraic equations arising from approximations by finite elements. Are also presented results of studies of convergence, showing rates of optimal or near optimal convergence, comparable to that of interpolates. For the problem with phase change, due to the discontinuity of the gradient of temperature on the interface separating the two phases of liquid helium, the rate of convergence is not optimal. Using adaptive mesh, it is also great rates to the problem with change of phase. Using experimental data found in literature, for the parameters of thermal conductivity, density and specific heat, temperature dependent, are also presented for validation testing of the model and examples of possible applications. In tests for validating the model, compared to the numerical solution of the mathematical model with experimental results for the temperature found in literature.

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Note de l'administrateur du service :le résumé de cette thèse est disponible dans le fichier déposé par l'auteur. Il ne peut techniquement pas être placé sous cette rubrique, dans la mesure où il contient des formules mathématiques avec des caractères grecs. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

[pt] Esta tese tem o intuito do estudo da existência, não existência e estimativas a priori de soluções não negativas de alguns tipos de problemas elípticos degenerados coercivos e não coercivos com um termo adicional dependendo do gradiente. Dentre outras coisas, obtemos condições integrais generalizadas tipo Keller-Osserman para a existência e não existência de soluções. Também mostramos que condições adicionais e diferentes são necessárias quando p é maior ou igual à 2 ou p é menor ou igual à 2, devido ao caráter degenerado do operador. As estimativas a priori são obtidas para super-soluções e soluções de EDPs elípticas superlineares o sistemas de tais tipos de equações em forma divergente com diferentes operadores e não linearidades. Além do mais, obtemos extensões até a fronteira de algumas desigualdades de Harnack fracas e lemas quantitativos de Hopf para operadores elípticos como o p-Laplaciano. / [en] This thesis concerns the study of existence, nonexistence and a priori estimates of nonnegative solutions of some types of degenerate coercive and non coercive elliptic problems involving an additional term which depends on the gradient. Among other things, we obtain generalized integral conditions of Keller-Osserman type for the existence and nonexistence of solutions. Also, we show that different conditions are needed when p is higher or equal to 2 or p is less than or equal to 2, due to the degeneracy of the operator. The uniform a priori estimates are obtained for supersolutions and solutions of superlinear elliptic PDE or systems of such PDE in divergence form that can contain different operators and nonlinearities. We also give full boundary extensions to some half Harnack inequalities and quantitative Hopf lemmas, for degenerate elliptic operators like the p-Laplacian.

Le but de cette thèse est triple : INÉGALITÉS DE SOBOLEV AVEC DES CONSTANTES EXPLICITES SUR DES VARIÉTÉS RIEMANNIENNES À DENSITÉ ET À BORD CONVEXE : On obtient des inégalités de Sobolev à densité, avec des constantes géométriques explicites pour des variétés à courbure de m-Bakry-Émery Ricci minorée par une constante positive et à bord convexe. Ceci permet de généraliser de nombreux résultats connus dans le cas riemannien aux variétés avec densité. Nous montrons aussi comment déduire des inégalités de Sobolev obtenues, un résultat d’isolement pour les applications f -harmoniques. Nous présenterons également une nouvelle et très simple méthode pour la preuve de l’inégalité de Moser-Trudinger-Onofri [Onofri, 1982] dans le cas du disque euclidien. / The purpose of this thesis is threefold: SOBOLEV INEQUALITIES WITH EXPLICIT CONSTANTS ON A WEIGHTED RIEMANNIAN MANIFOLD OF CONVEX BOUNDARY: We obtain weighted Sobolev inequalities with explicit geometric constants for weighted Riemannian manifolds of positive m-Bakry-Emery Ricci curvature and convex boundary. As a first application, we generalize several results of Riemannian manifolds to the weighted setting. Another application is a new isolation result for the f -harmonic maps. We also give a new and elemantry proof of the well-known Moser-Trudinger-Onofri [Onofri, 1982] inequality for the Euclidean disk.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps. / In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term.