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Cette thèse contient deux contributions à l’homogénéisation en espace-temps des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ces équations sont en lien avec la modélisation du trafic routier. Enfin, sont présentés des résultats d’homogénéisation en milieu presque périodique. Le premier chapitre est consacré à l’homogénéisation d’un système infini d’équations différentielles couplées avec temps de retard. Ce système provient ici d’un modèle microscopique de trafic routier simple. Les conducteurs se suivent sur une route rectiligne infinie et l’on tient compte de leur temps de réaction. On suppose que la vitesse de chaque conducteur est une fonction de l’interdistance avec le conducteur qui le précède: on parle d’un modèle du type “follow-the-leader”. Grâce à un principe de comparaison strict, on montre la convergence vers un modèle macroscopique pour des temps de réaction inférieurs à une valeur critique. Dans un second temps, on exhibe un contre-exemple à l’homogénéisation pour un temps de réaction supérieur à cette valeur critique, pour des conditions initiales particulières. Pour cela, on perturbe la solution stationnaire dans laquelle les véhicules sont tous équidistants aux instants initiaux. Le second chapitre porte sur l’homogénéisation d’une équation de Hamilton-Jacobi dont l’Hamiltonien est discontinu en espace. Le modèle de trafic associé est une route rectiligne comportant une infinité de feux tricolores. Ces feux sont supposés identiques, équidistants et le déphasage entre deux feux successifs est supposé constant. On étudie l’influence à grande échelle de ce déphasage sur le trafic. On distingue la portion de route libre, qui sera représentée par un modèle macroscopique, et les feux, qui seront modélisés par des limiteurs de flux périodiques en temps. Le cadre théorique est celui par C. Imbert et R. Monneau (2017) pour les équations de Hamilton-Jacobi sur réseaux. L’étude se décompose en l’homogénéisation théorique, où l’Hamiltonien effectif dépend du déphasage, puis l’obtention de propriétés qualitatives de cet Hamiltonien à l’aide d’observations via des simulations numériques. Le troisième chapitre présente des résultats d’homogénéisation en milieu presque périodique. On étudie tout d’abord un problème d’évolution avec un Hamiltonien stationnaire, presque périodique en espace. À l’aide d’arguments presque périodiques, on effectue dans un second temps une nouvelle preuve du résultat d’homogénéisation du second chapitre. L’Hamiltonien est alors périodique en temps et presque périodique en espace. Sont également présentes des questions encore ouvertes, notamment dans le cas où l’Hamiltonien est presque périodique en temps-espace, et dans le cas d’un modèle de trafic où les feux sont assez proches, avec donc un modèle microscopique entre les feux / This thesis report deals with the homogenization in space and time of some first order Hamilton-Jacobi equations. It contains two contributions. The corresponding equations are derived from traffic flow modelling. We finally present some results of almost periodic homogenization. In the first chapter, we consider a one dimensional pursuit law with delay which is derived from traffic flow modelling. It takes the form of an infinite system of first order coupled delayed equations. Each equation describes the motion of a driver who interacts with the preceding one: such a model is referred to as a ``follow-the-leader" model. We take into account the reaction time of drivers. We derive a macroscopic model, namely a Hamilton-Jacobi equation, by a homogenization process for reaction times that are below an explicit threshold. The key idea is to show, that below this threshold, a strict comparison principle holds for the infinite system. Above this threshold, we show that collisions can occur. In a second time, for well-chosen dynamics and higher reaction times, we show that there exist some microscopic pursuit laws that do not lead to the previous macroscopic model. Such a law is here derived as a perturbation of the stationnary solution, for which all the vehicles are equally spaced at initial times. The second chapter is dedicated to the homogenization of a Hamilton-Jacobi equation for traffic lights. We consider an infinite road where lights are equally spaced and with a constant phase shift between two lights. This model takes the form of a first order Hamilton-Jacobi equation with an Hamiltonian that is discontinuous in the space variable and the notion of viscosity solution is the one introduced by C. Imbert and R. Monneau (2017). Each light is modelled as a time-periodic flux limiter and the traffic flow between two lights corresponds to the classical LWR model. The global Hamiltonian will be time-periodic but not periodic in space for a general phase shift. We first show that the rescaled solution converges toward the solution of the expected macroscopic model where the effective Hamiltonian depends on the phase shift. In a second time, numerical simulations are used to analyse the effect of the phase shift on the effective Hamiltonian and to reveal some properties of the effective Hamiltonian from the numerical observations. In the third chapter, we are interested in some homogenization problems of Hamilton-Jacobi equations within the almost periodic setting which generalizes the usual periodic one. The first problem is the evolutionary version of the work cite {ishii2000almost}, with the same stationary Hamiltonian. The second problem has already been solved in the second chapter but we use here almost periodic arguments for the time periodic and space almost periodic Hamiltonian. We only study the ergodicity of the associated cell problems. We finally discuss open problems, the first one concerning a space and time almost periodic Hamiltonian and the second one being a microscopic model for traffic flow modelling where the Hamiltonian is almost periodic in space

Dans cette thèse nous étudions les théorèmes limites dans l’analyse statistique dessystèmes dynamiques. Le premier chapitre est consacré aux notions des bases des systèmesdynamiques ainsi que la théorie ergodique. Dans le deuxième chapitre nous introduisonsun cadre fonctionnel abstrait pour lequel la version quenched du théorème de la limitecentrale (TLC) en dimension 1 pour les systèmes dynamiques uniformément dilatantsest satisfaite sous une condition de validité nécessaire et suffisante. Le troisième chapitreest consacré au principe d’invariance presque sûr (PIPS) pour les application aléatoiresdilatantes par morceaux. Nous présentons certaines hypothèses sous lesquelles le (PIPS)est vérifié en utilisant la méthode d’approximation des martingales de Cuny et Merlèvede.Nous étudions aussi le théorème de Sprindzuk et ses conséquences. Nous établissons dansle chapitre quatre la décroissance des corrélations pour les systèmes dynamiques aléatoiresuniformément dilatants par la méthode de couplage en dimension 1. Nous terminons cetravail par une présentation des concepts de base de la théorie des mesures et probabilitéset une présentation de l’espace des fonctions à variation bornée. / In this thesis we study the limit theorems in the statistical analysis of dynamicalsystems. The first chapter is devoted to the basic notions in dynamical systems as well asthe ergodic theory. In the second chapter we introduce an abstract functional frameworkunder which the quenched version of the central limit theorem (CLT) in dimension 1for uniformly expanding dynamic systems is satisfied under a necessary and sufficientcondition validity. The third chapter is devoted to the almost sure invariance principle(ASIP) for random piecewise expanding maps. We present some hypotheses under whichthe (ASIP) is verified using the method of approximation of the martingales of Cuny andMerlèvede. We also study the Sprindzuk theorem and its consequences. In chapter four,we define the decay of correlations for the random dynamical systems uniformly expandingby the coupling method in dimension 1. We finish this work with a presentation of thebasic concepts of the theory of measures and probabilities and a presentation of the spaceof functions with bounded variation.

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois problèmes d'hyperbolicité complexe et presque complexe. La première partie est dédiée à la recherche d'une conséquence quantitative de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi, qui est une propriété qualitative. Le résultat obtenu prend la forme d'une inégalité isopérimétrique qui évoque l'inégalité d'Ahlfors relative aux recouvrements des surfaces de surfaces. Sa démonstration est purement riemannienne.La deuxième partie de la thèse est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Borel, qui affirme que les courbes entières dans le plan projectif complexe évitant quatre droites en position générale sont linéairement dégénérées. Dans un plan projectif presque complexe, les J-droites substituent aux droites projectives et nous disposons d'un énoncé analogue pour les J-courbes entières. La démonstration de ce résultat repose sur l'utilisation de projections centrales et sur la théorie de recouvrement des surfaces d'Ahlfors.La dernière partie est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Bloch, qui affirme qu'une suite non normale de disques holomorphes du plan projectif évitant quatre droites en position générale converge, en un certain sens, vers une réunion de trois droites. Notre résultat implique en particulier l'hyperbolicité du complémentaire dans le plan projectif presque complexe de quatre J-droites modulo trois J-droites. / This thesis is dedicated to the study of three problems of complex and almost complex hyperbolicity. Its first part is dedicated to the research of a quantitative consequence to Kobayashi hyperbolicity, which is a qualitative property. The result we obtain has the form of an isoperimetric inequality that suggests Ahlfors' inequality, the central result of the theory of covering surfaces. Its proof uses only riemannian tools.The second part of the thesis is dedicated to the proof of an almost complex version of Borel's theorem, which says that an entire curve in the compex preojective plane missing four lines in general position is degenerate. In an almost compex context, we can obtain a similar result for entire J-curves just by replacing projective lines by J-lines. The proof of this result uses central projections and Ahlfors' theory of covering surfaces.The last part is dedicated to the proof of an almost complex version of Bloch's theorem, which says that given a sequence of holomorphic discs in the projective plane, either it is normal, either it converges in some sens to a reunion of three lines. Our result will show in particular that the complementary set of four J-lines in general position is hyperbolic modulo three J-lines.

Cette thèse est consacrée à l'étude des groupes et des corps dont les ensembles définissables n'admettent pas certaines configurations combinatoires. Étant donné un groupe G , un problème particulier qui nous intéresse est de trouver des enveloppes définissables de sous-groupes abéliens, nilpotents ou résolubles de G ayant les mêmes propriétés algébriques. De tels enveloppes existent si G est stable, et même si G est seulement dépendant mais saturé, avec l'hypothèse supplémentaire de normalité pour le cas des sous-groupes résolubles. Dans les groupes ayant une théorie simple, on obtient des enveloppes définissables à indice fini près. Nous introduisons la notion de presque centralisateur et nous établissons certaines de ses propriétés de base.Cela nous permet d'étendre les résultats mentionnés ci-dessus à des Mc~ groupes, i. e. des groupes dans lesquels toutes sections définissables satisfont une condition de chaîne sur les centralisateurs à indice fini près. Ceux-ci incluent les groupes définissables dans une théorie rose et en particulier dans une théorie simple.En s'inspirant de la preuve pour les groupes dépendants et en utilisant les techniques développées sur les presque centralisateurs dans cette thèse, nous démontrons l'existence des enveloppes définissables à indice fini près pour des sous groupes abélien, nilpotents ou normaux et résolubles de tout groupe NTP2 assez saturé. En utilisant les enveloppes des sous-groupes nilpotents de Mc~ groupes et la condition de chaîne sur les centralisateurs à indice fini près, nous montrons en outre que le sous-groupe de Fitting de tout Mc~ groupe est nilpotent et que son sous-groupe presque Fitting est résoluble-par-fini. La deuxième partie de cette thèse porte sur l'étude des corps n-dépendants. Nous démontrons que tout corps n-dépendant est Artin-Schreier clos et que les corps PAC non séparablement clos ne sont pas n-dépendants pour tout nombre naturel n / This thesis is dedicated to the study of groups and fields whose definable sets do not admit certain combinatorial patterns. Given a group G, one particular problem we are interested in is to find definable envelopes for arbitrary abelian, nilpotent or solvable subgroups of G which admit the same algebraic properties. Such evelopes exists if G is stable and even if G is merely dependent but sufficiently saturated, with the additional hypothesis of normality in the solvable case. In groups with a simple theory, one obtains definable envelopes up to finite index.We introduce the notion of an almost centralizer and establish some of its basic properties. This enables us to extend the aforementioned results to Mc~ groups, i. e. groups in which any definable section satisfies a chain condition on centralizers up to finite index. These include any definable group in a rosy and in particular in a simple theory. Furthermore, inspired from the proof in dependent theories as well as using techniques developed for almost centralizers in this thesis, we are able to find definable envelopes up to finite index for abelian, nilpotent and normal solvable subgroups of any enough saturated NTP2 group. Moreover, using envelopes for nilpotent subgroups of Mc~ groups and the chain condition on centralizer up to finite index, we show additionally that the Fitting subgroup of any Mc~ group is nilpotent and that its almost Fitting subgroup is virtually solvable.The second part of this thesis focuses on the study of n-dependent fields. We prove that any n-dependent field is Artin-Schreier closed and that non separably closed PAC fields are not n-dependent for any natural number n

Pour une base fixée, les entiers ellipséphiques (c'est-à-dire les entiers dont l'écriture n'utilise que certains chiffres) et les palindromes forment des sous ensembles éparses des entiers, ensembles définis par des conditions digitales. Nous étudions si ces ensembles ont des propriétés multiplicatives similaires à celles des entiers.<br>Nous évaluons d'abord les grands moments de la série génératrice des entiers ellipséphiques. Comme application, nous en déduisons l'existence d'un 0 < c < 1 tel que pour tout entier k, une infinité d'entiers ellipséphiques n possédant un diviseur p^k de l'ordre de n^c, p désignant un nombre premier. De plus, le nombre de tels entiers est de l'ordre de grandeur attendu.<br>Nous établissons ensuite un résultat de crible où les modules possédant un nombre anormalement grand de diviseurs sont écartés du terme d'erreur. Nous en déduisons l'existence d'une proportion positive d'entiers ellipséphiques friables c'est-à-dire possédant tous leurs facteurs premiers majorés par n^c, pour une constante c < 1 fixée.<br>Nous montrons enfin à l'aide de techniques élémentaires comment réduire l'étude de la série génératrice des palindromes à une série proche de celle des entiers ellipséphiques ce qui permet d'étudier la répartition des palindromes dans les progressions arithmétiques et ainsi d'obtenir une majoration de l'ordre de grandeur attendu du nombre de palindromes premiers. Nous en déduisons en particulier l'existence d'une infinité de palindromes possédant en base 10 au plus 372 facteurs premiers (comptés avec multiplicité).

Dans ce travail nous menons une étude probabiliste et statistique de processus de diffusion multidimensionnels. Dans une première partie, nous nous intéressons à des conditions nécessaires et suffisantes pour la convergence presque sûre ou la divergence presque sûre de certaines fonctionnelles intégrales de tels processus. Dans une deuxième partie nous étudions certains problèmes d'estimation de paramètres pour les diffusions

Cette Thèse est composée de deux parties portant respectivement sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques et sur le théorème de la limite centrale presque sûre pour les martingales.<br /><br />La première Partie est composée de trois chapitres: Le premier chapitre introduit le cadre de l'étude et présente les résultats obtenus. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'une nouvelle méthode d'accélération de convergence, appelée méthode de Romberg statistique, pour le calcul d'espérances de fonctions ou de fonctionnelles d'une diffusion.<br />Ce chapitre est la version augmentée d'un article à paraître dans la revue Annals of Applied Probability.<br /><br />Le troisième chapitre traite de l'application de cette méthode à l'approximation de densité par des méthodes de noyaux.<br />Ce chapitre est basé sur un travail en collaboration avec Arturo Kohatsu-Higa.<br /><br />La deuxième partie de la thèse est composée de deux chapitres: le premier chapitre présente la littérature récente concernant le théorème de la limite centrale presque sûre et ses extensions. Le deuxième chapitre, basé sur un travail en collaboration avec Faouzi Chaâbane, étend divers résultats de type TLCPS à des martingales quasi-continues à gauche.

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques problèmes de géométrie différentielle, dans les cadres complexe et presque complexe. Nous donnons d'abord des formules de type Bochner-Kodaira-Nakano pour des fibrés hermitiens au-dessus de variétés respectivement hermitiennes, presque kählériennes et presque complexes. Puis dans un deuxième temps, à l'aide d'une des formules précédentes, nous obtenons dans le cas complexe des estimées asymptotiques d'une partie du spectre de certains opérateurs différentiels : considérant une $(1,1)$-forme réelle fermée $\alpha$ (non nécessairement entière) sur une variété complexe compacte de dimension $n$, nous construisons une suite (indexée par $k$) de fibrés en droites hermitiens dont les formes de courbure approchent $k\alpha$. Les estimées asymptotiques portent sur le bas du spectre des laplaciens antiholomorphes associés aux fibrés, et la plus significative fait intervenir l'intégrale de $\alpha^n$ au-dessus des points d'indice 0 ou 1 de la variété. Elle n'est pertinente que si cette dernière intégrale est strictement positive.

Le propos de cette thèse est l'étude de la norme ||G+T|| d'une perturbation compacte d'un opérateur G agissant entre des espaces de Banach. Dans un premier temps nous abordons le problème du point de vue de la propriété de Daugavet : un opérateur G un centre de Daugavet si tout opérateur T de rang 1 (ou de manière équivalente tout opérateur compact) vérifie ||G+T||=||G||+||T||. Dans le premier chapitre, nous donnons des exemples de centres de Daugavet parmi les opérateurs de composition à poids agissant sur certains espaces de fonctions, comme par exemple l'espace C(K) des fonctions continues sur un compact parfait K, l'algèbre du disque, ou encore l'espace des fonctions lipschitziennes sur un espace métrique complet. Dans le second chapitre, nous étudions une propriété un peu plus faible, à savoir que l'équation ||G+T||=||G||+||T|| ne soit plus satisfaite que pour une certaine classe d'opérateurs de rang 1, et nous appelons alors un tel opérateur G un presque centre de Daugavet. Nous donnons une caractérisation des presque centres de Daugavet en terme de l^1-type canonique et d'épaisseur de l'opérateur G. Ceci nous permet alors d'obtenir une caractérisation des opérateurs qui fixent une copie de l'espace l^1. Le point de vue du dernier chapitre est différent : on ne cherche plus à trouver G qui " maximise " la norme de G+T pour tout opérateur compact T, mais à trouver un opérateur compact T qui minimise ||G+T||. En d'autres termes, on cherche à évaluer la norme essentielle de G. Nous complétons certains résultats obtenus dans le cadre des opérateurs de composition à poids agissant entre différents espaces de Hardy.