Le codage parcimonieux permet la reconstruction d'un signal à partir de quelques projections linéaires de celui-ci, sous l'hypothèse que le signal se décompose de manière parcimonieuse, c'est-à-dire avec peu de coefficients, sur un dictionnaire connu. Le codage est simple, et la complexité est déportée sur la reconstruction. Après une explication détaillée du fonctionnement du codage parcimonieux, une présentation de quelques résultats théoriques et quelques simulations pour cerner les performances envisageables, nous nous intéressons à trois problèmes : d'abord, l'étude de conception d'un système permettant le codage d'un signal par une matrice binaire, et des avantages apportés par une telle implémentation. Ensuite, nous nous intéressons à la détermination du dictionnaire de représentation parcimonieuse du signal par des méthodes d'apprentissage. Enfin, nous discutons la possibilité d'effectuer des opérations comme la classification sur le signal sans le reconstruire.

Cette thèse s'intéresse à la question récurrente qu'est la résolution d'un problème pour un grand nombre de configurations différentes. Malgré l'augmentation constante de la puissance de calcul que l'on connait aujourd'hui, le traitement direct d'un tel problème reste souvent hors de portée. La technique qui est développée ici est basée sur l'utilisation de la Proper Generalized Decomposition (PGD) dans le cadre de la méthode LATIN. On étudie tout d'abord la capacité de cette technique de réduction de modèle à résoudre un problème paramétré pour un espace de conception donné. Lors du traitement d'un tel problème, on génère une base réduite que l'on peut réutiliser et éventuellement enrichir en traitant un par un les problèmes correspondants aux jeux de paramètres étudiés. Le but devient alors de développer une stratégie, inspirée par la méthode " Reduced Basis ", afin d'explorer de façon rationnelle l'espace des paramètres. L'objectif étant de construire, avec le minimum de résolutions, une base réduite " complète " qui permet de résoudre tous les autres problèmes de l'espace de conception sans enrichir cette base. On commence dès lors par montrer l'existence d'une telle base complète en extrayant les informations les plus pertinentes des solutions PGD d'un problème pour tous les jeux de paramètres de l'espace de conception. On propose ensuite une stratégie rationnelle pour construire cette base complète sans la nécessité préalable de la résolution du problème pour tous les jeux de paramètres. Enfin, les performances de la méthode proposée sont illustrées sur plusieurs exemples, montrant des gains conséquents lorsque des études récurrentes doivent être menées.

On considère le problème de contrôle optimal de temps minimal pour des systèmes affine et mono-entrée en dimension finie, avec conditions initiales et finales fixées, où le contrôle scalaire prend ses valeurs dans un intervalle fermé. Lors de l'application d'une méthode de tir pour résoudre ce problème, on peut rencontrer des obstacles numériques car la fonction de tir n'est pas lisse lorsque le contrôle est bang-bang. Pour ces systèmes, dans le cas bang-bang, un concept théorique de temps conjugué a été défini, toutefois les algorithmes de calcul direct sont difficiles à appliquer. En outre, les questions théoriques et pratiques de la théorie du temps conjugué sont bien connues dans le cas lisse, et des outils efficaces de mise en oeuvre sont disponibles. On propose une procédure de régularisation pour laquelle les solutions du problème de temps minimal dépendent d'un paramètre réel positif suffisamment petit et sont définis par des fonctions lisses en temps, ce qui facilite l'application de la méthode de tir simple. Sous des hypothèses convenables, nous prouvons un résultat de convergence forte des solutions du problème régularisé vers la solution du problème initial, lorsque le paramètre réel tend vers zéro. Le calcul des temps conjugués pour les trajectoires localement optimales du problème régularisé est standard. Nous prouvons, sous des hypothèses appropriées, la convergence du premier temps conjugué du problème régularisé vers le premier temps conjugué du problème de contrôle bang-bang initial, quand le paramètre réel tend vers zéro. Ainsi, on obtient une procédure algorithmique efficace pour calculer les temps conjugués dans le cas bang-bang.

L'objectif de ce travail est d'apporter une contribution à la résolution des problèmes d'identification paramétrique, notamment lorsque ces paramètres sont des fonctions de l'espace et/ou du temps. Dans un premier temps, nous nous intéressons au cadre de l'identification paramétrique de modèles régis par des équations différentielles ordinaires. Ceci est l'occasion de proposer une démarche de base de résolution du problème inverse, utilisant la solution d'un problème d'état adjoint. Deux exemples issus du domaine de la simulation multicorps et proposant l'utilisation de données expérimentales transitoires permettent d'illustrer le bien-fondé de cette démarche ainsi que d'exposer quelques pistes de régularisation spécifiques. Dans un deuxième temps, l'identification de champs spatiaux de paramètres est abordée. Les problèmes s'inscrivant dans ce cadre sont alors régis par des équations aux dérivées partielles, et il devient nécessaire d'avoir accès à des données expérimentales les plus riches possibles, telles que celles que peuvent offrir les techniques de mesures de champs. Pour résoudre ce type de problème inverse, nous adjoignons à la démarche présentée précédemment une recherche du champ spatial de paramètres effectuée à l'aide d'un maillage spécifique, initialement grossier, et progressivement raffiné selon des techniques d'adaptation de maillage. Ceci permet alors de développer une stratégie adaptative d'identification, dont les propriétés de régularisation facilitent la résolution du problème inverse, et qui laisse entr'apercevoir des possibilités d'extensions multiéchelles. Dans un dernier temps, nous présentons enfin une approche complètement multiéchelle, dans le cadre peu répandu de l'homogénéisation périodique en temps. Cette dernière permet d'aborder de façon efficace la simulation de l'évolution "lente" d'un système soumis à des sollicitations cycliques "rapides". Nous proposons alors sur un exemple quelques investigations autour d'une formulation du problème d'identification paramétrique adaptée à ce cadre multiéchelle.

Pour connaître l'état magnétique d'un objet complexe, bien souvent, la seule solution est de mesurer l'induction créée par la pièce en un nombre discret de points. La difficulté est alors de remonter à l'aimantation à partir de ces mesures. Une modélisation des * sources magnétiques est d'abord recherchée. La décomposition en harmoniques sphériques du champ mesurable ainsi que la recherche de dipôles normaux équivalents répartis sur la surface de l'objet sont étudiées. Leurs avantages et inconvénients étant très complémentaires, un nouveau modèle, synthèse des deux précédents, est proposé. Ensuite, l'utilisation d'un algorithme bayésien permet d'intégrer dans la projection de la mesure sur le modèle, les incertitudes et incohérences créées par l'imperfection de la mesure. En contrepartie, nous n'obtenons plus qu'un intervalle de confiance sur les valeurs recherchées. Enfin, une étude paramétrique analytique permet de connaître les performances du système. En particulier, le choix du type de capteurs de mesure est abordé.

Ces travaux abordent la problématique du contrôle endogène dans les Systèmes Multi-Agents (SMA) pour la résolution de problèmes complexes, que nous explorons grâce au problème de partage de ressources critiques. Les problèmes dits complexes que nous abordons se caractérisent par une explosion combinatoire du nombre de solutions avec la taille des problèmes, une forte dynamique des données du problème induite par un environnement ouvert dans lequel de nombreux événements peuvent avoir lieu, une grande complexité systémique issue des interdépendances entre les nombreuses variables du problèmes et enfin une décentralisation du processus de résolution imposée par une distribution physique et fonctionnelle des variables incompatible avec une vision centralisée du problème. Un parcours complet des espaces de recherche associés à de tels problèmes est irréaliste en un temps acceptable, il est alors nécessaire d'employer des méthodes de résolution dite incomplètes. Quelque soit l'approche incomplète considérée, le parcours incomplet de l'espace de recherche requiert un contrôle afin de maximiser la probabilité de converger vers une solution satisfaisante. Nous identifions trois niveaux de contrôle du parcours de l'espace de recherche indépendamment de l'approche utilisée : un contrôle statique (définition a priori du comportement du système), un contrôle dynamique (évoluant en cours de résolution selon des mécanismes préétablis) et un contrôle adaptatif (évoluant dynamiquement en cours de résolution). Nous montrons qu'un contrôle endogène de l'activité du système, c.-à-d. un contrôle adaptatif issu de l'activité même des agents, est nécessaire au guidage du parcours de l'espace de recherche dans le contexte de résolution de problèmes complexes. Ces travaux ayant été réalisés dans un contexte de collaboration industrielle, ils s'appuient sur une approche développée au cours de précédents travaux : CESNA (Complex Exchanges between Stigmergic Negotiating Agents). CESNA est une approche multi-agents auto-organisationnelle exploitant des agents situés dans un environnement matérialisant le problème et exploité par un processus de résolution basé sur une négociation stigmergique entre les agents. Le cas applicatif utilisé par l'approche CESNA et permettant d'illustrer ces travaux est le problème de partage de ressources critiques, caractérisé par un ensemble restreint de ressources exploitées par un grand nombre de consommateurs. Nos contributions sont de deux types : nous avons dans un premier temps proposé des évolutions de la représentation du problème exploitée par l'approche initiale (CESNA) afin d'en supprimer les limitations interdisant un passage à l'échelle, et dans un second temps, nous avons défini un nouveau modèle (MANA : Multi-level bAlancing Negotiating Agents) exploitant cette nouvelle représentation à l'aide d'un nouveau processus de résolution basé sur des mécanismes endogènes de contrôle de l'activité du système. Ces mécanismes reposent sur la matérialisation des effets microscopiques du phénomène macroscopique à orienter (le parcours de l'espace de recherche) afin de le rendre perceptible localement par les agents. Nos mesures montrent que ce nouveau modèle permet le passage à l'échelle (la résolution de problèmes industriels de grande taille) et une amélioration significative des performances de résolution par rapport à l'approche initiale montrant ainsi l'efficacité du guidage permis par les mécanismes utilisés.

Cette thèse porte sur la construction de modèles stochastiques, régionaux et globaux du champ magnétique sur les quatre derniers millénaires à l'aide de mesures archéomagnétiques. Ces données présentent une répartition spatiale et temporelle très inhomogène, et sont caractérisées par de fortes incertitudes sur la mesure et sur la date. La reconstruction du champ constitue alors un problème inverse mal posé. Afin de déterminer la solution la plus adaptée, une information a priori sur le modèle doit être choisie. Elle consiste généralement en une régularisation arbitraire du champ magnétique (lissage en temps et en espace). Contrairement aux études précédentes, nous utilisons les statistiques temporelles du champ magnétique, dérivées des données d'observatoires, satellitaires et paléomagnétiques pour définir l'information a priori via des fonctions d'auto-covariances. Ces statistiques sont confirmées par des résultats issus de simulations numériques. Cette méthode bayésienne permet de s'affranchir de l'utilisation de fonctions supports arbitraires comme les splines pour l'interpolation temporelle. Le résultat final consiste en un ensemble de réalisations possibles du champ magnétique dont la dispersion caractérise l'incertitude sur le modèle. Afin de prendre en compte les erreurs de datation, nous développons par ailleurs une méthode basée sur l'utilisation de Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Elle nous permet d'explorer de manière efficace l'espace des dates possibles et ainsi de sélectionner les modèles les plus probables. Cette méthode est une amélioration de la méthode de bootstrap classique, qui donne le même poids à des tirages aléatoires de dates présentant des probabilités très variables. Les ensembles de réalisations sélectionnés par la méthode MCMC aboutissent à la construction d'une densité de probabilités en lieu et place d'une courbe unique. La méthode bayésienne combinée à la méthode Markov Chain Monte Carlo nous a permis de construire des courbes régionales présentant des variations plus rapides que celles obtenues par d'autres études. Les courbes représentées sous forme de densités de probabilités ne sont pas nécessairement gaussiennes, et la méthode permet d'affiner l'estimation de l'âge de chacune des observations. La méthode bayésienne a été utilisée pour la construction de modèles globaux pour lesquels le dipôle axial présente des variations plus rapides que celui obtenu par de précédentes études. D'autre part, le champ magnétique obtenu pour les époques les plus récentes est raisonnablement similaire à celui construit à partir de mesures directes (satellites, observatoires, historiques) malgré des données beaucoup moins nombreuses et une répartition beaucoup moins homogène. Les modèles issus de cette étude offrent une alternative aux modèles existants régularisés, et pourront servir dans un objectif d'assimilation de données avec des modèles de la dynamique dans le noyau terrestre. / The aim of this thesis is to build stochastic models of the magnetic field for the last four millenia from archeomagnetic measurements. The sparse repartition of these data in space and time, and their associated large measurement and dating errors lead to an ill-posed problem. To determine the best solution, one needs to choose some prior information which consists usually on arbitrary regularizations in space and time. Instead, we use the temporal statistics of the geomagnetic field available from satellites, observatories and paleomagnetic measurements, and validated by numerical simulations, to define our prior information via auto-covariance functions. This bayesian method allows to get rid of arbitrary support functions, like splines, usually necessary to interpolate the model in time. The result consists in an ensemble of several possible realizations of the magnetic field. The ensemble dispersion represents the model uncertainties. We find that the methodology can be adapted to account for the age uncertainties and we use Markov Chain Monte Carlo to explore the possible dates of observations. This method improves the bootstrap method which gives the same weight to every draws of dates presenting very disparate probabilities. Each ensemble of realizations is then constructed from each selected model and the result is presented as a probability density function. The bayesian method together with the Markov Chain Monte Carlo provides regional time series with rapid variations compared to previous studies. We find that the possible values of geomagnetic field elements are not necessarily normally distributed. Another output of the model is better age estimates of archeological artefacts. The bayesian method has been used to build global models for which the axial dipole presents more rapid variations than for previous studies. Moreover, the obtained magnetic field displays reasonably similar behavior than models obtained from direct measurements (satellites, observatories, historical), despite very few data and sparser repartition. Models obtained from this study offer an alternative to published regularized models and can be used in a purpose of data assimilation together with dynamical models in the Earth's core.

L’électro-localisation est le nom donné aux capacités sensorielles de certains poissons électriques, vivant en eaux troubles, capables de détecter les perturbations électrostatiques dues à la présence d’objets dans leurs voisinages. Cette aptitude à interpréter un signal électrique pour se repérer dans l’espace ouvre l’importance perspectives, notamment dans le domaine de la robotique brio-inspiré. Mathématiquement, l’électrolocalisation est proche de la tomographie d’impédance électrique : il s’agit donc d’un problème inverse non linéaire, notoirement mal posé. Nous proposons dans cette thèse d’étudier des méthodes de reconstruction qui permettraient d’obtenir de manière robuste certaines caractéristiques de la forme des obstacles, plutôt que l’ensemble des détails de leurs géométries. Il s’agit donc d’étudier la stabilité de la partie observable des obstacles par rapport à des erreurs dans les mesures. / Electrolocation is the name given to the sensor ability for certain electric fish robots, which are able to detect electrostatic perturbations caused to the presence of some objects in their neighborhood. This ability to interpret an electrical signal to locate itself in space opens important perspectives, including in the field of biologically inspired robotics. Mathematically, electrolocation is linked to the electric impedance tomography: so it’s about a non-linear inverse problem, particularly ill-posed problem. We will, in this Phd, study some methods of reconstruction, which could be obtain robustly some characteristic of the obstacle’s shape, rather all of their geometry details. So, it’s about to study the stability between the observable part of the obstacles and the errors of measurements.

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Ce travail de thèse apporte des éléments méthodologiques pour l'interprétation rapide de données électromagnétiques transitoires (TEM) aéroportées. Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés au problème de l'inversion 1D qui est, à ce jour, un traitement standard. Nous nous sommes ensuite focalisés sur le problème de l'inversion 2D rapide. En nous basant sur les résultats de modélisations numériques, nous proposons un modèle empirique de sensibilité pour effectuer une inversion 2D rapide. Les tests effectués sur des données synthétiques et réelles s'avèrent très prometteurs. Ensuite, nous étudions analytiquement l'effet de la topographie. Pour un demi-espace homogène incliné, nous montrons que la direction des courants induits dans le sous-sol dépend de l'angle de l'interface air/sol. Nous proposons alors une méthode pour prendre en compte cet effet. Enfin, nous testons nos méthodes de traitement sur des données VTEM acquises dans le bassin de Franceville au Gabon. / This PhD work provides methodological tools for the fast interpretation of airborne transient electromagnetic data (ATEM). As our first step, we focused on the problem of 1D ground imaging, which is currently a standard treatment. Then, we focused on the fast 2D imaging problem. We proposed an empirical sensitivity function that allows fast 2D inversion. The results of the 2D empirical inversion when applied on both synthetic and real data sets are very promising. In the third part, we analyzed the effect of topography on the airborne EM data. For an inclined homogeneous half-space, we show that the direction of the ground induced current is parallel to the surface air/ground. Then, we proposed a method to take into account this effect. Finally, the tools developed during this PhD have been applied to a real VTEM data set acquired over the basin of Franceville, in Gabon.