La compétence à résoudre des problèmes mathématiques est l’une des compétences à développer en mathématique chez les élèves de niveau primaire. Cette compétence représentant généralement un défi pour ceux-ci, nous nous intéressons au rôle des habiletés sociales des élèves (Goldstein et Mcginnis, 1997; Hanin et Van Nieuwenhoven, 2018), dans son développement. Ainsi, pour la phase d’expérimentation, nous avons proposé cinq situations-problèmes à résoudre à deux sous-groupes de quatre élèves de 10 ans. Ces situations-problèmes ont d’abord été travaillées de façon individuelle. Les interactions entre les élèves de chaque équipe ont été enregistrées et transcrites en verbatim pour être analysées. Des grilles d’observation des manifestations des différents types d’habiletés sociales sont venues compléter cette étude. L’analyse des interactions, des grilles et des productions tend à montrer que les habiletés sociales de type organisationnel, fonctionnel, affectif et social, évoluent de façon plus ou moins étroite avec les productions produites par les membres des deux groupes. / One of the skills to be developed in mathematics for elementary school students is the skill of solving mathematical problems. As this skill generally represents a challenge for them, we are interested in the role of students' social skills (Goldstein and Mcginnis, 1997; Hanin and Van Nieuwenhoven, 2018), in its development. Thus, for the experimental phase, we proposed five problem situations to solve to two subgroups of four 10-year-old students. These problem situations were first worked on an individual basis. The interactions between the students of each team were recorded and transcribed in verbatim for analysis. Observation grids of the manifestations of the different types of social skills supplemented this study. The analysis of interactions, grids and productions tend to show that social skills of an organizational, functional, emotional and social type, evolve more or less closely with the productions produced by the members of the two groups.

Cette thèse présente une analyse de la compétence de résolution collaborative de problèmes des futur(e)s enseignant(e)s de l’enseignement primaire dans un contexte de robotique pédagogique. Au moment où l’environnement quotidien de l’être humain est de plus en plus marqué par la présence d’avancées technologiques telles que l’intelligence artificielle ou la robotique, de nouvelles compétences doivent être développées ou améliorées chez les citoyens. D’une part, la résolution collaborative de problèmes est identifiée dans la littérature scientifique comme une compétence fondamentale du XXIe siècle. D’autre part, la robotique pédagogique, soit l’intégration pédagogique des technologies robotiques dans le but de développer des compétences ou d’atteindre des objectifs d’apprentissage, s’intègre dans les écoles primaires au Québec et, donc, dans la formation initiale des enseignant(e)s de l’enseignement primaire. Ainsi, nous avons cherché à analyser la manière dont se déroule la résolution collaborative de problèmes dans une activité de robotique pédagogique réalisée par de futur(e)s enseignant(e)s de l’enseignement primaire. Pour y parvenir, nous avons mobilisé une équipe constituée de quatre futur(e)s enseignant(e)s, inscrits en troisième année du baccalauréat en éducation au préscolaire et en enseignement au primaire, qui suivent le cours d’exploitation pédagogique de technologies de l’information et de la communication au primaire et au préscolaire. Ils ont participé à deux activités : une activité de robotique pédagogique et une session de laboratoire du changement. Les assises théoriques de notre étude relèvent de la théorie de l’apprentissage expansif et plus particulièrement de l’agentivité transformatrice. Le cadre d’investigation est constitué de la robotique pédagogique et de la matrice de résolution collaborative de problèmes dérivant de celle de l’Organisation pour la Coopération et le Développement Économique (2013) et mobilisée dans le cadre du Programme international pour le suivi des acquis des élèves (2015). Nous avons réalisé une recherche qualitative. Cette méthodologie de recherche repose, d’une part, sur le laboratoire du changement et, d’autre part, sur le croisement entre la lecture historicoculturelle et le cadre cognitif d’une activité de robotique pédagogique. L’analyse de l’activité de robotique pédagogique selon les actions de la théorie de l’apprentissage expansif, nous a conduit à identifier six actions : questionnement, analyse empirique et historique, modélisation de nouvelles pratiques, examen du nouveau modèle, implémentation du nouveau modèle et réflexion sur le processus. Grâce à l’analyse qualitative de cette activité de robotique pédagogique selon la matrice de résolution collaborative de problèmes, nous avons décrit les différentes actions de l’apprentissage expansif précédemment identifiées. Les participants ont déclaré avoir rencontré plusieurs difficultés liées à la résolution collaborative de problèmes, telles que l’ajustement de son implication tout au long de l’activité et l’adaptation aux méthodes de travail des autres membres de l’équipe. En ce qui concerne l’agentivité transformatrice, le type d’expressions les plus représentées s’avère la résistance, car les participants vivaient souvent des situations conflictuelles. La méthode d’analyse que nous avons développée pour étudier la division du travail nous a permis d’identifier des unités de travail émergentes et deux formes d’organisations de l’équipe : consciente et inconsciente. Cette thèse documente donc la résolution collaborative de problèmes dans une activité de robotique pédagogique et présente un cadre innovateur pour l’analyse du développement de cette compétence. Mots-clés : résolution collaborative de problèmes, problème complexe, robotique pédagogique, évaluation. / This thesis presents an analysis of the collaborative problem solving skills of future primary school teachers in an educational robotics context. Nowadays, our daily lives are increasingly marked by the presence of technological advances like artificial intelligence or robotics. Hence, 21st century citizens must develop or improve on new skills. On the one hand, collaborative problem solving is identified in the scientific literature as a core competency of the 21st century. On the other hand, educational robotics, which is the pedagogical integration of robotic technologies to develop skills or to achieve learning objectives, is increasingly integrated into primary schools’ curricula in Quebec and in the initial training of primary school teachers. Thus, our aim was to understand how collaborative problem solving takes place in an educational robotics activity carried out by future primary school teachers. To achieve this, we mobilized a team of four future primary school teachers. They are enrolled in the third year of the Bachelor in Early Childhood and Elementary Education. They attend a course on the pedagogical use of information and communication technologies at preschool and primary school levels. They participated in two activities: the first being an educational robotics activity and the second, a Change Laboratory. The theoretical framework of our study is made up of the theory of expansive learning and the transformative agency. The investigation framework is made up of educational robotics and the matrix of collaborative problem solving skills derived from OECD (2013) and used in Programme for International Student Assessment (2015). We carried out a qualitative research. The research methodology was based on the Change Laboratory and the crossing of a historical-cultural reading and a cognitive framework of an educational robotics activity. The analysis of the educational robotics activity using the actions of the theory of expansive learning, led to the identification of six actions: questioning, empirical and historical analysis, modeling of new practices, examination of the new model, implementation of the new model and reflection on the process. The qualitative analysis of this educational robotics activity using the matrix of collaborative problem solving made it possible to describe the various actions of expansive learning previously identified. The participants reported having encountered several difficulties related to collaborative problem solving such as balancing their involvement throughout the activity and adapting to the working methods of other team members. As far as transformative agency is concerned, resistance is the most represented type of expressions. This implies that participants were more in conflict situations. The analytical method we developed to study the division of labour enabled us to identify emerging work units and two forms of team organisations namely the voluntary organisation and the involuntary organisation. This thesis documents collaborative problem solving in an educational robotics activity and presents an innovative framework for the analysis of this skill. Keywords: collaborative problem solving, complex problem, educational robotics, assessments.

Dans cette thèse, nous étudions trois types de problèmes stochastiques : les problèmes avec contraintes probabilistes, les problèmes distributionnellement robustes et les problèmes avec recours. Les difficultés des problèmes stochastiques sont essentiellement liées aux problèmes de convexité du domaine des solutions, et du calcul de l’espérance mathématique ou des probabilités qui nécessitent le calcul complexe d’intégrales multiples. A cause de ces difficultés majeures, nous avons résolu les problèmes étudiées à l’aide d’approximations efficaces.Nous avons étudié deux types de problèmes stochastiques avec des contraintes en probabilités, i.e., les problèmes linéaires avec contraintes en probabilité jointes (LLPC) et les problèmes de maximisation de probabilités (MPP). Dans les deux cas, nous avons supposé que les variables aléatoires sont normalement distribués et les vecteurs lignes des matrices aléatoires sont indépendants. Nous avons résolu LLPC, qui est un problème généralement non convexe, à l’aide de deux approximations basée sur les problèmes coniques de second ordre (SOCP). Sous certaines hypothèses faibles, les solutions optimales des deux SOCP sont respectivement les bornes inférieures et supérieures du problème du départ. En ce qui concerne MPP, nous avons étudié une variante du problème du plus court chemin stochastique contraint (SRCSP) qui consiste à maximiser la probabilité de la contrainte de ressources. Pour résoudre ce problème, nous avons proposé un algorithme de Branch and Bound pour calculer la solution optimale. Comme la relaxation linéaire n’est pas convexe, nous avons proposé une approximation convexe efficace. Nous avons par la suite testé nos algorithmes pour tous les problèmes étudiés sur des instances aléatoires. Pour LLPC, notre approche est plus performante que celles de Bonferroni et de Jaganathan. Pour MPP, nos résultats numériques montrent que notre approche est là encore plus performante que l’approximation des contraintes probabilistes individuellement.La deuxième famille de problèmes étudiés est celle relative aux problèmes distributionnellement robustes où une partie seulement de l’information sur les variables aléatoires est connue à savoir les deux premiers moments. Nous avons montré que le problème de sac à dos stochastique (SKP) est un problème semi-défini positif (SDP) après relaxation SDP des contraintes binaires. Bien que ce résultat ne puisse être étendu au cas du problème multi-sac-à-dos (MKP), nous avons proposé deux approximations qui permettent d’obtenir des bornes de bonne qualité pour la plupart des instances testées. Nos résultats numériques montrent que nos approximations sont là encore plus performantes que celles basées sur les inégalités de Bonferroni et celles plus récentes de Zymler. Ces résultats ont aussi montré la robustesse des solutions obtenues face aux fluctuations des distributions de probabilités. Nous avons aussi étudié une variante du problème du plus court chemin stochastique. Nous avons prouvé que ce problème peut se ramener au problème de plus court chemin déterministe sous certaine hypothèses. Pour résoudre ce problème, nous avons proposé une méthode de B&B où les bornes inférieures sont calculées à l’aide de la méthode du gradient projeté stochastique. Des résultats numériques ont montré l’efficacité de notre approche. Enfin, l’ensemble des méthodes que nous avons proposées dans cette thèse peuvent s’appliquer à une large famille de problèmes d’optimisation stochastique avec variables entières. / In this thesis, we studied three types of stochastic problems: chance constrained problems, distributionally robust problems as well as the simple recourse problems. For the stochastic programming problems, there are two main difficulties. One is that feasible sets of stochastic problems is not convex in general. The other main challenge arises from the need to calculate conditional expectation or probability both of which are involving multi-dimensional integrations. Due to the two major difficulties, for all three studied problems, we solved them with approximation approaches.We first study two types of chance constrained problems: linear program with joint chance constraints problem (LPPC) as well as maximum probability problem (MPP). For both problems, we assume that the random matrix is normally distributed and its vector rows are independent. We first dealt with LPPC which is generally not convex. We approximate it with two second-order cone programming (SOCP) problems. Furthermore under mild conditions, the optimal values of the two SOCP problems are a lower and upper bounds of the original problem respectively. For the second problem, we studied a variant of stochastic resource constrained shortest path problem (called SRCSP for short), which is to maximize probability of resource constraints. To solve the problem, we proposed to use a branch-and-bound framework to come up with the optimal solution. As its corresponding linear relaxation is generally not convex, we give a convex approximation. Finally, numerical tests on the random instances were conducted for both problems. With respect to LPPC, the numerical results showed that the approach we proposed outperforms Bonferroni and Jagannathan approximations. While for the MPP, the numerical results on generated instances substantiated that the convex approximation outperforms the individual approximation method.Then we study a distributionally robust stochastic quadratic knapsack problems, where we only know part of information about the random variables, such as its first and second moments. We proved that the single knapsack problem (SKP) is a semedefinite problem (SDP) after applying the SDP relaxation scheme to the binary constraints. Despite the fact that it is not the case for the multidimensional knapsack problem (MKP), two good approximations of the relaxed version of the problem are provided which obtain upper and lower bounds that appear numerically close to each other for a range of problem instances. Our numerical experiments also indicated that our proposed lower bounding approximation outperforms the approximations that are based on Bonferroni's inequality and the work by Zymler et al.. Besides, an extensive set of experiments were conducted to illustrate how the conservativeness of the robust solutions does pay off in terms of ensuring the chance constraint is satisfied (or nearly satisfied) under a wide range of distribution fluctuations. Moreover, our approach can be applied to a large number of stochastic optimization problems with binary variables.Finally, a stochastic version of the shortest path problem is studied. We proved that in some cases the stochastic shortest path problem can be greatly simplified by reformulating it as the classic shortest path problem, which can be solved in polynomial time. To solve the general problem, we proposed to use a branch-and-bound framework to search the set of feasible paths. Lower bounds are obtained by solving the corresponding linear relaxation which in turn is done using a Stochastic Projected Gradient algorithm involving an active set method. Meanwhile, numerical examples were conducted to illustrate the effectiveness of the obtained algorithm. Concerning the resolution of the continuous relaxation, our Stochastic Projected Gradient algorithm clearly outperforms Matlab optimization toolbox on large graphs.

Notre travail est centré sur la démarche de découverte reposant sur des expérimentations réalisées avec Cabri-Géomètre. L'analyse d'un corpus débordant le cadre des Mathématiques clarifie la manière dont la découverte arrive ou est transmise, ainsi que le rôle de l'expérimentation dans ces processus. Elle justifie notre hypothèse de décomposition de la démarche de découverte expérimentale en macro-étapes pré- et post-conjectures elles-mêmes décomposables en micro-étapes du type exploration-interprétation..<br />L'analyse de la résolution d'une boîte noire particulière permet d'affiner notre modèle a priori de la démarche de découverte en y précisant le rôle de la figure (Duval), les niveaux de géométrie (praxéologies G1 et G2 de Parzysz) et leurs prolongements que nous développons (G1 et G2 informatiques), les cadres d'investigations (Millar) et la place de la preuve expérimentale (Johsua).<br />Les analyses des expérimentations mises en place permettent de disposer d'un modèle amélioré qui doit permettre aux enseignants d'avoir une connaissance minimale des étapes heuristiques du travail de leurs élèves, de concevoir des activités d'études et de recherches ayant des objectifs précis en liaison avec les étapes formalisées de notre modélisation et d'envisager leur possible évaluation.<br />Des analyses d'activités existantes avec notre grille montrent la validité du modèle étudié. Des propositions d'activités ont été construites pour favoriser l'apparition de telle ou telle phase de la recherche; elles montrent la viabilité de ce modèle dans la conception d'ingénieries didactiques générant une démarche conforme à la démarche postulée.

Cette thèse est centrée autour de l'étude théorique et de l'analyse numérique des équations paraboliques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non-linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l'étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d'unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en dimension un d'espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l'unicité avec le choix d'une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires. L'existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l'objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d'un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord. La deuxième partie de cette thèse traite d'un problème à frontière libre décrivant la propagation d'un front de combustion et l'évolution de la température dans un milieu hétérogène. Il s'agit d'un système d'équations couplées constitué de l'équation de la chaleur bidimensionnelle et d'une équation de type Hamilton-Jacobi. L'objectif de cette partie est de construire un schéma numérique pour ce problème en combinant des discrétisations du type éléments finis avec les différences finies. Ceci nous permet notamment de vérifier la convergence de la solution numérique vers une solution onde pour un temps long. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l'étude d'un problème unidimensionnel. Très vite, nous nous heurtons à un problème de stabilité du schéma. Cela est dû au problème de prise en compte de la condition de Neumann au bord. Par une technique de changement d'inconnue et d'approximation nous remédions à ce problème. Ensuite, nous adaptons cette technique pour la résolution du problème bidimensionnel. A l'aide d'un changement de variables, nous obtenons un domaine fixe facile pour la discrétisation. La monotonie du schéma obtenu est prouvée sous une hypothèse supplémentaire de propagation monotone qui exige que la frontière libre se déplace dans les directions d'un cône prescrit à l'avance.

Le problème d’approvisionnement conjoint (JDP) proposé est un problème de planification des tournées de livraisons sur un horizon de temps décomposé en périodes élémentaires, l’horizon de temps étant la période commune de livraison de tous les produits,. La donnée de ces paramètres permet d’obtenir une formulation linéaire du problème, avec des variables de décision binaires. Le modèle intègre aussi des contraintes de satisfaction de la demande à partir des stocks et des quantités livrées, des contraintes sur les capacités de stockage et de transport.Afin de résoudre aussi le problème de choix des tournées de livraison, il est nécessaire d'introduire dans le modèle des contraintes et des variables liées aux sites visités au cours de chaque tour. Il est proposé de résoudre le problème en deux étapes. La première étape est le calcul hors ligne du coût minimal de la tournée associé à chaque sous-ensemble de sites. On peut observer que pour tout sous-ensemble donné de sites, le cycle hamiltonien optimal reliant ces sites à l'entrepôt peut être calculé à l'avance par un algorithme du problème du voyageur de commerce (TSP). Le but ici n'est pas d'analyser pleinement le TSP, mais plutôt d'intégrer sa solution dans la formulation de JRP. .Dans la deuxième étape, des variables binaires sont associées à chaque tour et à chaque période pour déterminer le sous-ensemble de sites choisi à chaque période et son coût fixe associé. / The proposed joint delivery problem (JDP) is a delivery tour planning problem on a time horizon decomposed into elementary periods or rounds, the time horizon being the common delivery period for all products. The data of these parameters provides a linear formulation of the problem, with binary decision variables. The model also incorporates the constraints of meeting demand from stock and the quantities supplied, storage and transport capacity constraints.In order to also solve the problem of choice of delivery rounds, it is necessary to introduce in the model several constraints and variables related to the sites visited during each round. It is proposed to solve the problem in two steps. The first step is the calculation of the minimum off-line cost of the tour associated with each subset of sites. One can observe that for any given subset of sites, the optimal Hamiltonian cycle linking those sites to the warehouse can be calculated in advance by a traveling salesman problem algorithm (TSP). The goal here is not to fully analyze the TSP, but rather to integrate its solution in the formulation of the JRP. In the second stage, binary variables are associated with each subset and each period to determine the selected subset of sites in each period and its associated fixed cost.

Cette thèse est centrée autour de l’étude théorique et de l’analyse numérique des équations paraboliques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non-linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l’étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d’unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en dimension un d’espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l’unicité avec le choix d’une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires.L’existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l’objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d’un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord.La deuxième partie de cette thèse traite d’un problème à frontière libre décrivant la propagation d’un front de combustion et l’évolution de la température dans un milieu hétérogène. Il s’agit d’un système d’équations couplées constitué de l’équation de la chaleur bidimensionnelle et d’une équation de type Hamilton-Jacobi. L’objectif de cette partie est de construire un schéma numérique pour ce problème en combinant des discrétisations du type éléments finis avec les différences finies. Ceci nous permet notamment de vérifier la convergence de la solution numérique vers une solution onde pour un temps long. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’étude d’un problème unidimensionnel. Très vite,nous nous heurtons à un problème de stabilité du schéma. Cela est dû au problème de prise en compte de la condition de Neumann au bord. Par une technique de changement d’inconnue et d’approximation nous remédions à ce problème. Ensuite, nous adaptons cette technique pour la résolution du problème bidimensionnel. A l’aide d’un changement de variables, nous obtenons un domaine fixe facile pour la discrétisation. La monotonie du schéma obtenu est prouvée sous une hypothèse supplémentaire de propagation monotone qui exige que la frontière libre se déplace dans les directions d’un cône prescrit à l’avance. / This thesis focuses on the theoretical study and numerical analysis of parabolic equations with boundary conditions.The first part is devoted to degenerate parabolic equation which combines features of a hyperbolic conser-vation law with those of a porous medium equation. We define suitable notions of entropy solutions foreach of the boundary conditions (zero-flux, Robin, Dirichlet). The main difficulty in these studies residesin the formulation of the adequate notion of entropy solution and in the proof of uniqueness. There isa technical difficulty due to the lack of regularity required to treat the boundaries terms. We take ad-vantage of the fact that boundary regularity results are easier to obtain for the stationary problem, inparticular in one space dimension. Thus, using strong-weak uniqueness approach we get the uniquenesswith the choice of a non-symmetric test function and using the nonlinear semigroup theory. The exis-tence of solution is proved in two steps, combining the method of parabolic regularization and Galerkinapproximations. Next, we develop a direct approach to construct approximate solutions by an implicitfinite volume scheme. In both cases, the estimates in the appropriately chosen functional spaces are com-bined with arguments of weak or strong compactness and various tricks to pass to the limit in nonlinearterms. In the appendix, we propose a result of existence of strong trace of a solution for the degenerateparabolic problem. In another appendix of independent interest, we introduce a new concept of solutioncalled integral process solution. We exploit it to overcome the difficulty of proving the convergence ofour finite volume scheme to an entropy solution for the zero-flux boundary problem.The second part of this thesis deals with a free boundary problem describing the propagation of a com-bustion front and the evolution of the temperature in a heterogeneous medium. So we have a coupledproblem consisting of the heat equation of bidimensional space and a Hamilton-Jacobi equation. The ob-jective is to construct a numerical scheme and to verify that the numerical solution converges to a wavesolution for a long time. Recall that an existence of wave solution for this problem was already proven inan analytical framework. At first, we focus on the study of a one-dimensional problem. Here, we face aproblem of stability of the scheme. This is due to a difficulty of taking into account the Neumann boun-dary condition. Through a technique of change of unknown, we can propose a monotone scheme. Wealso adapt this technique for solving two-dimensional problem. Using a change of variables, we obtaina fixed domain where the discretization becomes easy. The monotony of the scheme is proved under anadditional assumption of monotone propagation that requires the free boundary moves in the directionsof a cone given beforehand.

Cette thèse étudie une classe des problèmes de Riemann-Hilbert Fuchsiens (à coefficients méromorphes dont tous les pôles sont d'ordre un). Les variétés de Frobenius apparaissent comme une formulation géométrique des structures d'équations de Witten-DijkgraafVerlande-Verlande (WDVV). Nous considérons ces variétés sur les espaces de Hurwitz vus, quant à eux, comme variétés réelles motivés par le fait qu'une variété de Frobenius semisimple peut être construite à partir d'une solution fondamentale du problème de Riemann-Hilbert associé. Une solution au problème Fuchsien de Riemann-Hilbert matriciel (problème de monodromie inverse) correspondant aux structures "réelles doubles" de Frobenius de Dubrovin sur les espaces de Hurwitz, a été construite. La solution est donnée en termes de certaines différentielles méromorphes integrées sur une base appropriée d'homologie relative de la surface de Riemann. La relation avec la solution du problème Fuchsien de Riemann-Hilbert pour les structures de Frobenius Hurwitz de Dubrovin est établie. Une solution du problème de Riemann-Hilbert correspondant aux déformations des "réelles doubles" est aussi donnée.

Le problème de satisfaisabilité booléenne 3-SAT est connu pour présenter un phénomène de seuil en fonction du quotient entre le nombre de clauses et le nombre de variables. Nous donnons des estimations de la valeur de ce seuil au moyen de méthodes combinatoires et probabilistes: la méthode du premier moment et la méthode du second moment. Ces méthodes mettent en jeu des problèmes d'optimisation sous contraintes et nous amènent à employer de façon intensive la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Nous mettons en œuvre une forme pondérée de la méthode du premier moment sur les affectations partielles valides de Maneva ainsi que des variantes. Cela nous conduit à élaborer une pondération générale pour les problèmes de satisfaction de contraintes qui soit compatible avec la méthode du premier moment. Cette pondération est constituée d'une graine et d'un répartiteur, et nous permet d'obtenir une pondération des affectations partielles valides meilleure que celle de Maneva. Nous comparons aussi dans certains cas les performances de la pondération et de l'orientation de l'espace des solutions des problèmes de satisfaction de contraintes relativement à la méthode du premier moment. Nous développons la première sélection non uniforme de solutions pour majorer le seuil de 3-SAT et nous montrons sa supériorité sur ses prédécesseurs. Nous construisons un cadre général pour appliquer la méthode du second moment à k-SAT et nous discutons des conditions qui la font fonctionner. Nous faisons notamment fonctionner la méthode du second moment sur les solutions booléennes et sur les impliquants. Nous étendons cela au modèle distributionnel de k-SAT.

Cette thèse porte sur l'approximation des équations aux dérivées partielles, en particulier l'équation de diffusion en tomographie optique. Elle peut se présenter en deux parties essentielles. Dans la première partie on discute le problème direct alors que le problème inverse est abordé dans la seconde partie. Pour le problème direct, on suppose que les paramètres optiques et les fonctions sources sont donnés. On résout alors le problème de diffusion dans un domaine où la densité du flux lumineux est considérée comme une fonction inconnue à approcher numériquement. Le plus souvent, pour reconstruire le signal numérique dans ce genre de problème, une discrétisation dans le temps est nécessaire. Nous avons proposé d'utiliser la transformée de Fourier et son inverse afin d'éviter une telle discrétisation. Les techniques que nous avons utilisées sont la quadrature de Gauss-Hermite ainsi que la méthode de Galerkin basée sur les B-splines ou les B-splines tensorielles ainsi que sur les fonctions radiales. Les B-splines sont utilisées en dimension un alors que les B-splines tensorielles sont utilisées lorsque le domaine est rectangulaire avec un maillage uniforme. Lorsque le domaine n'est plus rectangulaire, nous avons proposé de remplacer la base des B-splines tensorielles par les fonctions à base radiale construites à partir d'un nuage de points dispersés dans le domaine. Du point de vue théorique, nous avons étudié l'existence, l'unicité et la régularité de la solution puis nous avons proposé quelques résultats sur l'estimation de l'erreur dans les espaces de type Sobolev ainsi que sur la convergence de la méthode. Dans la seconde partie de notre travail, nous nous sommes intéressés au problème inverse. Il s'agit d'un problème inverse non-linéaire dont la non-linéarité est liée aux paramètres optiques. On suppose qu'on dispose des mesures du flux lumineux aux bords du domaine étudié et des fonctions sources. On veut alors résoudre le problème inverse de façon à simuler numériquement l'indice de réfraction ainsi que les coefficients de diffusion et d'absorption. Du point de vue théorique, nous avons discuté certains résultats tels que la continuité et la dérivabilité, au sens de Fréchet, de l'opérateur mesurant le flux lumineux reçu aux bords. Nous avons établi les propriétés lipschitzienne de la dérivée de Fréchet en fonction des paramètres optiques. Du point de vue numérique nous nous somme intéressés au problème discret dans la base des B-splines et la base des fonctions radiales. En suite, nous avons abordé la résolution du problème inverse non-linéaire par la méthode de Newton-Gauss.