SOUSA, Flaviano Frota de. Alguns resultados sobre o grupo das classes dos corpos quadráticos. 2017. 74 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-08-17T13:45:51Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_ffsousa.pdf: 513350 bytes, checksum: a5c3e65019b6bf2fb0617aa5b67646b7 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-08-17T13:56:14Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_ffsousa.pdf: 513350 bytes, checksum: a5c3e65019b6bf2fb0617aa5b67646b7 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-17T13:56:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_ffsousa.pdf: 513350 bytes, checksum: a5c3e65019b6bf2fb0617aa5b67646b7 (MD5) Previous issue date: 2017 / Many are the known results involving the groups of numbers elds and many are the open problems. We know that the group of classes of a number fields is finite and abelian. In this paper we present some results about the group of the classes of the quadratic fields. It is known that for every intergers n greater than zero there are finite quadratic fields, both real and imaginary, whose class groups have a cyclic subgroup of order n. For an arbitrary abelian group G of order n, the existence or not of finite quadratic fields with groups of ideal classes having a subgroup isomorphic to G is an open problem. Particularly for non-cyclic finite abelian groups G, Kwang-Seob Kim has proved that there are finite real quadratic bodies in G =Z/nZ x Z/nZ: Whose groups of ideal classes contains a subgroup isomorphic to G and that is G = Z/nZ x Z/nZxZ/nZ then there are finite imaginary quadratic cups whose groups of ideal classes contain a subgroup isomorphic to G. The theorem of Kwang-Seob Kim is the main result presented in this dissertation. / Muitos são os resultados conhecidos envolvendo o grupo dos corpos de números e muitos são os problemas em aberto. Sabemos que o grupo das classes de um corpo de números é finito e abeliano. Neste trabalho apresentaremos alguns resultados sobre o grupo das classes dos corpos quadráticos. Sabe-se que para cada inteiro n maior que zero existem finitos corpos quadráticos, tanto reais como imaginários, cujos os grupos das classes possuem um subgrupo cíclico de ordem n. Para um grupo abeliano arbitrário G de ordem n, a existência ou não de finitos corpos quadráticos com grupos das classes de ideais tendo um subgrupo isomorfo a G é um problema em aberto. Particularmente para grupos finitos abelianos não cíclicos G, Kwang-Seob Kim provou que, se G =Z/nZ x Z/nZ existem fi nitos corpos quadráticos reais cujos os grupos das classes de ideais contêm um subgrupo isomorfo a G e que se G = Z/nZ x Z/nZxZ/nZ, então existem finitos corpos quadráticos imaginários cujos os grupos das classes de ideais contêm um subgrupo isomorfo a G. O teorema de Kwang-Seob Kim é o principal resultado apresentado nesta dissertação.

Submitted by Eliton Mendonça Moro null (elitonmoro@hotmail.com) on 2017-02-07T16:23:35Z No. of bitstreams: 1 Dissert Moro E M.pdf: 1346120 bytes, checksum: fb365a8ed97b3769301b908d77114d7c (MD5) / Approved for entry into archive by LUIZA DE MENEZES ROMANETTO (luizamenezes@reitoria.unesp.br) on 2017-02-13T16:33:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 moro_em_me_sjrp.pdf: 1346120 bytes, checksum: fb365a8ed97b3769301b908d77114d7c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-13T16:33:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 moro_em_me_sjrp.pdf: 1346120 bytes, checksum: fb365a8ed97b3769301b908d77114d7c (MD5) Previous issue date: 2017-01-30 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Os sistemas de comunicação com Múltiplas Entradas e Múltiplas Saídas (MIMO), são sistemas constituídos por estruturas que utilizam várias antenas, tanto no transmissor como no receptor. Por serem transmitidos via antenas, naturalmente surgem problemas de ruídos e de multipercursos, que impõe um desafio para o desenvolvimento dos sistemas de comunicação MIMO. Por esses motivos, muitos estudos focam em certas propriedades dos sinais enviados a fim de minimizar os efeitos sofridos na informação durante a transmissão. Existem muitos tipos diferentes de Códigos de Bloco Espaço-Temporais (STBC) disponíveis para duas antenas transmissoras, dentre eles, o código de bloco espaço-temporal ciclotômico, Código de Ouro e Código de Prata. Neste trabalho apresentamos uma construção de STBC cujos os sinais utilizados na transmissão são identificados por elementos de anéis de inteiros de corpos de números totalmente imaginários, Q(√d), com d<0, e apresentamos os melhores STBC em termos do critério que denominamos como critério produto, considerando extensões de Q(√d) com d=-1,-2,-3,-7, -11. / The communication systems of Multiple Input and Multiple Output (MIMO), are systems consisting of structures that use multiple antennas, both on the transmitter and the receiver. For being transmitted via antennas, noise and path problems naturally arise, which poses a challenge for the development and optimization of MIMO systems. For these reasons, many studies focus on certain properties of the signals sent in order to minimize the effects suffered on the information during transmission. There are many different types of Space-Time Block Codes (STBC) available for two transmitting antennas, such as the cyclotomic space-time block code, Golden code, and Silver code. In this work, we present a STBC construct via totally imaginary quadratic fields, Q(√d) with d <0 and present the best STBC in terms of the criterion that we call product criteria, considering extensions of Q(√d) with d = -1, - 2, - 3, - 7, -11.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-02-15Bitstream added on 2014-06-13T19:26:03Z : No. of bitstreams: 1 tonon_dj_me_sjrp.pdf: 1548883 bytes, checksum: 44896587baaf0236335dc16ac1a990d4 (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Neste trabalho estudamos os campos de vetores planares semi-homogênios quadráticos e também os campos de vetores planares com duas retas paralelas invariantes pelo fluxo. Para cada dessas classes, obtemos uma classificação dos retratos de fase global no disco de Poincaré e apresentamos as respectivas formas normais. Dentre as técnicas utilizadas no desenvolvimento do trabalho destacamos a Compactificação de Poincaré e o Método do Blow-up.

Submitted by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-19T17:19:01Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 977282 bytes, checksum: 98d2394b44f8e76ed8a9986250386a2c (MD5) / Approved for entry into archive by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-19T17:19:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 977282 bytes, checksum: 98d2394b44f8e76ed8a9986250386a2c (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-19T17:19:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 977282 bytes, checksum: 98d2394b44f8e76ed8a9986250386a2c (MD5) Previous issue date: 2013-08-13 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this study, we evaluate if the congruence x2 a (mod m), where m is prime and (a;m) = 1, has or not solutions, highlighting the importance of Quadratic Residues and consequently the cooperation of the Legendre's Symbol, the Euler's Criterion and the Gauss' Lemma. Also, we demonstrate the Law of Quadratic Reciprocity generalizing situations for composite numbers, that is, the Jacobi's Symbol and its properties. We present some proposals of activities for the High School involving the subject matter and its possible applications, through an understandable language for students of this level. / Neste estudo, vamos avaliar se a congruência x2 a (mod m), onde m é primo e (a;m) = 1, apresenta ou não solução, destacando a importância dos Resíduos Quadráticos e, consequentemente da cooperação do Símbolo de Legendre, do Critério de Euler e do Lema de Gauss. Também, demonstraremos a Lei de Reciprocidade Quadrática generalizando situações para números compostos, ou seja, o Símbolo de Jacobi e suas propriedades. Apresentamos algumas propostas de atividades para o Ensino Médio envolvendo o assunto abordado e suas possíveis aplicações, através de uma linguagem compreensível aos alunos deste nível de ensino.

Redes de sensores sem fio (RSSF) tipicamente consistem de nós sensores com limitação de energia, processamento, comunicação e memória. A segurança em RSSF está se tornando fundamental com o surgimento de aplicações que necessitam de mecanismos que permitam autenticidade, integridade e confidencialidade. Devido a limitações de recursos em RSSF, adequar criptossistemas de chaves públicas (PKC) para estas redes é um problema de pesquisa em aberto. Meados de 2008, Danilo Gligoroski et al. propuseram um novo PKC baseado em quase-grupos multivariados quadráticos (MQQ). Experimentos feitos por Gligoroski na plataforma FPGA mostram que MQQ executou em tempo menor que principais PKC (DH, RSA e ECC) existentes, tanto que alguns artigos afirmam que MQQ possui velocidade de uma típica cifra de bloco simétrica. Além disto, o MQQ exibiu o mesmo nível de segurança que outros PKC (DH, RSA e ECC) necessitando chaves menores. Outra propriedade que chama atenção no MQQ é o uso das operações básicas XOR, AND e deslocamento de bits nos processos de encriptação e decriptação, fato importante considerando que uma RSSF possui processamento limitado. Estas características tornam o MQQ promissor a levar um novo caminho na difícil tarefa de dotar redes de sensores sem fio de criptossistemas de chaves públicas. Neste contexto se insere este trabalho que analisa a viabilidade de implementar o algoritmo MQQ em uma plataforma de RSSF. Sendo importante considerar que este trabalho inova na proposta de levar para RSSF este novo PKC baseado quase-grupos multivariados quadráticos, além de contribuir com um método para reduzir o tamanho da chave pública utilizada pelo MQQ. Foram feitos testes com MQQ nas plataformas TelosB e MICAz, sendo que o MQQexibiu os tempos de 825; 1 ms para encriptar e 116; 6 ms para decriptar no TelosB e 445 ms para encriptar no MICAz. / Wireless sensor networks (WSN) typically consist of sensor nodes with limited energy, processing, communication and memory. Security in WSN is becoming critical with the emergence of applications that require mechanisms for authenticity, integrity and confidentiality. Due to resource constraints in sensor networks, public key cryptosystems suit (PKC) for these networks is an open research problem. In 2008 Danilo Gligoroski et al. proposed a new PKC based on quasi-groups multivariate quadratic (MQQ). Experiments by Gligoroski on FPGA platform show that MQQ performed in less time than most popular PKC (DH, RSA and ECC), so that some papers say MQQ has a typical speed of symmetric block cipher. Moreover, the MQQ exhibited same level of security that other PKC (DH, RSA and ECC) requiring keys minors. Another property that draws attention in MQQ is the use of basic operations XOR, AND, and bit shifting in the processes of encryption and decryption, important fact considering that a WSN has limited processing. These features make the MQQ promising to take a new path in the difficult task of providing wireless sensor networks in public key cryptosystems. Appears in this context that this study examines the feasibility of implementing MQQ a platform for WSN. Is important to consider this innovative work in the proposal to bring this new PKC for WSN based multivariate quadratic quasigroups, and contribute a method to reduce the size public key used by MQQ. Tests with MQQ on platforms TelosB and MICAz, the MQQ exhibited 825ms to encrypt and 116ms to decrypt on TelosB and 445 ms to encrypt on MICAz.

Redes de sensores sem fio (RSSF) tipicamente consistem de nós sensores com limitação de energia, processamento, comunicação e memória. A segurança em RSSF está se tornando fundamental com o surgimento de aplicações que necessitam de mecanismos que permitam autenticidade, integridade e confidencialidade. Devido a limitações de recursos em RSSF, adequar criptossistemas de chaves públicas (PKC) para estas redes é um problema de pesquisa em aberto. Meados de 2008, Danilo Gligoroski et al. propuseram um novo PKC baseado em quase-grupos multivariados quadráticos (MQQ). Experimentos feitos por Gligoroski na plataforma FPGA mostram que MQQ executou em tempo menor que principais PKC (DH, RSA e ECC) existentes, tanto que alguns artigos afirmam que MQQ possui velocidade de uma típica cifra de bloco simétrica. Além disto, o MQQ exibiu o mesmo nível de segurança que outros PKC (DH, RSA e ECC) necessitando chaves menores. Outra propriedade que chama atenção no MQQ é o uso das operações básicas XOR, AND e deslocamento de bits nos processos de encriptação e decriptação, fato importante considerando que uma RSSF possui processamento limitado. Estas características tornam o MQQ promissor a levar um novo caminho na difícil tarefa de dotar redes de sensores sem fio de criptossistemas de chaves públicas. Neste contexto se insere este trabalho que analisa a viabilidade de implementar o algoritmo MQQ em uma plataforma de RSSF. Sendo importante considerar que este trabalho inova na proposta de levar para RSSF este novo PKC baseado quase-grupos multivariados quadráticos, além de contribuir com um método para reduzir o tamanho da chave pública utilizada pelo MQQ. Foram feitos testes com MQQ nas plataformas TelosB e MICAz, sendo que o MQQexibiu os tempos de 825; 1 ms para encriptar e 116; 6 ms para decriptar no TelosB e 445 ms para encriptar no MICAz. / Wireless sensor networks (WSN) typically consist of sensor nodes with limited energy, processing, communication and memory. Security in WSN is becoming critical with the emergence of applications that require mechanisms for authenticity, integrity and confidentiality. Due to resource constraints in sensor networks, public key cryptosystems suit (PKC) for these networks is an open research problem. In 2008 Danilo Gligoroski et al. proposed a new PKC based on quasi-groups multivariate quadratic (MQQ). Experiments by Gligoroski on FPGA platform show that MQQ performed in less time than most popular PKC (DH, RSA and ECC), so that some papers say MQQ has a typical speed of symmetric block cipher. Moreover, the MQQ exhibited same level of security that other PKC (DH, RSA and ECC) requiring keys minors. Another property that draws attention in MQQ is the use of basic operations XOR, AND, and bit shifting in the processes of encryption and decryption, important fact considering that a WSN has limited processing. These features make the MQQ promising to take a new path in the difficult task of providing wireless sensor networks in public key cryptosystems. Appears in this context that this study examines the feasibility of implementing MQQ a platform for WSN. Is important to consider this innovative work in the proposal to bring this new PKC for WSN based multivariate quadratic quasigroups, and contribute a method to reduce the size public key used by MQQ. Tests with MQQ on platforms TelosB and MICAz, the MQQ exhibited 825ms to encrypt and 116ms to decrypt on TelosB and 445 ms to encrypt on MICAz.

Um dos principais problemas na teoria qualitativa das equações diferenciais em dimensão dois é apresentar, para uma dada família de sistemas diferenciais, uma classificação topológica dos retratos de fase de todos os sistemas dessa família. A proposta deste trabalho é estudar a técnica utilizada na classificação dos retratos de fase globais de sistemas diferenciais polinomiais da forma \'dx SUP dt\' = P(x,y) \'dy SUP dt = Q(x,y) onde P e Q são polinômios nas variáveis x e y e o máximo entre os graus de P e Q é 2. Para esse fim optamos pelo estudo da referência de Cairó e Llibre [5]. Na presente referência os autores obtém a classificação de todos os retratos de fase globais dos sistemas diferenciais polinomiais que possuem uma integral primeira racional, H, de grau 2. Esse estudo foi dividido em duas etapas. Na primeira, caracterizamos a função H através de seus coeficientes. Na segunda, encontramos todos os retratos de fase globais no disco de Poincaré. Para tais sistemas, existem exatamente 18 retratos de fase no disco de Poincaré, exceto pela reversão do sentido de todas as órbitas ou equivalência topológica / One of the main problems in the qualitative theory of 2-dimensional differential equations is, for a concrete family of differential systems, to describe a topological classification of the phase portraits for all the systems in this family. The purpose of this work is to study a technique used in the classification of global phase portraits of the planar polynomial diferential systems or simply quadratic systems of the form \'dx SUP. dt\' = P(x,y) \'dy SUP. dt\' = Q(x,y) where P and Q are real polynomials in x and y the maximum degree of P and Q is 2. Our basic reference is the paper of Cairó and Llibre [5]. In that work the authors give the classification of all global phase portraits of the planar quadratic differential systems having a rational first integral H of degree 2. Our work is divided in two parts. In the first part, we characterize the first integral H through its coeficients. In the second one, we describe all global phase portraits in the Poincaré disk. For such systems, there are exactly 18 different phase portraits in the Poincaré disk, up to a reversal of sense of all orbits or topological equivalence

Um dos principais problemas na teoria qualitativa das equações diferenciais em dimensão dois é apresentar, para uma dada família de sistemas diferenciais, uma classificação topológica dos retratos de fase de todos os sistemas dessa família. A proposta deste trabalho é estudar a técnica utilizada na classificação dos retratos de fase globais de sistemas diferenciais polinomiais da forma \'dx SUP dt\' = P(x,y) \'dy SUP dt = Q(x,y) onde P e Q são polinômios nas variáveis x e y e o máximo entre os graus de P e Q é 2. Para esse fim optamos pelo estudo da referência de Cairó e Llibre [5]. Na presente referência os autores obtém a classificação de todos os retratos de fase globais dos sistemas diferenciais polinomiais que possuem uma integral primeira racional, H, de grau 2. Esse estudo foi dividido em duas etapas. Na primeira, caracterizamos a função H através de seus coeficientes. Na segunda, encontramos todos os retratos de fase globais no disco de Poincaré. Para tais sistemas, existem exatamente 18 retratos de fase no disco de Poincaré, exceto pela reversão do sentido de todas as órbitas ou equivalência topológica / One of the main problems in the qualitative theory of 2-dimensional differential equations is, for a concrete family of differential systems, to describe a topological classification of the phase portraits for all the systems in this family. The purpose of this work is to study a technique used in the classification of global phase portraits of the planar polynomial diferential systems or simply quadratic systems of the form \'dx SUP. dt\' = P(x,y) \'dy SUP. dt\' = Q(x,y) where P and Q are real polynomials in x and y the maximum degree of P and Q is 2. Our basic reference is the paper of Cairó and Llibre [5]. In that work the authors give the classification of all global phase portraits of the planar quadratic differential systems having a rational first integral H of degree 2. Our work is divided in two parts. In the first part, we characterize the first integral H through its coeficients. In the second one, we describe all global phase portraits in the Poincaré disk. For such systems, there are exactly 18 different phase portraits in the Poincaré disk, up to a reversal of sense of all orbits or topological equivalence

SILVA, Adam Oliveira da. Rigidez de métricas críticas para funcionais riemannianos. 2017. 78 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-09-19T19:08:04Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 481005 bytes, checksum: 2bdfc6ab68b042a5cfd4f67caf1e21e4 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia, Estou devolvendo a Tese de ADAM OLIVEIRA DA SILVA, para que o arquivo seja substituído, pois o aluno já veio na BCM e orientei quais eram as correções a serem feitas. Atenciosamente, on 2017-09-20T14:03:26Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-09-20T16:47:21Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-09-21T12:26:34Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-21T12:26:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) Previous issue date: 2017-09-15 / The aim of this work is to study metrics that are critical points for some Riemannian functionals. In the first part, we investigate critical metrics for functionals which are quadratic in the curvature on closed Riemannian manifolds. It is known that space form metrics are critical points for these functionals, denoted by F t,s (g). Moreover, when s = 0, always Einstein metrics are critical to F t (g). We proved that under some conditions the converse is true. For instance, among others results, we prove that if n ≥ 5 and g is a Bach-flat critical metric to F −n/4(n−1) , with second elementary symmetric function of the Schouten tensor σ 2 (A) > 0, then g should be Einstein. Furthermore, we show that a locally conformally flat critical metric with some additional conditions are space form metrics. In the second part, we study the critical metrics to volume functional on compact Riemannian manifolds with connected smooth boundary. We call such critical points of Miao-Tam critical metrics due to the variational study making by Miao and Tam (2009). In this work, we show that the geodesics balls in space forms Rn , Sn and Hn have the maximum possible boundary volume among Miao-Tam critical metrics with connected boundary provided that the boundary be an Einstein manifold. In the same spirit, we also extend a rigidity theorem due to Boucher et al. (1984) and Shen (1997) to n-dimensional static metrics with positive constant scalar curvature, which give us another way to get a partial answer to the Cosmic no-hair conjecture already obtained by Chrusciel (2003). / Este trabalho tem como principal objetivo estudar métricas que são pontos críticos de alguns funcionais Riemannianos. Na primeira parte, investigaremos métricas críticas de funcionais que são quadráticos na curvatura sobre variedades Riemannianas fechadas. É de conhecimento que métricas tipo formas espaciais são pontos críticos para tais funcionais, denotados aqui por F t,s (g). Além disso, no caso s = 0, métricas de Einstein são sempre críticas para F t (g). Provamos que sob algumas condições, a recíproca destes fatos são verdadeiras. Por exemplo, dentre outros resultados, provamos que se n ≥ 5 e g é uma métrica Bach-flat crìtica para F−n/4(n−1) com segunda função simétrica elementar do tensor de Schouten σ 2 (A) > 0, então g tem que ser métrica de Einstein. Ademais, mostramos que uma métrica crítica localmente conformemente plana, com algumas hipóteses adicionais, tem que ser tipo forma espacial. Na segunda parte, estudamos as métricas críticas do funcional volume sobre variedades Riemannianas compactas com bordo suave conexo. Chamamos tais pontos críticos de métricas críticas de Miao-Tam, devido ao estudo variacional feito por Miao e Tam (2009). Neste trabalho provamos que as bolas geodésicas das formas espaciais Rn , S n e H n possuem o valor máximo para o volume do bordo dentre todas as métricas críticas de Miao-Tam com bordo conexo, desde que o bordo seja uma variedade de Einstein. No mesmo sentido, também estendemos um teorema de rigidez devido à Boucher et al. (1984) e Shen (1997) para métricas estáticas de dimensão n e com curvatura escalar constante positiva, o qual nos fornece outra maneira para obter uma resposta parcial para a Cosmic no-hair conjecture já obtida por Chrusciel (2003).

Orientador: Prof. Dr. Jerônimo Cordoni Pellegrini / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2017. / Esse trabalho tem como objetivo mostrar como problemas de difícil solução, em especial o problema dos resíduos quadráticos, podem ser usados para desenvolver criptossistema com segurança demonstrável, com algumas aplicações que podem ser desenvolvidas com alunos de ensino fundamental e médio. Faz-se um resumo da história da criptografia, desde a Cifra de César e passando por diversos criptossistemas historicamente famosos, até chegar ao sigilo perfeito do one-time pad. São trabalhados também alguns conceitos matemáticos necessários, como as funções de mão única e uma breve explicação de algumas funções conjecturadas de mão única, que podem ser usadas em sistemas criptográficos seguros. Em seguida, apresenta-se os geradores de números pseudo-aleatórios, em especial o de Blum-Blum-Shub por empregar resíduos quadráticos. A seguir, há uma breve apresentação das funções de hash e do problema do aniversário associado a elas, com uma função de hash construída baseada no gerador de Blum-Blum-Shub. Também importante é a aplicação na encriptação com chave pública, em especial o criptossistema de Rabin, que também é usado para estabelecer um sistema de votação com base no homomorfismo apresentado por esse sistema. Para finalizar, fala-se sobre as provas de conhecimento zero e como as raízes quadradas módulo N podem ser utilizadas para isso, em particular com o Protocolo de Feige-Fiat-Shamir. Uma aplicação para a sala de aula é dada na forma de um leilão, utilizando o conceito da dificuldade da raiz quadrada modular. / The main objective of this work is to show how hard to solve problems, specially the problem of quadratic residuality, can be used to create cryptographic algorithms with provable security. Some applications could be done with students from elementary and high school. We will start with a brief history of cryptography, from Cesar Cipher and going through several famous cryptosystems until the perfect secrecy of the one-time pad. We will work in a few basic concepts, such as one-way functions and a succinct explanation on some functions that are conjectured to be one-way and can be used in provably secure cryptographic systems. We choose the modular squaring to show on the following chapters how one-way functions are used to build several algorithms (pseudo-random number generators, hash functions, public key encryption, a voting system based on a homomorphic cryptosystem and, at last, zero-knowledge proofs). We will provide a classroom example in the ways of an auction, using the difficulty of the modular square root.