Le sujet de cette thèse traite de l'amélioration de la méthode PEEC inductive (permettant une modélisation des interconnexions électriques d'un point de vue électromagnétique basse fréquence) en employant une méthode de compression matricielle FMM. L'introduction de ces compressions entraîne des restrictions concernant les opérations algébriques autorisées, seule les opérations de type produit matrice - vecteur sont permises. L'objectif était de proposer des méthodes pour déterminer : Les courants en tout point du dispositif Des impédances équivalentes entre différents ports d'entrées-sorties. Le premier point a pu être traité en mettant en place une méthode originale de recherche d'un jeu d'équations indépendantes ainsi qu'un préconditionneur spécifique dans la phase de résolution compatible avec les méthodes de compression matricielle. Le second point a nécessité l'utilisation de méthode de réduction d'ordre à base de sous espace de Krylov afin de construire un développement limité des jeux d'impédance recherché. Ensuite, nous avons mis en place une technique de synthèse de circuit afin d'obtenir un circuit électrique simple permettant de modéliser le comportement du dispositif avec de simples éléments de type résistance, inductance (non couplée) et capacité. Cette démarche permet l'utilisation dans tous les simulateurs temporels et ainsi permet d'avoir une vision système légère du dispositif d'interconnexion électrique.

Le sujet de cette thèse traite de l'amélioration de la méthode PEEC inductive (permettant une modélisation des interconnexions électriques d'un point de vue électromagnétique basse fréquence) en employant une méthode de compression matricielle FMM. L'introduction de ces compressions entraîne des restrictions concernant les opérations algébriques autorisées, seule les opérations de type produit matrice - vecteur sont permises. L'objectif était de proposer des méthodes pour déterminer : Les courants en tout point du dispositif Des impédances équivalentes entre différents ports d'entrées-sorties. Le premier point a pu être traité en mettant en place une méthode originale de recherche d'un jeu d'équations indépendantes ainsi qu'un préconditionneur spécifique dans la phase de résolution compatible avec les méthodes de compression matricielle. Le second point a nécessité l'utilisation de méthode de réduction d'ordre à base de sous espace de Krylov afin de construire un développement limité des jeux d'impédance recherché. Ensuite, nous avons mis en place une technique de synthèse de circuit afin d'obtenir un circuit électrique simple permettant de modéliser le comportement du dispositif avec de simples éléments de type résistance, inductance (non couplée) et capacité. Cette démarche permet l'utilisation dans tous les simulateurs temporels et ainsi permet d'avoir une vision système légère du dispositif d'interconnexion électrique. / This thesis deals with the improvement of the inductive PEEC method (for modelling electrical interconnections of low frequency) using the matrix compression Fast Multipole Method (FMM). The introduction of FMM leads to only algebraic operation of type matrix - vector product is permitted. The objective of this thesis was to propose some methods to determine: • Currents at any point of the device • The equivalent impedances between different input-output ports. The first point has been treated by introducing a novel method to determine a set of independent equations. The choice of iterative methods in solving linear system imposed on the establishment of a specific preconditioner compatible with matrix compression methods. The second point require to describe the Kirchoff law in the form of state space equation and to use model order reduction method based on Krylov subspace to compute Taylor series of impedance matrix. Once again, all the steps are necessary to be taked into account the use of matrix compression method FMM. Following our order reduction method, we implemented a circuit synthesis technique to obtain a simple electrical circuit which conserve the behavior of the device by simple elements like resistance, inductance (uncoupled) and capacity. This approach allows the reuse of reduction model in all time domain simulation software. For global system, it provides also a light model of electrical interconnection device.

Au cours de ces dernières années, la taille des transistors a diminué considérablement permettant ainsi de réduire la taille des composants et de multiplier le nombre de composants dans un système. Cette condensation des transistors avec la montée en fréquence des circuits est à l'origine d'une augmentation drastique de la densité de puissance et d'une élévation importante de la température du composant, dommageable pour les performances de celui-ci. Le but de ces travaux de thèse est de proposer une méthodologie de génération de modèles thermiques, légers (rapidement simulables) et indépendants des conditions aux limites, de systèmes électroniques complexes. Cette méthodologie permet de décomposer un système complexe en sous-éléments, de construire un modèle léger de chaque élément et de les reconnecter afin de recomposer le comportement thermique du système global. La méthodologie permet d'effectuer une analyse thermique du système tôt dans le processus de conception d'un système et offre de nombreux avantages par rapport aux modèles existants.

Les microsystèmes, qui sont réalisés à partir de technologies micro-électroniques, connaissent un essor scientifique et technologique important grâce à leurs applications qui sont de plus en plus présentes dans la vie courante. Un des microsystèmes très en vogue est le transducteur ultrasonore capacitif micro-usiné, couramment appelé CMUT. Il est utilisé pour transmettre ou réceptionner des ondes ultrasonores et son domaine d’application est très vaste puisqu’on le trouve dans des sondes d’imagerie médicale, dans des hauts parleurs ultra directifs, pour le contrôle non destructif de matériaux… Dans la plupart des applications la puissance acoustique émise par le CMUT doit être très élevée ce qui implique que le CMUT va être utilisé en régime non-linéaire. En outre, même en utilisant des procédés de fabrication avancés, la microplaque mobile constituant le CMUT possède une déformation géométrique dans son état de repos. Il faudra par conséquent tenir compte des non-linéarités et des imperfections géométriques lors de l’analyse statique et dynamique du CMUT.Dans ce travail le modèle multiphysique d’un CMUT est développé en tenant compte des non-linéarités géométriques et électrostatiques ainsi que de la déflexion initiale de la microplaque. Les équations différentielles du mouvement de la microplaque, issues de la théorie des plaques de von Kármán, sont discrétisées spatialement en utilisant la méthode différentielle quadratique. La réponse statique d’un CMUT a été analysée à partir de simulations numériques et d’essais expérimentaux, en considérant des plaques planes et des plaques courbes et on montre qu’une déflexion initiale de la plaque conduit à une augmentation de la tension de pull-in. Le comportement dynamique non-linéaire du CMUT est analysé en discrétisant la variable temporelle et en utilisant la méthode des différences finies. En utilisant la technique de continuation arclength, nous déterminons la réponse en fréquence non-linéaire du CMUT. Suivant la valeur de la tension DC, le CMUT aura un comportement raidissant ou assouplissant. Une validation expérimentale du modèle numérique est réalisée en utilisant des microplaques planes et des microplaques courbes. En particulier nous montrons que l’utilisation de microplaques courbes, dues aux imperfections géométriques, change la réponse en fréquence du CMUT, passant d’un comportement raidissant à un comportement assouplissant, augmente le domaine de bi-stabilité et modifie la topologie de bifurcation.Le modèle numérique est par la suite étendu afin d’analyser les effets du film d’air sur le comportement dynamique de la microplaque en couplant les équations mécaniques du CMUT avec les équations de Reynolds du fluide. Les fréquences de résonance du problème multiphysique sont obtenues par résolution d'un système linéaire amorti. La validation expérimentale et numérique du modèle est effectuée en déterminant les fréquences de résonance du CMUT à des pressions différentes. Nous montrons que l’air comprimé change la réponse dynamique du CMUT par l’ajout d’une raideur et d’un amortissement. La diminution de la pression conduit à une diminution de la fréquence de résonance du système couplé et tend vers la fréquence de résonance de la microplaque. D'autre part la réponse en fréquence du système devient non-linéaire due à la diminution du coefficient d'amortissement. A la pression atmosphérique, on montre que le CMUT a un comportement non-linéaire de type assouplissant lorsque les excitations sont élevées. Le modèle numérique développé est un outil efficace pour analyser les CMUTs et augmenter leurs performanaces. / Micro Electro Mechanical Systems (MEMS) have attracted the interest of scientists and engineers thanks to the variety of their applications and their significant roles in our real life. One of the most important microsystems is the capacitive micromachined ultrasonic transducer (CMUT), which is used for transmitting ultrasonic waves, for instance in medical imaging and therapy. In such applications, a high-transmitted acoustic power is needed which implies driving the CMUT in the nonlinear regime. Moreover, from a manufacturing point of view, the fabrication of a CMUT with a flat surface is extremely difficult even with the recent advances in the fabrication process. Modeling this type of microsystem while including the main sources of nonlinearities and geometric imperfections is a challenging step in understanding its static and dynamic behavior.In this thesis, a multiphysics model of imperfect CMUTs is developed taking into account the geometric and electrostatic nonlinearities. The governing equations of motions are derived from the von Kármán plate theory and spatially discretized using the Differential Quadrature Method (DQM). For the static response, numerical simulations and experimental characterizations have been conducted on flat and curved CMUTs, showing that a positive initial deflection leads to an increase in the pull-in voltage. The nonlinear dynamic behavior of a CMUT is studied by discretizing the time variable using the Finite Difference Method (FDM). The nonlinear frequency and force responses have been determined by combining FDM with the arclength continuation technique. It is shown that the CMUT can exhibit a hardening or softening behavior depending on the DC voltage. An experimental validation of the numerical model is performed for the case of flat and curved microplates. We demonstrate that the geometric imperfection modifies the nonlinear frequency response of a CMUT from hardening to softening, increases its bistability domain and permits the tuning of its bifurcation topology.The numerical model is extended to investigate the effect of an air film on the dynamic behavior of the microplate by coupling the nonlinear mechanical equations with the Reynolds equation. The complex resonance frequencies of the multi-physical problem are determined by solving the damped linear system. An experimental and numerical validation of the model is performed by determining the resonance frequencies at several static pressures. We demonstrate that the air film is able to modify the dynamic response of the CMUT by adding stiffness and damping. By decreasing the static pressure, the resonance frequency of the coupled problem decreases and becomes closer to the natural resonance frequency of the microplate. Moreover, the frequency response of the system becomes nonlinear due the decrease in the damping coefficient. At atmospheric pressure, the softening type behavior of the CMUT is obtained by applying high excitation levels. The presented numerical model is a very efficient tool to understand the nonlinear dynamic behavior CMUTs and to enhance their performances.

Ce mémoire d'Habilitation à Diriger des Recherches regroupe certains travaux réalisés dans le cadre de deux applications à l'IFP : TACITE (écoulements polyphasiques dans les conduites pétrolières) et IFP-C3D (écoulements réactifs dans les moteurs à combustion). Bien que ces deux applications présentent des caractéristiques très différentes, les techniques mathématiques mises en oeuvres sont semblables, voire complémentaires.<br /><br />Dans la première partie, on montre dans quelle mesure les méthodes dites de "relaxation" permettent de rendre plus robustes les simulations numériques de TACITE. La relaxation garantit en effet la positivité de certaines de certaines variables physiquement importantes, alors que le système de départ n'est pas toujours hyperbolique en raison de la complexité des lois de fermeture utilisées. On montre aussi dans quelle mesure les méthodes dites de "multi-résolution" et de "pas de temps locaux" permettent de rendre plus rapides ces simulations, le tout dans un contexte d'intégration temporelle mixte, c'est-à-dire implicite par rapport aux ondes acoustiques rapides et explicite par rapport aux ondes cinématiques lentes.<br /><br />Dans la deuxième partie, on examine certains modèles alternatifs à celui de la première partie. L'intérêt de ces modèles de rechange est d'être plus opérationnels sur certaines configurations spécifiques, au sens où ils facilitent l'analyse mathématique, en tant que système dynamique, d'un phénomène crucial appelé "severe-slugging". Ils suggèrent également des lois de commande judicieuses pour éliminer le severe-slugging via une boucle rétroactive dont l'effacité est prouvée sur le papier et sur maquette expérimentale.<br /><br />Dans la troisième partie, on propose un schéma d'advection multi-dimenstionnelle pour la phase convective de IFP-C3D. La particularité de ce schéma, conçu à partir des schémas de type Iserles-Roe en 1-D, est une très grande précision associée à un principe de monotonie. Compact en espace et à plusieurs niveaux en temps, il permet de bien traiter le transport des variables situées aux noeuds du maillage, en combinaison avec une procédure de réparation de la masse inspirée de Shashkov.

Dans le cadre d'une collaboration avec la société Eurocopter, nous avons développé une technique de réduction de modèles pour la modélisation de structures lamifiées élastomère-métal. Nous avons réalisé des éléments finis "réduits" à partir d'une formulation variationnelle pour des problèmes d'équilibre hyperélastiques quasi-incompressibles. Ces éléments permettent via un enrichissement des champs inconnus (cinématique et pression) de condenser une ou plusieurs directions géométriques, réduisant ainsi la dimension (et donc la taille) du problème à résoudre. <br />A partir de tests numériques de validations (réalisés comparativement à des modèles de référence), on démontre la fiabilité ainsi que la performance de la méthode mise en oeuvre, que ce soit en terme de comportement global (raideurs effectives, efforts résultants) aussi bien qu'en terme de comportement local (champ de contraintes, ...) pour peu que l'enrichissement de l'approximation soit suffisant. <br />En guise d'applications, nous avons tout d'abord couplé cette technique de réduction avec une méthode de continuation, afin d'évaluer la limite de stabilité de structures lamifiées élastomère-métal (utilisées pour des applications aéronautiques: butées de pales d'hélicoptères). Puis nous avons réalisé une extension de cette méthode au cas d'un comportement dissipatif de type Kelvin-Voigt visco-hyperélastique. Enfin, nous l'avons utilisé pour analyser la réponse d'une structure poutre à section composite (élastomère et unidirectionels de verre ou de carbone).

Nous proposons une nouvelle approche de modélisation micro/macro pour les problèmes multi échelles. Cette approche se destine aux matériaux ayant deux longueurs caractéristiques de variation des propriétés : l'une microscopique et l'autre macroscopique. Ce qui signifie qu'il n'est pas possible de définir une relation de comportement macroscopique unique pour l'ensemble du système étudié. Nous proposons une méthode de discrétisation pour laquelle la majeure partie du domaine étudié est modélisée exclusivement à l'échelle macroscopique, seules quelques zones relativement petites, appelées motifs microscopiques, sont modélisées à l'échelle microscopique. La mise en oeuvre de la méthode de modélisation repose sur : un principe d'extension du comportement de l'échelle microscopique afin d'en déduire une relation de comportement numérique à l'échelle macroscopique ; la méthode des éléments naturels contraints CNEM, afin de pouvoir insérer les motifs microscopiques dans une discrétisation macroscopique ; et une méthode de résolution introduisant décomposition de domaine et réduction de modèle pour accélérer le calcul et tirer profit des calculateurs à architecture parallèle. Nous avons prouvé l'efficacité de notre approche sur des exemples académiques avec une bonne estimation de la solution, et une distribution de l'erreur homogène sur tout le domaine aux échelles microscopique et macroscopique même sur les bords.

Les travaux de recherche, menés depuis une quinzaine d'années, portent sur les développements de modèles mécaniques et numériques permettant de décrire le comportement local et global de pièces complexes constituées d'élastomères. Parmi les développements accomplis durant ces dernières années, citons les plus significatifs: -Modélisation numérique du comportement hyperélastique incompressible et réalisation d'une bibliothèque d'éléments finis. - Mise en oeuvre et validation d'une technique de réduction de modèles à travers la mise à profit des symétries géométriques pour la résolution des problèmes linéaires ou non-linéaires (Eléments finis pseudo-axisymétriques, Eléménts de réduction 3D/2D...) - Modélisation du couplage thermo-viscoélastique en grandes transformations des structures élastomères. - Elaboration de modèles hyper-visco-plastiques, microphysiquement motivés, dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles. - Développement d'algorithmes d'identification de paramètres des modèles et établissement d'une méthodologie de caractérisation pour les comportements à différentes températures et sous sollicitations dynamiques multifréquences.

De nos jours, les évolutions technologiques imposent aux ingénieurs de modéliser desphénomènes toujours plus multiphysiques et complexes tout au long du processus dedéveloppement d'un système : le cycle en V. Pour cela, il est primordial d'avoir à disposition desoutils adaptés et performants, afin de réduire les temps de mise sur le marché, tout en obtenantdes produits plus matures et plus économes en énergie. Les travaux présentés ici décrivent lamise en place d'une plate-forme de prototypage virtuel et l'intérêt d'intégrer des considérationsénergétiques dans toutes les étapes de la modélisation. Cette approche permet, par exemple, dequantifier l'efficacité d'un système et de ses composants, et donc d'optimiser au plus tôt le coûténergétique d'une solution technique. Nous avons, dans un second temps, souhaité répondre àla problématique du " modèle le plus adapté ". Après analyse des différentes méthodes deréduction de modèles, nous avons décidé de développer la méthode PEMRA permettant depallier les limitations de la méthode MORA, introduite par Louca et al. en 1997. Les variables depuissance et d'énergie introduites précédemment sont utilisées pour calculer deux nouveauxcritères dans le processus de réduction de modèles, permettant de converger vers un modèleréduit plus simple et plus précis qu'avec la méthode MORA. Nous montrons enfin qu'enchoisissant judicieusement le signal d'excitation et un critère dit de précision temporelle adapté, ilest possible, par une approche innovante à la fois énergétique et fréquentielle, de trouver unmodèle réduit mieux adapté aux exigences imposées par l'utilisateur.

De nos jours, les évolutions technologiques imposent aux ingénieurs de modéliser desphénomènes toujours plus multiphysiques et complexes tout au long du processus dedéveloppement d’un système : le cycle en V. Pour cela, il est primordial d’avoir à disposition desoutils adaptés et performants, afin de réduire les temps de mise sur le marché, tout en obtenantdes produits plus matures et plus économes en énergie. Les travaux présentés ici décrivent lamise en place d’une plate-forme de prototypage virtuel et l’intérêt d’intégrer des considérationsénergétiques dans toutes les étapes de la modélisation. Cette approche permet, par exemple, dequantifier l’efficacité d’un système et de ses composants, et donc d’optimiser au plus tôt le coûténergétique d’une solution technique. Nous avons, dans un second temps, souhaité répondre àla problématique du « modèle le plus adapté ». Après analyse des différentes méthodes deréduction de modèles, nous avons décidé de développer la méthode PEMRA permettant depallier les limitations de la méthode MORA, introduite par Louca et al. en 1997. Les variables depuissance et d’énergie introduites précédemment sont utilisées pour calculer deux nouveauxcritères dans le processus de réduction de modèles, permettant de converger vers un modèleréduit plus simple et plus précis qu’avec la méthode MORA. Nous montrons enfin qu’enchoisissant judicieusement le signal d’excitation et un critère dit de précision temporelle adapté, ilest possible, par une approche innovante à la fois énergétique et fréquentielle, de trouver unmodèle réduit mieux adapté aux exigences imposées par l’utilisateur. / Nowadays, technological evolutions are leading engineers to model increasingly multiphysic andcomplex phenomena throughout the systems design process: the V-cycle. Adapted and efficientsystems design tools are therefore necessary in order to reduce time-to-market, while stillensuring fully developed and energy-saving products. First, this work describes the set-up of avirtual prototyping platform and highlights the interest of integrating energetic aspects in allmodelling stages. For example, this approach enables to quantify the system and components’efficiency, and therefore to optimise earlier in the process the energy consumption of a technicalsolution. Secondly, the problematic of the “Proper Model” has been addressed. After the study ofthe model reduction methodologies, we decide to develop PEMRA in order to compensate forlimitations of the MORA methodology, introduced by Louca et al. in 1997. The previous powerand energy variables are then used to compute two new model reduction criteria, in order toobtain a simpler and more accurate reduced model than with MORA methodology. Finally, weshow that a well-defined excitation signal and a new adapted temporal validation criterion willlead, with this innovative energy- and frequency-based approach, to a better suited reducedmodel.