The topic of this thesis is the theoretical and numerical research of optimal control problems for uncertain nonlinear systems, described by semilinear parabolic differential equations with additive noise, where the state is not completely available. Based on a paper by Kazufumi Ito and Karl Kunisch, which was published in 2006 with the title "Receding Horizon Control with Incomplete Observations", we analyze a Model Predictive Control (MPC) approach where the resulting linear problems on small intervals are solved with a Linear Quadratic Gaussian (LQG) design. Further we define a performance index for the MPC/LQG approach, find estimates for it and present bounds for the solutions of the underlying Riccati equations. Another large part of the thesis is devoted to extensive numerical studies for an 1+1- and 3+1-dimensional problem to show the robustness of the MPC/LQG strategy. The last part is a generalization of the MPC/LQG approach to infinite-dimensional problems.

Zur Modellierung der Ausbreitung von Aktionspotentialen im menschlichen Vorhof wurde in der Vergangenheit eine Vielzahl von Modellen entwickelt, welche den Einfluss der zahlreichen Ionenströme, die durch die Zellmembran fließen, im Detail berücksichtigen. Mit dem Ziel einer vereinfachten Beschreibung ist kürzlich das Modell von Bueno-Orovio, Cherry und Fenton (BOCF-Modell) an die Elektrophysiologie des Vorhofs angepasst worden, welches ursprünglich für die elektrische Erregungsausbreitung in den Herzkammern entwickelt wurde. In dieser Arbeit wird dieses angepasste BOCF-Modell in Bezug auf seine Fähigkeit untersucht, raum-zeitliche Erregungsmuster zu erzeugen, die beim anatomischen und spiralförmigen Reentry gefunden werden. Hierzu werden die Ergebnisse des BOCF-Modells mit denen des detaillierten Modells von Courtemanche, Ramirez und Nattel (CRN-Modell) verglichen. Es zeigt sich, dass die charakteristischen Merkmale von Reentry-Mustern im CRN-Modell gut mit dem BOCF-Modell wiedergegeben werden. Dies eröffnet die Möglichkeit, die Ursprünge des Vorhofflimmerns basierend auf einer vereinfachten, aber immer noch zuverlässigen Beschreibung der Elektrophysiologie zu untersuchen. Eine effektive Methode wird entwickelt, um empirische Aktionspotentiale von Patienten in den menschlichen Vorhöfen anhand des BOCF-Modells zu modellieren. Grundlage dieser Methode ist die Anpassung von drei relevanten Zeitkonstanten im BOCF-Modell mit Hilfe eines nicht-linearen Optimierungsverfahrens. Die Methode ermöglicht, spezifische Aktionspotentiale mit einer gegebenen Amplitude, Breite und Form zu reproduzieren. Sie kann als Prädiktor für pathologische Befunde verwendet werden.

This thesis deals with a newly-developed model for the spatiotemporal calcium dynamics within presynaptic terminals. The model is based on single-protein kinetics and has been used to successfully describe different neuron types such as pyramidal neurons in the rat neocortex and the Calyx of Held of neurons from the rat brainstem. A limited number of parameters had to be adjusted to fluorescence measurements of the calcium concentration. These values can be interpreted as a prediction of the model, and in particular the protein densities can be compared to independent experiments. The contribution of single proteins to the total calcium dynamics has been analysed in detail for voltage-dependent calcium channel, plasma-membrane calcium ATPase, sodium-calcium exchanger, and endogenous as well as exogenous buffer proteins. The model can be used to reconstruct the unperturbed calcium dynamics from measurements using fluorescence indicators. The calcium response to different stimuli has been investigated in view of its relevance for synaptic plasticity. This work provides a first step towards a description of the complete synaptic transmission using single-protein data.

Viele technische Prozesse führen auf Randwertprobleme mit partiellen Differentialgleichungen, die mit Finite-Elemente-Methoden näherungsweise gelöst werden können. Spezielle Varianten dieser Methoden sind Finite-Elemente-Mortar-Methoden. Sie erlauben das Arbeiten mit an Teilgebietsschnitträndern nichtzusammenpassenden Netzen, was für Probleme mit komplizierten Geometrien, Randschichten, springenden Koeffizienten sowie für zeitabhängige Probleme von Vorteil sein kann. Ebenso können unterschiedliche Diskretisierungsmethoden in den einzelnen Teilgebieten miteinander gekoppelt werden. In dieser Arbeit wird das Finite-Elemente-Mortaring nach einer Methode von Nitsche für elliptische Randwertprobleme auf zweidimensionalen polygonalen Gebieten untersucht. Von besonderem Interesse sind dabei nichtreguläre Lösungen (u \in H^{1+\delta}(\Omega), \delta>0) mit Eckensingularitäten für die Poissongleichung sowie die Lamé-Gleichung mit gemischten Randbedingungen. Weiterhin werden singulär gestörte Reaktions-Diffusions-Probleme betrachtet, deren Lösungen zusätzlich zu Eckensingularitäten noch anisotropes Verhalten in Randschichten aufweisen. Für jede dieser drei Problemklassen wird das Nitsche-Mortaring dargelegt. Es werden einige Eigenschaften der Mortar-Diskretisierung angegeben und a-priori-Fehlerabschätzungen in einer H^1-artigen sowie der L_2-Norm durchgeführt. Auf lokal verfeinerten Dreiecksnetzen können auch für Lösungen mit Eckensingularitäten optimale Konvergenzordnungen nach gewiesen werden. Bei den Lösungen mit anisotropen Verhalten werden zusätzlich anisotrope Dreiecksnetze verwendet. Es werden auch hier Konvergenzordnungen wie bei klassischen Finite-Elemente-Methoden ohne Mortaring erreicht. Numerische Experimente illustrieren die Methode und die Aussagen zur Konvergenz.

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Das dominante Datenmuster im Bereich des kognitiven Alterns ist der Alters-x-Komplexitätseffekt. Die vorliegende Studie untersucht, ob das Muster statt durch einen üblicherweise postulierten unspezifischen durch einen spezifischen Mechanismus erklärt werden kann: die mit dem Alter abnehmende Reliabilität episodischer Akkumulatoren. In sechs Reaktionszeit-Experimenten wurden junge und ältere Erwachsene verglichen, dabei wurden frühe kognitive (Stroop-Bedingung) und episodische Schwierigkeit (Reiz-Reaktions-Zuordnung) orthogonal manipuliert. Die vorhergesagte Dreifachinteraktion der beiden Faktoren mit dem Alter zeigte sich über die Experimente hinweg relativ konsistent. Eine modifizierte Brinley-Analyse ergibt deutlich unterschiedliche Steigungen der Regressionsgeraden im Alt-Jung-Raum für niedrige und hohe episodische Schwierigkeit. Als methodischer Beitrag wird im Anhang ein zur modifizierten Brinley-Analyse passendes Regressionsmodell entwickelt, das aus einigen einfachen Verarbeitungsannahmen folgt. Es wird gezeigt, dass in einer klassischen Brinley Metaanalyse die Steigung neben der theoretisch interessierenden Varianz von theoretisch uninteressanter Zwischen-Experiment-Varianz beeinflusst wird. / The age-by-complexity effect is the dominant empirical pattern in cognitive aging. The current report investigates whether a specific high-level mechanism---an age-related decrease in the reliability of episodic accumulators---can account for the age-by-complexity-effect, which is commonly assumed to be caused by an unspecific, low-level deficit. Groups of younger and older adults are compared in six reaction time experiments, using orthogonal manipulations of early cognitive difficulty (e.g., Stroop condition) and episodic demands (e.g., stimulus-response mapping). The predicted three-way interaction of age and the two factors was observed fairly consistently across experiments. A modified Brinley analysis shows that different regression slopes in old-young-space are required for conditions with low and high episodic difficulty. As a methodological contribution, a Brinley regression model following from certain simple processing assumptions is developed. It is shown that in contrast to a standard Brinley meta-analysis, the regression slopes in this model are not influenced by theoretically un-interesting between-experiment variance.

This thesis deals with a newly-developed model for the spatiotemporal calcium dynamics within presynaptic terminals. The model is based on single-protein kinetics and has been used to successfully describe different neuron types such as pyramidal neurons in the rat neocortex and the Calyx of Held of neurons from the rat brainstem. A limited number of parameters had to be adjusted to fluorescence measurements of the calcium concentration. These values can be interpreted as a prediction of the model, and in particular the protein densities can be compared to independent experiments. The contribution of single proteins to the total calcium dynamics has been analysed in detail for voltage-dependent calcium channel, plasma-membrane calcium ATPase, sodium-calcium exchanger, and endogenous as well as exogenous buffer proteins. The model can be used to reconstruct the unperturbed calcium dynamics from measurements using fluorescence indicators. The calcium response to different stimuli has been investigated in view of its relevance for synaptic plasticity. This work provides a first step towards a description of the complete synaptic transmission using single-protein data.

Molecular property prediction has the ability to improve many processes in molecular chemistry industry. One important application is the development of new drugs where molecular property prediction can decrease both the cost and time of finding new drugs. The current trend is to use graph neural networks or transformers which tend to need moderate and large amounts of data respectively to perform well. Because of the scarceness of molecular property data it is of great interest to find an effective method to transfer learning from other more data-abundant problems. In this thesis I present an approach to pre-train transformer encoders on reaction prediction in order to improve performance on downstream molecular property prediction tasks. I have built a model based on the full transformer architecture but modify it for the purpose of pre-training the encoder. Model performance and specifically the effect of pre-training is tested by predicting lipophilicity, HIV inhibition and hERG channel blocking using both pre-trained models and models without any pre-training. The results demonstrate a tendency for improvement of performance on all molecular property prediction tasks using the suggested pre-training but this tendency for improvement is not statistically significant. The major limitation with the conclusive evaluation stems from the limited simulations due to computational constraints

Reaction-diffusion models have been widely successful in explaining a large variety of patterning phenomena in biology ranging from embryonic development to cancer growth and angiogenesis. Firstly proposed by Alan Turing in 1952 and applied to a simple two-component system, reaction-diffusion models describe spontaneous spatial pattern formation, driven purely by interactions of the system components and their diffusion in space. Today, access to unprecedented amounts of quantitative biological data allows us to build and test biochemically accurate reaction-diffusion models of intracellular processes. However, any increase in model complexity increases the number of unknown parameters and thus the computational cost of model analysis. To efficiently characterize the behavior and robustness of models with many unknown parameters is, therefore, a key challenge in systems biology. Here, we propose a novel computational framework for efficient high-dimensional parameter space characterization of reaction-diffusion models. The method leverages the $L_p$-Adaptation algorithm, an adaptive-proposal statistical method for approximate high-dimensional design centering and robustness estimation. Our approach is based on an oracle function, which describes for each point in parameter space whether the corresponding model fulfills given specifications. We propose specific oracles to estimate four parameter-space characteristics: bistability, instability, capability of spontaneous pattern formation, and capability of pattern maintenance. We benchmark the method and demonstrate that it allows exploring the ability of a model to undergo pattern-forming instabilities and to quantify model robustness for model selection in polynomial time with dimensionality. We present an application of the framework to reconstituted membrane domains bearing the small GTPase Rab5 and propose molecular mechanisms that potentially drive pattern formation.

The aim of this thesis is to investigate the dynamical behaviors of spatially extended systems with fluctuating time delays. In recent years, the study of spatially extended systems and systems with fluctuating delays has experienced a fast growth. In ubiquitous natural and laboratory situations, understanding the action of time-delayed signals is a crucial for understanding the dynamical behavior of these systems. Frequently, the length of the delay is found to change with time. Spatially extended systems are widely studied in many fields, such as chemistry, ecology, and biology. Self-organization, turbulence, and related nonlinear dynamic phenomena in spatially extended systems have developed into one of the most exciting topics in modern science. The first part of this thesis considers the discrete system. Diffusively coupled map lattices with a fluctuating delay are used in the study. The uncoupled local dynamics of the considered system are represented by the delayed logistic map. In particular, the influences of diffusive coupling and fluctuating delay are studied. To observe and understand the influences, the results for the considered system are compared with coupled map lattices without delay and with a constant delay as well as with the uncoupled logistic map with fluctuating delays. Identifying different patterns, determining the existence of traveling wave solutions, and specifying the fully synchronized stable state are the focus of this part of the study. The Lyapunov exponent, the master stability function, spectrum analysis, and the structure factor are used to characterize the different states and the transitions between them. The second part examines the continuous system. The delay is introduced into the reactionterm of the Fisher-KPP equation. The focus of this part of study is the time-delay-induced Turing instability in one-component reaction-diffusion systems. Turing instability has previously only been found in multiple-component reaction-diffusion systems. However, this work demonstrates with the help of the stability exponent that fluctuating delay can result in Turing instability in one-component reaction-diffusion systems as well. / Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung der Einflüsse der zeitlich fluktuierenden Verzögerungen in räumlich ausgedehnten diffusiven Systemen. Durch den Vergleich von Systemen mit konstanter Verzögerung bzw. Systemen ohne räumliche Kopplung erhält man ein tieferes Verständnis und eine bessere Beschreibungsweise der Dynamik des räumlich ausgedehnten diffusiven Systems mit fluktuierenden Verzögerungen. Im ersten Teil werden diskrete Systeme in Form von diffusiven Coupled Map Lattices untersucht. Als die lokale iterierte Abbildung des betrachteten Systems wird die logistische Abbildung mit Verzögerung gewählt. In diesem Teil liegt der Fokus auf Musterbildung, Existenz von Multiattraktoren und laufenden Wellen sowie der Möglichkeit der vollen Synchronisation. Masterstabilitätsfunktion, Lyapunov Exponent und Spektrumsanalyse werden benutzt, um das dynamische Verhalten zu verstehen. Im zweiten Teil betrachten wir kontinuierliche Systeme. Hier wird die Fisher-KPP Gleichung mit Verzögerungen im Reaktionsteil untersucht. In diesem Teil liegt der Fokus auf der Existenz der Turing Instabilität. Mit Hilfe von analytischen und numerischen Berechnungen wird gezeigt, dass bei fluktuierenden Verzögerungen eine Turing Instabilität auch in 1-Komponenten-Reaktions-Diffusionsgleichungen gefunden werden kann