L'exactitude délivrée par les systèmes de positionnement globaux par satellites (GNSS) est un facteur clé pour de nombreuses applications scientifiques telles que le positionnement de points géodésiques ou d’autres satellites, l'établissement de systèmes de référence spatio-temporels, la synchronisation d’horloges ou encore l'étude directe du lien pour sonder l’atmosphère. L'augmentation de la constellation GNSS avec des mesures de pseudo-distances entre les satellites est une option prometteuse pour améliorer l'exactitude du système. Plusieurs études présentent l'apport qualitatif de ces liens inter-satellites (ISL), mais ne permettent pas de mesurer efficacement l'impact quantitatif de cette technologie. Dans cette thèse, nous avons effectué une étude différentielle entre un système classique (possédant seulement des liens standards espace-sol) et un système augmenté avec des ISL. Les deux systèmes sont étudiés sous les mêmes hypothèses et à travers le même code de calcul. Celui-ci est composé de deux parties distinctes et autonomes : une simulation d’observables sous la forme de pseudo-temps de vol bruités, et une analyse qui délivre, après ajustement des paramètres, les bilans d’erreurs quantitatifs. La comparaison des bilans d'erreurs quantitatifs associés aux deux systèmes nous permet d’établir, pour une même application donnée, les différences de performance relatives entre les deux systèmes. Les résultats obtenus permettent de franchir un pas de plus vers la validation de l’apport des liens inter-satellites et sont à considérer pour les versions futures des systèmes de navigation par satellites. / The accuracy reached by the Global Navigation Satellite Systems (GNSS) is critically important for many scientific applications such as geodetic point or satellite positioning, space-time reference frame realization, clocks synchronization or the study of the links to probe the atmosphere. One option for improving the system accuracy is the use of inter-satellite pseudo-range measurements, so called inter-satellite links (ISL). Several studies have shown the qualitative interest of ISL but do not allow to efficiently measure the quantitative impact of this new technology on space-time positioning. In this thesis, we present a differential study between a standard system (with standard satellite-to-ground links only) and system augmented by ISL. The two systems are compared under the same hypothesis and simulated within the same software. The software is made of two distinct and independent parts : the simulation which generates the noisy pseudo-ranges, and an analysis which uses a non linear adjustment procedure in order to recover the initial parameters of the simulation and compute the quantitative error budgets. For a given application, the quantitative comparison between the error budgets of both systems allow us to highlight the relative merits of the two configurations. Our results are a further step in the characterization of the interest of ISL and should prove useful for the design of future satellite navigation system design.

L'objet de cette thèse est l'étude mathématique de familles d'espaces-temps satisfaisant aux équations d'Einstein de la Relativité Générale. Deux approches sont considérées pour cette étude. La première partie, composée des trois premiers chapitres, examine les propriétés géométriques des espaces-temps d'Emparan-Reall et dePomeransky-Senkov, de dimension 5. Nous montrons qu'ils contiennent un trou noir, dont l'horizon des événements est à sections compactes non-homéomorphes à la sphère. Nous en construisons une extension analytique et prouvons que cette extension est maximale et unique dans une certaine classe d'extensions pour les espaces-temps d'Emparan-Reall. Nous établissons ensuite le diagramme de Carter-Penrose de ces extensions, puis analysons la structure de l'ergosurface des espaces-temps de Pomeransky-Senkov. La deuxième partie est consacrée à l'étude de données initiales, solutions des équations des contraintes, induites par les équations d'Einstein. Nous effectuons un recollement d'une classe de données initiales avec des données initiales d'espaces-temps de Kerr-Kottler-deSitter, en utilisant la méthode de Corvino. Nous construisons, d'autre part, des métriques asymptotiquement hyperboliques en dimension 3, satisfaisant les hypothèses du théorème de masse positive à l'exception de la complétude, et ayant un vecteur moment-énergie de genre causal arbitraire. / The aim of this thesis is the mathematical study of families of spacetimes satisfying the Einstein's equations of General Relativity. Two methodsare used in this context.The first part, consisting of the first three chapters of this work,investigates the geometric properties of the Emparan-Reall andPomeransky-Senkov families of 5-dimensional spacetimes. We show that they contain a black-hole region, whose event horizon has non-spherical compact cross sections. We construct an analytic extension, and show its maximality and its uniqueness within a natural class in the Emparan-Reallcase. We further establish the Carter-Penrose diagram for these extensions, and analyse the structure of the ergosurface of the Pomeransky-Senkovspacetimes.The second part focuses on the study of initial data, solutions of theconstraint equations induced by the Einstein's equations. We perform agluing construction between a given family of inital data sets andinitial data of Kerr-Kottler-de Sitter spacetimes, using Corvino'smethod.On the other hand, we construct 3-dimensional asymptotically hyperbolicmetrics which satisfy all the assumptions of the positive mass theorem but the completeness, and which display an energy-momentum vector of arbitry causal type.

Le but à long terme de mon travail de recherche est de trouver une alternative viable à la méthode conforme, qui nous permettrait de mieux comprendre la structure géométrique de l'espace des solutions des équations de contrainte. L'avantage du modèle de Maxwell (the drift model) par rapport aux modèles plus classiques est la présence des paramètres supplémentaires. Le prix à payer, par contre, sera que la complexité analytique du système correspondant. Ma thèse a été structuré en deux parties : a. Existence sous la condition de petitesse des données initiales. Nous avons montré que le système de Maxwell est raisonnable dans le sens où nous pouvons le résoudre, malgré sa forte nonliniarité, sous des conditions de petitesse sur ses coefficients, en dimension 3, 4 et 5. Par conséquent, l'ensemble des solutions est non-vide. b. Stabilité Nous montrons la stabilité des solutions du système: ce résultat est obtenu en dimension 3,4 et 5, dans le cas où la métrique est conformément plate, et le drift et petit / The long-term goal of my work is to find a viable alternative to the conformal method, which would allow us to better understand the geometry of the space of solutions of the constraint equations. The advantage of Maxwell's model (the drift model) is the presence of additional parameters. Its downside, however, is that it proves to be much more difficult from an analytic standpoint. My thesis is structued in two parts: a. Existence under suitable smallness conditions. We show that Maxwell's system is sufficiently reasonable: it can be solved even given the presence of focusing non linearities. We prove this under smallness conditions of its coefficients, and in dimensions 3,4 and 5. An immediate consequence is that the set of solutions is non-empty. b. Stability. We verify that the solutions of the system are stable: this result holds in dimensions 3,4 and 5, when the metric is conformally flat and the drift is small

The thesis is divided into two loosely connected parts: the first one is concerned with three dimensional Topologically massive gravity (TMG) and the other is devoted to generating solutions of black objects within five minimal dimensional supergravity theory (mSUGRA5).

Nous entendons confronter pratique des mathématiques et réflexions sur les mathématiques dans l'œuvre de Weyl. Nous étudierons : (a) ses monographies en analyse complexe, en relativité générale et en mécanique quantique, (b) les articles en lien avec ces ouvrages, (c) certains de ses cours, (d) sa correspondance avec divers scientifiques, principalement A. Einstein, E. Cartan, J. von Neumann. Nous voulons savoir si les théories mathématiques qu'il investit conditionnent ses positions sur les fondements des mathématiques. Inversement, nous montrerons que les philosophies auxquelles il se réfère – essentiellement le criticisme kantien, l'idéalisme fichtéen et la phénoménologie de Husserl – conditionnent ses recherches. Tout d'abord, nous reviendrons sur Die Idee der Riemannschen Fläche (première éd. 1913). Nous montrerons qu'il opte alors pour un formalisme mitigé. Il se revendique de deux traditions incarnées par Klein et par Hilbert. Ensuite, nous étudierons les éditions successives de Raum, Zeit, Materie (1918-1923). Nous aborderons le projet d'une géométrie purement infinitésimale qui permet à Weyl de proposer une théorie unifiée des champs, cette dernière étant réfutée par Einstein, Pauli, Reichenbach, Hilbert and Eddington. Nous décrirons aussi la construction et la résolution de son « problème de l'espace » (1921-1923). Nous indiquerons comment la référence aux philosophies de Fichte et de Husserl permet d'éclairer ces deux projets. Enfin, nous commenterons l'article de Weyl sur les groupes de Lie (1925-1926) ainsi que son ouvrage Gruppentheorie und Quantenmechanik (1928, 1931). Son article sur les groupes de Lie manifeste la voie moyenne entre formalisme et intuitionnisme qu'il adopte en 1924. Son ouvrage en mécanique quantique incarne quant à lui un « tournant empirique » dans son épistémologie qu'il conviendra de comparer \`a l'« empirisme logique ». / Our purpose consists in comparing Weyl's mathematical practice with his philosophical reflections on mathematics. We will study (a) his monographs on complex analysis, general relativity and quantum mechanics, (b) the articles which are linked to these books, (c) some of his lecture courses, (d) his correspondence with different scientists, mainly A. Einstein, E. Cartan, J. von Neumann. We will show that his mathematical research has a strong influence on the different stands he successively takes regarding the foundations of mathematics. Conversely, we will show that the philosophical systems he refers to (mainly kantian criticism, fichtean idealism and husserlian phenomenology) have a real impact on his investigations in mathematics. We will first analyse Die Idee der Riemannschen Fläche (first edition 1913). In this book, Weyl seems to take up a formalist point of view, but this is partly true. In fact, he is influenced by two traditions respectively embodied by Hilbert and Klein. Then, we will study the successive editions of Raum, Zeit, Materie (1918-1923). We will describe Weyl's project of a “purely infinitesimal geometry”. Thanks to this geometrical framework, he builds a unified fields theory, which will be disproved by Einstein, Pauli, Reichenbach, Hilbert and Eddington. During this short period, Weyl also constructs and solves the so-called space problem (1921-1923). Weyl's references to Fichte and Husserl have a significant impact on these two projects. Finally, we will comment Weyl's main article on Lie groups (1925-1926) and his monograph on quantum mechanics, i.e. Gruppentheorie und Quantenmechanik (1rst ed. 1928, 2nd ed. 1931). Weyl's article on Lie groups is in accordance with his compromise between intuitionism and formalism (1924). On the other hand, Weyl's book on quantum mechanics encapsulates an “empirical turn” in his epistemology, which will be compared with the so-called empirical logicism.

Dans le modèle standard de la cosmologie, la dynamique globale de l'Univers est modélisée par l'intermédiaire d'un espace-temps de référence (ou de fond) fortement symétrique, admettant des sections spatiales homogènes et isotropes. Le couplage entre les sources fluides, homogènes, et l'expansion globale, y est déterminé par les équations d'Einstein de la Relativité Générale. La formation de structures inhomogènes de matière peut également être décrite dans ce modèle. Selon l'époque et l'échelle considérées, cette description est effectuée soit à l'aide d'un schéma perturbatif relativiste supposant une faible déviation de chaque grandeur par rapport au fond homogène imposé, soit au moyen d'une approche newtonienne au sein du même fond en expansion. L'interprétation des observations dans ce modèle suggère cependant une accélération inattendue de l'expansion, qui requiert une nouvelle composante énergétique mal comprise, l' «Énergie Noire», en plus de la Matière Noire. La cosmologie inhomogène a pour but de lever les restrictions imposées par ces modèles sur la géométrie et sur les sources sans sortir du cadre de la Relativité Générale. Cela peut notamment permettre d'améliorer le modèle de formation des structures pour prendre en compte de fortes déviations par rapport à l'homogénéité dans la distribution de matière et dans la géométrie. Cela permet également d'étudier les conséquences dynamiques, appelées effets de rétroaction («backreaction»), du développement local de telles inhomogénéités sur l'expansion à de plus grandes échelles. De telles rétroactions peuvent alors reproduire, au moins partiellement, les comportements attribués à l'Énergie Noire ou à la Matière Noire. Au cours de mon travail de thèse sous la direction de Thomas Buchert, j'ai étudié plusieurs aspects analytiques de la cosmologie inhomogène en Relativité Générale. Je présente ci-dessous les résultats de travaux au sein de collaborations, auxquels j'ai apporté des contributions majeures dans le cadre de la thèse. Je me suis tout d'abord concentré sur l'écriture d'un schéma d'approximation relativiste lagrangien, pour décrire la dynamique locale des structures jusqu'à un régime non-linéaire, dans des fluides parfaits barotropes irrotationnels. Je me suis ensuite intéressé à la description effective de fluides inhomogènes admettant un tenseur d'énergie-impulsion général ainsi que de la vorticité, au moyen de deux schémas possibles de moyenne spatiale. Ces schémas s'appliquent à un choix quelconque des hypersurfaces spatiales sur lesquelles moyenner, et fournissent pour chacun de ces choix un système d'équations d'évolution effectives, présentant plusieurs termes de rétroaction, pour un domaine d'intégration suivant la propagation des sources. Cela permet une discussion qualitative de la dépendance au choix du feuilletage des équations moyennes et des rétroactions. J'ai également étudié la réécriture de ces schémas de moyennes et équations d'évolution, et d'autres obtenus de façon similaire, sous une forme unifiée et manifestement 4-covariante. Ce dernier résultat permettra une étude plus explicite de la dépendance au feuilletage / In the standard model of cosmology, the global dynamics of the Universe is modelled via a highly symmetric background spacetime with homogeneous and isotropic spatial sections. The coupling of the homogeneous fluid sources to the overall expansion is then determined by the Einstein equations of General Relativity. In addition, the formation of inhomogeneous matter structures is described either via a relativistic perturbation scheme assuming small deviations of all fields to the prescribed homogeneous background, or using Newtonian dynamics within the same expanding background, depending on the scale and epoch. However, the interpretation of observations within this model calls for an unexpectedly accelerated expansion requiring a poorly-understood `Dark Energy' component, in addition to Dark Matter. Inhomogeneous cosmology aims at relaxing the restrictions of these models on the geometry and sources while staying within the framework of General Relativity. It can allow, in particular, for an improved modelling of the formation of structures accounting for strong deviations from homogeneity in the matter distribution and the geometry. It can also study the dynamical consequences, or backreaction effects, of the development of such inhomogeneities on the expansion of larger scales. Such a backreaction may then reproduce, at least partially, the behaviours attributed to Dark Energy or Dark Matter. During my PhD under the direction of Thomas Buchert, I have been working on several analytical aspects of general-relativistic inhomogeneous cosmology. I present below the results of collaborations in which I played a major role in the context of the PhD. I first focussed on the expression of a relativistic Lagrangian approximation scheme for the description of the local dynamics of structures up to a nonlinear regime in irrotational perfect barotropic fluids. I then considered the effective description of inhomogeneous fluids with vorticity and a general energy-momentum tensor in terms of two possible schemes of spatial averaging. These schemes are applicable to any choice of spatial hypersurfaces of averaging, providing for each choice a set of effective evolution equations, featuring several backreaction terms, for an averaging region comoving with the sources. This allows for a qualitative discussion of the dependence of the average equations and backreactions on the foliation choice. I also studied the rewriting of such averaging schemes and evolution equations under a unified and manifestly 4-covariant form. This latter result will allow for a more explicit investigation of foliation dependence

Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude de la<br />théorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans plusieurs<br />espaces-temps de la relativité générale. Les méthodes complètement<br />dépendantes du temps développées par Enss, Sigal, Soffer, Graf,<br />Derezi\'nski et Gérard constituent le fil conducteur de ce<br />travail. Ces méthodes sont basées sur des estimations de propagation<br />comme les estimations de vitesse minimale (obtenues par une théorie de<br />Mourre) qui correspondent à une version faible du principe de Huygens <br />et sur l'étude d'observables asymptotiques naturelles comme les<br />opérateurs de vitesse asymptotiques. Dans un premier temps, on teste<br />ces méthodes en étudiant la propagation de champs de Dirac, massifs ou<br />non, perturbés par des potentiels à longue portée, en espace-temps<br />plat. On montre ainsi <br />l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde<br />modifiés. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à des situations<br />géométriques plus compliquées en étudiant la propagation de ces champs<br />à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordström (à symétrie<br />sphérique) et de Kerr-Newman (en rotation) du point de vue<br />d'observateurs lointains. L'originalité de ce type d'étude réside dans<br />le fait que les observateurs distinguent deux régions asymptotiques<br />(l'horizon du trou noir et l'infini spatial) aux structures<br />géométriques bien différentes ce qui entraîne l'existence de deux<br />canaux de diffusion. Dans le cas de trous noirs à symétrie<br />sphérique, une décomposition sur une base d'harmoniques sphériques<br />permet de se ramener à un problème à une dimension d'espace, du type<br />espace-temps plat. La difficulté essentielle provient alors de<br />l'absence de symétrie sphérique des trous noirs de Kerr-Newman qui<br />rend impossible une telle simplification. Dans les deux cas, on montre <br />l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde<br />(modifiés à l'infini) à l'aide des méthodes dépendantes du temps.

La Relativité Générale n'est probablement pas la théorie ultime de la gravitation. Cette affirmation est motivée par des considérations théoriques liées à la recherche d'une théorie quantique de la gravitation et aux tentatives d'unification des interactions fondamentales. Une autre motivation provient des observations cosmologiques expliquées par l'introduction de matière noire et d'énergie sombre non observées directement à ce jour. Cette thèse se propose de déduire des signatures observables expérimentalement provenant de théories alternatives de la gravitation. Dans cette optique, nous avons développé des outils qui permettent de simuler des observations dans des théories alternatives de la gravitation pour deux échelles différentes: dans le cadre du Système Solaire et dans le cadre de la cosmologie. Dans le cadre du Système Solaire, nous avons développé des logiciels qui permettent de simuler des observations spatiales de Range, Doppler et de type astrométrique. Au niveau cosmologique, nous avons développé un logiciel qui permet de simuler des observations de distance-luminosité de Supernovae Ia. Ces outils permettent de dériver les signatures caractéristiques des théories alternatives. Nous avons appliqué ces différents outils à quelques théories alternatives de la gravitation et nous avons pu répondre à la question : quel est l'impact d'une modification de la théorie de la gravitation sur des observations et est-il possible de la détecter ?

Le premier objectif de cette thèse est de répondre au manque en cosmologie de description sur le cône de lumière passé: hypersurface nulle où se propagent tous les signaux observés. Son deuxième est d'évaluer l'importance des inhomogénéités dans la détermination des paramètres de l'énergie sombre, de nature encore inconnue et pour laquelle l'influence des structures de matière a été proposée comme une alternative cosmologique. Nous définissons une jauge "géodésique sur le cône de lumière" qui simplifie grandement l'étude de la propagation lumineuse dans l'Univers. Nous établissons ensuite une moyenne, invariante de jauge, pour les quantités scalaires sur le cône et calculons l'effet des inhomogénéités sur le flux lumineux en considérant leur spectre de puissance jusque son régime non-linéaire. Leur effet sur le flux est négligeable tandis que des observables comme la distance de luminosité, évaluée jusqu'au second ordre en perturbations, sont bien plus affectées. Nous étudions aussi le module de distance à la base de la découverte de l'énergie sombre par les supernovæ (SNe) Ia. La moyenne de ce module est peu affectée par les inhomogénéités mais sa variance l'est sensiblement. Ces résultats montrent, dans leur cadre, qu'une alternative à l'énergie sombre par un effet des structures est impossible mais, en même temps, soulignent leur importance sur la dispersion des données du diagramme de Hubble. Les effets physiques dominants sont la vitesse des SNe et l'effet de lentille faible. Nos prédictions sur la dispersion se révèlent en très bon accord avec les premières analyses de SNe visant à détecter un signal de lentilles et seront vérifiables dans les années futures.

Les supernovas gravitationnelles sont un sujet d'étude passionnant, aussi bien par la diversité et la richesse de la physique mise en jeu que par l'émerveillement que peut exercer l'apparition d'un nouvel objet brillant dans le ciel. Les supernovas incitent les chercheurs aussi bien que les profanes au rêve et à l'imagination. Cette thèse traite des simulations numériques des supernovas gravitationnelles, et en particulier du problème du transport des neutrinos. Les neutrinos jouent un rôle crucial dans le chauffage et le refroidissement de la matière, et donc dans l'explosion d'une supernova. Leur implémentation numérique est difficile, à cause des connaissances très détaillées nécessaires pour le traitement des interactions, mais surtout à cause de la très grande exigence en temps de calcul des équations à résoudre. Après une première partie sur le contexte physique dans lequel se trouvent les supernovas gravitationnelles actuellement, je fais le point sur leur traitement numérique, avec un accent sur les méthodes numériques présentes dans le code que j'ai utilisé tout au long de ma thèse, le code CoCoNuT. Pour le traitement des neutrinos, deux pistes sont proposées. La troisième partie de cette thèse propose de fortement simplifier le traitement des neutrinos. C'est ce qui est fait dans l'implémentation du schéma de fuite, que j'ai pu par la suite utiliser pour étudier la formation de trous noirs. Dans cette optique, je montre l'influence de l'ajout de particules exotiques (pions et hypérons) sur la formation du trou noir. La présence de pions ou d'hypérons déclenche l'effondrement plus vite que dans les simulations où leur présence n'est pas prise en compte. De plus, les hypérons présentent une transition de phase, intéressante à étudier, par exemple pour la contrepartie en ondes gravitationnelles. La deuxième piste proposée pour le traitement des neutrinos est la résolution de l'équation de Boltzmann en relativité générale. La dérivation de cette équation dans le cadre de la relativité générale, et plus précisément en formalisme 3+1, fait l'objet de la quatrième partie de cette thèse. Enfin, la cinquième partie de cette thèse introduit un nouveau code de résolution numérique de l'équation de Boltzmann. Je montre d'une part les méthodes utilisées, et d'autre part des tests numériques, qui valident le bon fonctionnement du code.