TEODOSIO, Elaine de Sousa. Números complexos e suas aplicações à geometria no ensino médio. 2016. 102 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-08-16T16:27:26Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_esteodosio.pdf: 1393071 bytes, checksum: d25cd4da29b9031386959bad85406cf4 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-08-16T16:55:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_dis_esteodosio.pdf: 1393071 bytes, checksum: d25cd4da29b9031386959bad85406cf4 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-16T16:55:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_dis_esteodosio.pdf: 1393071 bytes, checksum: d25cd4da29b9031386959bad85406cf4 (MD5) Previous issue date: 2016 / The set of complex numbers is often subject forgotten high school. When approached, there is a restriction on the content in their own curriculum. This is perhaps the ignorance of their applicability, making their study is specifically addressed in the graduation of some university courses. This study aims to use these numbers in the statement of some geometry theorems, showing its application in the area of mathematics. For this, initially we discuss the algebraic concepts: operations of addition, multiplication, powers of i, conjugate and modulus of a complex number. Then simple geometric concepts such as distance between two points, angle measurements, linearity condition, orthogonality and cocircular, similar triangles and analytic geometry, which until then, it uses only real numbers, now extends to the complex numbers . With the inclusion of complex numbers iin geometry it is possible to prove theorems as: The circle of nine points, the straight of Simson, Cantor's theorem, Feuerbach's theorem and the theorem Morley. Finally, we will develop the project: short course complex numbers and geometry with a group of students of the 3rd year of high school at the State School Professor Eudes Veras, located in Maracanau, Ceará. To collect the data were utizados, a socioeconomic questionnaire and a test on powers of i, conjugate module, equation of the line, Napoleon's theorem and circle of nine points. These data were organized and analyzed. / O conjunto dos números complexos muitas vezes é assunto esquecido no ensino médio. Quando abordado, há uma restrição em relação aos conteúdos na própria matriz curricular. Isso ocorre, talvez, pela ignorância quanto a sua aplicabilidade, fazendo com que seu estudo seja tratado especificamente na graduação de alguns cursos superiores. O presente trabalho tem como objetivo utilizar esses números na demonstração de alguns teoremas de geometria, mostrando assim sua aplicação nessa área da matemática. Para isso, inicialmente abordaremos os conceitos algébricos: operações de adição, multiplicação, potências de i, conjugado e módulo de um número complexo. Em seguida, conceitos geométricos simples como distância entre dois pontos, medidas de ângulo, condição de linearidade, ortogonalidade e cocircular, semelhança de triângulos e geometria analítica, que até então, utiliza-se apenas números reais, agora amplia-se para os números complexos. Com a iinserção de números complexos na geometria é possível demonstrar teoremas como: O círculo de nove pontos, a reta de Simson, o teorema de Cantor, o teorema de Feuerbach e o teorema de Morley. Por fim, desenvolveremos o projeto: minicurso números complexos e geometria com um grupo de alunos do 3o ano do Ensino Médio da Escola Estadual Professora Eudes Veras, localizada em Maracanau, Ceará. Para a coleta dos dados foram utilizados, um questionário socioeconômico e um teste sobre potências de i, conjugado, módulo, equação da reta, teorema de Napoleão e círculo de nove pontos. Esses dados foram organizados e analisados.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Try to represent a line through the data of an experiment, so that it can draw inferences,enables the experience develop important hypothesis about a phenomenon. This work aims to present the method of least squares as a way to find the line that best fits a set of points. For development of this research, it was decided to do a whole literature, allowing to make theoretical survey about some concepts and differential calculus demonstrations, analytical geometry on the straight and linear algebra, as yet, define the method of least squares and apply LSQ solution to resolve an impossible system in the usual sense. Also explored in this study using Excel software as a teaching support tool and its use in the classroom. We finish with a hint of an interdisciplinary lecture on the subject, which in turn, is in an accessible and clear language to the teacher. This class has been developed for teaching steps, in which the latter is performed using Excel software as an auxiliary tool. For a deeper attachment content, we enumerated the end of class several practical exercises. / Representar atravÃs de uma reta os dados de um experimento de modo que possa fazer inferÃncias, possibilita,ao experimentar, elaborar hipÃteses importantes sobre um determinado fenÃmeno. Este trabalho tem por objetivo apresentar o mÃtodo dos MÃnimos Quadrados como caminho para encontrar a reta que mais se ajusta a um conjunto de dados. Para o desenvolvimento desta investigaÃÃo, optou-se por fazer uma pesquisa inteiramente bibliogrÃfica, permitindo realizar um levantamento teÃrico acerca de alguns conceitos e demonstraÃÃes de CÃlculo Diferencial, Geometria AnalÃtica na Reta e Ãlgebra Linear, como ainda, definir o mÃtodo dos mÃnimos quadrados e aplicar a soluÃÃo LSQ na resoluÃÃo de um sistema impossÃvel no sentido usual. TambÃm se explorou neste estudo o uso Software Excel como ferramenta de apoio didÃtico e sua aplicabilidade em sala de aula. Finaliza-se com sugestÃo de aula interdisciplinar sobre o tema, que por sua vez, està em uma linguagem acessÃvel e clara ao professor. Essa aula foi desenvolvida em etapas didÃticas, na qual a Ãltima, utiliza-se o Software Excel como ferramenta auxiliar. Na perspectiva de uma fixaÃÃo mais profunda do conteÃdo, enumeramos ao final da aula,vÃrios exercÃcios de aplicaÃÃo.

Submitted by Renan Lourenço (lourenco@dm.ufscar.br) on 2018-05-04T15:53:45Z No. of bitstreams: 1 Dissertação de mestrado.pdf: 1232362 bytes, checksum: f9fb921c419d7628fc16331fd722a3e2 (MD5) / Rejected by Ronildo Prado (ri.bco@ufscar.br), reason: Oi Renan, Faltou inserir a folha de aprovação na dissertação ou tese. Fico no aguardo para finalizarmos o processo. Abraços Ronildo on 2018-05-15T20:14:34Z (GMT) / Submitted by Renan Lourenço (lourenco@dm.ufscar.br) on 2018-05-24T17:36:16Z No. of bitstreams: 1 Dissertação de mestrado.pdf: 1729184 bytes, checksum: 782e503e0f1dd78466748b6108a9e38e (MD5) / Rejected by Eunice Nunes (eunicenunes6@gmail.com), reason: Boa noite Renan, Verificamos que você enviou a Carta do Orientador inserida em sua dissertação. Ela deve ser enviada em um arquivo separado na mesma tela que você submeteu seu trabalho em inserir outros Upload. Como mencionei anteriormente acho que foi o software Latex que você utilizou e a folha de aprovação com os membros da Banca dever ser inserida na página três, a primeira é a Capa, a segunda é a Folha de rosto e a terceira a Folha de aprovação. Poderia por favor retificar o arquivo pois não consigo fazer a alteração. Qualquer dúvida estou à disposição Abraços Eunice on 2018-05-25T23:31:47Z (GMT) / Submitted by Renan Lourenço (lourenco@dm.ufscar.br) on 2018-05-26T15:49:56Z No. of bitstreams: 2 Dissertação de mestrado.pdf: 1418780 bytes, checksum: 4b2dfba68dacd03bd72f9210bf4793dc (MD5) ficha.pdf: 309784 bytes, checksum: e623e0f48ac3f833124a78f9429ecdf3 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ri.bco@ufscar.br) on 2018-06-04T17:50:13Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação de mestrado.pdf: 1418780 bytes, checksum: 4b2dfba68dacd03bd72f9210bf4793dc (MD5) ficha.pdf: 309784 bytes, checksum: e623e0f48ac3f833124a78f9429ecdf3 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ri.bco@ufscar.br) on 2018-06-04T17:50:24Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação de mestrado.pdf: 1418780 bytes, checksum: 4b2dfba68dacd03bd72f9210bf4793dc (MD5) ficha.pdf: 309784 bytes, checksum: e623e0f48ac3f833124a78f9429ecdf3 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-06-04T17:55:37Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação de mestrado.pdf: 1418780 bytes, checksum: 4b2dfba68dacd03bd72f9210bf4793dc (MD5) ficha.pdf: 309784 bytes, checksum: e623e0f48ac3f833124a78f9429ecdf3 (MD5) Previous issue date: 2018-03-02 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / In this work we address the problem of good posture of the nonlinear partial differential equation known as the "good" Boussinesq equation in Sobolev spaces. We will present the results of good posture in both cases, the periodical, when the initial data and the solutions are periodic in the spatial variable, and the non-periodic one. / Neste trabalho abordamos o problema de boa postura da equação diferencial parcial não linear conhecida como a "boa" equação de Boussinesq em espaços de Sobolev. Apresentaremos os resultados de boa postura em ambos os casos, o periódico, quando os dados iniciais e as soluções são periódicos na variável espacial, e o não periódico.

Made available in DSpace on 2014-06-12T17:21:20Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo5277_1.pdf: 610759 bytes, checksum: 4b3b3973d36466bf3f46db2ad8376c11 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2006 / Este estudo avaliou o uso de diferentes tipos de recursos representacionais (reta numérica, material manipulativo) na resolução de problemas de estrutura aditiva, em 39 crianças com idade média de 09 anos e 04 meses, estudantes do ensino fundamental. O estudo constituiu-se de pré-teste, intervenção, pós-teste imediato e pós-teste posterior. As crianças foram distribuídas em três grupos de 13 sujeitos, que participaram de intervenções distintas, em que cada grupo dispunha de recursos representacionais específicos para ajudar as crianças nos cálculos matemáticos: G1 - resolveu os problemas propostos usando a reta numérica impressa; G2 - resolveu os problemas usando fichas; G3 - resolveu os problemas com apoio de contas feitas com lápis e papel. Observamos no pré-teste a falta de conhecimento dos estudantes a respeito da reta numérica como mais um recurso representacional que pode vir a facilitar na resolução dos problemas de estrutura aditiva. A comparação entre pós-teste imediato e pré-teste mostrou que o grupo que usou a reta numérica obteve desempenho significativamente superior ao grupo que trabalhou com o algoritmo na intervenção. Não houve diferença significativa entre o grupo que usou a reta (G1) e o que usou fichas (G2) e entre o grupo que usou fichas (G2) e o que resolveu com algoritmo (G3). Os resultados do pós-teste também mostraram que, após passarem pela intervenção, houve grande adesão dos sujeitos em relação ao uso da reta numérica. Os resultados do pós-teste imediato em relação ao pós-teste posterior demonstraram uma estabilização nos resultados no grupo que usou a reta (G1) e uma melhora nos resultados dos grupos que usaram as fichas (G2) e o algoritmo (G3). Concluímos que a reta numérica é mais um recurso representacional que pode auxiliar o processo de resolução dos problemas de estrutura aditiva, possibilitando a reflexão dos estudantes sobre as relações entre os dados dos problemas e o acompanhamento do próprio raciocínio. Assim, enfatizamos a importância de um trabalho escolar que envolva diferentes representações e enfatize a reflexão das crianças sobre suas estratégias e procedimentos de resolução de problemas

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-11-03T10:24:45Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Sidival Silva - 2015.pdf: 2379009 bytes, checksum: f38e3a4731a472c056ee7fc8bf76df77 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-11-03T10:28:19Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Sidival Silva - 2015.pdf: 2379009 bytes, checksum: f38e3a4731a472c056ee7fc8bf76df77 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-03T10:28:19Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Sidival Silva - 2015.pdf: 2379009 bytes, checksum: f38e3a4731a472c056ee7fc8bf76df77 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-08-06 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / According to studying of vectors [1], straight and ats are considerable useful to the students of the last year in high school, mainly those who wish to attend Engineering, Physics, Mathematics or Chemistry. This present paper has as its main focus the study of the straight and of the circumference under a vector approach. Initially the necessary vectors concepts are introduced so the subject can be comprehended under de nitions and propositions, so the reader (high school's student) take ownership of the vector's ideas in plan and space and, above all, understand all the main vectors' properties, with which will be de ned the equations of the straight and of the circumference. It introduces the de nition of the equipolency given by Giusto Bellavitis see it at [2] (that is basically the vector's de nition that is known nowadays) and also the de nition of linear dependence and independence, angle between two vectors, opposite vectors and internal product. It is also observed that all de nitions and mentioned properties in the plan are valid in space R3. Finally it is de ned the straight's equation (using the idea of product by scale) and, the circumference equation (using the rule de nition). / De acordo com [1] o estudo de vetores, retas e planos é bastante útil aos estudantes do último ano do ensino secundário (hoje Ensino Médio), principalmente àqueles que desejam cursar engenharia, física, matemática ou química. Esse trabalho tem como objetivo o estudo da reta e da circunferência sob uma abordagem vetorial. Inicialmente são introduzidos os conceitos vetoriais necessários à compreensão do assunto, sob forma de de nições e proposições, para que o leitor (aluno do Ensino Médio e ou professor) se aproprie das ideias de vetores no plano e no espaço e, sobretudo, entenda as principais propriedades de vetores, com as quais serão de nidas as equações da reta e da circunferência. Introduz-se a de nição de equipolência dada por Giusto Bellavitis, veja [2] (que é basicamente a de nição de vetor que se conhece nos dias atuais) e também as de nições de dependência e independência lineares, ângulo entre dois vetores, vetores opostos e produto interno. É também observado que todas as de nições e propriedades mencionadas no plano são válidas no espaço R3. Por m é de nida a equação da reta (usando a ideia de produto por escalar) e, a equação da circunferência (usando a de nição de norma).

Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2014-08-28T17:49:12Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Numeros Reais Um Corpo Ordenado Completo.pdf: 4328358 bytes, checksum: 5062827ca2822fd04229310850171740 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-28T17:49:12Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Numeros Reais Um Corpo Ordenado Completo.pdf: 4328358 bytes, checksum: 5062827ca2822fd04229310850171740 (MD5) Previous issue date: 2013-03-22 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This paper aims to expand knowledge about the real numbers, providing a new perspective on their conceptual construction. Initially, covers up some historical facts that were of utmost importance in the process of conceptual evolution of the real numbers. Secondly, through the development of theories of abstract algebra, sets and mathematical analysis, is used a axiomatic method to expose the complete ordered field of real, stating and proving some of its properties. Finally, we discuss some relevant aspects of the correspondence between the real field and line, and also the correspondence between the real field and decimals. / Este trabalho tem como objetivo ampliar os conhecimentos sobre os números reais, proporcionando uma nova perspectiva sobre sua construção conceitual. Inicialmente, aborda-se alguns fatos históricos que foram de maior importância no processo da evolução conceitual dos números reais. Posteriormente, por meio do desenvolvimento das teorias de álgebra, de conjuntos e de análise matemática, utiliza-se de um método axiomático para expor uma construção do corpo ordenado e completo dos reais, enunciando e provando algumas de suas propriedades. Finalmente, abordam-se alguns aspectos relevantes da correspondência entre o corpo dos reais e a reta, e ainda da correspondência entre o corpo dos reais e os decimais.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Neste trabalho, consideramos o conceito de segmento de reta como uma introduÃÃo ao conceito de conjunto convexo e suas aplicaÃÃes no R2 e R3, conceito esse reforÃado com a prova do baricentro do triÃngulo. Calculamos a relaÃÃo de posiÃÃo entre um ponto e um segmento de reta. Definimos o conceito de cone e mostramos os diferentes tipos de cone com alguns exemplos. Definimos a envoltÃria convexa no plano e no espaÃo podendo assim estabelecer a relaÃÃo entre um ponto e um triÃngulo e a relaÃÃo entre um ponto e um tetraedro. Apresentamos o conceito de hiperplano e finalizamos relacionando a convexidade com a simetria. / In this paper, we consider the concept of line segment as an introduction to the concept of convex set and its applications, this concept reinforced by the evidence of centroid of the triangle. We calculate the relative position between a point and a line segment. We define the cone concept and show the different types of cone with some examples. We define the convex envelope in the plane and in space can then estabilish the relationship between a point and a triangle and the relationship between a point and a tetrahedron. Introducing the concept of hyperplane and finished relating the convexity with symmetry.

Nesse trabalho, comeÃaremos com um pouco da histÃria dos centros notÃveis do triÃngulo, com foco nos quatro pontos notÃveis: Baricentro, Incentro, Ortocentro e circuncentro, alÃm da Reta de Euler. Em seguida abordaremos alguns resultados clÃssicos associados ao triÃngulo e as coordenadas de pontos no plano cartesiano que serÃo Ãteis para auxiliar nas demonstraÃÃes dos capÃtulos que seguem. Nestes capÃtulos sÃo apresentados os pontos notÃveis do triÃngulo e algumas de suas caracterÃsticas, bem como o Ponto de Speiker e a de Reta de Euler de dois aspectos: do ponto de vista da Geometria Euclidiana e do ponto de vista da Geometria AnalÃtica. / In this work, we start with a little history of notable centers of the triangle, focusing on the four notable points: Centroid, Incentro, orthocenter and circumcenter, besides Straight Euler.Then discuss some classical results associated with the triangle and the coordinates of points on the Cartesian plane that will be useful to assist in the statements of the chapters that follow.These chapters are presented the outstanding points of the triangle and some of its characteristics as well as the Point Speiker and Reta Euler two aspects: the point of view of Euclidean geometry and the point of view of analytic geometry.

Submitted by Franciele Moreira (francielemoreyra@gmail.com) on 2017-11-16T11:30:05Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Flávio de Carvalho Araújo - 2017.pdf: 3686962 bytes, checksum: 773cd8b4f73f9611f6d09f2f809efc85 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-11-16T11:42:34Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Flávio de Carvalho Araújo - 2017.pdf: 3686962 bytes, checksum: 773cd8b4f73f9611f6d09f2f809efc85 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-16T11:42:34Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Flávio de Carvalho Araújo - 2017.pdf: 3686962 bytes, checksum: 773cd8b4f73f9611f6d09f2f809efc85 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-08-25 / The present research proposes a technical evaluation for the use of the waste generated in the Water Treatment Plant, Eng. Rodolfo José Costa e Silva, located in the city of Goiânia, State of Goiás, Brazil, as a partial substitute for the fine aggregates of cementitious elements. The study conducted the analysis of the residues, from the material science point of view, through the physical and mineralogical characterization, as well as the investigation concerning the possibility of pozzolanic activity of the material. Therefore, the parameters found were compared based on specific literature and current normalizations, and the study evaluated the similarity between the residue characteristics and the traditional raw materials used in the production of cementitious materials, such as sand, clay, and limestone; in this context, an experiment was carried out with the application of WTP residues in a component used in construction: concrete floor (Paver). The results of the mechanical tests were statistically analyzed to see the influence of the residue, age and interaction between these variables in the results. It was found that the proportion of 5% of residue significantly improved the mechanical resistance of Pavers (33.5%) at 28 days in the control sample, but water absorption increased (68.8%). In this way, a sustainable alternative of insertion of the waste in the productive chain of the construction was sought, producing a cement element, and at the same time contributing to reduce the environmental impact caused by the release of the residues in the springs. Aiming at reducing the environmental liabilities of the water industry, as well as reducing the extraction of raw material for cement production. / A presente pesquisa propõe uma avaliação técnica para utilização dos resíduos gerados na Estação de Tratamento de Água Eng°. Rodolfo José Costa e Silva, que utiliza o sulfato de alumínio no tratamento e está localizada em Goiânia-Goiás, como substituto parcial dos agregados miúdos em componente cimentício - Paver. A pesquisa analisou a incorporação de resíduos, sob o ponto de vista da ciência dos materiais, por meio da caracterização física, química e mineralógica, bem como, com uma investigação referente à possibilidade de atividade pozolânica do material. Dessa maneira, os parâmetros encontrados nos ensaios, foram comparados às bases da literatura específica e normas vigentes, levantadas na revisão bibliográfica, e posteriormente o estudo avaliou a similaridade das características do resíduo com as matérias primas tradicionais utilizadas para produção de materiais cimentícios, como: areia, argila e pedra calcária, dentre outras; nesse sentido, foi elaborado um experimento com aplicação de resíduos de ETA em componente utilizado na construção civil: o piso de concreto Paver. Os resultados dos ensaios mecânicos foram analisados estatisticamente para perceber-se o grau de influência do teor de resíduo, idade e interação entre essas variáveis nos resultados. Constatou-se que a proporção de 5% de resíduo melhora significativamente a resistência mecânica dos Pavers (33,5%) aos 28 dias, em relação a amostra de controle, porém a absorção de água aumentou (68,8%). Assim, encontrou-se uma alternativa sustentável de inserção do resíduo na cadeia produtiva da construção, produzindo um elemento cimentício, e ao mesmo tempo contribuindo para reduzir o impacto ambiental causado pelo lançamento dos resíduos nos mananciais. Objetivando a redução do passivo ambiental da indústria da água, bem como a diminuição da extração de matéria prima para produção dos elementos cimentícios.

[pt] A formulação de um modelo para a análise por elementos finitos, da torção de vigas retas com seção transversal I é apresentada. O modelo de viga isoparamétrico para seções retangulares que não se deformam em seu plano ou fora deste, é estendido para acomodar o empenamento das seções complexas submetidas a carregamentos de torção. Utiliza-se graus de liberdade generalizados na representação do campo de deformações da seção reta e modificações nas relações de compatibilidade geométricas são introduzidas no sentido de acomodar as deformações de cisalhamento devido a rotação da seção. As condições de compatibilidade no engastamento e entre elementos adjacentes devidas a flexão nos flanges são garantidas empregando-se uma técnica de penalidades entre os graus de liberdade de rotação longitudinal no ponto nodal. Implementa-se o modelo numérico demonstrando-se a sua aplicabilidade na representação de problemas de torção linear em vigas retas, com diversas seções, e.g, triangular equilátera, elíptica, retangular, I – simétrica e não simétrica e T. / [en] The formulation of a finite element model for studying the torsion of estraight beams with I-cross section is presented. The isoparametric beam model with rectangular cross sections which do not have deformation in the section plane or out of it, is extended to accommodate the warping of complex cross sections submitted to torsion loadings. The deformation field of the cross section is represented by generalized degrees of freedom and modifications in the original beam geometric compatibility relations were performed to accommodate shear deformations due to section rotation. The compatibility conditions at fixed end and between two connected elements due to the flange bending are assured using a penalty technique to the longitudinal rotation degrees of freedom at the nodal point. The proposed numerical model is implemented and some sample analyses demonstrate its capabilities on the representation of the problem of linear torsion of straight beams with different cross section shapes; e.g, triangular equilateral, elliptic, rectangular, I – symmetric and non symmetric and T section.