Die stochastische Analysis gibt Methoden zur Erfassung und Beschreibung von zufälligen numerischen Prozessen an die Hand. Die Beschreibungen hängen dabei sehr stark von der Informationsstruktur ab, die den Prozessen in Gestalt von Filtrationen zugrunde gelegt wird. Der 1. Teil der vorliegenden Arbeit handelt davon, wie sich ein Wechsel der Informationsstruktur auf das Erscheinungsbild eines stochastischen Prozesses auswirkt. Konkret geht es darum, wie sich eine Filtrationsvergrößerung auf die Semimartingalzerlegung eines Prozesses auswirkt. In dem 2. und 3. Teil der Arbeit wird die Rolle von Information im finanzmathematischen Nutzenkalkül untersucht. Im 2. Teil werden unter der Annahme, dass der maximale erwartete Nutzen eines Händlers beschränkt ist, qualitative Erkenntnisse über den Preisprozess hergeleitet. Es wird gezeigt, dass endlicher Nutzen einige strukturelle Implikationen für die intrinsische Sichtweise hat. Im 3. Teil wird quantitativ untersucht, wie sich Information auf den Nutzen auswirkt. Aus extrinsischer Sicht werden Händler mit unterschiedlichem Wissen verglichen. Falls die Präferenzen durch die logarithmische Nutzenfunktion beschrieben werden, stimmt der Nutzenzuwachs mit der gemeinsamen Information zwischen dem zusätzlichen Wissen und dem ursprünglichen Wissen überein, wobei `gemeinsame Information' im Sinne der Informationstheorie verstanden wird. / Stochastic Analysis provides methods to describe random numerical processes. The descriptions depend strongly on the underlying information structure, which is represented in terms of filtrations. The first part of this thesis deals with impacts of changes in the information structure on the appearance of a stochastic process. More precisely, it analyses the consequences of a filtration enlargement on the semimartingale decomposition of the process. The second and third part discuss the role of information in financial utility calculus. The second part is of a qualitative nature: It deals with implications of the assumption that the maximal expected utility of an investor is bounded. It is shown that finite utility implies some structure properties of the price process viewed from the intrinsic perspective. The third part is of a quantitative nature: It analyzes the impact of information on utility. From an extrinsic point of view traders with different knowledge are compared. If the preferences of the investor are described by the logarithmic utility function, then the utility increment coincides with the mutual information between the additional knowledge and the original knowledge.

Cette thèse porte sur l'étude mathématique du problème de projection Markovienne d'un processus aléatoire: il s'agit de construire, étant donné un processus aléatoire ξ, un processus de Markov ayant à chaque instant la même distribution que ξ. Cette construction permet ensuite de déployer les outils analytiques disponibles pour l'étude des processus de Markov (équations aux dérivées partielles ou équations integro-différentielles) dans l'étude des lois marginales de ξ, même lorsque ξ n'est pas markovien. D'abord étudié dans un contexte probabiliste, notamment par Gyöngy (1986), ce problème a connu un regain d'intêret motivé par les applications en finance, sous l'impulsion des travaux de B. Dupire. La thèse entreprend une étude systématique des aspects probabilistes (construction d'un processus de Markov mimant les lois marginales de ξ) et analytiques (dérivation d'une équation de Kolmogorov forward) de ce problème, étendant les résultats existants au cas de semimartingales discontinues. Notre approche repose sur l'utilisation de la notion de problème de martingale pour un opérateur integro-différentiel. Nous donnons en particulier un résultat d'unicité pour une équation de Kolmogorov associée à un opérateur integro-différentiel non-dégénéré. Ces résultats ont des applications en finance: nous montrons notamment comment ils peuvent servir à réduire la dimension d'un problème à travers l'exemple de l'évaluation des options sur indice en finance.

Dans cette thèse nous considérons le problème de la maximisation d’utilité et de la formation des prix d’indifférence pour les modèles semimartingales exponentiels dépendant d’un facteur aléatoire ξ. L’enjeu est de résoudre le problème des prix d’indifférence en utilisant le grossissement de l’espace et de la filtration. Nous réduisons le problème de maximisation dans la filtration élargie au problème conditionnel, sachant {ξ = v}, que nous résolvons en utilisant une approche duale. Pour HARA-utilités nous introduisons les informations telles que les entropies relatives et les intégrales de type Hellinger, ainsi que les processus d’information correspondants, enfin d’exprimer, via ces processus, l’utilité maximal. En particulier, nous étudions les modèles de Lévy exponentiels, où les processus d’information sont déterministes ce que simplifie considèrablement les calculs des prix d’indiffrence. Enfin, nous appliquons les rèsultats au modèle du mouvement brownien géométrique et au modèle de diffusion-sauts qui inclut le mouvement brownien et les processus de Poisson. Dans les cas d’utilité logarithmique, de puissance et exponentielle, nous fournissons les formules explicites des informations, et puis, en utilisant les méthodes numériques, nous résolvons les équations pour obtenir les prix d’indifférence en cas de vente d’une option européenne. / This thesis explores the utility maximisation problem and indifference pricing for exponential semimartingale models depending on a random factor ξ. The main idea to solve indifference pricing problem consists in the enlargement of the space and filtration. We reduce the maximization problem on the enlarged filtration to the conditional one, given {ξ = v}, which we solve using dual approach. For HARA-utilities we introduce the information quantities such that the relative entropies, Hellinger type integrals, and the corresponding information processes, and we express the maximal utility via these processes. As a particular case, we study exponential Levy models, where the information processes are deterministic and this fact simplify very much indifference price calculus. Finally, we apply the results to Geometric Brownian motion model and jump-diffusion model which incorporates Brownian motion and Poisson process. In the cases of logarithmic, power and exponential utilities, we provide the explicit formulae of information quantities and using the numerical methods we solve the equations for the seller’s and buyer’s indifference prices of European put option.

In der Arbeit befassen wir uns mit der Potenznutzenmaximierung des Endvermögens, wenn die Aktienpreise stetigen Semimartingaldynamiken genügen und die Strategien des Agenten Investitions- und Informationsrestriktionen unterworfen sind. Hauptaugenmerk liegt auf der stochastischen Rückwärtsgleichung (BSDE) für den dynamischen Wertprozess und auf der Übertragung von neuen Ergebnissen zu quadratischen Semimartingal-BSDEs auf das Investitionsproblem. Dieses gelingt unter der Annahme endlicher exponentiellen Momente des Mean-Variance Tradeoff und verallgemeinert frühere Resultate, die Beschränktheit fordern. Wir betrachten dabei zunächst die Beziehung zwischen den Dualitäts- und BSDE-Ansätzen zur Lösung des Problems und gehen dann über zum Studium der quadratischen Semimartingal-BSDE, wenn der Marktpreis des Risikos vom BMO-Typ ist. Wir zeigen, dass es stets ein Kontinuum verschiedener BSDE-Lösungen mit quadratisch integrierbarem Martingalteil gibt. Wir stellen dann eine neue scharfe Bedingung an geeignete dynamische exponentielle Momente vor, die die Beschränktheit der BSDE-Lösungen in einer allgemeinen Filtration garantiert. In weiterer Folge weisen wir Existenz-, Eindeutigkeits-, Stabilitäts- und Maßwechselresultate für allgemeine quadratische stetige BSDEs unter exponentiellen Momenten nach. Diese Ergebnisse verwenden wir, um das Investitionsproblem für den Fall konischer Investitionsrestriktionen zu untersuchen. Ausgehend von der Zerlegung von Elementen des dualen Gebietes erhalten wir die zugehörige BSDE und beweisen, dass der Wertprozess in einem Raum liegt, in dem Lösungen quadratischer BSDEs eindeutig sind. Als Folgerung aus dem Stabilitätsresultat für BSDEs erhalten wir die Stetigkeit der Optimierer in der Semimartingaltopologie in den Parametern des Modells. Schließlich betrachten wir das Investitionsproblem unter exponentiellen Momenten, kompakten Handelsrestriktionen und eingeschränkter Information. Hierbei benutzen wir ausschließlich BSDE-Resultate. / In this thesis we consider the problem of maximizing the power utility from terminal wealth when the stocks have continuous semimartingale dynamics and there are investment and information constraints on the agent''s strategies. The main focus is on the backward stochastic differential equation (BSDE) that encodes the dynamic value process and on transferring new results on quadratic semimartingale BSDEs to the portfolio choice problem. This is accomplished under the assumption of finite exponential moments of the mean-variance tradeoff, generalizing previous results which require boundedness. We first recall the relationship between the duality and BSDE approaches to solving the problem and then study the associated quadratic semimartingale when the market price of risk is of BMO type. We show that there is always a continuum of distinct solutions to this BSDE with square-integrable martingale part. We then provide a new sharp condition on the dynamic exponential moments of the mean-variance tradeoff which guarantees the boundedness of BSDE solutions in a general filtration. In a subsequent step we establish existence, uniqueness, stability and measure change results for general quadratic continuous BSDEs under an exponential moments condition. We use these results to study the portfolio selection problem when there are conic investment constraints. Building on a decomposition result for the elements of the so-called dual domain we derive the associated BSDE and show that the value process is contained in a specific space in which BSDE solutions are unique. A consequence of the stability result for BSDEs is then the continuity of the optimizers with respect to the input parameters of the model in the semimartingale topology. Finally, we study the optimal investment problem under exponential moments, compact constraints and restricted information. This is done by referring to BSDE results only.

In this study, we show that realized bipower variation which is an extension of realized power variation is an alternative method that estimates integrated variance like realized variance. It is seen that realized bipower variation is robust to rare jumps. Robustness means that if we add rare jumps to a stochastic volatility process, realized bipower variation process continues to estimate integrated variance although realized variance estimates integrated variance plus the quadratic variation of the jump component. This robustness is crucial since it separates the discontinuous component of quadratic variation which comes from the jump part of the logarithmic price process. Thus, we demonstrate that if the logarithmic price process is in the class of stochastic volatility plus rare jumps processes then the difference between realized variance and realized bipower variation process estimates the discontinuous component of the quadratic variation. So, quadratic variation of the jump component can be estimated and jump detection can be achieved.

Wir beweisen neuartige Konvergenz- und Approximationsresultate für die Lösungen einer Klasse von Modellen optimaler Portfolioliquidierung mit sofortigem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Jedes betrachtete Liquidierungsproblem erlaubt nur absolut stetige Handelsstrategien, und die optimale Strategie ist durch ein voll gekoppeltes mehrdimensionales quadratisches BSDE-System mit einer singulären Endbedingung gegeben. Innerhalb unseres Modellierungsrahmens beweisen wir, dass wenn der Parameter des sofortigen Preiseinflusses gegen null konvergiert, der absolut stetige optimale Portfolioprozess gegen einen stochastischen Prozess konvergiert, der durch die eindeutige Lösung einer regulären eindimensionalen quadratischen BSDE gegeben ist. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert die Lösung eines Modells optimaler Portfolioliquidierung ohne sofortigen Preiseinfluss, aber mit allgemeiner Semimartingalkontrolle mit Sprüngen ist. Unser Resultat liefert einen vereinheitlichten Rahmen, in den die zwei am häufigsten gebrauchten Modellierungsrahmen der Literatur über optimale Liquidierung eingebettet werden können, und liefert eine Grundlage für die Nutzung von Semimartingalen als Liquidierungsstrategien und für die Nutzung von Portfolioprozessen von unbeschränkter Variation. Unsere Resultate beruhen auf neuartigen Konvergenzresultaten für BSDEs mit singulären Endbedingungen und auf einem neuartigen Resultat der Darstellung von Lösungen von BSDEs durch gleichmäßig stetige Funktionen von Vorwärtsprozessen. Wir beweisen außerdem, dass die optimale Lösung in der deterministischen Version des ursprünglichen Liquidierungsmodells gleichmäßig approximiert werden kann, indem das Taylor-Polynom erster Ordnung verwendet wird, das um den singulären Punkt, an dem der sofortige Preiseinfluss verschwindet, entwickelt wird. Diese Approximation ist explizit darstellbar, was im Allgemeinen nicht für die optimale Lösung gilt. / We establish novel convergence and approximation results for the solutions to a class of optimal portfolio liquidation problems with instantaneous price impact and stochastic resilience. Each considered liquidation problem only allows for absolutely continuous trading strategies, and the optimal strategy is given in terms of a fully coupled multi-dimensional quadratic BSDE system with a singular terminal condition. Within our modeling framework, we prove that, when the instantaneous price impact parameter converges to zero, the absolutely continuous optimal portfolio process converges to a stochastic process that is given in terms of the unique solution to a regular one-dimensional quadratic BSDE. This limit turns out to be the solution to an optimal liquidation problem without instantaneous price impact, but with general semimartingale controls with jumps. Our result provides a unified framework within which to embed the two most commonly used modeling frameworks in the optimal liquidation literature and provides a foundation for the use of semimartingale liquidation strategies and the use of portfolio processes of unbounded variation. Our results are based on novel convergence results for BSDEs with singular terminal conditions and a novel representation result of BSDE solutions in terms of uniformly continuous functions of forward processes. We also prove that the optimal solution in the deterministic version of the original pre-limit optimal liquidation model can be approximated uniformly by using the first order Taylor polynomial expanded around the singular point where the instantaneous price impact vanishes. This approximation is explicitly computable, while the optimal solution generally is not.

Ce travail étudie des modèles financiers pour les prix d'options, les taux d'intérêts et le risque de crédit, avec des processus stochastiques à mémoire et comportant des discontinuités. Ces modèles sont formulés en termes du mouvement Brownien fractionnaire, du processus de Lévy fractionnaire ou filtré (et doublement stochastique) et de leurs approximations par des semimartingales. Leur calcul stochastique est traité au sens de Malliavin, et des formules d'Itô sont déduites. Nous caractérisons les probabilités risque neutre en termes de ces processus pour des modèles d'évaluation d'options de type de Black-Scholes avec sauts. Nous étudions également des modèles de taux d'intérêts, en particulier les modèles de Vasicek, de Cox-Ingersoll-Ross et de Heath-Jarrow-Morton. Finalement nous étudions la modélisation du risque de crédit / This work investigates financial models for option pricing, interest rates and credit risk with stochastic processes that have memory and discontinuities. These models are formulated in terms of the fractional Brownian motion, the fractional or filtered Lévy process (also doubly stochastic) and their approximations by semimartingales. Their stochastic calculus is treated in the sense of Malliavin and Itô formulas are derived. We characterize the risk-neutral probability measures in terms of these processes for options pricing models of Black-Scholes type with jumps. We also study models of interest rates, in particular the models of Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heath-Jarrow-Morton. Finally we study credit risk models

Cette thèse traite de problèmes de dépendance entre processus stochastiques en temps continu. Ces résultats sont appliqués à la modélisation et à la gestion des risques des marchés de l'électricité.Dans une première partie, de nouvelles copules sont établies pour modéliser la dépendance entre deux mouvements Browniens et contrôler la distribution de leur différence. On montre que la classe des copules admissibles pour les Browniens contient des copules asymétriques. Avec ces copules, la fonction de survie de la différence des deux Browniens est plus élevée dans sa partie positive qu'avec une dépendance gaussienne. Les résultats sont appliqués à la modélisation jointe des prix de l'électricité et d'autres commodités énergétiques. Dans une seconde partie, nous considérons un processus stochastique observé de manière discrète et défini par la somme d'une semi-martingale continue et d'un processus de Poisson composé avec retour à la moyenne. Une procédure d'estimation pour le paramètre de retour à la moyenne est proposée lorsque celui-ci est élevé dans un cadre de statistique haute fréquence en horizon fini. Ces résultats sont utilisés pour la modélisation des pics dans les prix de l'électricité.Dans une troisième partie, on considère un processus de Poisson doublement stochastique dont l'intensité stochastique est une fonction d'une semi-martingale continue. Pour estimer cette fonction, un estimateur à polynômes locaux est utilisé et une méthode de sélection de la fenêtre est proposée menant à une inégalité oracle. Un test est proposé pour déterminer si la fonction d'intensité appartient à une certaine famille paramétrique. Grâce à ces résultats, on modélise la dépendance entre l'intensité des pics de prix de l'électricité et de facteurs exogènes tels que la production éolienne. / In this thesis, we study some dependence modeling problems between continuous time stochastic processes. These results are applied to the modeling and risk management of electricity markets. In a first part, we propose new copulae to model the dependence between two Brownian motions and to control the distribution of their difference. We show that the class of admissible copulae for the Brownian motions contains asymmetric copulae. These copulae allow for the survival function of the difference between two Brownian motions to have higher value in the right tail than in the Gaussian copula case. Results are applied to the joint modeling of electricity and other energy commodity prices. In a second part, we consider a stochastic process which is a sum of a continuous semimartingale and a mean reverting compound Poisson process and which is discretely observed. An estimation procedure is proposed for the mean reversion parameter of the Poisson process in a high frequency framework with finite time horizon, assuming this parameter is large. Results are applied to the modeling of the spikes in electricity prices time series. In a third part, we consider a doubly stochastic Poisson process with stochastic intensity function of a continuous semimartingale. A local polynomial estimator is considered in order to infer the intensity function and a method is given to select the optimal bandwidth. An oracle inequality is derived. Furthermore, a test is proposed in order to determine if the intensity function belongs to some parametrical family. Using these results, we model the dependence between the intensity of electricity spikes and exogenous factors such as the wind production.

Neste trabalho consideramos três tópicos principais. Nos dois primeiros generalizamos alguns dos resultados clássicos da Teoria da Confiabilidade na otimização dos procedimentos de burn-in e de políticas de garantia, respectivamente, sob o modelo de tempo de vida geral, quando um sistema coerente é observado ao nível de seus componentes, e estendemos os conceitos de intensidade de falha na forma de banheira e do modelo de falha geral através da definiçâo de processos progressivamente mensuráveis sob a pré-t-história completa dos componentes do sistema. Uma regra de parada monótona é usada na metodologia de otimizaçâo proposta. No terceiro tópico modelamos os custos de garantia descontados por reparo mínimo de um sistema coerente ao nível de seus componentes, propomos o estimador martingal do custo esperado para um período de garantia fixado e provamos as suas propriedades assintóticas mediante o Teorema do Limite Central para Martingais. / In this work we consider three main topics. In the first two, we generalize some classical results on Reliability Theory related to the optimization in burn-in procedures and warranty policies, using the general lifetime model of a coherent system observed on the component level and extending the definitions of bathtub shaped failure rate and general failure model to progressively measurable processes under the complete pre-t-history. A monotone stopping rule is applied within the proposed methodology. In the third topic, we define the discounted warranty cost process for a coherent system minimally repaired on the component level and we propose a martingale estimator to the expected warranty cost for a fixed period and setting its asymptotic properties by means of Martingale Central Limit Theorem.

In dieser Arbeit untersuchen wir das Problem der Maximierung bestimmter konkaver Funktionale auf dem Raum der optionalen, zufälligen Maße. Deartige Funktionale treten in der mikroökonomischen Literatur auf, wo ihre Maximierung auf die Bestimmung des optimalen Konsumplans eines ökomischen Agenten hinausläuft. Als Alternative zu den wohlbekannten Methoden der dynamischen Programmierung wird ein neuer Zugang vorgestellt, der es erlaubt, die Struktur der maximierenden Maße in einem über den üblicherweise angenommenen Markovschen Rahmen hinausgehenden, allgemeinen Semimartingalrahmen zu klären. Unser Zugang basiert auf einer unendlichdimensionalen Version des Kuhn-Tucker-Theorems. Die implizierten Bedingungen erster Ordnung erlauben es uns, das Maximierungsproblem auf ein neuartiges Darstellungsproblem für optionale Prozesse zu reduzieren, das damit als ein nicht-Markovsches Substitut für die Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung der dynamischen Programmierung dient. Um dieses Darstellungsproblem im deterministischen Fall zu lösen, führen wir eine zeitinhomogene Verallgemeinerung des Konvexitätsbegriffs ein. Die Lösung im allgemeinen stochastischen Fall ergibt sich über eine enge Beziehung zur Theorie des Gittins-Index der optimalen dynamischen Planung. Unter geeigneten Annahmen gelingt ihre Darstellung in geschlossener Form. Es zeigt sich dabei, daß die maximierenden Maße absolutstetig, diskret und auch singulär sein können, je nach Struktur der dem Problem zugrundeliegenden Stochastik. Im mikroökonomischen Kontext ist es natürlich, daß Problem in einen Gleichgewichtsrahmen einzubetten. Der letzte Teil der Arbeit liefert hierzu ein allgemeines Existenzresultat für ein solches Gleichgewicht. / In this thesis, we study the problem of maximizing certain concave functionals on the space of optional random measures. Such functionals arise in microeconomic theory where their maximization corresponds to finding the optimal consumption plan of some economic agent. As an alternative to the well-known methods of Dynamic Programming, we develop a new approach which allows us to clarify the structure of maximizing measures in a general stochastic setting extending beyond the usually required Markovian framework. Our approach is based on an infinite-dimensional version of the Kuhn-Tucker Theorem. The implied first-order conditions allow us to reduce the maximization problem to a new type of representation problem for optional processes which serves as a non-Markovian substitute for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation of Dynamic Programming. In order to solve this representation problem in the deterministic case, we introduce a time-inhomogeneous generalization of convexity. The stochastic case is solved by using an intimate relation to the theory of Gittins-indices in optimal dynamic scheduling. Closed-form solutions are derived under appropriate conditions. Depending on the underlying stochastics, maximizing random measures can be absolutely continuous, discrete, and also singular. In the microeconomic context, it is natural to embed the above maximization problem in an equilibrium framework. In the last part of this thesis, we give a general existence result for such an equilibrium.