Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.

Orientador: Alberto Vazquez Saa / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-03T22:35:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Fraga_HaroldoBrasil_M.pdf: 535547 bytes, checksum: 735982975aff56ec8f3e90602cb800a3 (MD5) Previous issue date: 2004 / Mestrado / Meste em Matemática

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:31:59Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo8530_1.pdf: 578829 bytes, checksum: 4830efc29a334c8053bc08eea7335b47 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2003 / Este trabalho visa entender a teoria de transformações potências, cuja referência principal foi o livro "Power Geometry in Algebraic and Di®erential Equation"do autor Alexander D. Bruno, e os resultados obtidos em sistemas de equações diferenciais ordinárias, tendo como objetivo achar soluções assintóticas tendendo para um ponto de equilíbrio de um sistema de equações diferenciais ordinárias. Para alcançar este objetivo, o conteúdo desta Tese consta de seis capítulos. Nos três primeiros capítulos consideramos os conceitos de determinados objetos geométricos importantes na teoria de transformações potências, de curvas assintóticas, de truncamento de funções e da transformação potência introduzindo diversos exemplos. No quarto capítulo é desenvolvido o relacionamento entre os capítulos anteriores, obtendo resultados que essencialmente determinam processos computacionais para achar soluções assintóticas do sistema completo a partir de soluções assintóticas de seus sistemas truncados. No quinto capítulo faz-se uso da teoria desenvolvida em sistemas hamiltonianos de equações diferenciais ordinárias, determinando quando o sistema hamiltoniano truncado é um sistema hamiltoniano, e reciprocamente, quando um sistema hamiltoniano com a função hamiltoniana truncada determina um sistema hamiltoniano truncado. Porém no capítulo desenvolvemos as aplicações deste método, em alguns sistemas hamiltonianos importantes. A saber, o problema de Henon-Heiles, estudamos a instabilidade de sistemas hamiltonianos com dois graus de liberdade no caso de frequência zero e também os diferentes truncamentos do problema restrito de três corpos

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:33:26Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo8708_1.pdf: 641279 bytes, checksum: 176b50adc085511ce542a61442eb1916 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2007 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Nesta dissertação, trabalhamos com Sistemas Mecânicos, sobre a estabilidade de um ponto de equilíbrio, e sobre a existência de órbitas perióodicas em torno do mesmo. Além disso, há questionamentos sobre a existência de famílias de órbitas perióodicas numa vizinhança de tal ponto. Lyapunov estabeleceu o Teorema do Centro de Lyapunov, o qual dá condições suficientes para garantirmos a existência desta família. Mas, infelizmente (ou felizmente!) tal teorema não se aplica ao problema discutido pelo Martin Kummer no artigo On Resonant Non Linearly Coupled Oscillators with Two Equal Frequencies, problema sugerido por um caso especial do hamiltoniano de Hénon-Heiles (Ref.[5]). Tal trabalho se utiliza de vários teoremas fortes sobre fluxos induzidos por hamiltonianos. O Teorema do Twist (de Moser) aparece como protagonista na decisão de estabelecer uma condição suficiente para que a família de órbitas seja estável

Orientador: N.J. Parada / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-07-15T04:46:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Moreira_FranciscoGeorgeBrady_M.pdf: 2047683 bytes, checksum: af6637cbab3e4b69986bdb1c6f98dbde (MD5) Previous issue date: 1974 / Resumo: Estudamos a aplicabilidade do método K.P semi-empírico de Cardona e Pollak aos semicondutores do grupo de compostos III - V, em particular ao GaP, e discutimos suas vantagens e desvantagens quando comparado com um cálculo de primeiros princípios APW - K.P. Por argumentos de simetria é mostrado a necessidade de se incluir no esquema de níveis no ponto G pelo menos um nível com simetria G12, qualquer que seja a tentativa de um cálculo semi-empírico , nas direções de simetria D, L e S. Para compostos III - V isto significa.que a mínima dimensão do hamiltoniano K.P é 11 x 11 com , 11 elementos de matriz diferentes de zero para serem variados. Além do mais os elementos de matriz de p são números complexos e o que é avaliável experimentalmente são os módulos destas quantidades. Por conseguinte, concluimos pela inaplicabilidade do método semi-empírico aos semicondutores III - V enquanto que a aplicação do método APw-K.P não muffin-tin é recomendada / Abstract: Not informed. / Mestrado / Física / Mestre em Física

La teoría de Morse estudia propiedades analíticas y topológicas de campos vectoriales gradientes. Esta es una disciplina variada y rica, que tiene conecciones con diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones. Para nuestro propósito, es el concepto de índice de Morse donde encontramos mayor utilidad, visto que su estudio en flujos empezó con el trabajo de C. Conley [8]. Su afán era hallar una forma de generalizar el índice de Morse de un punto crítico no degenerado con respecto al flujo gradiente en una variedad compacta. El objetivo de este trabajo será probar la existencia de soluciones periódicas de una ecuación hamiltoneana asintóticamente lineal específica. Esto es llevado a cabo mediante la aplicación de la teoría de Morse en el sentido de C. Conley; tal teoría tiene la ventaja que no requiere que los puntos críticos de la funcional sean no degenerados. La tesis tendrá un primer y segundo capítulo introductorio, en donde haremos un estudio de algunos resultados necesarios para nuestro objetivo. Comenzamos con el estudio del índice de una solución periódica de un sistema hamiltoneano lineal y algunos conceptos enmarcados en el álgebra simpléctica, material que podemos encontrar en Mc. Duff y Salamon [11]. En segundo lugar, hablaremos de la teoría de Morse para flujos: acá presentamos el concepto de pareja de índice para un conjunto invariante aislado; el cual juega un papel imprescindible en la definición del índice de Morse de conjuntos invariantes aislados. Así, también enunciamos un resultado que establece la equivalencia de parejas de índice (Apaza, A., [5]). Por otra parte introducimos la definición de la descomposición de Morse de un conjunto invariante aislado. Tal descomposición permite además construir en forma discreta sucesiones exactas de grupos de cohomología, los cuales relacionan el índice del conjunto invariante aislado con los índices de los elementos de la descomposición de Morse. No obstante, el índice de Morse (según Conley) resulta ser invariante bajo continuación. Ver Smoller, J. [13]. En tercer lugar, planteamos y analizamos un problema concreto, referente a la existencia de soluciones periódicas de una ecuación hamiltoneana asintóticamente lineal. La existencia de tales soluciones es una de las interrogantes que generalmente se estudian en mecánica clásica. No obstante, el problema en estudio es la simplificación de un problema de mayor complejidad enmarcado dentro de las variedades simplécticas. Asimismo, se denominan simplectomorfismos a aquellas aplicaciones entre espacios simplécticos que preservan la estructura de dichos espacios. Y ejemplos de simplectomorfismos proviene de las soluciones de ecuaciones diferenciales hamiltoneanas. Por consiguiente la búsqueda de órbitas periódicas de una ecuación diferencial hamiltoneana es un caso particular del problema de existencia de simplectomorfismos. Para mejor detalle, consultar Mc. Duff y Salamon [11]. De aquí, en esta línea de investigación concretamente, planteamos el problema de la existencia de soluciones periódicas de sistemas hamiltoneanos. En tal sentido, el problema que tratamos generaliza resultados ya obtenidos anteriormente dado que se trabaja con una funcional indefinida; el cual es un resultado obtenido por Conley y Zenhder (ver [7]), cuyo artículo es la base principal del presente trabajo. Por otro lado, inmersos en el problema, presentamos el método debido a Amann (ver[2]) de reducción a puntos silla, mediante el cual el problema original de buscar puntos críticos de la funcional definida sobre un espacio de dimensión infinita se reduce al caso más simple de encontrar puntos críticos de una función definida sobre un espacio de dimensión finita. Finalmente, haciendo uso de las herramientas topológicas de la teoría de Morse presentadas en el Capítulo II, demostramos al final del Capítulo III la existencia de soluciones periódicas de nuestra ecuación diferencial hamiltoneana. / Tesis

Orientador: Paulo Regis Caron Ruffino / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T23:01:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Costa_PauloHenriquePereirada_M.pdf: 875708 bytes, checksum: 8862a1813f1bb85b5d0269462a80501e (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: O objetivo desse trabalho é estudar as equações de Hamilton no contexto estocástico. Sendo necessário para tal um pouco de conhecimento a cerca dos seguintes assuntos: cálculo estocástico, geometria de segunda ordem, estruturas simpléticas e de Poisson. Abordamos importantes resultados, dentre eles o teorema de Darboux (coordenadas locais) em variedades simpléticas, teorema de Lie-Weinstein que de certa forma generaliza o teorema de Darboux em variedades de Poisson. Veremos que apesar de o ambiente natural para se estudar sistemas hamiltonianos ser variedades simpléticas, no caso estocástico esses sistemas se adaptam bem em variedades de Poisson. Além disso, para atingir a nossa meta, estudaremos equações diferenciais estocásticas em variedades de dimensão finita usando o operador de Stratonovich / Abstract: This dissertation deals with transfering Hamilton's equations in stochastic context. This requires some knowledge about the following: stochastic calculus, second order geometry and Poisson and simplectic structures. Important results that will be discussed in this theory are Darboux's theorem (local coordinates) for simplectic manifolds, and Lie-Weintein's theorem that is in a certain way of Darboux's theorem on Poisson manifolds. We will see that although the natural environment for studying hamiltonian systems is symplectic manifolds, if we have a Poisson structure we will still be able to study them. Moreover, to achieve our goal, we will study stochastic differential equations on finite dimensional manifolds using the Stratonovich operator / Mestrado / Geometria Estocastica / Mestre em Matemática

A presente tese analisa diferentes aspectos de sistemas de espalhamento clássico com caos. Espalhamento caótico é uma forma de caos transiente que ocorre em diversos sistemas físicos. Nestes sistemas o espaço de fase é aberto, mas o caos ocorre apenas em uma região restrita do espaço, chamada de região de espalhamento. Os efeitos desta dinâmica apresentam-se em qualquer relação de espalhamento pela presença de conjuntos fractais, que geram hiper-sensibilidade a condições iniciais. Em nosso primeiro trabalho, mostramos que as bifurcações que levam ao caos manifestam-se na Seção de Choque Diferencial (SCD) pela criação de infinitas singularidades arco-íris. Estas singularidades aparecem na forma de cascatas, registrando na SCD todas as transições sofridas pela sela caótica. O segundo trabalho mostra que a introdução de dissipação em sistemas de espalhamento pode limitar a autosimilaridade de conjuntos originalmente fractais. Uma partícula espalhada por potenciais repulsivos encontra regiões não acessíveis, que dependem do valor de sua energia. Estas regiões determinam a estrutura da sela caótica. Com a perda de energia, o cenário de órbitas presas é alterado e, dependendo do valor da dissipação, podem existir nas funções de espalhamento estruturas fractais truncadas. O terceiro estudo aborda a presença de advecção caótica em fluxos sanguíneos. Doenças circulatórias estão geralmente associadas a uma mudança de geometria de artérias ou veias. Essas deformações podem gerar espalhamento caótico das partículas sanguíneas carregadas pelo fluxo. Em nosso trabalho mostramos, a partir de simulações numéricas, que caos pode existir em fluxos sanguíneos e, assim, formar um ciclo no desenvolvimento de anomalias circulatórias. / In this thesis we study different scattering systems with chaos. Chaotic scattering, present in a large variety of physical systems, is a type of transient chaos. While the phase-space of such systems is unbounded, irregular motion occurs only in a bounded area, called the scattering region. Still, any (nontrivial) scattering function relating initial conditions to asymptotic variables contains fractal structures, resulting in a very sharp sensitivity to initial conditions. Our first work shows that bifurcations leading to chaos manifest themselves through an infinitely fine-scale structure of rainbow singularities in the cross section. These singularities appear as cascades, mirroring the bifurcation cascade undergone by the chaotic saddle. The second work shows that the presence of dissipation in scattering systems can limit the auto-similarity of originally fractal structures. Depending on the value of their energy, particles scattered by repulsive potentials find forbidden regions in the space-phase. These regions determinate the structure of the chaotic saddle. With friction, the scenario of trapped orbits changes and, depending on the ammount dissipation, scattering functions follow a truncated fractal structure. Our third study concerns the presence of chaotic advection in blood flows. Typically, circulatory diseases are due to sudden changes on the geometry of vessel walls. These deformations can generate chaotic scattering of blood particles carried by the flow. We show, with numerical simulations, that chaos can occur in blood flows and thus form a hazardous cycle in the further developing of circulatory anomalies.

Estudaremos uma influência não trivial da energia cinética sobre pontos de equilébrio de sistemas Hamiltonianos a partir da segunda parte do artigo de Garcia & Tal \"The influence of the kinetic energy in equilibrium of Hamiltonian systems\". Nesse artigo demonstra-se, para um exemplo explícito de Hamiltonianos C(R4) definidos por Hi = Ti + para i {1,2}, que as bacias de atração de H1 e H2 são subvariedades de R4 com dimensão distinta. Discutiremos aqui de que forma esse resultado está relacionado com o estudo da estabilidade segundo Liapunov de pontos de equilíbrio de sistemas Hamiltonianos, em especial com a busca de uma inversão para o celebrado teorema de Dirichlet-Lagrange. Por fim apresentamos um novo teorema que estende o resultado acima para toda uma família de energias potenciais ,,k. A saber, mostramos que, se os parâmetros ,,k satisfazem a um simples critério aritmético então as bacias de atração de Hi = Ti + ,,k tem dimensões distintas para i {1, 2}. / We study a non trivial influence of the kinetic energy on equilibrium points of Hamiltonian systems following the second part of Garcia & Tal article \"The influence of the kinetic energy in equilibrium of Hamiltonian systems\". In this article the authors show, for an explicit example of C (R4 ) Hamiltonians defined by Hi = Ti + for i {1, 2}, that the attraction basins of H1 and H2 have distinct dimensions as submanifolds of R4. Well discuss how this result is related to the study of the stability according to Liapunov of equilibrium points of Hamiltonian systems and especially how it is related to the inversion of the celebrated Lagrange-Dirichlet theorem. Finally well prove a new theorem which extends the result above for a whole family of potential energies ,,k. We show that, if the parameters ,,k satisfy a simple arithmetical criteria then the attraction basins of Hi = Ti + ,,k have different dimensions for i {1, 2}.

O estudo analítico das trajetórias espaciais ótimas em um campo gravitacional gerado por um elipsóide (campo não-central) e consideravelmente mais difícil que o estudo relativo às trajetórias em campo central Newtoniano. A existeência de uma estrutura "canônica generalizada"permite, no entanto, empregar os métodos de perturbações baseados em séries de Lie, em particular o método de Hori, na determinação de soluções formais de primeira ordem. Expressões descrevendo a evolução do "vetor fundamental"são apresentadas para diversos tipos de arcos balísticos (circulares, elípticos, equatoriais, não-equatoriais....etc) As transferências impulsivas entre órbitas quase-circulares-equatoriais próximas e as transferências de pequenas amplitudes entre órbitas quase-circulares utilizando os sistemas de potência limitadas e baixo empuxe são analisadas em detalhes.