Nous explorons la structure des vides dans une déformation massive de la théorie de Yang-Mills maximalement supersymétrique en quatre dimensions. Sur un espace-temps topologiquement trivial, la théorie des orbites nilpotentes dans les algèbres de Lie rend possible le calcul exact de l'indice de Witten. Nous en donnons les fonctions génératrices pour les algèbres classiques, et recourons à un calcul explicite pour les exceptionnelles. Après compactification sur un cercle, un lien entre les théories de jauge supersymétriques et les systèmes intégrables est exploitable pour réduire la chasse aux vides à une extrémisation du hamiltonien de Calogero-Moser elliptique twisté. Une analyse soigneuse des propriétés globales du groupe de jauge et des opérateurs de ligne est nécessaire pour obtenir un accord parfait. En combinant exploration numérique sur ordinateur et contrôle analytique grâce à la théorie des formes modulaires, nous exhibons la structure des vides massifs pour des algèbres de rang petit, et mettons en évidence de nouvelles propriétés modulaires. Nous montrons que des branches de vides de masse nulle existent, et nous en donnons la structure exacte pour les algèbres de rang deux. / We investigate the vacuum structure of a massive deformation of the maximally supersymmetric Yang-Mills gauge theory in four dimensions. When the topology of spacetime is trivial, the Witten index can be computed exactly for any gauge group using the theory of nilpotent orbits in Lie algebras. We provide generating functions for classical algebras and an explicit calculation for the exceptional ones. Upon compactification on a circle, one can use a bridge between supersymmetric gauge theories and complex integrable systems to reduce the analysis of vacua to the search of extrema of the twisted elliptic Calogero-Moser Hamiltonian. A careful inspection of global properties of the gauge group and line operators are needed to reach total agreement. Using a combination of numerical exploration on a computer and analytical control through the theory of modular forms, we determine the structure of massive vacua for low-rank gauge algebras and exhibit new modular properties. We also show that massless branches of vacua can exist, and provide an analytic description for rank two gauge algebras.

Ma these se deroule suivant deux principales lignes de recherche. Les deux arguments traites constituent une relation entre la theorie des cordes et les aspects phenomenologiques/cosmologiques. D'une part, la geometrie noncommutative (NC) est une consequence naturelle de la presence de branes et flux dans la theorie des cordes. La non commutativite deforme certaines proprietes fondamentales des theories ordinaires decrivant par exemple les interactions electro–faibles et fortes ou les modeles statistiques. C'est dans ce sens que la geometrie NC represente une application a la phenomenologie des cordes. D'autre part, les branes sont l'ingredient clé des modeles d'univers branaires. Le modele de Randall–Sundrum (RS) en particulier offre de nouvelles perspectives tant du point de vue de la cosmologie, ouvrant des scenarios d'evolution cosmologique non conventionnelle, que du point de vue de l'holographie. La premiere partie de la these est dediee a la geometrie NC et, en particulier, aux theories de champs NC integrables. Le but principal du travail a ete d'etudier les consequences de la non commutativit´e par rapport a l'integrabilite. Plus precisement, on a voulu verifier ou refuter dans un contexte NC le theoreme qui lie, en deux dimensions, l'integrabilite a la factorisation de la matrice S. Avec integrabilite on parle de l'existence d'un nombre infini de courants locaux conserves, associes aux symetries de la theorie de champs.Le point de depart a donc ete de garantir la presence de tels courants, au moyen du formalisme du bicomplexe. Cette methode permet d'obtenir les equations du mouvement en tant que conditions d'int´ egrabilite d'un systeme d'equations differentielles lineaires. a partir des solutions du meme systeme lineaire suivent les courants conserves. En exploitant le formalisme de Weyl, la procedure est immediatement generalisable a la geometrie NC. Une algebre de fonctions (operateurs de Weyl) definie sur un espace NC est associee a une algebre NC de fonctions ou la multiplication est executee au moyen d'un produit NC de Moyal: le produit. En introduisant le produit au niveau du systeme lineaire et en en deduisant les equations du mouvement NC, on obtient la generalisation NC du bicomplexe. On a infere le premier modele en generalisant le bicomplexe du modeledesine–Gordon(SG)a la geometrie NC. Nous avons deduit (en collaboration avec Grisaru, Penati, Tamassia) l'action correspondante aux equations du mouvement precedemment etablies par Grisaru et Penati. Le calcul des amplitudes de diffusion et production a determine les caracteristiques de la matrice S du modele. Des comportements acausaux ont ete releves pour les processus de diffusion. En outre, les processus de production possedent une amplitudes non nulle: d'ou la non validite du theoreme d'integrabilite vs. factorisation pour cette version NC du modele de SG. D'autres proprietes ont ete mises en evidence, comme la relation avec la theorie des cordes et la bosonisation. Le deuxieme modele de SG NC a ete propose en collaboration avec Lechtenfeld, Penati, Popov, Tamassia. Les equations du mouvement ont ete tirees de la reduction dimensionnelle du modele sigma NC en 2+1 dimensions, qui a son tour est la reduction de la theorie de self–dual Yang–Mills NC en 2+2 dimensions (decrivant les supercordes N =2avecchamps B). L'action a ete calculee de meme que les amplitudes. Les processus de production possedant des amplitudes nulles et ceux de diffusion ne dependant pas du parametre de NC, entraınent ainsi un comportement causal. Le deuxieme modele de SG NC semble donc obeir a l'equivalence entre integrabilite et factorisation de la matrice S. La reduction de la theorie des cordes garde sa validite meme au niveau de l'action contrairement au modele precedent. La deuxieme partie de ma these traite des modeles d'univers branaires, ou plus precisement des modeles de RS. Le modele propose par Randall et Sundrumse situe dans un bulk 5–dimensionnel, caracterise per une symetrie d'orbifold Z2 par rapport `a la position de la brane 4–dimensionnelle. Grace au facteur de warp qui multiplie le sous–espace 4–dimensionnel parallele a la brane, on obtient la localisation des modes du graviton. Par consequent, le potentiel gravitationnel efficace est newtonien aux energies inferieures a la masse de Planck. En introduisant en outre un terme de matiere dans le bulk et en considerant l'echange d'energie entre brane et bulk, une variete de nouvelles cosmologies en derive. Dans la premiere partie de mon travail sur RS nous avons propose un modele analogue situe dans un bulk 7–dimensionnel. La brane 6–dimensionnelle — ayant compactifie deux dimensions — est placee au point fixe de l'orbifold Z2. Afin d'etudier l'evolution cosmologique en nous mettant en relation avec les observations, nous avons introduit l'echange d'energie entre brane et bulk. Les scenarios possibles sont nombreux et dependent de la forme explicite du parametre d'echange d'energie. Entre autres, les points fixes possedent une acceleration positive, pouvant ainsi representer la recente acceleration de l'univers. Il sont egalement stables pour un large ensemble des valeurs des parametres. Finalement, on peut tracer des scenarios qui partent d'une phase initiale acceleree, en passant successivement a une ere de deceleration, pour terminer sur un point fixe stable d'inflation. Les modeles d'univers branaires a la RS possedent un dual holographique via AdS/CFT. La correspondance AdS/CFT etablit qu'une theorie de supergravite(ou,plusg´ en´ eralement, de cordes) dans un champ de fond d'anti de Sitter (AdS) en d + 1 dimensions est duale a une theorie de champs conforme (CFT) en d dimensions. Tenant compte des divergences presentes dans les deux descriptions, cette correspondance a ete rendue plus precise par la formulation de la renormalisation holographique. Si l'espace de AdS est regularise au moyen d'un cutoff infrarouge, la correspondante CFT resulte regularisee par un cutoff ultraviolet et couplee a la gravite d–dimensionnelle. En analogie a l'analyse effectuee en cinq dimensions par Kiritsis, nous avons construit la theorie duale au modele cosmologique de RS en sept dimensions. Pour capturer les dynamiques dictees par l'echange d'energie entre brane et bulk, la theorie holographique en six dimensions a ete generalisee au cas interagissant (entre matiere et CFT) et non conforme. Le resultat sont les relations entre les parametres de masse appartenant aux deux descriptions et entre l'echange d'energie, d'un cote, et le parametre d'interaction, de l'autre. De plus, le parametre de rupture conforme est associe au parametre d'auto–interaction du bulk dans la description de supergravite 7–dimensionnelle. Le travail de recherche inclut donc des resultats pouvant trouver leur application dans la phenomenologie et cosmologie des cordes. D'une part on a enqueter sur l'influence de la noncommutativite liee a l'integrabilite du modele de SG. D'autre part, les consequences cosmologiques de l'emplacement du modele de RS en sept dimensions ont ete etudiees et la correspondance AdS/CFT a ete appliquee afin d'en tirer des informations sur la theorie duale, couplee a la gravite.

Cette thèse est une étude analytique d'équations de Painlevé discrètes(q-discrete Painlevé equations), utilisant le système linéaire associé, dont les équations de Painlevé sont une déformation iso-monodromique. Les équations de Painlevé ont été mises en évidence au début du XXieme siècle, dans une recherche systématique d'équations différentielles ayant des solutions n'ayant pas de singularités dépendant des conditions initiales autres que des pôles. La motivation était de généraliser les fonctions spéciales, tout en contraignant suffisamment le problème. L' idée a été empruntée aux travaux de Sophie Kowalesvki, une contribution fondamentale dans le domaine des systèmes intégrables. Les équations de Painlevé apparaissent aujourd'hui dans un certain nombre de problèmes de physique théorique, dont, pour ne citer que les plus fameux les fonctions de corrélation du modèle d'Ising, et les modèles de mécanique statistique liés aux théories conformes. Un développement apporté par ces résultats venus de la physique théorique est l'émergence de versions discrètes de ces équations. Il est donc particulièrement intéressant de produire de nouvelles solutions de ces équations, puisque la description complète des solutions n'est pas encore disponible. Nous avons surtout étudié les solutions particulières d'un analogue discret de la seconde équation de Painlevé, en utilisant le système linéaire associé construit avec des matrices 2x2. Il est bien connu que, comme leur limites continues, les analogues discrets des équations de Painlevé, admettent, pour des valeurs particulières des paramètres, des solutions particulières rationnelles ou données par des fonctions q-hypergéométriques. Les solutions particulières connues ont des structures de déterminants tout à fait remarquables, et qui peuvent être vues de deux manières différentes. La première fait appel fait appel au ''formalisme bilinéaire'' et est de nature algébrique. La seconde utilise le fait que les équations de Painlevé apparaissent comme la condition de compatibilité d'un système linéaire associé. En examinant ce système linéaire, on peut extraire une information utile sur les équations non-linéaires. En fait ceci permet de mettre en évidence la structure de déterminant des solutions particulières des équations de Painlevé. Pour les équations discrètes, la forme en déterminant des solutions particulières a été déduite par l'approche algébrique. On a montré qu'elles ont une structure similaire à leurs analogues différentiels,modulo quelques différences qui restent à expliquer. Nous avons adopté l'approche analytique et développé la méthode correspondante pour les équations discrètes. Nous avons utilisé le problème linéaire associé à l'équation q-PII, donné en terme de matrices 2x2. Notre résultat majeur est la construction explicite de la forme déterminantale des solutions particulières rationelles et q-hypergéometriques de l'équation q-PII. Ce qui est particulièrement remarquable dans notre méthode est qu'elle utilise l'analyse linéaire q-discrete ''élémentaire'', et est donc très accessible.

Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux aspects différents des systèmes dynamiques intégrables. La première partie est dévouée à l'étude de trois familles de systèmes hamiltoniens intégrables : les systèmes de pliage de Kapovich et Millson sur les espaces de modules de polygones 3D de longueurs de côtés fixées, les systèmes de Gelfand-Cetlin introduits par Guillemin et Sternberg sur les orbites coadjointes du groupe de Lie U(n), et une famille de systèmes définie par Nohara et Ueda sur la variété grassmannienne Gr(2,n). Dans chaque cas on montre que les fibres singulières de l'application moment sont des sous-variétés plongées et on en donne des modèles géométriques sous la forme de variétés quotients. La deuxième partie poursuit une étude initiée par Zung et Minh sur les actions totalement hyperboliques de Rn sur des variétés compactes de dimension n, qui apparaissent naturellement lors de l'étude des systèmes non-hamiltoniens intégrables dont toutes les singularités sont non-dégénérées. On s'intéresse au flot engendré par l'action d'un vecteur générique de Rn. On donne une définition d'indice pour ses singularités qu'on relie à la théorie de Morse classique, et on utilise ce flot pour obtenir des résultats sur le nombres d'orbites de dimension donnée. Une étude plus poussée est effectuée en dimension 2, et en particulier sur la sphère S2, où les orbites de l'action dessinent un graphe plongé dont on analyse la combinatoire. On termine en construisant explicitement des exemples d'actions hyperboliques en dimension 3 sur la sphère S3 et dans l'espace projectif RP3. / In this thesis, we are interested in two different aspects of integrable dynamical systems. The first part is devoted to the study of three families of integrable Hamiltonian systems: the systems of bending flows of Kapovich and Millson on the moduli spaces of 3D polygons with fixed side lengths, the Gelfand-Cetlin systems introduced by Guillemin and Sternberg on the coadjoint orbits of the Lie group U(n), and a family of integrable systems defined by Nohara and Ueda on the Grassmannian Gr(2,n). In each case we prove that the fibers of the momentum map are embedded submanifolds for which we give geometric models in terms of quotients manifolds. In the second part we carry on with a study initiated by Zung and Minh of the totally hyperbolic actions of R^n on compact n-dimensional manifolds that appear naturally when investigating integrable non-hamiltonian systems with nondegenerate singularities. We study the flow generated by the action of a generic vector in Rn. We define a notion of index for its singularities and we use this flow to obtain results on the number of orbits of given dimension. We investigate further the 2-dimensional case, and more particularly the case of the sphere S2, where the orbits of the action draw an embedded graph of which we analyse the combinatorics. Finally, we provide explicit examples of totally hyperbolic actions in dimension 3, on the sphere S3 and on the projective space RP3.

Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles. / Form factors and correlation functions determine the measurable dynamic quantities that are associated with field theories and statistical physics models. In the case of 2-dimensional integrable models, one of the main challenges beyond spectrum properties and partition function is the exact computation of form factors and correlation functions.The aim of this thesis is to develop an approach in the framework of Sklyanin's separation of variables to address this problem. This framework generalizes to the quantum case and for systems with many degrees of freedom the Hamilton-Jacobi method from analytical mechanics. The Hamiltonian is expressed in terms of separated operators, its spectrum and eigenvectors are characterized by a system of Baxter equations. These Baxter equations are a consequence of Yang-Baxter relations that are characteristic of these models being integrable.The result of this thesis is, in the case of the sine-Gordon model (quantum field theory) and of the chiral Potts model (statistical physics model), the computation of scalar products of Hamiltonian eigenstates, the resolution of the inverse problem (expressing the model operators in terms of separated variables) and the computation in terms of determinant of form factors (the matrix elements of the model local operators in the Hamiltonian eigenbasis), which is an important step towards the computation of the correlation functions of these models.

Les systèmes intégrables toriques sont des systèmes intégrables dont toutes les composantes de l'application moment sont périodiques de même période. Il s'agit donc de variétés symplectiques munies d'actions Hamiltoniennes de tores. Au début des années 80, Atiyah-Guillemin-Sternberg ont démontré que l'image de l'application moment était un polytope convexe à face rationnelles. Peu de temps après, Delzant a démontré que dans le cas intégrable qui nous intéresse, ce polytope caractérisait entièrement le système : la variété symplectique comme l'action du tore. Le champs d'étude s'est ensuite élargi aux systèmes dits semi-toriques. Ce sont des systèmes intégrables dont toutes les composantes de l'application moment sauf une sont périodiques de même période. En outre, pour simplifier l'étude de ces systèmes, on demande que tous les points critiques du systèmes soient non-dégénérés, et sans composante hyperbolique pour la hessienne. En revanche les points critiques des systèmes semi-toriques peuvent comporter des composantes dites "foyer-foyer". Celles-ci ont une dynamique plus riche que les singularités elliptiques, mais conservent certaines propriétés qui rendent leur analyse plus aisée que les singularités hyperboliques. San Vu-Ngoc et Alvaro Pelayo ont réussi à étendre pour ces systèmes semi-toriques les résultats d'Atiyah-Guillemin-Sternberg et Delzant en dimension 2. L'objectif de cette thèse est de proposer une extension de ces résultats en dimension quelconque, à commencer par la dimension 3. Les techniques utilisées relèvent de l'analyse comme de la géométrie symplectique, ainsi que de la théorie de Morse dans des espaces différentiels stratifiés. / Semi-toric integrable systems are integrable systems whose every component of the moment map are periodic of the same period. They are symplectic manifolds endowed with a Hamiltonian torus actions. At the beginning of the 80's, Atiyah-Guillemin-Sternberg proved that the image of the moment map was a polytope with rational faces. A bit after that, Delzant showed that in the integrable case that matters to us, this polytope characterized entirely the system, that is, the symplectic manifold as well as the torus action. Next, field of study widened to semi-toric systems. They are integrable systems whose all components except one are periodic with the same period. Moreover, to simplify their study, we ask that these systems have only non-degenerate critical points without hyperbolic components. On the other hand, critical points of semi-toric systems can have so-called ''focus-focus'' components. They have a richer dynamic than elliptic singularities, but it retains some properties that makes them easier to study than hyperbolic singularities. San Vu-Ngoc and Alvaro Pelayo have managed to extend to these semi-toric systems the results of Atiyah-Guillemin-Sternberg and Delzant in dimension 2. The objective of this thesis is to propose an extension of these results to any dimension, starting with dimension 3. Techniques involved are analysis as well as symplectic geometry, and Morse theory in stratified differential spaces.

La géométrie complexe est un outil puissant pour étudier les systèmes intégrables classiques, la physique statistique sur réseau aléatoire, les problèmes de matrices aléatoires, la théorie topologique des cordes, ...Tous ces problèmes ont en commun la présence de relations, appelées équations de boucle ou contraintes de Virasoro. Dans le cas le plus simple, leur solution complète a été trouvée récemment, et se formule naturellement en termes de géométrie différentielle sur une surface de Riemann : la "courbe spectrale", qui dépend du problème. Cette thèse est une contribution au développement de ces techniques et de leurs applications.Pour commencer, nous abordons les questions de développement asymptotique à tous les ordres lorsque N tend vers l'infini, des intégrales N-dimensionnelles venant de la théorie des matrices aléatoires de taille N par N, ou plus généralement des gaz de Coulomb. Nous expliquons comment établir, dans les modèles de matrice beta et dans un régime à une coupure, le développement asymptotique à tous les ordres en puissances de N. Nous appliquons ces résultats à l'étude des grandes déviations du maximum des valeurs propres dans les modèles beta, et en déduisons de façon heuristique des informations sur l'asymptotique à tous les ordres de la loi de Tracy-Widom beta, pour tout beta positif. Ensuite, nous examinons le lien entre intégrabilité et équations de boucle. En corolaire, nous pouvons démontrer l'heuristique précédente concernant l'asymptotique de la loi de Tracy-Widom pour les matrices hermitiennes.Nous terminons avec la résolution de problèmes combinatoires en toute topologie. En théorie topologique des cordes, une conjecture de Bouchard, Klemm, Mariño et Pasquetti affirme que des séries génératrices bien choisies d'invariants de Gromov-Witten dans les espaces de Calabi-Yau toriques, sont solution d'équations de boucle. Nous l'avons démontré dans le cas le plus simple, où ces invariants coïncident avec les nombres de Hurwitz simples. Nous expliquons les progrès récents vers la conjecture générale, en relation avec nos travaux. En physique statistique sur réseau aléatoire, nous avons résolu le modèle O(n) trivalent sur réseau aléatoire introduit par Kostov, et expliquons la démarche à suivre pour résoudre des modèles plus généraux.Tous ces travaux soulignent l'importance de certaines "intégrales de matrices généralisées" pour les applications futures. Nous indiquons quelques éléments appelant à une théorie générale, encore basée sur des "équations de boucles", pour les calculer

Un défi toujours actuel dans le domaine des systèmes intégrables quantiques est le calcul exact et explicite des fonctions de corrélation. Dans le cas de modèles simples tels que la chaîne de Heisenberg XXZ de spins 1/2, des progrès significatifs ont été réalisés ces dernières années. Les méthodes développées utilisent les symétries des modèles en volume infini (algèbre quantique affine) ou fini (algèbre de Yang-Baxter). L'objet de cette thèse est d'étendre le champ d'application de ce dernier type d'approche dans le cas où l'algèbre de Yang-Baxter sous-jacente est de type dynamique. C'est typiquement le cas du modèle de physique statistique solid-on-solid (SOS) qui décrit les interactions d'un paramètre de hauteur autour des faces d'un réseau bidimensionnel, avec des poids statistiques donnés par une matrice R elliptique solution de l'équation de Yang-Baxter dynamique.L'étude des fonctions de corrélation du modèle SOS est abordée dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique et de la méthode de séparation des variables. Des représentations en termes de déterminants de fonctions usuelles sont obtenues par les deux méthodes pour les produits scalaires entre états et pour les facteurs de forme des opérateurs locaux en volume fini. Les formules obtenues dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique sont ensuite utilisées pour représenter la fonction de corrélation à deux points sous la forme d'intégrales multiples, ainsi que pour le calcul de diverses quantités physiques à la limite thermodynamique, telles que les polarisations spontanées ou les probabilités de hauteurs locales. Ces dernières s'expriment sous forme d'intégrales multiples similaires à celles du modèle XXZ.

Malgré son indéniable succès pour décrire les systèmes physiques à l'équilibre thermodynamique (grâce à la distribution de Boltzmann, reflétant la maximisation de l'entropie, et permettant la construction systématique de potentiels thermodynamiques), la physique statistique n'offre pas de cadre général pour étudier les phénomènes hors d'équilibre, i.e dans lesquels on observe un courant moyen non nul d'une grandeur physique (énergie, charge, particules...).L'objectif de la thèse est de décrire de tels systèmes à l'aide de modèles très simples mais qui retranscrivent néanmoins les principales caractéristiques physiques de ceux-ci. Ces modèles sont constitués de particules se déplacant de manière aléatoire sur un réseau unidimensionnel connecté à des réservoirs et soumises à un principe d'exclusion. L'enjeu est de calculer exactement l'état stationnaire du modèle, notamment le courant de particules, ses fluctuations et plus particulièrement sa fonction de grande déviation (qui pourrait jouer le rôle d'un potentiel thermodynamique hors d'équilibre).Une première partie de la thèse vise à construire des modèles dits intégrables, dans lesquels il est possible de mener à bien des calculs exacts de quantités physiques. De nouveaux modèles hors d'équilibre sont proposés grâce à la résolution dans des cas particuliers de l'équation de Yang-Baxter et de l'équation de réflexion. De nouvelles structures algébriques permettant la construction de ces solutions par une procédure de Baxtérisation sont introduites.Une deuxième partie de la thèse consiste à calculer exactement l'état stationnaire de tels modèles en utilisant l'ansatz matriciel. Les liens entre cette technique et l'intégrabilité du modèle ont été mis en lumière au travers de deux relations clef: la relation de Zamolodchikov-Faddeev et la relation de Ghoshal-Zamolodchikov. L'intégrabilité a aussi été exploitée au travers des equations de Knizhnik-Zamolodchikov quantiques, afin de calculer les fluctuations du courant, mettant en lumière des connexions avec la théorie despolynômes symétriques (polynômes de Koornwinder en particulier).Enfin une dernière partie de la thèse porte sur la limite hydrodynamique des modèles étudiés, i.e lorsque la maille du réseau tend vers zero et que le nombre de constituants du système tend vers l'infini. Les résultats exacts obtenus sur les modèles à taille finie ont permis de vérifier les prédictions de la théorie des fluctuations macroscopiques (concernant les fluctuations du courant et du profil de densité dans l'état stationnaire) et de l'étendre à des modèles comprenant plusieurs espèces de particules. / Although statistical physics has been very successful to describe physical systems at thermal equilibrium (thanks to the Boltzmann distribution, which reflects the maximization of the entropy, and allows one to construct in a systematic way thermodynamic potentials), it remains elusive to provide an efficient framework to study phenomena that are out-of-equilibrium, i.e displaying non vanishing current of physical quantities (energy, charge, particles...).The goal of the thesis is to describe such systems with very simple models which retain nevertheless their main physical features. The models consist in particles evolving randomly on a one dimensional lattice connected to reservoirs and subject to hard-core repulsion. The challenge lies in computing exactly the stationary state of the model, especially the particle current, its fluctuations and more precisely its large deviation function (which is expected to play the role of an out-of-equilibrium thermodynamic potential).In the first part of the thesis we construct models, called integrable, in which we can perform exact computations of physical quantities. We introduce several new out-of-equilibrium models that are obtained by solving, in specific cases, the Yang-Baxter equation and the reflection equation. We provide new algebraic structures which allow us to construct the solutions through a Baxterisation procedure.In the second part of the thesis we compute exactly the stationary state of these models using a matrix ansatz. We shed light on the connection between this technique and the integrability of the model by pointing out two key relations: the Zamolodchikov-Faddeev relation and the Ghoshal-Zamolodchikov relation. The integrability is also exploited, through the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equations, to compute the fluctuations of the particles current, unrevealing connections with the theory of symmetric polynomials (the Koornwinder polynomials in particular).Finally the last part of the thesis deals with the hydrodynamic limit of the models, i.e when the lattice spacing tends to $0$ and the number of particles tends to infinity. The exact results obtained for a finite size system allow us to check the validity of the predictions of the macroscopic fluctuations theory (concerning the fluctuations of the current and the density profile in the stationary state) and to extend the theory to systems with several species of particles.