Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique de l'équation d'Euler incompressible à surface libre. On se concentre sur la propriété dispersive et sur la théorie de Cauchy à faible régularité. Une grande part de la thèse est consacrée à l'étude de l'équation des ondes de gravité-capillarité. On établit des critères d'explosion et la persistance de régularité dans les espaces de Sobolev. En démontrant les estimations de Strichartz pour les solutions à faible régularité, on obtient des théories de Cauchy pour les données initiales dont la vitesse peut être non-lipschitzienne. Dans une autre part de la thèse, on étudie la propriété dispersive des équations des ondes de surface. Plus précisément, on s'intéresse aux estimations de Strichartz. On démontre que, pour les solutions raisonnablement régulières, les équations des ondes de surface non linéaires obéissent aux mêmes estimations de Strichartz comme dans le cas des équations linéarisées. / This dissertation is devoted to the mathematical analysis of the water waves systems. We focus on the dispersive property and the Cauchy problem for rough initial data. One of the main objects of study is the gravity-capillary water waves system. We establish blow-up criteria and the persistence of Sobolev regularity. By proving Strichartz estimates for rough solutions, we obtain Cauchy theories for non-Lipschitz initial velocity. In another part of the dissertation, we study the dispersive property of the fully nonlinear water waves systems. More specifically, we are interested in Strichartz estimates. We prove for sufficiently smooth solutions that the nonlinear systems obey the same Strichartz estimates as their linearizations do.

<p>Ova disertacija se bavi analizom slabo postavljenih apstraktnih Cauchyjevih problema. U prvoj glavi su proučavane konvolucione, ultradistribucione i hiper&shy; funkcione polugrupe, njihove medjusobne veze kao i veze sa lokalno integrisanim C-polugrupama.&nbsp; U drugoj glavi su date strukturne osobine C-distribucionih polugrupa, dok su u trećoj glavi dati rezultati vezani za klasu [r]-polugrupa i njihovih primena u teoriji funkcionalnih računa.<br />U sledećoj glavi je sistematski izložena teorija distribucionih kosinus funkcija, dok se peta glava bavi analizom analitičkih integrisanih polugrupa. &Scaron;esta glava je posvećena analizi konvolucionih C-polugrupa i konvolucionih C-kosinus funk&shy;cija, dok su u sedmoj glavi prezntovani rezultati vezani za analitičke konvolu&shy;cione polugrupe, konvolucione kosinus funkcije i njihove veze sa ultradistribucionim i hiperfunkcionim sinusima.</p>

Cette thèse s'inscrit dans l'étude des modèles asymptotiques aux équations des ondes de surface dans le régime modulationnel. Le problème des ondes de surface consiste à décrire le mouvement - sous l'influence de la gravitation et éventuellement de tension de surface - d'un fluide dans un domaine délimité par la surface libre du fluide et par un fond fixe. Dans l'étude de ce problème, on s'intéresse en particulier aux ondes se propageant à la surface du fluide.Dans le régime modulationnel, on considère l'évolution des ondes de surface sous forme de paquets d'ondes de faible amplitude se propageant dans une direction. Il est bien connu que la motion de l'enveloppe du paquet d'onde sur une échelle de temps d'ordre t = O(1/ϵ²), où ϵ est un petit paramètre désignant l'amplitude, est décrite approximativement par des systèmes d'équations appelés systèmes de Benney-Roskes (BR) / Davey-Stewartson (DS). Ces systèmes sont donnés par une équation de type Schrödinger cubique couplée à une équation d'ondes. L'approximation classique de BR / DS est bien établie et a été largement étudiée au cours des dernières décennies. Récemment, David Lannes a introduit une version à "dispersion exacte" de ces systèmes. Contrairement aux équations de BR / DS standard, les systèmes à dispersion exacte préservent la relation de dispersion des équations des ondes de surface. On devrait obtenir ainsi une description plus riche du vrai comportement dynamique des ondes de surface que dans le cas de l'approximation classique.Le systèmes de BR / DS à dispersion exacte sont étudiés dans cette thèse. La première partie est consacrée à la déduction formelle des systèmes de BR / DS en tant que modèles asymptotiques aux équations des ondes de surface. Nous donnons en outre un résultat sur la consistance de cette approximation.Ensuite, nous étudions le problème de Cauchy pour le système de BR à dispersion exacte. En fait, afin de justifier la consistance de l'approximation de BR avec les équations exactes, on doit prouver que ce système est bien posé (en espace de Sobolev) sur une échelle de temps d'ordre O(1/ϵ). Ceci est un problème ouvert même dans le cas classique, du moins pour le système de dimension 1 + 2. De même, nous ne pouvons pas démontrer l'existence de solutions en temps long pour le système de BR à dispersion exacte, mais nous obtenons un théorème d'existence locale (t = O(1)) à condition que la tension de surface soit assez forte. Si nous nous restreignons au système de dimension 1+1, nous pouvons enlever la contrainte sur la tension de surface. L'idée de la preuve d'existence locale, qui est inspirée par un travail de Schochet-Weinstein, est d'écrire le système de BR comme un système symétrique hyperbolique quasi-linéaire perturbé par un terme dispersif ne contribuant pas à l'énergie du système. Ainsi, nous pouvons appliquer les méthodes standard de résolution des systèmes hyperboliques.En modifiant le terme non-linéaire du système de BR de dimension 1+1 sans changer l'ordre de consistance, nous obtenons un système qui est bien posé sur l'échelle de temps appropriée O(1/ϵ). Cependant, cette démarche ne peut pas être généralisée au cas de dimension 1+2.Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous donnons quelques résultats sur les systèmes de Davey-Stewartson à dispersion exacte. Pour les systèmes de DS, il est suffisant de démontrer qu'ils sont bien posés localement afin de justifier leur consistance avec les équations des ondes de surface. La théorie d'existence de solutions est assez complète pour le système de DS classique. Dans le cas de dispersion exacte cependant, les équations paraissent mal posées généralement, si bien que l'existence locale ne peut être démontrée pour l'instant que pour quelques cas particuliers simples. / This thesis is concerned with asymptotic models to the water wave equations in the modulational regime. The water wave equations describe the motion - under the influence of gravity and possibly surface tension - of an inviscid fluid in a domain which is bounded by a fixed bottom from below and the free surface of the fluid from above. In the study of the water wave problem, one is in particular interested by waves propagating on the surface of the fluid.In the modulational regime, one considers the evolution of surface waves under the form of small amplitude wave packets traveling in one direction. It is well known that the evolution of the wave packet envelope on the long time scale t = O(1/ϵ²), where ϵ is a small parameter denoting the amplitude of the wave, is approximately governed by a set of equations known as the Benney-Roskes (BR) / Davey-Stewartson (DS) systems. These systems are essentially given by a cubic Schrödinger-type equation coupled to a wave equation. The classical BR / DS approximation is well established and has been largely studied in the past decades. Recently, David Lannes has introduced a "full dispersion" version of these systems. In contrast to the standard BR / DS equations, the full dispersion systems preserve the linear dispersion relation of the full water wave equations, and should therefore give a richer description of the original wave dynamics than the classical approximation.The full dispersion BR / DS systems are studied in this thesis. In the first part, we formally derive the full dispersion BR / DS approximation from the water wave equations both in the case of zero and positive surface tension. The formal derivation is completed by a consistency result.We then study well-posedness in Sobolev space of the full dispersion BR system. In order to justify consistency of the BR approximation with the full water wave equations, one needs to show that the BR system is well posed on a time scale of order O(1/ϵ). This is an open problem even in the classical case, at least for the 1 + 2 dimensional system. We also do not obtain well-posedness on the long time scale for the full dispersion BR system, but we can show that it is locally well-posed in the case of sufficiently strong surface tension, and additionally in the zero surface tension case if we restrict ourselves to the 1+1 dimensional system. The proof is inspired by a paper of Schochet-Weinstein, and is based on writing the full dispersion BR system as a quasilinear symmetric hyperbolic system with dispersive perturbation, where the dispersive terms do not contribute to the energy. We can therefore apply classical solution methods for hyperbolic systems.By modifying the nonlinear part of the 1+1 dimensional full dispersion BR system without changing consistency, we obtain a system that is well-posed on the appropriate O(1/ϵ) time scale. This approach however does not generalize to the 1+2 dimensional case.In the last chapter of the thesis, we give some results on the full dispersion DS systems, which are obtained as special limits of the full dispersion BR system. For these systems, it is sufficient to prove local well-posedness in order to show consistency with the water wave equations. For the standard DS systems, local well-posedness theory is quite complete. For the full dispersion systems, the analysis is complicated by some nonlocal operators and the equations seem to be generally ill-posed. There are however some simple cases where local well-posedness can be shown. We also discuss some modifications of the full dispersion DS system that might allow to solve it for a larger range of parameters.

Ce mémoire porte sur l’étude des équations d’évolution sur des variétés à coubure non nulle, plus particulièrement l’équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact.Des propriétés de dispersion des solutions du problème de Cauchy homogène sont démontrées. Ces propriétés sont ensuite utilisées pour établir des estimations dites estimations de Strichartz. L’examen de ces estimées permet de déduire que le problème de Cauchy non linéaire avec des non-linéarités de type puissance est globalement bien posé pour des données initiales petites et localement bien posé pour des données arbitraires.Après un chapitre introductif dédié aux définitions, propriétés algébriques et géométriques des espaces symétriques et à quelques aspects élémentaires d’analyse harmonique sphérique sur ces espaces, un article est présenté : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. Cet article contient nos résultats principaux. Dans le dernier chapitre nous présentons en détail deux problèmes ouverts qui prolongent nos travaux. Il s’agit respectivement d’établir le lien entre le comportement asymptotique des estimées et les orbites nilpotentes, et l’étude de l’équation des ondes pour les formes différentielles sur les espaces symétriques. / In this memoir we study evolution equations on curved manifolds. In particular we are interested in the wave equation on Riemannian symmetric spaces of the noncompact type.Dispersive properties of solutions of homogeneous Cauchy problem are proved. These properties are then used to establish Strichartz-type estimates. A closer study of these estimates shows that the nonlinear Cauchy problem with power-like nonlinearities is globally well posed for small initial data and locally well posed for arbitrary initial data.The first chapter is devoted to definitions, algebraic and geometric properties of symmetric spaces and to few elementary aspects of spherical analysis on these spaces. Then our main results are represented in an article : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. In the last chapter we present in detail two open problems for future work. One issue is to establish a link between the asymptotic behavior of the estimates and nilpotent orbits, while another issue is the study of wave equation for differential forms on symmetric spaces.

Cette thèse est consacrée au problème d’évolution des théories de gravité modifiée : après avoir rappelé ce qu’il en est pour la Relativité Générale (RG), nous exposons le formalisme n + 1 des théories ƒ(R), Brans-Dicke et tenseur-scalaire et redémontrons un résultat connu : le problème de Cauchy est bien posé pour ces théories, et les équations de contrainte se réduisent à celles de la RG avec un champ de matière. Puis nous effectuons la même décomposition n + 1 pour les théories de Lovelock et, ce qui est nouveau, ƒ(Lovelock). Nous étudions ensuite les équations de contrainte des théories de Lovelock et montrons qu’elles sont, dans le cas conformément plat et symétrique en temps, la prescription d’une somme de σk-courbures. Afin de résoudre cette équation de prescription, nous introduisons une nouvelle famille de polynômes semi-symétriques homogènes et développons des résultats de concavité pour ces polynômes. Nous énonçons une conjecture qui, si elle était avérée, nous permettrait de résoudre l’équation de prescription dans de nombreux cas : ∀ P;Q ∈ ℝ[X], avec deg P = deg Q = p, P et Q sont scindés => p ∑ k=0 P(k) Q(p-k) est scindé / This thesis is devoted to the evolution problem for modified gravity theories. After having explained this problem for General Relativity (GR), we present the n + 1 formalism for ƒ(R) theories, Brans-Dicke and scalar-tensor theories. We recall a known result: the Cauchy problem for these theories is well-posed, and the constraint equations are reduced to those of GR with a matter field. Then we proceed to the same n+1 decomposition for Lovelock and ƒ(Lovelock) theories, the latter being an original result. We show that in the locally conformally flat timesymmetric case, they can be written as the prescription of a sum of σk-curvatures. In order to solve the prescription equation, we introduce a new family of homogeneous semisymmetric polynomials and prove some concavity results for those polynomials. We express the following conjecture: if this is true, we are able to solve the prescription equation in many cases. ∀ P;Q ∈ ℝ[X], avec deg P = deg Q = p, P and Q are real-rooted => p ∑ k=0 P(k) Q(p-k) is real-rooted:

Dans cette thèse on étudie des systèmes d’EDP non linéaires modélisant la propagation électromagnétique dans des milieux de type Kerr. On considère deux modèles. Le premier dit de Kerr-Debye, suppose un temps de réponse non nul du matériau à l’onde électromagnétique. Le second, dit de Kerr, suppose une réponse instantanée. On est ainsi confronté à des systèmes de relaxation tels que définis par Chen-Levermore-Liu (CPAM 1994). Nous établissons ici des résultats d’existence globale de solutions fortes à données petites en 3D pour le problème de Cauchy et un problème mixte. Puis nous construisons des schémas volumes finis asymptotic preserving et nous étudions leurs performances sur des cas physiques. / In this thesis, we study non-linear PDE systems modeling the electromagnetic propagation in Kerr media. We consider two models. The first one is the Kerr-Debye model, it assumes a finite response time of the medium. The second one is the Kerr model, it assumes an instantaneous response. We deal with relaxation systems as defined by Chen-Levermore-Liu (CPAM 1994). For small data, we establish results of global existence of smooth solutions in 3D for the Cauchy problem and the IBVP. Then we investigate asymptotic preserving finite volume schemes and we study their performance on physical cases.

Disertační práce se zabývá soustavou lineárních diskrétních rovnic se zpožděním a řeší Cauchyovu úlohu s danou počáteční podmínkou užitím zde definovaných maticových funkcí. Odvozený vzorec je pak použit při řešení úlohy relativní řiditelnosti této soustavy. Je dokázáno kritérium řiditelnosti soustavy, nalezena množina všech řídicí funkcí a minimální funkce vyhovující dané úloze.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires stochastiques. Nous nous intéressons à des EDP paraboliques et hyperboliques que l’on perturbe stochastiquement au sens d’Itô. Il s’agit d’introduire l’aléatoire via l’ajout d’une intégrale stochastique (intégrale d’Itô) qui peut dépendre ou non de la solution, on parle alors de bruit multiplicatif ou additif. La présence de la variable de probabilité ne nous permet pas d’utiliser tous les outils classiques de l’analyse des EDP. Notre but est d’adapter les techniques connues dans le cadre déterministe aux EDP non linéaires stochastiques en proposant des méthodes alternatives. Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous étudions une perturbation stochastique des équations de Barenblatt. En utilisant une semi- discrétisation implicite en temps, nous établissons l’existence et l’unicité d’une solution dans le cas additif, et grâce aux propriétés de la solution nous sommes en mesure d’étendre ce résultat au cas multiplicatif à l’aide d’un théorème de point fixe. Dans le Chapitre II, nous considérons une classe d’équations de type Barenblatt stochastiques dans un cadre abstrait. Il s’agit là d’une généralisation des résultats du Chapitre I. Dans le Chapitre III, nous travaillons sur l’étude du problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique. Nous montrons l’existence d’une solution par une méthode de viscosité artificielle en utilisant des arguments de compacité donnés par la théorie des mesures de Young. L’unicité repose sur une adaptation de la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov.. Dans le Chapitre IV, nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour la loi de conservation stochastique étudiée au Chapitre III. Le point remarquable de l’étude repose sur l’utilisation des semi-entropies de Kruzhkov pour montrer l’unicité. Dans le Chapitre V, nous introduisons une méthode de splitting pour proposer une approche numérique du problème étudié au Chapitre IV, suivie de quelques simulations de l’équation de Burgers stochastique dans le cas unidimensionnel. / This thesis deals with the mathematical field of stochastic nonlinear partial differential equations’ analysis. We are interested in parabolic and hyperbolic PDE stochastically perturbed in the Itô sense. We introduce randomness by adding a stochastic integral (Itô integral), which can depend or not on the solution. We thus talk about a multiplicative noise or an additive one. The presence of the random variable does not allow us to apply systematically classical tools of PDE analysis. Our aim is to adapt known techniques of the deterministic setting to nonlinear stochastic PDE analysis by proposing alternative methods. Here are the obtained results : In Chapter I, we investigate on a stochastic perturbation of Barenblatt equations. By using an implicit time discretization, we establish the existence and uniqueness of the solution in the additive case. Thanks to the properties of such a solution, we are able to extend this result to the multiplicative noise using a fixed-point theorem. In Chapter II, we consider a class of stochastic equations of Barenblatt type but in an abstract frame. It is about a generalization of results from Chapter I. In Chapter III, we deal with the study of the Cauchy problem for a stochastic conservation law. We show existence of solution via an artificial viscosity method. The compactness arguments are based on Young measure theory. The uniqueness result is proved by an adaptation of the Kruzhkov doubling variables technique. In Chapter IV, we are interested in the Dirichlet problem for the stochastic conservation law studied in Chapter III. The remarkable point is the use of the Kruzhkov semi-entropies to show the uniqueness of the solution. In Chapter V, we introduce a splitting method to propose a numerical approach of the problem studied in Chapter IV. Then we finish by some simulations of the stochastic Burgers’ equation in the one dimensional case.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps. / In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term.

<p>Doktorska disertacija je posvećena re&scaron;avanju Ko&scaron;ijevog problema odabranih klasa frakcionih diferencijalnih jednačina u okviru Kolomboovih prostora uop&scaron;tenih funkcija. U prvom delu disertacije razmatrane su nehomogene evolucione jednačine sa prostorno frakcionim diferencijalnim operatorima reda 0 &lt; &alpha; &lt; 2 i koeficijentima koji zavise od x i t. Ova klasa jednačina je aproksimativno re&scaron;avana, tako &scaron;to je umesto početne jednačine razmatrana aproksimativna jednačina data preko regularizovanih frakcionih izvoda, odnosno, njihovih regularizovanih množitelja. Za re&scaron;avanje smo koristili dobro poznate uop&scaron;tene uniformno neprekidne polugrupe operatora. U drugom delu disertacije aproksimativno su re&scaron;avane nehomogene frakcione evolucione jednačine sa Kaputovim<br />frakcionim izvodom reda 0 &lt; &alpha; &lt; 2, linearnim, zatvorenim i gusto definisanim<br />operatorom na prostoru Soboljeva celobrojnog reda i koeficijentima koji zavise<br />od x. Odgovarajuća aproksimativna jednačina sadrži uop&scaron;teni operator asociran sa polaznim operatorom, dok su re&scaron;enja dobijena primenom, za tu svrhu&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />u disertaciji konstruisanih, uop&scaron;tenih uniformno neprekidnih operatora re&scaron;enja.<br />U oba slučaja ispitivani su uslovi koji obezbeduju egzistenciju i jedinstvenost<br />re&scaron;enja Ko&scaron;ijevog problema na odgovarajućem Kolomboovom prostoru.</p> / <p>Colombeau spaces of generalized functions. In the firs part, we studied inhomogeneous evolution equations with space fractional differential operators of order 0 &lt; &alpha; &lt; 2 and variable coefficients depending on x and t. This class of equations is solved&nbsp; approximately, in such a way that instead of the originate equation we considered the corresponding approximate equation given by regularized fractional derivatives, i.e. their&nbsp; regularized multipliers. In the solving procedure we used a well-known generalized uniformly continuous semigroups of operators. In the second part, we solved approximately inhomogeneous fractional evolution equations with Caputo fractional derivative of order 0 &lt; &alpha; &lt; 2, linear, closed and densely defined operator in Sobolev space of integer order and variable coefficients depending on x. The corresponding approximate equation&nbsp;&nbsp; is a given by the generalized operator associated to the originate&nbsp; operator, while the solutions are obtained by using generalized uniformly continuous solution operators, introduced and developed for that purpose. In both cases, we provided the conditions that ensure the existence and uniqueness solutions of the Cauchy problem in some Colombeau spaces.</p>