La première partie, introductive, passe en revue la description habituelle des transitions de phase induites par la prolifération de défauts topologiques en dimension deux. En particulier les techniques de gaz de Coulomb sont introduites dans l'étude de la transition de KosterlitzThouless et de la transition continue de fusion bidimensionnelle. La seconde partie aborde le problème de l'interaction de ces défauts avec un désordre, soit dans la structure du système élastique (superfluide, cristal bidimensionnel), soit provenant d'un substrat. La situation d'un réseau de lignes de flux (vortex) dans un supraconducteur, réparties sous forme de plans parallèles les uns aux autres, est étudiée en présence de désordre de substrat. Des techniques de renormalisation et une méthode variationnelle avec répliques permettent de mettre en évidence l'apparition d'une nouvelle transition induite par le désordre, entre une phase quasi-ordonnée (verre de Bragg) et une phase amorphe dans laquelle des dislocations planaires sont générées. L'effet d'un désordre de substrat sur les dislocations bidimensionnelles est ensuite étudié par le groupe de renormalisation. Les dislocations sont induites par ce désordre à basse température et la transition de fusion est dans ce cas remplacée par un cross-over dont les implications expérimentales sont discutées. Finalement l'étude du gel par le désordre de ces dislocations à basse température nécessite l'élaboration d'une nouvelle méthode de renormalisation fonctionnelle en dimension deux. Celle-ci permet, en décrivant le comportement d'échelle de la densité de sites favorables à la création d'un défaut, de définir et caractériser une nouvelle transition à température nulle.

Dans cette thèse, on aborde plusieurs questions ayant trait au calcul des variations et à la théorie des équations aux dérivées partielles elliptiques.<br /><br />Dans le chapitre 1, on étudie la condition de pente minorée pour des fonctions définies sur la frontière d'un ouvert de $\R^n.$ <br />Dans le chapitre 2, on s'intéresse à un problème de calcul des variations où la fonctionnelle est de la forme $$u\mapsto \int\{ F(\nabla u(x))+G(x,u(x))\}\,dx$$ et où la condition de Dirichlet est définie par une fonction vérifiant la condition de pente minorée. <br /> Dans le chapitre 3, on étudie une équation aux dérivées partielles elliptique à forme divergentielle avec une condition de Dirichlet qui vérifie la condition de pente minorée. <br />Dans le chapitre 4, on décrit les composantes connexes de l'ensemble $W^{s,p}(M,N).$ <br />Dans le chapitre 5, nous identifions l'ensemble singulier d'une fonction $u\in W^{s,p}(S^N,S^1).$

Cette thèse traite des aspects géométriques et d'intégrabilité associés aux modèles de matrices aléatoires. Son but est de présenter diverses applications des modèles de matrices aléatoires allant de la géométrie algébrique aux équations aux dérivées partielles des systèmes intégrables. Ces différentes applications permettent en particulier de montrer en quoi les modèles de matrices possèdent une grande richesse d'un point de vue mathématique. Ainsi, cette thèse abordera d'abord l'étude de la jonction de deux intervalles du support de la densité des valeurs propres au voisinage d'un point singulier. On montrera plus précisément en quoi ce régime limite particulier aboutit aux équations universelles de la hiérarchie de Painlevé II des systèmes intégrables. Ensuite, l'approche des polynômes (bi)-orthogonaux, introduite par Mehta pour le calcul des fonctions de partition, permettra d'énoncer des problèmes de Riemann-Hilbert et d'isomonodromies associés aux modèles de matrices, faisant ainsi le lien avec la théorie de Jimbo-Miwa-Ueno. On montrera en particulier que le cas des modèles à deux matrices hermitiens se transpose à un cas dégénéré de la théorie isomonodromique de Jimbo-Miwa-Ueno qui sera alors généralisé. La méthode des équations de boucles avec ses notions centrales de courbe spectrale et de développement topologique permettra quant à elle de faire le lien avec les invariants symplectiques de géométrie algébrique introduits récemment par Eynard et Orantin. Ce dernier point fera également l'objet d'une généralisation aux modèles de matrices non-hermitien ($\beta$ quelconque) ouvrant ainsi la voie à la ''géométrie algébrique quantique'' et à la généralisation de ces invariants symplectiques pour des courbes ''quantiques''. Enfin, une dernière partie sera consacrée aux liens étroits entre les modèles de matrices et les problèmes de combinatoire. En particulier, l'accent sera mis sur les aspects géométriques de la théorie des cordes topologiques avec la construction explicite d'un modèle de matrices aléatoires donnant le dénombrement des invariants de Gromov-Witten pour les variétés de Calabi-Yau toriques de dimension complexe trois utilisées en théorie des cordes topologiques.

La description actuelle des interactions fondamentales repose sur deux théories ayant le statut de modèle standard. Les interactions électromagnétiques et nucléaires sont décrites à un niveau quantique par le Modèle Standard de la physique des particules, alliant théories de jauge et brisures spontanées de symétrie par le mécanisme de Higgs. À l'opposé, l'interaction gravitationnelle est décrite par la relativité générale,basée sur une description dynamique de l'espace-temps dans un cadre classique.Bien que ces deux modèles soient vérifiés avec une grande précision dansle système solaire, ils sont affligés d’un certain nombre de problèmes théoriques et manquent de force prédictive aussi bien à l'échelle de Planck qu’à l'échelle cosmologique ;ils ne sont par conséquent plus perçus comme fondamentaux. La cosmologie, dont la phénoménologie fait apparaitre ces deux échelles extrêmes, apparaît alors comme un laboratoire privilégié pour tester les théories au delà de ces modèles standards.La première partie de cette thèse concerne l'étude des cordes cosmiques, défauts topologiques se formant lors de la brisure spontanée de théories de grande unification dans l'univers primordial.J’y montre notamment comment étudier ces défauts en prenant en compte la structure complète des théories de physique des particules dont ils sont issus, ce qui représente une avancée importante par rapport à la description courante en termes de modèles ”jouets”très simplifiés. La deuxième partie de cette thèse consiste en la construction et l'étude de différentes théories de gravité modifiée liées au modèle de Galiléon, un modèle tentant notamment d'expliquer la phénoménologie liée à l'énergie noire. / The current description of fundamental interactions is based on two theories with the status of standard models. The electromagnetic and nuclear interactions are described at a quantum level by the Standard Model of particle physics, using tools like gauge theories and spontaneous symmetry breaking by the Higgs mechanism. The gravitational interaction is described on the other hand by general relativity, based on a dynamical description of space-time at a classical level.Although these models are verified to high precision in the solar system experiments, they suffer from several theoretical weaknesses and a lack of predictive power at the Planck scale as well as at cosmological scales; they are thus not viewed anymore as fundamental theories. As its phenomenology involves both these extreme scales, cosmology is then a good laboratory to probe theories going beyond these standard models.The first part of this thesis focus on cosmic strings, topological defects forming during the spontaneous symmetry breaking of grand unified theories in the early universe. I show especially how to study these defects while taking into account the complete structure of the particles physics models leading to their formation, going beyond the standard descriptions in terms of simplified toy-models. The second part is devoted to the construction and the examination of different theories of modified gravity related to the Galileon model, a model which tries in particular to explain the dark energy phenomenology.

La relation entre le repliement du génome et les processus cellulaires majeurs, notamment la transcription, la réparation de l’ADN et la réplication est une question biologique centrale. De nouvelles méthodes de la génomique ont révélé un niveau inconnu de l’architecture tridimensionnelle de la chromatine. A l’échelle en dessous de la mégabase, certaines séquences génomiques se trouvent préférentiellement à proximité les unes des autres formant ainsi des domaines topologiques associés (TAD). Les gènes situés dans le même TAD ont des propriétés épigénétiques similaires, et leur expression au cours de la différentiation semble corrélée, ce qui suggère un lien fort entre la structure de la chromatine et la transcription. Les TADs sont à leur tour séparés par des régions avec peu de contacts, appelées frontières, qui sont généralement occupées par des protéines dites isolatrices. Les déterminants de cette organisation chromatinienne particulière et ses implications fonctionnelles sont largement méconnus. Selon une hypothèse récente, les TADs seraient formés par des contacts entre les séquences des frontières, stabilisés par la formation de boucles via les protéines isolatrices. Les travaux présentés ici ont pour but d’étudier le rôle des protéines isolatrices dans le mécanisme de formation des TADs chez la drosophile. La microscopie super-résolue a été implémentée et une série de développements ont été réalisés en microscopie à illumination structurée (SIM) et la microscopie à localisation de molécules uniques (SMLM), avec une attention particulière sur le marquage fluorescent. Ces développements ont directement été appliqués à l’étude de l’organisation nucléaire de la protéine associée aux éléments frontières (BEAF), une des 11 protéines isolatrices identifiées à ce jour chez la drosophile. Le fort enrichissement aux frontières des TADs, ainsi que son activité dans la formation de boucles d’ADN font de BEAF un candidat intéressant pour tester l’hypothèse de regroupement de frontières comme mécanisme général de repliement de la chromatine. La technique SMLM multi-couleurs a systématiquement localisé BEAF à la périphérie des larges domaines portant la marque épigénétique H3K27me3. L’analyse quantitative des images SMLM a révélé que BEAF forme des centaines de foyers d’une taille de 45 nm, composés en moyenne de 5 molécules, ce qui est en désaccord avec la présence de boucles de chromatine à large échelle. Afin de tester le regroupement de gènes directement au niveau de l’ADN, des frontières ont été marquées par des oligonucléotides fluorescents. Le nombre de foyers détectés par SIM s’est à nouveau révélé incompatible avec le modèle de contacts entre les frontières tout le long du génome. Par ailleurs, les distances entre paires de frontières au niveau de deux régions génomiques ont montré <5% de contacts. Ensemble, ces résultats sont en désaccord avec l’établissement d’interactions entre barrières chez la drosophile. Enfin, ces travaux de thèse ont contribué au développement méthodologique de la microscopie super-résolue, ce qui a permis d’apporter des preuves expérimentales invalidant le modèle de regroupement des frontières comme mécanisme général du repliement chromatinien. / The interplay between genome folding and key cellular functions such as transcription, DNA repair and replication is a fundamental question in chromatin biology. Recent genome-wide developments unveiled a new level of three-dimensional chromatin architecture. At the sub-megabase scale, some genome sequences are preferentially found in proximity with one another forming Topologically Associating Domains (TADs). Genes located within the same TAD display common epigenetic properties and tend to have coordinated dynamics of expression during differentiation, suggesting a strong link between chromatin structure and transcription. TADs are in turn separated by regions of low contact, termed TAD borders, which are generally occupied by factors called chromatin insulators. What are the determinants of this particular type of chromatin organization and what are the functional implications is still largely unknown. In an emerging hypothesis, TADs could be formed through contacts between TAD border sequences stabilized by the looping activity of insulator proteins. This thesis investigates the roles of insulator proteins in the TAD formation mechanism using Drosophila melanogaster as model system. Superresolution imaging was implemented and a series of developments were performed in Structured Illumination Microscopy (SIM) and Single-molecule Localization Microscopy (SMLM), with particular attention on fluorescent labeling for single-molecule detection. These developments were directly applied to study the nuclear organization of the Boundary Element Associated Factor (BEAF), one of the 11 insulator proteins discovered to date in Drosophila. The strong enrichment on TAD borders and its demonstrated looping activity make BEAF a potent candidate to test for the clustering of TAD borders as a general mechanism of chromatin folding. Multicolor SMLM systematically located BEAF foci at the periphery of large H3K27me3 chromatin domains. Quantitative analysis of SMLM images indicated BEAF forms hundreds of 45 nm foci, containing a mean of 5 molecules, which argues against a large-scale looping of BEAF-bound chromatin. To directly probe for gene clustering at the DNA level, TAD borders were labeled using fluorescent oligonucleotide probes. The number of foci detected by SIM was once more incompatible with a model of chromosome-wide contacting of multiple TAD borders. Furthermore, TAD border pairs distances were measured in two genomic regions, resulting in <5% of paired contacts among the measured barriers. Taken together, these results are inconsistent with constitutive interactions between consecutive or non-consecutive barriers in Drosophila.In conclusion, this study contributed to the methodological development of super-resolution microscopy which was applied to provide experimental evidence invalidating the TAD border clustering model as a general mechanism of chromatin folding.

Une étude analytique et numérique de vortex métastables couplés gravitationnelle- ment et formés dans un modèle abélien de Higgs modifié est menée. Les concepts de désintégration du faux vide et de solitons topologiques sont revus. Le modèle à l’étude est comparé à d’autres modèles dans lesquels sont aussi formés des vortex. Les solutions classiques correspondant au vortex sont trouvées numériquement. Leur sensibilité au couplage gravitationnel est mise en évidence. Les zones de stabilité dans l’espace des paramètres sont également définies. Un profil dit thin-wall du vortex survient dans la limite d’un grand champ magnétique dans le coeur du vortex. La désintégration du vortex, possible en raison du vrai vide à l’intérieur de celui-ci, est dans ce cas analysée analyti- quement. Dans cette limite, l’exposant lié au taux de désintégration du vortex vaut la moitié de celui associé à la désintégration du faux vide sans vortex. Ce résultat tient peu importe la force du couplage gravitationnel. Ainsi, même une faible densité de vortex pouvant induire la désintégration du faux vide accélère grandement le processus de transition de phase et détermine le temps de vie du faux vide. Quelques commentaires concernant la limite faible gravité de l’action en théorie des champs sont ajoutés pour compléter l’étude. / Metastable vortices formed in a modified abelian Higgs model with gravity are studied both analytically and numerically. Concepts of false vacuum decay and topological solitons are reviewed. The model studied is compared to other models in which vortices are also formed. Classical solutions corresponding to a vortex are found numerically. Their sensitivity to gravitational coupling is highlighted. Zones of stability in parameter space are shown. A so-called “thin-wall” limit of the vortex is obtained for high magnetic flux whithin the vortex’s core. In that case, vortex disintegration, possible because of the true vacuum present inside the vortex, can be studied analytically. In this limit, the exponent associated to vortex tunneling decay rate is half the one associated with ordinary false vacuum decay. This results holds regardless of the gravitational coupling strength. Then, even a small density of vortices accelerates importantly the phase transition from false to true vacuum and determine the false vacuum lifetime. Comments on weak gravity limit of the action in field theory are made to complete this study.

Ce travail consiste en l'étude sous champ magnétique des propriétés électroniques des fermions de Dirac relativistes dans deux systèmes: graphène et isolants topologiques. Leur analogie avec la physique des hautes énergies et leurs applications potentielles ont suscité récemment de nombreux travaux. Les états électroniques sont donnés par un Hamiltonien de Dirac et la dispersion est analogue à celle des particules relativistes. La masse au repos est liée au gap du matériau avec une vitesse de Fermi remplaçant la vitesse de la lumière. Le graphène a été considéré comme un " système école " qui nous permet d'étudier le comportement relativiste des fermions de Dirac sans masse satisfaisant une dispersion linéaire. Quand un système de Dirac possède un gap non nul, nous avons des fermions de Dirac massifs. Les fermions de Dirac sans masse et massifs ont été étudiés dans le graphène épitaxié et les isolants topologiques cristallins Pb1-xSnxSe et Pb1-xSnxTe. Ces derniers systèmes sont une nouvelle classe de matériaux topologiques où les états de bulk sont isolants mais les états de surface sont conducteurs. Cet aspect particulier résulte de l'inversion des bandes de conduction et de valence du bulk ayant des parités différentes, conduisant à une transition de phase topologique. La magnéto-spectroscopie infrarouge est une technique idéale pour sonder ces matériaux de petit gap car elle fournit des informations quantitatives sur les paramètres du bulk via la quantification de Landau des états électroniques. En particulier, la transition de phase topologique est caractérisée par une mesure directe de l'indice topologique. / This thesis reports on the study under magnetic field of the electronic properties of relativistic-like Dirac fermions in two Dirac systems: graphene and topological insulators. Their analogies with high-energy physics and their potential applications have attracted great attention for fundamental research in condensed matter physics. The carriers in these two materials obey a Dirac Hamiltonian and the energy dispersion is analogous to that of the relativistic particles. The particle rest mass is related to the band gap of the Dirac material, with the Fermi velocity replacing the speed of light. Graphene has been considered as a “role model”, among quantum solids, that allows us to study the relativistic behavior of massless Dirac fermions satisfying a linear dispersion. When a Dirac system possesses a nonzero gap, we have massive Dirac fermions. Massless and massive Dirac fermions were studied in high-mobility multilayer epitaxial graphene and in topological crystalline insulators Pb1-xSnxSe and Pb1-xSnxTe. The latter system is a new class of topological materials where the bulk states are insulating but the surface states are conducting. This particular aspect results from the inversion of the lowest conduction and highest valence bulk bands having different parities, leading to a topological phase transition. Infrared magneto-spectroscopy is an ideal technique to probe these zero-gap or narrow gap materials since it provides quantitative information about the bulk parameters via the Landau quantization of the electron states. In particular, the topological phase transition can be characterized by a direct measurement of the topological index.

Nous nous intéressons aux cristaux liquides nématiques, qui sont une phase de la matière intermédiaire entre les liquides et les solides cristallins. Ces états sont caractérisés par la présence de défauts ponctuels ou de ligne. Le but de cette thèse est d'apporter une contribution à l'étude mathématique des défauts, dans le cadre de la théorie variationnelle de Landau-de Gennes. Dans le premier chapitre, nous étudions les minimiseurs de l'énergie dans des domaines bornés de dimension deux. Lorsque la constante élastique tend vers zéro, les minimiseurs convergent vers une application localement harmonique, avec un nombre fini de singularités ponctuelles. Au voisinage de celles-ci, les minimiseurs sont biaxes (le molécules sont alignées localement dans plusieurs directions). Le deuxième chapitre est consacré à l'analyse asymptotique des minimiseurs en dimension trois, en supposant l'énergie majorée par le logarithme de la constante élastique. Comme dans le cas bidimensionnel, nous obtenons un résultat de compacité des minimiseurs, mais cette fois l'application limite peut présenter à la fois des singularités ponctuelles et de ligne. Nous donnons aussi des conditions suffisantes pour que l'hypothèse sur l'énergie évoquée précédemment soit satisfaite. Le troisième chapitre porte sur l'existence de minimiseurs à symétrie radiale dans une couronne en dimension trois. Enfin, dans le dernier chapitre nous présentons une obstruction topologique à l'existence de champs de vecteurs unitaires de faible régularité, sur des variétés à bord. Ce résultat constitue une étape préliminaire à l'étude de modèles variationnels pour les films nématiques sur une surface. / Nematic liquid crystals are an intermediate phase of matter, sharing properties with liquids and crystalline solids. They are composed of molecules which can flow freely, but tend to align locally along some preferred directions. Nematic phases exhibit defects, which can occur at isolated points or along lines, and are one of their mean features. This thesis mainly aims at discussing some mathematical results about defects and their generation, in the framework of the Landau-de Gennes theory. In the first chapter, we study minimizers of the energy functional in a bounded, smooth domain in dimension two. We show that, as the elastic constant tends to zero, minimizers converge to a locally harmonic map with a finite number of point singularities. Minimizers are biaxial in the core of defects (that is, more than one preferred direction of molecular alignment exists at a given point). Chapter two deals with the asymptotic analysis of minimizers in dimension three. We assume that the energy is comparable to the logarithm of the elastic constant and prove a compactness result. However, the limiting map is now allowed to have line singularities as well as point singularities. We also provide sufficient conditions for the logarithmic energy estimate to be satisfied. In chapter three, we study the existence of radially symmetric minimizers on spherical shells, in dimension three. Finally, in chapter four, we discuss a topological obstruction to the existence of unit vector fields of low regularity, on a compact manifold with boundary. This result can be understood as a first step in the analysis of some variational models for a surface coated with a thin nematic film.

Les nanotubes de carbone mono-paroi (SWNT) sont souvent dilués dans un solvant afin de les purifier, les fonctionnaliser ou les transformer. Le contrôle de ces processus requiert une compréhension profonde de la rhéologie de leurs suspensions. Cependant, les bases physiques de leur comportement rhéologique ne sont pas absolument claires. Cette thèse a permis d'apporter des réponses au travers de la modélisation de la viscoélasticité linéaire des suspensions diluées de SWNTs en utilisant une approche par la Dynamique Brownienne (DB). Les SWNTs sont modélisés par des filaments semi-flexibles dont la configuration est naturellement courbée due à la présence de défauts structuraux. Le modèle continu de filament semi-flexible est discrétisé en un système multibarre en flexion non-libre ayant une configuration non-droite à l'équilibre. Une redéfinition du potentiel de flexion est effectuée afin de prendre en compte les cas des configurations non-rectilignes. Le comportement en viscoélasticité linéaire de leurs suspensions diluées a été modélisé par DB en mode dynamique et de relaxation. Des nouveaux processus de relaxation caractérisés par l'activation d'une élasticité à fréquences intermédiaires sont constatés en dynamique. D'autre part, une relaxation quasi-instantanée du module de relaxation est obtenue lors de l'application d'un échelon de cisaillement. Les spectres de relaxation de l'énergie de flexion sont en accord avec les réponses dynamiques, ce qui prouve la cohérence du modèle en viscoélasticité linéaire. Les différences non négligeables par rapport au comportement rhéologique des systèmes multibarre droits à l'équilibre démontrent que la flexibilité couplée avec la présence de défauts structuraux de courbure joue un rôle important dans la dynamique d'un SWNT en suspension.

L'objectif de ce travail est de comprendre comment s'auto-organisent les films minces de PS-b-PMMA présentant des nanodomaines cylindriques de PMMA orientés verticalement. Ces films sont ensuite utilisés pour organiser des nano-objets discrets de faibles dimensions (diamètre ~ 20 nm) et en forte densité (~1011/cm²).<br />Il est montré que la phase de cylindres verticaux se forme de façon indirecte pendant le recuit thermique à partir d'une phase homogène. Tout d'abord, il se forme une phase de cylindres désordonnés au sein du film sur laquelle la phase de cylindres verticaux s'établie par un mécanisme de nucléation-croissance, menant à la présence de défauts aux joints de grains. <br />L'élimination des défauts dans le réseau nécéssite une diffusion de ces derniers. Après avoir montré expérimentalement et théoriquement que les sites heptacoordinés adoptent une morphologie distordue en raison de la contrainte du réseau, nous proposons un mécanisme de diffusion des dislocations basé sur la division des nanodomaines distordus. Nous montrons que les films réalisés possédent un ordre hexatique selon la théorie KTHNY.<br /> Finalement, nous utilisons ces films en tant que masque pour réaliser, par gravure plasma, des nano-piliers en Si/SiGe ou bien des capacités MOS à nanocristaux de Pt